精品解析：山东省临沂市沂南县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下学期期末教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1、本试卷共100分，考试时间60分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置，考试结束后，只将答题卡收回． 2、答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第I卷（共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 若正比例函数图象经过点， 则它一定经过（ ） A. B. C. D. 3. 由下列各组线段围成的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A. 16，15 B. 16，15.5 C. 16，16 D. 17，16 6. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（ ） A. 如果，，那么四边形是矩形 B. 如果，，那么四边形矩形 C. 如果，，那么四边形是菱形 D. 如果，，那么四边形是菱形 7. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两班学生参加“100米”跑测试，成绩统计如下．关于两班成绩分析不正确的是（ ） 班级 参加人数 平均数 中位数 众数 方差 甲班 45 乙班 45 11 A. 甲、乙两班的平均成绩相同 B. 乙班成绩比甲班成绩稳定 C. 从众数来看，甲班成绩比乙班成绩差 D. 若秒跑完全程为优秀，则乙班优秀人数比甲班多 9. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 根据表格所得到的信息，下列说法：①在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数：②温度越低，声速越慢；⑧当温度每升高时，声速增加；④当空气温度为时，声音可以传播．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），的面积为y（），若y关于x的函数图象如图2所示，则矩形对角线AC的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（每小题3分，共18分）请将正确的答案填在横线上． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 12. 某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 4 3 5 23 3 2 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为________． 13. 请写出一个已知一次函数经过点，且y随x的增大而增大．请写出一个满足上述条件的函数关系式为_____． 14. 某中学随机调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是______． 时间 人数/人 15. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为______． 16. 现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条600米长的隧道，所挖隧道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的函数关系如图所示．现有下列说法：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后．每天挖50米：③当或6时，甲、乙两队所挖隧道长度都相差100米：④甲队比乙队提前1天完成任务．其中正确的有______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每次投篮10次，现对甲、乙两名队员在五次中进球数（单位：个）进行统计，结果如表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． （1）求乙进球的平均数和方差； （2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？ 19. 如图直线：经过点，． （1）求直线的表达式； （2）若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 20. 如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 为激发青少年崇尚科学、探索未知热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀）．绘制了统计图表， 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 中位数 a 众数 b 7 请根据统计图表信息，解答下列问题： （1）学生成绩统计表中______，______； （2）求七年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中．哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由． 22. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀运实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．漏到圆柱容器中， 时间：（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 （1）表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：在如图2所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式； （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是几点？ 23. 【问题情境】 （1）如图1，四边形是正方形，点是对角线上一动点．则与的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，在正方形中，点P是对角线上一动点，过点P分别作，，垂足分别为E、F，连接． ①试猜想与的数量关系．并证明你的猜想． ②若，求最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，延长交于点与交于点Q，点H为的中点，连接，请判断的形状．并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期期末教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1、本试卷共100分，考试时间60分钟，答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置，考试结束后，只将答题卡收回． 2、答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第I卷（共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、中含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、中含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； D、中含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 若正比例函数的图象经过点， 则它一定经过（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的对称性，根据正比例函数关于原点对称即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴由正比例函数的对称性可知它一定经过， 故选：C． 3. 由下列各组线段围成的三角形中，是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】只要验证较小两边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边的平方和等于最大边的平方才能做出判断． 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算以及二次根式的性质化简，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是正确的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B 5. 农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A 16，15 B. 16，15.5 C. 16，16 D. 17，16 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：16出现了10次，出现的次数最多，则众数是16； 把这组25个数据从小到大排列，第13个数是16 则这组数据的中位数是16； 故选C． 6. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（ ） A. 如果，，那么四边形是矩形 B. 如果，，那么四边形是矩形 C. 如果，，那么四边形是菱形 D. 如果，，那么四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项进行分析判定即可得答案． 【详解】解：A、如果，，，那么四边形是等腰梯形，不是平行四边形也就不是矩形，故A选项错误，符合题意； B、如果，，则四边形是平行四边形，则，，因为所以，那么平行四边形是矩形，故B选项正确，不符合题意； C、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么平行四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； D、如果，，则可以证得四边形是平行四边形，又，那么平行四边形是菱形，故D选项正确，不符合题意， 故选：A． 7. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：D． 8. 甲、乙两班学生参加“100米”跑测试，成绩统计如下．关于两班成绩分析不正确的是（ ） 班级 参加人数 平均数 中位数 众数 方差 甲班 45 乙班 45 11 A. 甲、乙两班的平均成绩相同 B. 乙班成绩比甲班成绩稳定 C. 从众数来看，甲班成绩比乙班成绩差 D. 若秒跑完全程为优秀，则乙班优秀人数比甲班多 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方差的定义：一般地设个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数与中位数． 根据平均数、中位数、方差的意义解答即可． 【详解】解：根据表格可知，甲、乙两班学生参加“100米”体能测试，平均成绩都是秒，所以两班的平均成绩相同，选项A分析正确，不符合题意； 因为甲班成绩的方差大于乙班，所以乙班成绩比甲班成绩稳定，选项B分析正确，不符合题意； 从众数来看，甲班的众数比乙班众数大，即甲班跑步用时比较长，故甲班成绩比乙班成绩差，选项C分析正确，不符合题意； 如果秒跑完全程为优秀，因为两个班人数相同，而甲班的中位数是秒，乙班的中位数是11秒，成绩少于10.8秒的人数甲班比乙班的多，所以乙班优秀人数比甲班少，选项D分析不正确，符合题意； 故选：D． 9. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（℃） 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 根据表格所得到的信息，下列说法：①在这个变化中，自变量是温度，声速是温度的函数：②温度越低，声速越慢；⑧当温度每升高时，声速增加；④当空气温度为时，声音可以传播．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据自变量与函数的定义即可判断①；通过观察表格数据即可判断②、③；根据表格计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断④．本题考查了函数的表示方法、常量与变量，掌握自变量与函数的定义是解题的关键． 【详解】解：声速随温度的变化而变化， 自变量是温度，声速是温度的函数，故①正确； 从表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，故②正确； 从数据可知，温度每升高，声速就增加，故③正确； 由表格可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播，故④错误； 故选：C． 10. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为x（s），的面积为y（），若y关于x的函数图象如图2所示，则矩形对角线AC的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据△ABP的面积只与点P的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，再由勾股定理计算即可． 【详解】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止， 当点P在点B，C之间运动时，△ABP的面积随时间x的增大而增大， 由图2知，当x=6时，点P到达点C处， ∴BC=6×1=6（cm）； 当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变， 由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为14-6=8（s）， ∴CD=8×1=8（cm）， ∴AC=＝10（cm）， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽． 二、填空题（每小题3分，共18分）请将正确的答案填在横线上． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 12. 某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 4 3 5 23 3 2 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为________． 【答案】29 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，众数可能没有，可能有1个，也可能有多个．根据众数的定义求解即可． 【详解】解： 出现次23，出现次数最多， ∴众数是， 故答案为：29． 13. 请写出一个已知一次函数经过点，且y随x的增大而增大．请写出一个满足上述条件的函数关系式为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式以及一次函数的性质，根据一次函数经过点，得出，再结合y随x的增大而增大，得出，即可作答． 【详解】解：∵一次函数经过点， ∴设一次函数 ∵y随x的增大而增大， ∴， 则满足上述条件函数关系式为 故答案为：（答案不唯一） 14. 某中学随机调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是______． 时间 人数/人 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求平均数，根据表格数据，计算平均数，即可求解． 【详解】解：这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是， 故答案为：． 15. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．菱形的面积等于对角线乘积的一半，判断出四边形是菱形，是解题的关键． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故答案为：4． 16. 现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条600米长的隧道，所挖隧道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的函数关系如图所示．现有下列说法：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后．每天挖50米：③当或6时，甲、乙两队所挖隧道长度都相差100米：④甲队比乙队提前1天完成任务．其中正确的有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据图象的信息，运用工作总量、工作时间和工作效率的数量关系式来解答．本题考查了函数的图象，解题的关键是根据数量关系式来解答． 【详解】解：（米），则甲队每天挖100米，故①符合题意， （米），则乙队开挖2天后，每天挖50米，故②符合题意； 由①得甲队每天挖100米， 当时，（米）， 当时，则 ∴（米， 当或6时，甲、乙两队所挖隧道长度都相差100米，故③符合题意， （天），甲队比乙队提前2天完成任务，故④不符合题意； 其中正确的有：①②③， 故答案为：①②③ 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型． （1）根据二次根式的加减运算法则和乘法运算法则求解即可求出答案． （2）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每次投篮10次，现对甲、乙两名队员在五次中进球数（单位：个）进行统计，结果如表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 10 6 10 6 8 乙 7 9 7 8 9 经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2． （1）求乙进球的平均数和方差； （2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？ 【答案】（1）8，0.8；（2）乙，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、方差的计算公式计算即可； （2）根据平均数相同时，方差越大，波动越大，成绩越不稳定；方差越小，波动越小，成绩越稳定进行解答． 【详解】解：（1）乙进球的平均数为：（7+9+7+8+9）÷5=8， 乙进球的方差为：[（7-8）2+（9-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2]=0.8； （2）∵二人的平均数相同，而S甲2=3.2，S乙2=0.8， ∴S甲2＞S乙2， ∴乙的波动较小，成绩更稳定， ∴应选乙去参加定点投篮比赛． 【点睛】本题考查方差的定义和求法，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数． 19. 如图直线：经过点，． （1）求直线的表达式； （2）若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）直线的表达式为 （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）两解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （3）根据图象即可求解； 【小问1详解】 解：将点，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立，解得， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：把代入得，，解得， 观察图象，关于的不等式的解集为． 20. 如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案． 【小问1详解】 证明：点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， 为中点， 即线段的长度为． 21. 为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀）．绘制了统计图表， 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 m 中位数 a 众数 b 7 请根据统计图表信息，解答下列问题： （1）学生成绩统计表中______，______； （2）求七年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中．哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）七年级掌握更好，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的计算方法进行求解即可； （2）利用加权平均数计算方法，进行求解即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可． 【小问1详解】 解：七年级中8分的人数所占的比重最大， ； 七年级中5分的人数人， 七年级中6分的人数人， 七年级中7分的人数人， 七年级中8分的人数人， 故七年级的成绩排序后，第10个和第11个数据为8和8； ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：七年级掌握更好， 理由如下： 七年级和八年级的平均数相同，七年级的中位数和众数都比八年级的大， 故七年级掌握更好． 22. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀运实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．漏到圆柱容器中， 时间：（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 （1）表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：在如图2所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式； （3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是几点？ 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键． （1）先描点，再连线即可； （2）利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）把代入函数解析式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：描出各点，并连接，如图所示： 小问2详解】 解：由（1）中图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为， ∵点，在该函数上， ∴， 解得：， ∴y与x的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，即， 解得：， ， 即圆柱体容器液面高度达到12厘米时是上午． 23. 【问题情境】 （1）如图1，四边形是正方形，点是对角线上一动点．则与的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，在正方形中，点P是对角线上一动点，过点P分别作，，垂足分别为E、F，连接． ①试猜想与的数量关系．并证明你的猜想． ②若，求的最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，延长交于点与交于点Q，点H为的中点，连接，请判断的形状．并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见详解；②的最小值为；（3）的形状为直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，证明求解，进而推出线段关系； （2）①根据矩形的性质，证明，再利用（2）的结论，进而得证； ②当时，最小，此时，则可得出答案； （3）为的中点，，进而求得，即可得答案． 【详解】（1）， 证明：∵四边形正方形， 在与中， ， ， ； （2）解：①猜想：． 证明：由（1）可知，， ∵，垂足分别为， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ②连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为． （3）解：∵为的中点，， ， 在中，， 在与中， ， ， ， ， ， ∴的形状为直角三角形； 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$