第14讲 探索勾股定理 （2个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第14讲 探索勾股定理 （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【例1】（2023秋•鄞州区校级期末）已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为　　 A．4 B． C．4或 D．2或 【变式1】（2022秋•长兴县期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则　　． 【变式2】（2021秋•余姚市校级期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”， （1）如图中，，，求证：是“美丽三角形”； （2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长． 【变式3】（2023秋•衢江区期末）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长是　　 A． B．4 C． D． 【变式4】（2023秋•温岭市期末）如图，四边形，对角线，交于点，已知，（1）若，则　　； （2）若，，则　　． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【例2】（2023•镇海区校级开学）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，．已知，正方形的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为　　 A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【变式1】（2023秋•鄞州区期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，，则的长为 　　． 【变式2】（2023秋•西湖区校级期中）赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大的正方形．如图，边长为4的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点．若，则的长是　　 A．3 B．2 C． D． 【变式3】（2023秋•拱墅区校级期中）用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，若，表示直角三角形的两直角边长，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 　　． 【变式4】（2021秋•鹿城区校级月考）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图2证明勾股定理（其中求证：． 经典题型汇编 题型一、用勾股定理解三角形 1．（19-20八年级上·浙江衢州·期中）在中，，斜边上的中线长为 ． 2．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，中，，中，，且，连接，则可证得，此时线段和线段就是一对“友好”线段． (1)如图2，和都是等腰直角三角形，且． ①图中线段的“友好”线段是 ； ②连接，若，求的长； (2)如图3，是等腰直角三角形，是外一点，，，求线段的长． 题型二、已知两点坐标求两点距离 4．（2023八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B． C． D． 5．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期末）已知点P的坐标是，则点P到原点O的距离是 ． 6．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，的位置如图所示． (1)试在网格图中画出，使与关于轴对称． (2)若点是轴上一动点，则的最小值是______． 题型三、勾股树（数）问题 7．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，分别以为一边在外面作三个正方形，记三个正方形的面积依次为，，．已知，则为（    ） A．18 B．27 C．36 D．45 8．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图， 分别以Rt△ABC三边构造三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，若S1=15，S3=39，则S2= ． 9．（八年级上·浙江台州·期中）阅读下列材料，并回答问题． 画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为5和12，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为13，并且52+122=132．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则a2+b2=c2，这个结论就是著名的勾股定理． 请利用这个结论，完成下面的活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______． （2）满足勾股定理方程a2+b2=c2的正整数组（a，b，c）叫勾股数组．例如（3，4，5）就是一组勾股数组．观察下列几组勾股数 ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41； 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：______． （3）如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．AC=3，DC=1，求BD的长度． （4）如图，点A在数轴上表示的数是______，请用类似的方法在下图数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）． 题型四、以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，中，，，，分别以、、为边在的同侧作正三角形、、，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，求 ． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 题型五、勾股定理与网格问题 13．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，的面积是 ，点A到BC边的距离为 ．    15．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图在的网格中，已知的顶点均在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．              图1                      图2 (1)在图1中作的角平分线；（保留必要的作图痕迹） (2)在图2中作边上的高线，垂足为点．（保留必要的作图痕迹） 题型六、勾股定理与折叠问题 16．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图是一张直角三角形纸片，已知，，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则折痕长为（    ）． A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，小明将一张长方形纸片对折，使长方形两边重合，折痕为，再将该长方形纸片进行折叠，使长方形的两边均与重合，折痕分别为，；铺开后沿折叠，使点与上的点重合．连接，则的值为 ． 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，沿折叠，使点C落在边上的点E处．    (1)_____ (2)求线段的长． 试题练习 一、单选题 1．（20-21八年级上·浙江·期末）平面直角坐标系中，已知、，是一个动点（m为任意实数），则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点A、B、C均在格点上，于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一张直角三角形纸片的示意图，其中，，，沿着折叠该纸片，使点与点重合，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．5 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出（    ） A．直角三角形的面积 B．最大半圆形的面积 C．较小两个半圆形的面积和 D．最大半圆形与直角三角形的面积和 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交、于点M、N，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 7．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB的长为（    ）．    A． B． C．10 D． 8．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结交于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（19-20八年级上·浙江绍兴·期中）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（     ） A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 二、填空题 11．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，△ABC的三个顶点均在小方格的格点上，BD⊥AC于点D．若每个小方格的边长为1，则BD的长为 ． 12．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，分别以的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为25，74，则正方形的边长为 ．    13．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图是一滑梯示意图，左边是楼梯（每阶梯高度相等），右边是滑道，已知滑道与长度相等，一阶楼梯的高度为，．则滑道的长度为 ． 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，为斜边的中点，将沿中线翻折，点落在点，连结． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的长为 ． 15．（19-20八年级上·浙江绍兴·期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如，，，等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加l得到两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为，则 ． 16．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成（60°，6），那么B可以表示为 ，A与B的距离为 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，是等腰三角形，其中，，是线段上一点，满足，连接，． (1)求证：； (2)求的长度． 18．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为． (1)已知，则 度； (2)在（1）的条件下，如果，则 ． 19．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（4，3），将点A向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点C． (1)在平面直角坐标系中画出△ABC； (2)判断△ABC的形状并说明理由． 20．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在中，，，，于点D，求的长 21．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）（1）在图1中，用尺规作边的中垂线，交于点（保留作图痕迹） （2）如图2，是由边长为1的小正方形拼成的网格，画一个以格点为顶点，斜边长为的直角三角形（各边均为无理数）． 22．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图(保留画图痕迹)； (1)判断的形状是 三角形； (2)在图1中，画的中线； (3)在图2中，画平分线． 23．（20-21八年级上·浙江绍兴·期中）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． （1）特例感知 ①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD=2，AD=1，试求线段CD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA>CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明． 24．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明． （1）类比证明：伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在和中，，易证． 请你用两种不同的方法表示梯形的面积（图2），并证明：； （2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． ①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三角形，使它的面积为4． （3）拓展应用：如图3，在直线l上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是，，，则______（直接写出答案） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 探索勾股定理 （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 【例1】（2023秋•鄞州区校级期末）已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为　　 A．4 B． C．4或 D．2或 【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【解答】解：个直角三角形的两边长分别为3和5， ①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为，则由勾股定理得到：； ②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为，则由勾股定理得到：． 故选：． 【点评】本题考查的是勾股定理，解答此题时要注意要分类讨论，不要漏解． 【变式1】（2022秋•长兴县期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则　6　． 【分析】由正方形的面积公式求得的值；然后在直角中，利用勾股定理求得的长度． 【解答】解：根据题意知，， 则在直角中，由勾股定理知：． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查勾股定理，分别以，为边向的外部作正方形，利用勾股定理列算式是解题的关键． 【变式2】（2021秋•余姚市校级期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”， （1）如图中，，，求证：是“美丽三角形”； （2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长． 【分析】（1）过点作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据“美丽三角形”的定义证明； （2）分边上的中线等于，边上的中线等于两种情况，根据勾股定理计算． 【解答】（1）证明：过点作于， ，， ， 由勾股定理得，， ，即是“美丽三角形”； （2）解：当边上的中线等于时，如图2， ， 当边上的中线等于时， ，即， 解得，， 综上所述，或． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【变式3】（2023秋•衢江区期末）学习了勾股定理后，老师给大家留了一个作业题，小华看了后，无从下手，请你帮帮小华．如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长是　　 A． B．4 C． D． 【分析】根据勾股定理算出，利用割补法求出的面积，再利用的面积还等于，即可解题． 【解答】解：由题知，， ， ， ， ，解得， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，以及根据等面积法求三角形的高，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 【变式4】（2023秋•温岭市期末）如图，四边形，对角线，交于点，已知，（1）若，则　　； （2）若，，则　　． 【分析】（1）三角形的内角和定理求出的度数，外角的性质，求出的度数，再利用三角形的内角和定理进行求解即可； （2）延长，交于点，先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长即可． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， 故答案为：； （2）延长，交于点， ， ， 是等边三角形， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查三角形的综合应用，涉及三角形的内角和，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形． 知识点2．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 【例2】（2023•镇海区校级开学）如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，．已知，正方形的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为　　 A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积． 【解答】解：， ， 设， 则， ， ， 根据题意可知： ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积之和为： ． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明、全等图形、梯形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和梯形的面积解题． 【变式1】（2023秋•鄞州区期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，，则的长为 　　． 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据题意得出，，得出，即可推出结果． 【解答】解：如图， 在中，由勾股定理得， ， ， 将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形． ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键． 【变式2】（2023秋•西湖区校级期中）赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大的正方形．如图，边长为4的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点．若，则的长是　　 A．3 B．2 C． D． 【分析】过点作于点，设与交于点，利用已知条件和正方形的性质得到为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【解答】解：过点作于点，设与交于点，如图， 四边形是正方形， ，， ， ． 由题意得：， ，． ． ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ． 延长交于点，如图， ， 为的中位线， ， 同理：为的中位线， ， ， ， ． 解法二：过点作于点，设与交于点，如图， 四边形是正方形， ，， ， ． 由题意得：， ，． ． ， ， ， ， ， ． ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， 解得：． ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键． 【变式3】（2023秋•拱墅区校级期中）用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，若，表示直角三角形的两直角边长，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 　①②③　． 【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【解答】解：给图形注上字母如下： ①为直角三角形， 根据勾股定理：， 故选项①正确； ②由图可知，， 故选项②正确； ③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 列出等式为， 即； 故选项③正确； ④由①， 又②， ①②得，， 整理得，， ， 故选项④错误． 正确结论有①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键． 【变式4】（2021秋•鹿城区校级月考）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图2证明勾股定理（其中求证：． 【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【解答】证明：如图，连接，过点作边上的高，则， ． 又， ， ． 【点评】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键． 经典题型汇编 题型一、用勾股定理解三角形 1．（19-20八年级上·浙江衢州·期中）在中，，斜边上的中线长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴斜边上的中线长为， 故答案为：5． 2．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图，是直角三角形，，分别以、为边向两侧作正方形．若图中两个正方形的面积和，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， 故答案为：6． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，中，，中，，且，连接，则可证得，此时线段和线段就是一对“友好”线段． (1)如图2，和都是等腰直角三角形，且． ①图中线段的“友好”线段是 ； ②连接，若，求的长； (2)如图3，是等腰直角三角形，是外一点，，，求线段的长． 【答案】(1)①；②6 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形、三角形全等的判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①利用“”证明，即可得到进而即可求解； ②连接，根据等腰直角三角形的性质即可求出的长度，进而求出的长度，然后根据勾股定理即可求出的长度，由①可求出的长度； （2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，得到根据等腰三角形的性质得到利用“”证明得到最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①如图2， 和都是等腰直角三角形，， ， 图中线段的“友好”线段是， 故答案为：； ②连接， 是等腰直角三角形， ， 由①知，， ∴； （2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，则，， ∵, ， ∴， ∴， ∴线段的长为． 题型二、已知两点坐标求两点距离 4．（2023八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理结合坐标计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点到原点的距离求法，解题的关键是掌握勾股定理的运用． 5．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期末）已知点P的坐标是，则点P到原点O的距离是 ． 【答案】5 【分析】根据勾股定理进行解答． 【详解】的坐标是， 到原点的距离， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了两点间的距离是两点的坐标差的平方和，熟用勾股定理是解题的关键． 6．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，的位置如图所示． (1)试在网格图中画出，使与关于轴对称． (2)若点是轴上一动点，则的最小值是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了作轴对称图形，根据轴对称的性质确定最短路程． （1）先画出点、、关于轴对称的对应点，再依次连接即可； （2）作关于轴的对称点连接，交轴于点，点即为所求，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：作关于轴的对称点,连接，交轴于点，点即为所求， ∴， ∴， ∴点即为所求； ∵， ∴的最小值， 故答案为：． 题型三、勾股树（数）问题 7．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，分别以为一边在外面作三个正方形，记三个正方形的面积依次为，，．已知，则为（    ） A．18 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的三边作正方形，则两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积． 8．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图， 分别以Rt△ABC三边构造三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，若S1=15，S3=39，则S2= ． 【答案】24 【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2， ∴S3＝S2＋S1， ∴S2＝S3−S1＝39−15＝24． 故答案是：24． 【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握直角三角形斜边的平方等于直角边的平方和，是解题的关键． 9．（八年级上·浙江台州·期中）阅读下列材料，并回答问题． 画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为5和12，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为13，并且52+122=132．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则a2+b2=c2，这个结论就是著名的勾股定理． 请利用这个结论，完成下面的活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______． （2）满足勾股定理方程a2+b2=c2的正整数组（a，b，c）叫勾股数组．例如（3，4，5）就是一组勾股数组．观察下列几组勾股数 ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41； 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：______． （3）如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．AC=3，DC=1，求BD的长度． （4）如图，点A在数轴上表示的数是______，请用类似的方法在下图数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）． 【答案】（1）10；（2）11，60，61；（3），;（4） 【分析】（1）根据“在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方”，可得出这个直角三角形斜边长； （2）先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足a2+b2=c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和， 如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…，由以上特点我们可第⑤组勾股数：112=121=60+61； （3）根据勾股定理先求得AD，再证明△ACD≌△BED，从而得出BD的长度． （4）由勾股定理得出矩形的对角线的长，再由点A的位置可得出点A所表示的数，再以2，1分别为斜边和直角边，且另一直角边为． 【详解】解：（1）=10…； （2）第5组勾股数为：11，60，61… （3）∵AD⊥BC ∴∠ADC=∠BDE=90° 在Rt△ADC和Rt△BDE中 ∴Rt△ADC≌Rt△BDE… ∴AD=BD ∵AD2+CD2=AC2 ∴AD2=AC2-CD2=9-1=8… ∴ ∴… （4），（正确标出点B） 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的全等，勾股数以及勾股定理的应用． 题型四、以直角三角形三边为边长的图形面积 10．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理即可求解． 【详解】解∶根据勾股定理可得： ， 故选：B． 11．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，中，，，，分别以、、为边在的同侧作正三角形、、，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，求 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理的知识，将勾股定理和等边三角形的面积公式进行灵活的结合和应用是解题的关键．过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可求，，，从而可得出，然后结合图形把转化为即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点G， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， 由图可知： ． 故答案为：6． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）[方法储备]如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． 在上述过程中，证明的依据是______，的范围为______； [思考探究]如图3，在中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； [拓展延伸]如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰和等腰，为中点，连结，，． ①求证：为等腰直角三角形； ②若将图4中的等腰绕点转至图5的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，求和的面积之差． 【答案】[方法储备]，；[思考探究] ；[拓展延伸]①见解析；② 【分析】[方法储备] 由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， [思考探究] 延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， [拓展延伸] ①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． 【详解】[方法储备]解： 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， [思考探究]解： 延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：， [拓展延伸]解： ①延长至点，使得，连结，， 在和中，， ， ，， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，， 设， ， ，， ，，， 分别过，作，，，为垂足， ， 设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 题型五、勾股定理与网格问题 13．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理定义判断直角三角形即可． 【详解】设每个小正方形的边长为1， A、三边长为：，，3 ，不是直角三角形，此选项不符合题意 B、三边长为：，， ，不是直角三角形，此选项不符合题意 C、三边长为：，， ，不是直角三角形，此选项不符合题意 D、三边长为：，， ，是直角三角形，此选项符合题意 故选：D． 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，的面积是 ，点A到BC边的距离为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了根据网格求三角形面积，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”．用割补法即可求出的面积，根据勾股定理得出，再根据三角形的面积公式即可求出点A到边的距离． 【详解】解：根据题意可得： ， 根据勾股定理可得：， 设点A到边的距离为h， ， 则， 解得：， 故答案为：，． 15．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图在的网格中，已知的顶点均在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．              图1                      图2 (1)在图1中作的角平分线；（保留必要的作图痕迹） (2)在图2中作边上的高线，垂足为点．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线、高线的作图、勾股定理： （1）设网格小正方形的边长为，，是等腰三角形，结合网格特征，，证明，即点是的中点，再结合三线合一，连接并延长交于于E点，即可作答． （2）设网格小正方形的边长为，，通过证明，得结合对顶角相等，得即，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 题型六、勾股定理与折叠问题 16．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图是一张直角三角形纸片，已知，，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则折痕长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变化、勾股定理，利用勾股定理可以求得的长，由折叠得，，设，在中利用勾股定理即可得到的长，继而得的长．掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，， ∴，，， ∴在中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴折痕长为． 故选：B． 17．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，小明将一张长方形纸片对折，使长方形两边重合，折痕为，再将该长方形纸片进行折叠，使长方形的两边均与重合，折痕分别为，；铺开后沿折叠，使点与上的点重合．连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，线段垂直平分线的定义，勾股定理的应用等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．设，根据轴对称和勾股定理推导出用含的式子表示出，即可求解． 【详解】解：设， 由折叠得：，，， ，，， 垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，沿折叠，使点C落在边上的点E处．    (1)_____ (2)求线段的长． 【答案】(1)16 (2)． 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理． （1）直接利用勾股定理即可求解； （2）由折叠的性质可得，利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，∴， 故答案为：16； （2）解：∵将沿折叠， ∴， 设， 则， 即， 解得，即． 试题练习 一、单选题 1．（20-21八年级上·浙江·期末）平面直角坐标系中，已知、，是一个动点（m为任意实数），则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于AB长度固定，找到点A关于直线x=1的对称点D，求出BD的长即可得到△ABC周长的最小值． 【详解】解：在△ABC中，AB长度不变， 且为=， C（1，m），即点C为直线x=1上的动点， 设D（3，0），则A，D关于直线x=1对称， ∴AC=DC， ∴AC+BC的最小值即为BD，BD=， ∴△ABC的周长最小值为， 故选D． 【点睛】本题考查了点的坐标，最短路径问题，解题的关键是找到点D，利用BD的长代替AC+BC的最小值． 2．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点A、B、C均在格点上，于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确利用等面积法求出的长是解题关键． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一张直角三角形纸片的示意图，其中，，，沿着折叠该纸片，使点与点重合，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理．根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由折叠的性质得，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）将三张半圆形纸片按如图的方式摆置，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形的面积和，则一定能求出（    ） A．直角三角形的面积 B．最大半圆形的面积 C．较小两个半圆形的面积和 D．最大半圆形与直角三角形的面积和 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，圆的面积．两个月牙形的面积和以、为直径的半圆的面积的和直角三角形三角形的面积以为直径的半圆的面积，由此即可解决问题． 【详解】解：以为直径的半圆的面积， 同理：以、为直径的半圆的面积分别是，， 两个月牙形的面积和以、为直径的半圆的面积的和直角三角形三角形的面积以为直径的半圆的面积， 两个月牙形的面积和直角三角形的面积直角三角形的面积， 由勾股定理得：， 两个月牙形的面积和直角三角形的面积． 故选：A． 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交、于点M、N，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线性质，以及勾股定理，连接，根据垂直平分线性质得到，设，则，在中，利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：连接， 的垂直平分线交、于点M、N， ， ，， 设，则， ， ， ，解得， 故选：B． 6．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形． ∴ ∵ ∴（SAS）， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 7．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，D，E分别是边BC，AC的中点，已知，，，则AB的长为（    ）．    A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】设，，在和 中，利用勾股定理可证得，在Rt△ABC中，利用即可求解． 【详解】设，， 在中，，① 在中，，② ①＋②，， ∴， 在Rt△ABC中， ， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，借助中点的定义，灵活运用勾股定理是解答的关键． 8．（20-21八年级上·浙江·期末）如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为，正方形，，，的面积分别为，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，分别用含b和含a的式子表示出最大正方形的边长、正方形D左侧的正方形的边长及最大正方形下方直角三角形的最长边；再分别表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2与a2的数量关系；最后观察并计算可得出答案． 【详解】解：设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a， ∵其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k， ∴最大正方形的边长为kb，正方形D左侧的正方形的边长为ka， ∴最大正方形下方直角三角形的最长边为k2a， ∴S1=（kb）2-b2 =（k2-1）b2， S2=b2， S4=a2， 在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得： （ka）2+（kb）2=（k2a）2， ∴a2+b2=k2a2， ∴b2=（k2-1）a2， ∴S1=（k2-1）2a2， ∴S1•S4=（k2-1）2a2•a2 =[（k2-1）a2]2 =S22， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形和正方形中的运用，数形结合并正确找到相关线段的数量关系是解题的关键． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结交于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点E，由作法知平分，从而可得，然后根据等角对等边证明，再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】如图，作于点E， 由作法知平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了尺规作图—作角的平分线，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10．（19-20八年级上·浙江绍兴·期中）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（     ） A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【分析】根据勾股定理及正方形面积的计算方法可知：将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积＝阴影部分的面积，从而即可得出答案. 【详解】根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知： 较小两个直角三角形的面积之和＝较大正方形的面积， 所以将三个方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积＝阴影部分的面积，所以知道了图2阴影部分的面积即可知道两小正方形重叠部分的面积. 故选C 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握“较小两个直角三角形的面积之和＝较大正方形的面积”是解答本题的关键. 二、填空题 11．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，△ABC的三个顶点均在小方格的格点上，BD⊥AC于点D．若每个小方格的边长为1，则BD的长为 ． 【答案】/1.2 【分析】根据勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，由勾股定理得 AC＝＝5． ∵S△ABC＝AB×3＝AC•BD，即×2×3＝×5BD， ∴BD＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 12．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，分别以的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为25，74，则正方形的边长为 ．    【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：在中，， ， ， ∴， 故答案为：7． 13．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图是一滑梯示意图，左边是楼梯（每阶梯高度相等），右边是滑道，已知滑道与长度相等，一阶楼梯的高度为，．则滑道的长度为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理，由题意得，，设，则，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1． 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，为斜边的中点，将沿中线翻折，点落在点，连结． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 /52度 【分析】本题主要考查了勾股定理和翻折问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． （1）依据△是等腰三角形，，即可得到的度数； （2）如图所示，连接，过作于，过作于，依据，即可得到，进而得出，再根据勾股定理，即可得到中，的长，即可得到的长． 【详解】解：（1）为斜边的中点， ， 由折叠可得， ，即△是等腰三角形， 在中，为斜边的中点， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：； （2）如图所示，连接，过作于，过作于， 在中，， 由折叠可得，，， 垂直平分， ， ，， 又， ， ∴， ， 是的中线， ， 即， ， ， 中，， ． 故答案为：． 15．（19-20八年级上·浙江绍兴·期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如，，，等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加l得到两个整数，那么与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为，则 ． 【答案】142 【分析】根据题述“由生成的勾股数”的计算方式，分别求得A和B求和即可． 【详解】解：∵92=81，81=40+41 ∴“由9生成的勾股数”的“弦数“记为41，即A=41， ∵， ∴“由20生成的勾股数”的“弦数“记为101，即B=101， ∴． 故答案为：142． 【点睛】本题考查勾股数问题．能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键．需注意在计算“由生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同． 16．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成（60°，6），那么B可以表示为 ，A与B的距离为 【答案】 【分析】按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解． 【详解】∵（a，b）中，b表示目标与探测器的距离；a表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度， ∴B可以表示为． ∵A、B与雷达中心的连线间的夹角为150°-60°=90°， ∴AB== 故填：(1).     (2). . 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题时由已知条件正确确定A、B的位置及勾股定理的应用是解决本题的关键． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，是等腰三角形，其中，，是线段上一点，满足，连接，． (1)求证：； (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； （2）解：设， 则， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 18．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为． (1)已知，则 度； (2)在（1）的条件下，如果，则 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． （1）由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，故； （2）根据，得，设，则，在中，可列方程，即可解得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 设，则， ∵折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， 在中，由勾股定理得， 解得， 故答案为：． 19．（21-22八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（4，3），将点A向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点C． (1)在平面直角坐标系中画出△ABC； (2)判断△ABC的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）根据点A（1，1），B（4，3），将点A向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点C．即可在平面直角坐标系中画出△ABC； （2）根据勾股定理和勾股定理逆定理即可判断△ABC的形状． 【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求； ； （2）解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下： ∵AB= ，BC=，AC=， ∴AB=AC， ∵AB2+AC2=BC2=26， ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了作图-平移变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 20．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在中，，，，于点D，求的长 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形的面积公式，应用勾股定理求出，再用三角形面积公式即可求解，熟记三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴． 21．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）（1）在图1中，用尺规作边的中垂线，交于点（保留作图痕迹） （2）如图2，是由边长为1的小正方形拼成的网格，画一个以格点为顶点，斜边长为的直角三角形（各边均为无理数）． 【答案】（1）见详解；（2）见解析 【分析】（1）利用尺规，根据要求作出边的中垂线图形即可； （2）画一个直角边为，斜边为的等腰直角三角形即可． 【详解】解：（1）如图，直线即为所求作． （2）解： 如下图，即为所求． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线作图-基本作图、勾股定理以及无理数在方格中的构造等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 22．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图(保留画图痕迹)； (1)判断的形状是 三角形； (2)在图1中，画的中线； (3)在图2中，画平分线． 【答案】(1)直角 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用相关性质进行作图，是解题的关键． （1）利用勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）取的中点，连接，即可； （3）取的中点，连接与的中点并延长角于点即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：直角． （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； 23．（20-21八年级上·浙江绍兴·期中）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． （1）特例感知 ①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若BD=2，AD=1，试求线段CD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA>CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①是；②CD＝；（2）AD＝CB，证明见解析 【分析】（1）①根据勾股高三角形的定义即可判断； ②如图1，根据勾股定理和勾股高三角形的定义求解即可； （2）如图2，由勾股高三角形的定义可得CA2﹣CB2＝CD2，即为CA2﹣CD2＝CB2，而CA2﹣CD2＝AD2，进而可得结论． 【详解】解：（1）①如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC， ∵AB2－BC2=AC2，∴AB2－BC2=BC2， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形． 故答案为：是； ②如图1中，根据勾股定理可得：CB2＝CD2+4，CA2＝CD2+1， ∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点， ∴CB2－CA2=CD2， ∴CD2＝（CD2+4）﹣（CD2+1）＝3， ∴CD＝． （2）AD＝CB； 证明：如图2中，∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB， ∴CA2﹣CB2＝CD2，即CA2﹣CD2＝CB2， ∵CA2﹣CD2＝AD2， ∴AD2＝CB2，即AD＝CB． 【点睛】本题是新定义题目，以勾股高三角形为载体，主要考查了勾股定理和对新定义的理解，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． 24．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明． （1）类比证明：伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在和中，，易证． 请你用两种不同的方法表示梯形的面积（图2），并证明：； （2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． ①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三角形，使它的面积为4． （3）拓展应用：如图3，在直线l上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是，，，则______（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）图见解析；（3）5 【分析】（1）先证，用两种方法表示梯形面积，得出等式整理得到结论； （2）①画三边分别为3，4，5的三角形即可；②画三边长为的三角形；③根据面积画钝角三角形即可； （3）先证，同理，整体代入计算即可． 【详解】解：（1）在和中，， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得：； （2）如下图：①,即为所求； ②,即为所求； ③，即为所求； （3）解：，理由如下： 如图， ∵图中的四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质、勾股定理的证明及勾股定理与无理数，熟练勾股定理及证明是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$