第2章轴对称图形 中档题拓展训练课件 【11个考点50题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第2章轴对称图形 中档题拓展训练★★ 【11个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 1 一．角平分线的性质 二．线段垂直平分线的性质 三．等腰三角形的性质 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定与性质 七．含30度角的直角三角形 八．直角三角形斜边上的中线 九．轴对称的性质 一十．作图 一十一．翻折变换 2 一．角平分线的性质 3 1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=12，DE=3，AB=5，则AC的长是( ____ ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】解：如图所示，过点D作DF⊥AC于F， A 4 ____ ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE=3， ∵DE=3，AB=5，S△ABC=S△ABD+S△ACD， ∴ ， ∴AC=3， 故选：A． 5 2.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD是∠BAC的平分线，过点B作AD的垂线交AC于点E，过点D作AD的垂线交AC于点F，则EF的长为 　　． 【解析】解：BE交AD于O点，如图， ∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3， ∴AC= =5， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴ = = ，∠BAO=∠EAO， ∵BE⊥AD， 6 ∴∠AOB=∠AOE， ∴∠ABO=∠AEO， ∴AB=AE=4， ∴CE=AC-AE=1， ∵BE⊥AD，DF⊥AD， ∴DF∥BE， ∴ = = ， ∴ = ， ∴EF= ×1= ． 7 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC=3，DE=1，则S△ACD=　　． 【解析】解：过点D作DF⊥AC于点F， ___ ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB， ∴DE=DF=1， ∴ ， 8 4.已知：直线AB∥CD，直线EF与直线AB、CD分别相交于点E、点F． __________ (1)如图1，若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC，则直线EG与FG的位置关系是 ________ ． (2)如图2，若 ，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并证明你的结论； EG⊥FG 9 (3)如图3，若点H是射线EB上一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G作GQ⊥FM于点Q，则∠EHF与∠FGQ的关系是 _______________ ． 【解析】解：(1)EG⊥FG，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE=180°， ∵GE平分∠AEF，GF平分∠EFC， ∴ ， ， ∴ ， ∠EHF=2∠FGQ 10 ∴∠G=90°， ∴EG⊥FG， 故答案为：EG⊥FG； (2)∠M+∠N=120°，证明如下： 如图，过点M作MH∥AB，过点N作NK∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MH∥NK∥CD，∠AEF+∠CFE=180°， ∴∠AEM=∠EMH，∠AEP=∠ENK，∠CFN=∠FNK，∠CFP=∠FMH， ∵ ，EM平分∠AEP，FN平分∠CFP， 11 ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ 12 ； ____ (3)∵AB∥CD， ∴∠EHF+∠CFH=180°， ∴∠CFH=180°-∠EHF， ∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC， ∴ ， ， ∴ 13 ， ∵GQ⊥FM， ∴∠GQF=90°， ∴∠GFQ=90°-∠FGQ， ∴ ， ∴∠EHF=2∠FGQ， 故答案为：∠EHF=2∠FGQ． 14 二．线段垂直平分线的性质 15 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm,则AC+BC=( ____ ) A.25cm B.45cm C.50cm D.55cm 【解析】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD=DB， ∵△ACD的周长为50cm, 即AC+AD+CD=AC+CD+DB=AC+BC=50cm, C 16 6.如图，小文在一个周长为22cm的△ABC中，截出了一个周长为14cm的△ADC，发现点D刚好落在AB的垂直平分线上，请问AB的长是 ____ cm. 【解析】解：∵点D刚好落在AB的垂直平分线上， ∴BD=AD， ∵△ABC的周长=AB+AC+BD+DC=22cm,△ADC的周长=AD+AC+DC=BD+AC+DC=14cm, ∴AB=22-14=8(cm)， 故答案为：8． 8 17 7.如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． (1)若∠ACB=110°，则∠MCN的度数为 　　； (2)若∠MCN=α，则∠MFN的度数为 　　；(用含α的代数式表示) (3)连接FA、FB、FC，△CMN的周长为6cm,△FAB的周长为14cm,求FC的长． 【解析】解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM=CM，BN=CN， 18 ∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， ∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN=180°，∠ACB=∠ACM+∠BCN+∠MCN=110°， ∴∠A+∠B=70°， ∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN=140°， ∴∠MCN=40°， 故答案为：40°； (2)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM=CM，BN=CN， ∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， ∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN=180°，∠MCN=α， 19 ∴ ， ∴ ， ∵∠ACB+∠MFN=180°， ∴ ， 故答案为： ； (3)如图， 20 ____ ∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM=CM，BN=CN， ∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， ∵△CMN的周长为6cm, ∴AB=6cm, ∵△FAB的周长为14cm, ∴FA+FB+AB=14cm, 21 ∴FA+FB=8cm, ∵DF，EF分别垂直平分AC和BC， ∴FA=FC，FB=FC， ∴2FC=8cm, ∴FC=4cm. 22 三．等腰三角形的性质 23 8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，E是AC中点，BD=4cm,DE=5cm,则△ABC的周长为( ____ ) cm. A.28 B.18 C.24 D.29.5 【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BD=4cm, ∴AD⊥BC，BD=CD=4cm, ∴∠ADC=90°， A 24 ∵点E为AC的中点，DE=5cm, ∴DE= AC， ∴AC=10cm, ∴AB=10cm, ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=28cm. 故选：A． 25 9.在等腰三角形中的定理“三线合一”中，不属于“三线”的是( ____ ) A.底边上的高 B.腰上的中线 C.底边上的中线 D.顶角的角平分线 【解析】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合， 故选项B不符合条件， 故选：B． B 26 10.若一个等腰三角形的顶角为30°，则这个等腰三角形的底角为( ____ ) A.30° B.50° C.65° D.75° 【解析】解：∵该等腰三角形的顶角为30°， ∴底角为(180°-30°)÷2=75°， 故选：D． D 27 11.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D为线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE=∠B，DE交线段AC于点E，下列结论：①∠DEC=∠BDA； ②当BD=CE时，AE=4 ③当△ADE为等腰三角形时，∠BDA=2∠B或 ④当点D为BC的中点时，DE=4.8．其中正确的结论有( ____ ) 个． D 28 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解：①∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16， ∴∠B=∠C， ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠ADE=∠B， ∴∠BAD=∠EDC， ∴∠BAD+∠B=∠EDC+∠C， ∵∠BAD+∠B+∠BDA=180°，∠EDC+∠C+∠DEC=180°， 29 ∴∠DEC=∠BDA， 故结论①正确； ②由①可知：∠B=∠C，∠BAD=∠EDC， 在△BAD和△EDC中， ， ∴△BAD≌△EDC(AAS)， ∴CD=AB=10，BD=CE， ∴BD=BC-CD=16-10=6， ∴BD=CE=6， 30 ∴AE=AC-CE=10-6=4， 故结论②正确； ③∵∠ADE=∠B=∠C，∠AED＞∠C， ∴∠AED＞∠ADE， ∴AD＞AE， ∴当△ADE为等腰三角形时，有以下两种情况： (ⅰ)当AE=DE时，如图1所示： _____ 31 则∠EAD=∠ADE=∠B， ∴∠DEC=∠EAD+∠ADE=2∠B， 由结论①正确得：∠DEC=∠BDA， ∴∠BDA=2∠B， (ⅱ)当AD=ED时，如图2所示： _____ 则∠DEA=∠DAE= (180°-∠ADE)= (180°-∠B)=90°- ∠B， 32 ∴∠DEC=180°-∠DEA=180°-(90°- ∠B)=90°+ ∠B， ∴∠BDA=90°+ ∠B， 综上所述：当△ADE为等腰三角形时，∠BDA=2∠B或90°+ ∠B， 故结论③正确； ④当点D为BC的中点时，如图3所示： _____ 33 ∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16， ∴AD⊥BC，BD=CD= BC=8， ∴∠DEC=∠BDA=90°， 即DE⊥AC， 在Rt△ACD中，AC=10，CD=8， 由勾股定理得：AD= =6， 由三角形的面积公式得：S△ACD= AC•DE 2AD•CD， ∴DE= = =4.8， 故结论④正确， 34 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 35 12.等腰三角形一个角等于50°，则它的底角的度数是( ____ ) A.70°或40° B.65°或70° C.50°或65° D.50° 【解析】解：当顶角为50°时，则底角为 ， 当底角为50°时，则底角为50°； 综上所述，它的底角是50°或65°． 故选：C． C 36 13.一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm,这个等腰三角形的周长是 _________ cm. 【解析】解：若等腰三角形的腰长为5cm,底边长为6cm, ∵5+5=10＞6， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：5+5+6=16(cm)； 若等腰三角形的腰长为6cm,底边长为5cm, ∵5+6=11＞6， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：6+6+5=17(cm)． 16或17 37 ∴它的周长是：16cm或17cm. 故答案是：16或17． 38 14.将一个三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放．若△ABC是等腰三角形，则∠1的度数是 _____ ． 【解析】解：∵△ABC是等腰三角形， ∴∠C=∠CAB=30°， 如图所示，三角尺与直尺的交点为D， ____ ∵∠CAD=60°， 30° 39 ∴∠BAD=∠CAD-∠CAB=60°-30°=30°， ∵AB∥DE， ∴∠BAD=∠1=30°， 故答案为：30°． 40 15.如图，已知：在△ABC中，AC=BC=8，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°，∠MPN=30°)按如图放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．点P在滑动时，α= _________________ 时，△PCD的形状是等腰三角形． 【解析】解：∵∠ACB=120°，∠PCB=α， ∴∠ACP=120°-α， ①当PC=PD时，此时∠PCD=∠PDC=120°-α， 45°或0°或90° 41 ∵∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°， ∴30°+(120°-α)+(120°-α)=180°， ∴α=45°； ②当CD=CP时，此时∠CDP=∠CPD=30°， ∵∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°， ∴30°+(120°-α)+30°=180°， ∴α=0°，此时点P与点B重合； ③当CD=PD时，此时∠PCD=∠CPD=30°， ∴120°-α=30°， ∴α=90°； 综上可知，点P在滑动时，α=45°或0°或90°时，△ 42 PCD的形状是等腰三角形， 故答案为：45°或0°或90°． 43 16.等腰三角形的顶角α大于90°，如果过它的顶点作一直线能将它分成两个等腰三角形，则α的度数为 ______ ． 【解析】解：如图，∵AB=AC，BD=AD，AC=CD， ∴∠1=∠B，∠2=∠4，∠B=∠C， ∵∠4=∠1+∠B=2∠B=2∠C， ∴∠2=∠4=2∠C， ∵∠2+∠4+∠C=180°， ∴5∠C=180°， ∴∠C=36°， ∴α=∠BAC=180°-2∠C=108°． 108° 44 17.已知，△ABC的三边长为4，7，x. (1)求x的取值范围； (2)当△ABC为等腰三角形时，求x的值． 【解析】解：(1)∵△ABC的三边长为4，7，x, ∴7-4＜x＜7+4， ∴3＜x＜11； (2)当腰长为4时，则x=4，此时符合3＜x＜11； 当腰长为7时，则x=7，此时符合3＜x＜11； 综上所述，x的值为4或7． 45 18.如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，AD∥BC，求∠DAE的度数． 【解析】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 在△ABC中∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∵∠BAC=50°， ∴∠ABC=∠ACB=65°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠ABC=65°． 46 四．等腰三角形的判定与性质 47 19.如图所示，∠ACB=62°，∠ABC=48°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，EF经过O点且平行于BC，则∠BOC= _____ 度． 【解析】解：∵∠ACB=62°，∠ABC=48°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴ ， ， 又∵EF经过O点且平行BC， ∴∠EOB=∠OBC=24°，∠FOC=∠OCB=31°， ∴∠BOC=180°-∠EOB-∠FOC=180°-24°-31°=125°． 故答案为：125． 125 48 20.如图，在△ABC中，∠ABP=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D，AC=10，AB=4，BP⊥AD于P，则BP= ____ ． 【解析】解：延长BP交AC于点E， _____ ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， ∵BP⊥AD， 3 49 ∴∠BPA=∠APE=90°， ∵AP=AP， ∴△ABP≌△AEP(ASA)， ∴∠ABP=∠AEP，BP=EP= BE，AB=AE=4， ∴∠ABE=∠AEB， ∵AC=10， ∴EC=AC-AE=10-4=6， ∵∠AEB是△BEC的一个外角， ∴∠AEB=∠EBC+∠C， ∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠AEB+∠EBC=2∠EBC+∠C， 50 ∵∠ABP=2∠C， ∴∠EBC=∠C， ∴EB=EC=6， ∴BP=EP= BE=3， 故答案为：3． 51 21.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F．求证：△AEF是等腰三角形． 【解析】证明：在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵EP⊥BC， ∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°， ∴∠E=∠BFP， 又∵∠BFP=∠AFE， 52 ∴∠E=∠AFE， ∴AF=AE， ∴△AEF是等腰三角形． 53 五．等边三角形的性质 54 22.如图所示，将边长为3个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为( ____ ) A.13 B.14 C.15 D.16 【解析】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AD=BE=2，各等边三角形的边长均为3． ∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+FE+DF=13． A 55 23.直角三角形的三边长分别为a,b,c,以直角三角形的三边为边(或直径)分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足S1+S2=S3的图形的序号是( ____ ) ________ A.①② B.①③④ C.②③ D.①②③④ D 56 【解析】解：由勾股定理得：a2+b2=c2， 如图1所示：过点D作DE⊥BC于E， __ ∵△BCD为等边三角形， ∴BC=BD=CD=a, ∵DE⊥BC ∴BE= c, 57 在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=√BD2-BE2= c, ∴S3= BC•DE= ×c× c= c2， 同理：S1= a2，S2= b2， ∴S1+S2= (a2+b2)= c2， ∴S1+S2=S3， 故①符合题意； 根据圆的面积公式得： 58 ∵S1= π×( a)2= a2，S2= π×( b)2= b2，S3= π×( c)2= c2， ∴S1+S2= (a2+b2)= c2， ∴S1+S2=S3， 故②符合题意； 如图2所示： ___ 59 ∵△ABM为等腰直角三角形，ME⊥AB， ∴MF= a, ∴S1= AB•MF= ×a× a= a2， 同理：S2= b2，S3= c2， ∴S1+S2= (a2+b2)= c2， ∴S1+S2=S3， 故③符合题意； 根据正方形的面积公式得：S1=a2，S2=b2，S3=c2， 60 ∴S1+S2=a2+b2=c2， ∴S1+S2=S3， 故④符合题意， 综上所述：面积关系满足S1+S2=S3的图形的序号是①②③④． 故选：D． 61 24.如图，在等边△ABC中，延长BC到点E，连接AE，若 ，∠CAE=15°，则AB的长为( ____ ) A. B. C. D.3 【解析】解：过点A作AD⊥BC于D，如图， C 62 ____ ∵等边△ABC， ∴∠BAC=60°， ∵AD⊥BC， ∴ ， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=30°+15°=45°， ∴∠AED=∠DAE=45°， ∴AD=DE， 63 ∴ ， ∵ ， ∴AD=3， 在Rt△A D B中，∠BAD=30°， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 64 25.等边△ABC的边长为2，P为△ABC内一点，连接BP，PC，延长PC到点D，使CD=PC． ______ (1)如图1，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE，DE． ①求证：BP∥DE； ②若BP⊥AC，求∠AED的度数； (2)如图2，连接AD，若BP⊥AD，BP=1，则AD=　　． 65 【解析】(1)①证明：在△DEC和△PBC中， ， ∴△DEC≌△PBC(SAS)， ∴∠DEC=∠PBC， ∴BP∥DE； ②解：延长AC交ED的延长线于F，如图1所示： 66 ____ ∵△ABC为等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60°， 又∵CE=BC， ∴AC=CE， ∴∠CAE=∠CEA， ∵∠CAE+∠CEA=∠ACB=60°， 67 ∴∠CAE=∠CEA=30°， 由①可知：BP∥DE， ∵BP⊥AC， ∴DE⊥AC，即∠F=90°， 又∵∠ECF=∠ACB=60°， ∴∠CED=90°-∠ECF=30°， ∴∠AED=∠CEA+∠CED=30°+30°=60°； (2)延长BC到E是CE=BC，连接AE，DE，如图2所示： 68 ____ 由(1)②可知：∠CAE=30°， ∵△ABC为等边三角形，且边长为2， ∴AB=BC=AC=CE=2，∠BAC=60°， ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，BE=BC+CE=4， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE= = ， 由(1)①可知：△DEC≌△PBC， ∴BP=DE=1， 69 又∵BP⊥AD，BP∥DE， ∴DE⊥AD， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD= = ． 故答案为： ． 70 六．等边三角形的判定与性质 71 26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证： (1)△ADC是等边三角形； (2)点E在线段CD的垂直平分线上． 【解析】(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， ， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴ ， 72 ∴AD=AC， ∴△ADC是等边三角形； (2)证明：DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE，DE⊥AB， ∴∠EAB=∠B=30°，则∠EAC=∠BAC-∠EAB=30°， ∴∠BAE=∠CAE， ∴AE平分∠BAC， ∵DE⊥AB，AC⊥BC， ∴DE=EC， ∵△ADC是等边三角形， ∴AD=AC，∴点E在线段CD的垂直平分线上． 73 七．含30度角的直角三角形 74 27.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm,动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP=2cm/s,VQ=1cm/s,当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s. (1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ (2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【解析】解：在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°． ∵4÷2=2， ∴0≤t≤2，BP=4-2t,BQ=t. 75 (1)当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4-2t=t. ∴ ． 当 时，△PBQ为等边三角形； (2)若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP=90°时，BP=2BQ， 即4-2t=2t, ∴t=1． ②当∠BPQ=90°时，BQ=2BP， 即t=2(4-2t)， 76 ∴ ． 即当 或t=1时，△PBQ为直角三角形． 77 八．直角三角形斜边上的中线 78 28.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC边的中点，则下列结论一定成立的是( ____ ) A.BC=BD B.CB=CD C.DB=DC D.AD＞BC 【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC边的中点，则BD是斜边AC上的中线． 所以CD=BD=AD． 只有当∠A=30°时，BC= AC=CD=BD=AD． C 79 观察选项．只有选项C符合题意． 故选：C． 80 29.如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AB的中点E处，已知AB=6m,则点C到点E的距离是 ____ ． 【解析】解：在Rt△ACB中，AB=6m,点E是AB的中点， ∴CE= AB=3m. 故答案为：3m. 3m 81 30.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，∠ACD=25°，则∠B的大小是 _____ ． 【解析】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， ∴AD=CD． ∴∠A=∠ACD=25°． ∴∠B=90°-∠A=90°-25°=65°． 故答案为：65°． 65° 82 31.如图，九洞天风景区内的路AC，BC互相垂直，路AB的中点P与点C被经过景区的六冲河隔开．若测得路AB的长为100m,则P、C两点间的距离是 _____ ． 【解析】解：在Rt△ABC中， ∵点P为斜边AB的中点， ∴PC= (m)， 即P、C两点间的距离为50m. 故答案为：50m. 50m 83 32.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，AB=5，BC=12，则BE=　　． 【解析】解：∵AB=5，BC=12，∠ABC=90°， ∴AC= = =13， ∵点E为AC的中点， ∴BE= AC= ． 故答案为： ． 84 九．轴对称的性质 85 33.某社区准备在街道(直线l)旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．如图，已知点A关于直线l的对称点为A'，AA'与直线l相交于点C1，A′B与直线l相交于点C2，BC3⊥l于点C3，C4是C1C3的中点，为了能使居民区A，B到奶站的距离之和最短，则奶站应建在的地方为( ____ ) A.点C1处 B.点C2处 C.点C3处 D.点C4处 B 86 【解析】解：因为点A和点A′关于直线l对称， 所以直线l上的任意一点到点A和点A′的距离相等， 所以对于直线l上的任意一点C，总有CA=CA′． 根据两点之间线段最短可知， 当奶站建在点C2处时，A′C2+BC2取得最小值，即为A′B的长， 所以奶站建在点C2处时，居民区A，B到奶站的距离之和最短． 故选：B． 87 34.如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有( ____ ) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 【解析】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线； A 88 ___ ②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线； ___ 89 ③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高． ___ 综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③． 故选：A． 90 一十．作图 91 35.如图，在8×8的方格纸中，P，Q为格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求画图． _____ (1)在图1中画出格点△DEF，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，使得△DEF与△ABC关于线段PQ成轴对称图形． 92 (2)在图2中画出△ABC平移后的格点△GHK，点A，B，C的对应点分别为G，H，K，使得线段PQ平分△GHK的面积． 【解析】解：(1)如图，△DEF即为所求． _____ (2)如图，△GHK即为所求(答案不唯一)． 93 36.如图，已知△ABC的顶点都在正方形网格的格点上． (1)请画出△ADE，使得△ADE与△ABC关于直线OP对称，点B，C的对应点分别为点D，E； (2)在(1)的条件下，若正方形网格中的最小正方形的边长为1，试求△ADE的面积． 【解析】解：(1)如图，△ADE即为所求． ____(2)△ADE的面积= ． 94 一十一．翻折变换 95 37.如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A'处时，恰好CA'⊥AB，若BC=2，则CA'的长为( ____ ) A.2 B. C. D.4 【解析】解：设CA'交AB于O，如图： C 96 ___ ∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， ∴CD=AD=DB， ∴∠A=∠ACD， 由翻折的性质可知∠ACD=∠A'CD，AC=CA'， ∴∠A=∠ACD=∠A'CD， ∵A'C⊥AB， 97 ∴∠AOC=90°， ∴∠A'CD+∠ACD+∠A=90°， ∴∠A=∠ACD=∠A'CD=30°， 在Rt△ABC中，tanA= ， ∴tan30°= ， ∴AC=2 ， ∴CA'=2 ， 故选：C． 98 38.如图，把一张长方形的纸按如图所示那样折叠，B、C两点分别落在B'，C'点处，若∠AOB'=70°，则∠1的度数为( ____ ) A.50° B.55° C.60° D.65° 【解析】解：∵B、C两点落在B′、C′点处， ∴∠BOG=∠B′OG， ∵∠AOB′=70°， B 99 ∴ ． 故选：B． 100 39.在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=3，点D在△ABC的边上，且AD=1，将△ABC折叠，使点B落在点D处，折痕交AB边于点E，交另一边于点F，则BE=　　． 【解析】解：如图1．D在AB边上， ∵将△ABC折叠，使点B落在点D处，折痕交边AB 于点E，交另一边于点F， ___ 101 ∴ ， ∵∠C=90°，BC=2，AC=3， ∴ ， ∵AD=1， ∴ ， ∴ ， 当D在AC边上，如图2． 102 ___ ∵在△ABC中，∠C=90° BC=2，AC=3， ， ∵AD=1， ∴CD=2， ∴BC=CD=2， ∵将△ABC折叠，使点B落在点D处，折痕交边AB 于点E，交另一边于点F，连接BD交CE于点G，分 别过点E作EH⊥CA，EM⊥BC， 103 ∴C与F重合， ∴∠BCE=∠DCE=45°， ∵EH⊥CA，EM⊥BC，∠C=90°， ∵四边形MEHC是矩形， ∴∠BCE=∠DCE=45°，ME=EH， ∴四边形MEHC是正方形， 设ME=x,BM=2-x, ∵ME∥AC， ∴ ， ∴ ， 104 解得 ， ∴ ， 在Rt△BME中， ， 故答案为： ． 105 40.如图，将直角三角形纸片ABC(∠C=90°)折叠，使点C的对应点C′与斜边AB的中点O重合，折痕为EF．若BC=6，AC=8，则折痕EF的长度为 　　． 【解析】解：分别取AC，BC的中点G，H，连接OG，OH，如图， _____ ∵点O是AB的中点，BC=6，AC=8， ∴OG∥BC，OG= BC=3，OH∥AC，OH= AC=4，CG= AC=4，CH= 106 BC=3， ∴∠OGE=∠OHF=90°， ∵△OEF是由△CEF翻折得到的， ∴OE=CE，OF=CF， ∴GE=CG-CE=4-CE=4-OE，FH=CF-CH=OF-3， 在Rt△OEG中， 由勾股定理，得OG2+GE2=OE2， 即32+(4-OE)2=OE2， 解得OE= ， 在Rt△OFH中， 107 由勾股定理，得OH2+FH2=OF2， 即42+(OF-3)2=OF2， 解得OF= ， 在Rt△OEF中， 由勾股定理，得EF= = = ． 故答案为： ． 108 $$