第01讲 集合的概念（八大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 1.1集合的概念 学习目标： 1．了解集合与元素的含义，掌握集合中元素的特征． 2．理解集合与元素的属于关系，并能用和来表示. 3．掌握数学中一些常见的集合及其记法． 4．学会在集合不同的表示法中作出选择和转换． 重点难点： 重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合 难点：集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合 一、元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 二、元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 三、常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 四、集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 考点01集合中元素的确定性 1．下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 2．下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 3．下列所给对象不能组成集合的是 ． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 4．以下对象的全体能否构成集合？ (1)河北红星工厂的员工； (2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； (3)一次函数的图象上的若干个点； (4)不超过2 019的非负数． 考点02集合中元素的互异性 5．若集合A由0，1与x三个元素组成，则x的取值有限制吗？为什么？ 6．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（多选）若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 8．由实数所组成的集合，最多可含有（    ）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 考点03元素与集合的关系 9．已知集合，则必有（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知集合，若，则与集合间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．集合则 A. 12．用符号“”和“”填空： （1）设集合是正整数的集合，则 ， ； （2）设集合是小于的所有实数的集合，则 ， ． 13．已知下面的两个实例： （1）用A表示高一（3）班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 14．已知集合，判断是不是集合中的元素． 考点04用列举法表示集合 15．用列举法表示集合 ． 16．方程的解集为 ． 17．，用列举法表示为 ． 18．用列举法表示下列集合． （1）不超过11的所有素数组成的集合： ； （2）： ． 考点05用描述法表示集合 19．所有正偶数组成的集合是 ． 20．用描述法表示如图中阴影部分的点（含边界）的集合： ． 21．用描述法表示下列集合： (1)正偶数组成的集合； (2)被5除余3的正整数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 22．用描述法表示下列集合： （1）{0，2，4，6，8}； （2）{3，9，27，81，…}； （3）； （4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合； （5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合. 考点06常用数集及其应用 23．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 24．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 25．用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 26．用符号“”或“”填空． （1） ；    （2）3.14 ； （3） ；    （4） ； （5）1 ；    （6）0 ． 考点07根据元素与集合的关系求参数 27．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 28．集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（多选）已知，则关于实数的取值正确的是（    ） A．0 B．1 C． D．2 31．（多选）已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 32．设集合，集合，若已知，且，则的值为 ． 考点08根据元素中的元素个数求参数 33．（多选）集合有且只有2个元素构成，且满足“且，且”，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B． C．8 D．9 35．已知集合只有一个元素，则实数的取值集合为 . 36．若集合恰有8个整数元素，写出整数a的一个值： ． 37．已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 考点09集合新定义 38．用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 39．在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质： ①对任意，； ②对任意，，； ③对任意，，，， 以下正确的选项是（    ） A． B． C．对任意的，，，有 D．对任意，，，有 40．定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 41．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 42．定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 基础试炼 一、单选题 1．下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 2．设集合，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．0∉N B．∈Q C．π∉R D．∈Z 4．若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 5．集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 6．由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 7．若集合中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．6 D．2 8．集合只有一个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．方程的实数解集为 ． 10．定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 四、解答题 11．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 12．已知集合至多有一个元素，求的取值范围． 高阶突破 1．已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 2．设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（多选）已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B． C．A可能仅含有2个元素 D．A所含的元素的个数一定是 4．（多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 6．已知集合，若集合至多有2个子集，则的取值范围为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 1.1集合的概念 学习目标： 1．了解集合与元素的含义，掌握集合中元素的特征． 2．理解集合与元素的属于关系，并能用和来表示. 3．掌握数学中一些常见的集合及其记法． 4．学会在集合不同的表示法中作出选择和转换． 重点难点： 重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合 难点：集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合 一、元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 二、元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 三、常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 四、集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 考点01集合中元素的确定性 1．下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【答案】B 【详解】对于A，不超过 20的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合； 对于B，的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合； 对于C，方程的实数根是明确的，满足确定性，可以组成集合； 对于D，函数不存在最小值，可以组成空集； 故选：B 2．下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【答案】C 【详解】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合； C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合. 故选：C 3．下列所给对象不能组成集合的是 ． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【答案】（1）（3） 【详解】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合； 某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合； “大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合； 某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合； 故答案为：（1）（3） 4．以下对象的全体能否构成集合？ (1)河北红星工厂的员工； (2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； (3)一次函数的图象上的若干个点； (4)不超过2 019的非负数． 【答案】(1)能构成一个集合 (2)不能构成一个集合 (3)不能构成一个集合 (4)能构成一个集合 【详解】（1）能构成集合．河北红星工厂的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合． （2）“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合． （3）“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数的图象上的若干个点”不能构成一个集合． （4）任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过2019的非负数”，故“不超过2 019的非负数”能构成一个集合． 考点02集合中元素的互异性 5．若集合A由0，1与x三个元素组成，则x的取值有限制吗？为什么？ 【答案】答案见解析 【详解】有限制，且.因为集合中的任意两个元素必须是互异的． 6．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由集合中元素的特征直接求解即可 【详解】解：“book”中的字母构成的集合为，有3 个元素， 故选：C 7．（多选）若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是（    ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】BCD 【详解】因为集合中的元素具有互异性， 所以， 所以可以构成四边都不相等的梯形，但是不可能构成平行四边形，菱形和矩形. 故选：BCD 8．由实数所组成的集合，最多可含有（    ）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案． 【详解】由题意，当时所含元素最多， 此时分别可化为，，， 所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素． 故选：B 考点03元素与集合的关系 9．已知集合，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 因为，，，， 所以C正确，ABD错误， 故选：C 10．（多选）已知集合，若，则与集合间的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】， ， ， ，， 故选：AD． 11．集合则 A. 【答案】 【详解】由可得，所以, 故答案为： 12．用符号“”和“”填空： （1）设集合是正整数的集合，则 ， ； （2）设集合是小于的所有实数的集合，则 ， ． 【答案】 【详解】（1）正整数是不包含的自然数，如，所以． （2）因为，所以； 因为，所以． 故答案为：；；； 13．已知下面的两个实例： （1）用A表示高一（3）班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 【答案】a是集合A中的元素，b不是集合A中的元素. 【详解】因为A表示高一（3）班全体学生组成的集合，a表示高一（3）班的一位同学，所以a是集合A中的元素； 因为b表示高一（4）班的一位同学，所以b不是集合A中的元素. 14．已知集合，判断是不是集合中的元素． 【答案】是，理由见解析 【详解】解：是集合中的元素， 假设，则必，，使得， 此时取，即可，所以假设成立． 考点04用列举法表示集合 15．用列举法表示集合 ． 【答案】 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 用列举法表示集合为， 故答案为：． 16．方程的解集为 ． 【答案】 【详解】方程，则， 所以，， 所以方程的解集为. 故答案为： 17．，用列举法表示为 ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 18．用列举法表示下列集合． （1）不超过11的所有素数组成的集合： ； （2）： ． 【答案】 【详解】（1）由题设，符合条件的所有素数组成的集合为． （2）由题设，且， 则时，；时，； 时，；时，；时，． 所以集合为． 故答案为：， 考点05用描述法表示集合 19．所有正偶数组成的集合是 ． 【答案】 【详解】所有正偶数组成的集合是． 故答案为：． 20．用描述法表示如图中阴影部分的点（含边界）的集合： ． 【答案】 【详解】依题意图中阴影部分的点（含边界）的集合为. 故答案为： 21．用描述法表示下列集合： (1)正偶数组成的集合； (2)被5除余3的正整数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）正偶数组成的集合是； （2）被5除余3的正整数组成的集合是； （3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合是. 22．用描述法表示下列集合： （1）{0，2，4，6，8}； （2）{3，9，27，81，…}； （3）； （4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合； （5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合. 【答案】（1）{x∈N|0≤x<10，且x是偶数}；（2）{x|x＝3n，n∈N*}；（3）；（4）{x|x＝5n＋2，n∈Z}；（5）{(x，y)| 1≤x≤，≤y≤1且xy≥0}. 【详解】（1）观察看出集合为不大于8的非负偶数，所以用描述法表示为{x∈N|0≤x<10，且x是偶数}； （2）集合为3的n次幂，n从1开始的整数，则用描述法表示为{x|x＝3n，n∈N*}； （3）该集合的分子为奇数，可表示为2n 1，分母为偶数，可以表示为2n，且n为自然数，所以集合用描述法表示为； （4）根据被除数=商×除数+余数，则x=5n+2，所以集合用描述法表示为{x|x＝5n＋2，n∈Z}； （5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，同时注意象限，则用描述法可表示为{(x，y)| 1≤x≤，≤y≤1且xy≥0}. 考点06常用数集及其应用 23．给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误. 故选：A. 24．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 25．用符号“”或“”填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 【详解】（1）不是自然数，则； （2）是整数，则； （3）是无理数，则； （4）是实数，则. 故答案为：（1）（2）（3）（4） 26．用符号“”或“”填空． （1） ；    （2）3.14 ； （3） ；    （4） ； （5）1 ；    （6）0 ． 【答案】 【详解】略． 考点07根据元素与集合的关系求参数 27．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．1 D．5 【答案】C 【详解】当，解得或1， 当时，，与元素互异性矛盾，舍去； 当时，，满足要求， 当时，解得，显然与元素互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 28．集合 ，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且，所以且，解得. 故选：B. 29．集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，解得， 故选:C. 30．（多选）已知，则关于实数的取值正确的是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】BCD 【详解】由已知，则可能有以下几类情况： （1）若，则. 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； （2）若，则. 此时，不符合集合中元素的互异性，不合题意； （3）若，解得（已舍），或 当时，，满足题意. 综上所述，. 故选：BCD. 31．（多选）已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】CD 【详解】由于，则或，解得或或， 当时，，满足条件; 当时，，满足条件; 当时，，不满足互异性，舍去. 所以的取值为1或3. 故选：CD. 32．设集合，集合，若已知，且，则的值为 ． 【答案】 【详解】由可知，解得或， 又因为当时，，不满足题意， 所以，此时， 故答案为： 考点08根据元素中的元素个数求参数 33．（多选）集合有且只有2个元素构成，且满足“且，且”，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AC 【详解】由，且，得， 由集合有且只有2个元素构成，且满足“且，得，即， 当时，，符合题意；当时，，符合题意， 所以或. 故选：AC 34．（多选）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B． C．8 D．9 【答案】ABC 【详解】当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故A可选， 当时，满足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故B可选， 当时，满足的有8，4，2，1，，，，，即集合中有8个元素，符合题意，故C可选， 当时，满足的有9，3，1，，，，即集合中有6个元素，不符合题意，故D不可选， 故选：ABC． 35．已知集合只有一个元素，则实数的取值集合为 . 【答案】 【详解】①当时，，此时满足条件； ②当时，中只有一个元素的话，，解得， 综上，的取值集合为 故答案为： 36．若集合恰有8个整数元素，写出整数a的一个值： ． 【答案】0（答案不唯一） 【详解】当时，集合的整数元素为. 故答案为：0（答案不唯一） 37．已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 考点09集合新定义 38．用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【详解】根据定义可知，又，所以可得或； 由方程可得或； 当时，方程只有一个实数根，此时，符合题意； 当时，必有，此时方程有两个不相等的实数根； 显然都不是方程的根， 则方程有两个相等的实数根，且异于， 此时，可得或，经检验均满足题意； 故可知，可得. 故选：B 39．在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质： ①对任意，； ②对任意，，； ③对任意，，，， 以下正确的选项是（    ） A． B． C．对任意的，，，有 D．对任意，，，有 【答案】C 【详解】由②③可得， 令， ， 即. 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ， ， 对任意的 ，有 ，故C正确； 对于D， ， ， 当时，有，故D错误． 故选：C. 40．定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（    ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】A 【详解】由题设知， 所有元素之和为， 故选：A. 41．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【详解】（1）m，n都是正偶数时： m从2，4，6任取一个有3种取法，而对应的n有一种取法； ∴有3种取法，即这种情况下集合M有3个元素； （2）m，n都为正奇数时： m从1，3，5，7任取一个有4种取法，而对应的n有一种取法； ∴有4种取法，即这种情况下集合M有4个元素； （3）当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时： 当m=8，n=1，和m=1，n=8，即这种情况下集合M有两个元素； ∴集合M的元素个数是3+4+2=9． 故选：B． 42．定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 【答案】26 【详解】． 故答案为：26 基础试炼 一、单选题 1．下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 【答案】B 【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误； 对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确； 对C，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误； 对D，与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误 故选：B 2．设集合，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：中只有一个元素， 故选：C. 【点睛】考查元素与集合的关系，基础题. 3．下列说法正确的是（    ） A．0∉N B．∈Q C．π∉R D．∈Z 【答案】D 【详解】因为是自然数，故A错误；因为是无理数，故B错误；因为是实数，故C错误；因为是整数，故D正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了常用数集的符号表示，元素与集合的关系，属于容易题. 4．若集合，，则中元素的最大值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【详解】由题意， . 故选：C 5．集合中实数的取值范围是(　　) A．或 B．且 C．或 D．且 【答案】D 【详解】由集合元素的互异性可知，，解得且， 所以实数的取值范围为且. 故选：D. 6．由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】显然，， 当时，集合中有1个元素0； 当时，，集合中有2个元素，； 当时，，集合中有2个元素，， 所以集合中最多含2个元素. 故选：A 二、多选题 7．若集合中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．6 D．2 【答案】AC 【详解】由题意知，，解得且且， 故选：AC. 8．集合只有一个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，，满足条件； 当时，若中仅有一个元素，则，此时， 若，则，满足， 若，则，满足， 故选：ABD. 三、填空题 9．方程的实数解集为 ． 【答案】 【详解】,则，则方程无实数解.故方程的实数解集为. 故答案为：． 10．定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 【答案】4 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为：4 四、解答题 11．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 12．已知集合至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】 【详解】集合至多有一个元素， 当时，方程解得，符合题意； 当时，一元二次方程至多有一个实数根， ，解得或， 所以的取值范围为. 高阶突破 1．已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 2．设，，，是4个正整数，从中任取个数求和所得的集合为，则这个数中最小的数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】从个正整数中任取个数求和后可得个和，则个和值之和为，必为的倍数， 又，，， 所以这个和为、、、， 则， 所以，，， 即这个数分别为、、、， 故这个数中最小的数为. 故选：C 3．（多选）已知由实数组成的非空集合A满足：若，则．下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B． C．A可能仅含有2个元素 D．A所含的元素的个数一定是 【答案】ABD 【详解】若，则，，A正确． 若，则，而中分母不能为0，即，所以，B正确． 若，则，所以， 所以，． 若，即，此方程无实数解，所以， 若，即，此方程无实数解，所以， 若，即，此方程无实数解，所以， 所以若，则，，，且x，，，互不相等． 所以A所含的元素的个数一定是，非空集合A所含的元素最少有4个，C错误，D正确． 故选：ABD． 4．（多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 5．已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有 ．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 6．已知集合，若集合至多有2个子集，则的取值范围为 ． 【答案】或或 【详解】通过分析我们知道最多有4个子集，且不会有3个子集， 若有4个子集，此时集合中有两个元素， 则有解得， 则当集合至多有2个子集是，或或 故答案为：或或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$