第二章 实数（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第二章 实数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在，，，，，（每两个3之间依次多一个零）中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列说法正确的个数是（    ） ①最大的负整数是；       ②所有实数和数轴上的点一一对应； ③没有平方根；           ④任何实数的立方根有且只有一个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法正确的是（    ） A．是25的算术平方根 B．6是的算术平方根 C．49的平方根是 D．64的立方根是 4．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．一个正数的平方根分别是与，则这个正数的值为（    ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若整数x满足，则x的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（    ） A． B． C．b D． 9．如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点在数轴上（点在点A左侧），且，则点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 10．有一个数值转换器，流程如图所示．当输入值为64时，输出 的值是（   ） A．2 B．4 C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．比较大小： － －； ； ． 12．的算术平方根为 ． 13．若，那么 ． 14．计算： ． 15．把无理数，，﹣表示在数轴上，在这三个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 16．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 17．已知是的整数部分，是的小数部分，则的平方根为 ． 18．设一个三角形的三边分别为a，b，c，p＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（秦九韶公式），S＝（海伦公式）．一个三角形的三边长依次为2，3，4，任选以上一个公式请直接写出这个三角形的面积为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．把下列各数填入相应的集合中： 、、0、、、、、、 ①无理数集合 ②整数集合 ③有理数集合 ④负数集合 ． 20．（1）计算：； （2）求下列各式的x值： ①； ②． 21．计算： （1）；     （2）； （3）；     （4）． 22．在数轴上表示下列各数，并用“”连接．，，，． 23．已知的立方根是2，的算术平方根是3，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 24．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长均为1个单位），依次连结四边中点得到一个阴影正方形，点A落在原点． (1)这个阴影正方形的边长为______． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，并将这些数用“＜”连接． ______＜______＜______＜______＜______． (3)在这五个点中，到表示数2的点距离小于1个单位长度的点有______个． 25．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．    (1)这个魔方的棱长为__________． (2)图1的侧面有一个正方形ABCD，求这个正方形的面积和边长． (3)将正方形ABCD放置在数轴上，如图2所示，点A与数2表示的点重合，则D在数轴上表示的数为__________． 26．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； … (1)请用含有n（n为正整数）的式子填空：________，________； (2)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 27．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又， ，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写结果： ①________． ②________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 实数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题 1．在，，，，，（每两个3之间依次多一个零）中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【解析】解：∵， ∴在，，，，，（每两个3之间依次多一个零）中，无理数有，（每两个3之间依次多一个零），共2个． 故选：A． 【点睛】本题考查无理数的识别，理解无理数的定义：无限不循环小数，是解题关键． 2．下列说法正确的个数是（    ） ①最大的负整数是；       ②所有实数和数轴上的点一一对应； ③没有平方根；           ④任何实数的立方根有且只有一个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平方根与立方根的性质，实数与数轴的性质进行分析即可． 【解析】解：①最大的负整数是，正确，符合题意； ②所有实数和数轴上的点一一对应，正确，符合题意； ③没有平方根，错误，不符合题意； ④任何实数的立方根有且只有一个，正确，符合题意； 故①②④符合题意，共3个； 故选：C． 【点睛】本题考查实数与数轴，立方根和平方根，熟练掌握实数与数轴的特点，立方根和平方根的定义和性质是解题的关键． 3．下列说法正确的是（    ） A．是25的算术平方根 B．6是的算术平方根 C．49的平方根是 D．64的立方根是 【答案】C 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可判断． 【解析】解：A： 25的算术平方根是，故A错误； B：，负数没有算数平方根，故B错误； C：49的平方根是，故C正确； D：64的立方根是，故D错误 故选：C 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根的求解．熟记相关计算法则即可． 4．下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义，即可解答． 【解析】解：A、∵，∴与互为相反数，符合题意； B、∵，∴与不互为相反数，不符合题意； C、∵，∴与不互为相反数，不符合题意； D、∵，，∴与不互为相反数，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是掌握算术平方和立方根的定义，以及只有符号不同的数是相反数． 5．一个正数的平方根分别是与，则这个正数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一个正数的平方根有两个，且是互为相反数，可求出 的值，进而求出的值． 【解析】解：由平方根的意义可得， ， 解得，， 当时，，， ∴这个正数的平方根是， ， 故选：D． 【点睛】本题考查平方根的意义，掌握一个正数的平方根的特征是正确解答的关键． 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减乘除法则分别计算，即可判断． 【解析】解：A、，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力． 7．若整数x满足，则x的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】夹逼法求出无理数的范围即可得解． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，且x为整数； ∴； 故选C． 【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握无理数的估算方法，是解题的关键． 8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（    ） A． B． C．b D． 【答案】C 【分析】根据点的坐标，可得a、b的关系，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案． 【解析】解：由数轴上点的位置关系，得 ． ． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，以及二次根式的性质，利用点的坐标得出a、b的关系是解题关键． 9．如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点在数轴上（点在点A左侧），且，则点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据正方形的面积为5，即可求得它的边长为，再根据点A表示的数为1，，即可求解． 【解析】解：正方形的面积为5， 它的边长为， 点A表示的数为1，， 点所表示的数为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，求数轴上的点所表示的数，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 10．有一个数值转换器，流程如图所示．当输入值为64时，输出 的值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据输入的值为64按照流程逐一计算、判断可得． 【解析】解：当输入的值为64时， ，是有理数， ，是有理数， 是无理数，输出，即， 故选：C． 【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根及实数的定义，看懂流程图且熟练计算算术平方根、立方根是解题的关键． 二、填空题 11．比较大小： － －； ； ． 【答案】 > > < 【分析】分别根据两个负数的大小比较方法比较大小，根据二次根式的性质比较被开方数的的大小，第三个根据作差的方法比较大小即可 【解析】， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 12．的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案． 【解析】，9的算术平方根为 的算术平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 13．若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根非负性的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0建立简单方程是解题的关键．根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解析】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】6 【分析】先根据算术平方根和立方根化简，然后再计算即可． 【解析】解：． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根等知识点，正确求得算术平方根和立方根是解答本题的关键． 15．把无理数，，﹣表示在数轴上，在这三个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【答案】 【分析】由数轴先判断出被覆盖的无理数的范围，再确定出，，–的范围即可得出结论． 【解析】解：由数轴知，被墨迹覆盖住的无理数在3到4之间， ∵9<11<16， ∴3<<4， ∵4<5<9， ∴2<<3， ∵1<3<4， ∴1<<2， ∴–2<–<–1， ∴被墨迹覆盖住的无理数是， 故答案为． 【点睛】此题主要实数与数轴，算术平方根的范围，确定出，，–的范围是解本题的关键． 16．如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键．根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【解析】解：由题意可得每个方块的体积为 则其边长为 故答案为： 17．已知是的整数部分，是的小数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】根据，可得出的值，继而得出的值，、的值代入计算即可得出答案． 【解析】解：由题意可得：， ，， 则，而9的平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数大小的知识，难度不大，估算出的大小是解题的关键． 18．设一个三角形的三边分别为a，b，c，p＝（a+b+c），则有下列面积公式：S＝（秦九韶公式），S＝（海伦公式）．一个三角形的三边长依次为2，3，4，任选以上一个公式请直接写出这个三角形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】选取海伦公式进行计算，根据公式将三边长以及的值代入求解即可． 【解析】解：∵一个三角形的三边长依次为2，3，4， ∴p＝ S＝ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 三、解答题 19．把下列各数填入相应的集合中： 、、0、、、、、、 ①无理数集合 ②整数集合 ③有理数集合 ④负数集合 ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了无理数、整数、有理数、负数的定义．根据无理数、整数、有理数、负数的定义选出即可． 【解析】解：、、 ①无理数集合，，，； ②整数集合0，，，； ③有理数集合，0，、，，，； ④负数集合，，； 故答案为：，，；0，，；，0，、，，；，，． 20．（1）计算：； （2）求下列各式的x值： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）先计算立方根，算术平方根，有理数的乘方和化简绝对值，再进行加减运算即可； （2）①直接利用平方根的定义计算，即得出答案； ②直接利用立方根的定义计算，即得出答案． 【解析】解：（1）原式 ； （2）①∵ ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查实数的混合运算，利用平方根和立方根的定义解方程，正确掌握相关运算法则和定义是解题关键． 21．计算： （1）；     （2）； （3）；     （4）． 【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （3）先去括号然后把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （4）根据二次根式乘法法则计算． 【解析】（1） ． （2） ． （3） ． （4） 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 22．在数轴上表示下列各数，并用“”连接．，，，． 【答案】见解析， 【分析】根据实数在数轴上的表示方法和数轴上的数比较大小的方法求解即可． 【解析】解：如图， 故． 【点睛】此题考查了实数在数轴上的表示方法，比较数轴上数的大小，解题的关键是熟练掌握实数在数轴上的表示方法，比较数轴上数的大小的方法． 23．已知的立方根是2，的算术平方根是3，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据立方根、算术平方根的定义求出a、b的值，估算无理数的大小确定c的值； （2）求出的值，再根据平方根的定义进行计算即可． 【解析】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴，， ∴，． ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：将，，代入得：， ∴的平方根是． 24．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长均为1个单位），依次连结四边中点得到一个阴影正方形，点A落在原点． (1)这个阴影正方形的边长为______． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，并将这些数用“＜”连接． ______＜______＜______＜______＜______． (3)在这五个点中，到表示数2的点距离小于1个单位长度的点有______个． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）求出大正方形的面积和四个三角形面积，再求出阴影部分的面积即可求出； （2）比较正数的大小，再比较实际数的大小； （3）分别求出到数2的距离即可得出个数． 【解析】（1）第一种解法： 大正方形的面积：， 四个小等腰直角三角形的面积：， ∴阴影的正方形面积是：， ∴， ∴； 第二种解法： 根据勾股定理可得 （2）∵ ∴ （3）到2的距离：， 到2的距离：， 到2的距离：， 到2的距离：， 到2的距离：， ∴到表示数2的点距离小于1个单位长度的点有2个． 【点睛】此题考查了实数与数轴的关系，解题的关键是计算两点间的距离． 25．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为．    (1)这个魔方的棱长为__________． (2)图1的侧面有一个正方形ABCD，求这个正方形的面积和边长． (3)将正方形ABCD放置在数轴上，如图2所示，点A与数2表示的点重合，则D在数轴上表示的数为__________． 【答案】(1)6 (2)面积是，边长是 (3) 【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方，再利用立方根的含义求解即可； （2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度，利用勾股定理求解即可； （3）由，把A往左边平移个单位即可得到D点表示的数． 【解析】（1）解：解：设魔方的棱长为， 根据题意得， ∴， 故答案为6． （2）设小正方体的棱长为， 根据题意得 ， ∴ ∴所以根据勾股定理得 ， ∴，正方形的面积为18， 答：这个正方形的面积是，边长是． （3）由（2）知，， ∵点A对应的数是2， ∴把A往左边平移个单位长度可得点D对应的数是． 【点睛】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理，二次根式的化简，正方体的体积=棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，数轴上的点的左右移动后对应的数的表示． 26．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； … (1)请用含有n（n为正整数）的式子填空：________，________； (2)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【答案】(1)n， (2)18 【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算． （1）根据题意找到规律，，即可得到答案； （2）根据题意将原式进行分母有理化进行求解即可． 【解析】（1）解：，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； ……， 以此类推，可知，， 故答案为：n，； （2）解： ． 27．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又， ，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②∵59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59， 而，则，可得， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写结果： ①________． ②________． 【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56． 【分析】（1）①根据例题进行推理得出答案； ②根据例题进行推理得出答案； ③根据例题进行推理得出答案； ④根据②③得出答案； （2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论. 【解析】（1）①， ， ∴， ∴能确定195112的立方根是一个两位数， 故答案为：两； ②∵195112的个位数字是2，又∵， ∴能确定195112的个位数字是8， 故答案为：8； ③如果划去195112后面三位112得到数195， 而， ∴， 可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5， 故答案为：5； ④根据②③可得：195112的立方根是58， 故答案为：58； （2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2， ∴13824的立方根是24， 故答案为：24； ②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5， ∴175616的立方根是56， 故答案为：56. 【点睛】此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$