第27章圆 培优题突破练习 【13个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第27章圆 培优题突破练习★★★ 【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册 1 一．圆的认识 二．垂径定理 三．圆心角、弧 四．圆周角定理 五．点与圆的位置关系 六．三角形的外接圆与外心 七．直线与圆的位置关系 八．切线的性质 九．切线的判定 一十．切线的判定与性质 一十一 一十二．正多边形和圆 一十三 2 一．圆的认识 3 1.如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB=a,那么⊙O的周长L=πa. (1)计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长　　； ②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3=　　； ③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4=　　； … ④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln=　　； (2)请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sn与大圆的面积S的关系是：Sn=　　S． 4 __________ 【解析】解：(1)根据L=πd, ①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长L2= a= L； ②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3= a= L， ③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4= a= L； ④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln= a= L． 5 (2)以a为直径的圆的面积为S1= =π ． 把AB分成两条相等的线段，每个小圆的面积S2= = π = S1； 把AB分成三条相等的线段，每个小圆的面积S3= = π = S1； 把AB分成四条相等的线段，每个小圆的面积S4= = π 6 = S1； 把AB分成n条相等的线段，每个小圆的面积Sn= S1． 7 二．垂径定理 8 2.如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= ，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于( ____ ) A. B. C.3 D.2 【解析】解：如图所示：∵OA、OP是定值， ∴PA⊥OA时，∠OPA最大， 在直角三角形OPA中，OA= ，OP=3， B 9 ∴PA= = ． 故选：B． 10 3.已知⊙O半径为1cm,P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，PA=1cm,AB是⊙O的弦，且AB= cm,则线段PB的长为　 　cm. 【解析】解：连接OA、OB． ∵OA=OB=1，AB= ， ∴根据勾股定理的逆定理，得∠AOB=90°， 根据切线的性质定理，得∠OAP=90°，则AP∥OB， 又AP=OB=1，所以四边形PAOB是平行四边形， 所以PB=OA=1． 当B在右侧时，PB= ． 11 三．圆心角、弧 12 4.如图，在⊙O中，AB=2CD，那么( ____ ) A. B. C. D. 与 的大小关系无法比较 【解析】解：如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF； 由垂径定理知：AE=BE， = ； ∴AE=CD= AB； A 13 在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD； ∴ ＞ ，即 ＞2 ； 故选：A． 14 5.如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为 的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：① = ；②HC=BF：③MF=FC：④ + = + ，其中成立的个数是( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：∵F为 的中点， C 15 ∴ = ，故①正确， ∴∠FCM=∠FAC， ∵∠ACF=∠ACM+∠MCF，∠AME=∠FMC=∠ACM+∠FAC， ∴∠AME=∠FMC=∠FCG＞∠FCM， ∴FC＞FM，故③错误， ∵AB⊥CD，FH⊥AC， ∴∠AEM=∠CGF=90°， ∴∠CFH+∠FCG=90°，∠BAF+∠AME=90°， ∴∠CFH=∠BAF， ∴ = ， 16 ∴HC=BF，故②正确， ∵∠AGF=90°， ∴∠CAF+∠AFH=90°， ∴ 的度数+ 的度数=180°， ∴ 的度数+ 的度数=180°， ∴ + = + = + = + ，故④正确， 故选：C． 17 四．圆周角定理 18 6.如图，已知⊙O中，直径AF⊥BC于点H，点D在 上，且∠ACD=30°，过点A作AE⊥CD于点E，已知△BCD的周长为 ，且BH=2，则⊙O的半径长为( ____ ) A. B. C. D. D 19 【解析】解：如图， ___ 设AF与CD交于点G，延长CD至T，使DT=BD，连接BG，AT，BT，OC， ∴∠DBT=∠DTB， ∵ = ， 20 ∴∠BDC=∠BAC， ∵直径AF⊥BC， ∴CH=BH=2， ∴AB=AC，GB=GC， ∴∠BAH=∠CAH= ∠BAC，∠ABC=∠ACB，∠GBC=∠GCB， ∴∠ABC-∠GBC=∠ACB-∠GCB， ∴∠ABG=∠ACG=30°， ∵∠BDC=∠DTB+∠DBT=2∠BTD， ∴∠BTD=∠BAH， ∴点T、B、G、A共圆， 21 ∴∠ATG=∠ABG=30°， ∴∠ATG=∠ABE=30°， ∴AC=AT， ∵AE⊥CD， ∴CE=ET= CT， ∵△BCD的周长为 ，BC=4， ∴CD+BD=6 ， ∴CT=TD+CD=6 ， ∴CE=3 ， 22 在Rt△ACE中，∠ABE=30°，CE=3 ， ∴AC= =6， ∴AH= = =4 ， 设OA=OC=r,则OH=AH-OA=4 -r, ∵OC2-OH2=CH2， ∴r2-(4 -r)2=22， ∴r= ， 故选：D． 23 7.如图，在⊙O中，弦AB=6，点C是AB所对优弧上一点，∠ABC=120°，BC=8，点P为AB上方一点，记△PAB的面积为S1，△AOB的面积为S2，且S1= S2，则OP+PC的最小值为( ____ ) A.2 B. C. D.10 B 24 【解析】解：如图，作OD⊥AB于D，作线段OD的中垂线m,作CH⊥AB交AB的延长线于H． ___ ∵△PAB的面积为S1，△AOB的面积为S2，且S1= S2， ∴点P在直线m上运动，连接CD交直线m于P′，连接OP′，此时OP′+CP′的值最小，最小值=线段CD的长． 25 ∵OD⊥AB， ∴AD=DB=3， ∵∠ABC=120°， ∴∠CBH=60°， ∵BC=8， ∴BH= BC=4，HC=4 ， 在Rt△CDH中，CD= = = ， 故选：B． 26 8.如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC=90°，AD= ，BC=1，则⊙O的半径为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：如图延长DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延长线于F， C 27 连接BE、EC． ___ ∵∠AOD=∠BOE， ∴ = ， ∴AD=BE= ， ∵∠DOC=∠COE=90°，OC=OB=OE， ∴∠OCB=∠OBC，∠OBE=∠OEB， 28 ∴∠CBE= (360°-90°)=135°， ∴∠EBF=45°， ∴△EBF是等腰直角三角形， ∴EF=BF=1， 在Rt△ECF中，EC= = = ， ∵△OCE是等腰直角三角形， ∴OC= = ． 故选：C． 29 9.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是 ____ ． 【解析】解：连接AC， 由圆周角定理知，∠C=∠B， ∵AD=BD ∴∠B=∠DAB， ∴∠DAP=∠C ∴△DAP∽△DCA， ∴AD：CD=DP：AD， 得AD2=DP•CD=CD•(CD-PC)，把AD=4，PC=6代入得，CD=8． 8 30 10.在△ABC中，AB=5，AC=8，BC=7，点D是BC上一动点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，线段EF的最小值为　　． 【解析】解：如图，作CM⊥AB于M，AN⊥BC于N．连接AD，OE，OF．设AM=x,则BM=5-x. ____ ∵CM2=AC2-AM2=BC2-BM2， 31 ∴82-x2=72-(5-x)2， 解得x=4， ∴AM=4，AC=2AM， ∴∠ACM=30°，∠CAM=60°，CM= AM=4 ， ∵S△ABC= •BC•AN= •AB•CM， ∴AN= = ， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD=90°， ∴A，E，D，F四点共圆， 32 ∴当⊙O的直径最小时，EF的长最小， 根据垂线段最短可知：当AD与AN重合时，AD的值最小，AD的最小值为 ， 此时OE=OF= ，EF=2•OE•cos30°= ， ∴EF的最小值为 ， 故答案为 ． 33 11.已知如图，AB=4，AC=2，∠BAC=60°， 所在圆的圆心是点O，∠BOC=60°，分别在 、线段AB和AC上选取点P、E、F，则PE+EF+FP的最小值为　　． 【解析】解：如图，连接BC，AO，作点P关于AB的对称点M，作点P关于AC的对称点N，连接MN交AB于E，交AC于F，此时△PEF的周长=PE+PF+EF=EM+EF+FN=MN， 34 __ ∴当MN的值最小时，△PEF的值最小， ∵AP=AM=AN，∠BAM=∠BAP，∠CAP=∠CAN，∠BAC=60°， ∴∠MAN=120°， ∴MN= AM= PA， ∴当PA的值最小时，MN的值最小， 35 取AB的中点J，连接CJ． ∵AB=4，AC=2， ∴AJ=JB=AC=2， ∵∠JAC=60°， ∴△JAC是等边三角形， ∴JC=JA=JB， ∴∠ACB=90°， ∴BC= = =2 ， ∵∠BOC=60°，OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， 36 ∴OB=OC=BC=2 ，∠BCO=60°， ∴∠ACH=30°，∵AH⊥OH， AH= AC=1，CH= AH= ， ∴OH=3 ， ∴OA= = =2 ， ∵当点P在直线OA上时，PA的值最小，最小值为2 -2 ， ∴MN的最小值为 •(2 -2 )=2 -6． 故答案为2 -6． 37 五．点与圆的位置关系 38 12.如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2 ，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是( ____ ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM． D 39 _____ ∵DH⊥AC， ∴∠AHD=90°， ∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上， ∴当M、H、B共线时，BH的值最小， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD= =12， 40 BM= = =13， ∴BH的最小值为BM-MH=13-5=8． 故选：D． 41 13.如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为( ____ ) A.3 B.2 - C. - D.3 - 【解析】解：如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM． C 42 ___ ∵AC是直径， ∴∠APC=90°， ∵BE=EA，BM=MP， ∴EM∥PA，同理FM∥PC， ∴∠BME=∠BPA，∠BMF=∠BPC， 43 ∴∠BME+∠BMF=∠BPA+∠BPC=90°， ∴∠EMF=90°， ∴点M的轨迹是 ，(EF为直径的半圆，图中红线部分) ∵BC=AC，∠ACB=90°，AB=8， ∴AC=BC=4 ， ∵AE=EB，BF=CF=2 ， ∴EF= AC=2 ，EF∥AC， ∴∠EFB=∠EFC=∠ACB=90°，OE=OF=OM= ， ∴OC= = 44 = ， ∵CM≥OC-OM， ∴CM≥ - 故选：C． 45 六．三角形的外接圆与外心 46 14.在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域(如图所示)，已知∠A=120°，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点，BC=30，则储存区域△ABC面积的最大值为( ____ ) A.50 B.100 C.75 D.150 C 47 【解析】解：设AB=x,AC=y,x＞0，y＞0， 由302=x2+y2-2xycos120°≥2xy-2xycos120°，得xy≤ = ， ∴S= xysin120°≤ • •2sin60°cos60°= = =75 ． 故选：C． 48 15.如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF．有下列四个结论：①∠CAF=∠DAE；②FC= DE；③当∠AEC=135°时，E为△AEC的外心；④若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等．其中正确的结论为( ____ ) A.①② B.①②④ C.①③④ D.①②③④ A 49 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=45°， ∵△DEF是等腰直角三角形， ∴∠EAF=∠DAC=45°， ∴∠EAF-∠CAE=∠DAC-∠CAE， ∴∠CAF=∠DAE，故①正确； ∵△DEF，△ADC是等腰直角三角形， ∴AC= AD，AF= ， ∴ = = ， ∵∠CAF=∠DAE， 50 ∴△CAF∽△DAE， ∴ = = ， ∴FC= DE，故②正确； 依据外心的定义，三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点， 故③错误； 如图，连接BD交AC于点O， ___ 51 ∵∠ADE=∠CDE=45°， 当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合， ∴点E的运动轨迹为线段OD，点F的运动轨迹是线段BC， ∵BC=CD= OD，且点F与点E的运动时间相同， ∴vF= vE， ∴点F与点E的运动速度不相同，故④错误． 综上所述：正确的结论是①②，共2个． 故选：A． 52 16.设S为锐角△ABC的边AB上的点，P、Q分别为△ASC与△BSC的外接圆圆心，AC=5，AB=8，BC=4 ，则△PQS面积的最小值为 　　． 【解析】解：如图，连接AP、CP、CQ． ∵P、Q分别为△ASC与△BSC的外接圆圆心， ∴QS=QC，PC=PS， ∴PQ垂直平分CS， 53 ∴ ， ， ∵ ， ， ∴∠PQS=∠B，∠QPS=∠CAB， ∴△CAB∽△SPQ， ∴ =( )2， 过C作CH⊥AB于H， 设AH=x,则BH=8-x, ∵CH2=AC2-AH2=BC2-BH2， 54 ∴52-x2=(4 )2-(8-x)2， 解得x= ， ∴CH= = = ， 当点S与H重合时，△ASC为直角三角形，此时点在AC中点，CP为最短， CP= ， 即( )2的最小值为( )2= ， 55 ∴△PQS面积的最小值为 S△ACB= × AB•CH= ×8× = ． 故答案为： ． 56 七．直线与圆的位置关系 57 17.如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作 CE⊥DF，垂足为点E． (1)猜想直线CE与⊙O有怎样的位置关系？并证明你的猜想； (2)若AE=1，CE=2，求⊙O的半径和AD的长． 【解析】解：(1)CE是⊙O的切线． 证明：连接CO， 58 ____ ∵OA=OC． ∴∠OCA=∠OAC， ∵AC平分∠FAB， ∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥FD， ∵CE⊥DF， ∴半径OC⊥CE， 59 ∴CE是⊙O的切线； (2)连接BC， ____ 在Rt△ACE中，AC= = = ， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°， ∴∠BCA=∠CEA， ∵∠CAE=∠CAB， 60 ∴△ABC∽△ACE， ∴ = ， ∴ ， ∴AB=5， ∴AO=2.5；即⊙O的半径为2.5． 作OH⊥AD于H， ∴AD=2AH， ∴四边形COHE是矩形， ∴OH=EC，OC=OA=EH，AH=EH=-EA， 61 ∴AH=2.5-1=1.5， ∴AD=2AH=3． ∴⊙O的半径为2.5，AD的长为3． 62 八．切线的性质 63 18.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC． (1)求证：OD∥BC； (2)延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若 ，PE=1，求⊙O半径的长． 【解析】(1)证明：连接AC交OD于H， ∵AB是⊙O的直径， ∴AC⊥BC， 64 ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD=∠COD， ∴ = ， ∴OD⊥AC， ∴OD∥BC； (2)解：∵OE∥BC， ∴△OEF∽△BCF， ∴ = ， ∴设OE=5x,BC=6x, ∵AO=OB，OH∥BC， 65 ∴AH=CH， ∴OH= BC=3x, ∵PB是⊙O的切线， ∴∠OBP=90， ∴∠PBO=∠AHO， ∵∠BOP=∠AOH， ∴△AOH∽△POB， ∴ ， ∴ ， 66 ∴x= 或x=0(不合题意舍去)， ∴OE= ， ∴⊙O半径的长为 ． 67 19.在△ABC中，∠C=90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F． (1)如图①，连接AD，若∠CAD=25°，求∠B的大小； (2)如图②，若点F为 的中点，⊙O的半径为2，求AB的长． _____ 【解析】解：(1)连接OD， 68 ∵OA为半径的圆与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB=90°， ∵在△ABC中，∠C=90°， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∴∠CAD=∠ADO=25°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA=25°， ∴∠BOD=2∠OAD=50°， ∴∠B=90°-∠BOD=40°； 69 (2)连接OF，OD， ___ 由(1)得：OD∥AC， ∴∠AFO=∠FOD， ∵OA=OF，点F为 的中点， ∴∠A=∠AFO，∠AOF=∠FOD， ∴∠A=∠AFO=∠AOF=60°， 70 ∴∠B=90°-∠A=30°， ∵OA=OD=2， ∴OB=2OD=4， ∴AB=OA+OB=6． 71 20.如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D是BC的中点，点E是平面内一个动点，BE=1，以点E为直角顶点，EC为直角边在EC的上方作等腰直角三角形ECF．当∠ADF的度数最大时，DF的长为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：如图，连接AF， B 72 ___ 由题意可知：△ABC和△CEF均为等腰直角三角形， ∴∠BCE=45°-∠ACE，∠ACF=45°-∠ACE， ∴∠BCE=∠ACF， ∵ = = ， ∴△BCE∽△ACF， 73 ∴ = ， ∵BE=1， ∴AF= ， ∴点F在以A为圆心，以AF为半径的圆上运动， ∴过点D作圆A的切线DF′，DF″，连接AF′，AF″， ∴∠ADF=∠ADF′=∠ADF″为最大值，此时DF=DF′， 在Rt△ADB中，AB=4，BD= BC=2，根据勾股定理得： AD2=AB2+BD2=42+22=20， 在Rt△ADF′中，根据勾股定理得： 74 DF= = =3 ， ∴当∠ADF的度数最大时，DF的长为3 ． 故选：B． 75 21.如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是( ____ ) A. B. C. D. D 76 【解析】解：对于抛物线 ，令x=0，得到y=-1， ∴C(0，-1)， 令y=0， =0， 解得x=5 或- ， ∴A(- ，0)，B(5 ，0)， ∵PQ是切线， ∴PQ⊥BQ， ∴∠PQB=90°， 77 ∴PQ= = ， ∴PB的值最小时，PQ的值最小， 根据垂线段最短可知，当BP′⊥AC于P′时，BP′的值最小， ∵OA= ，OC=1， ∴tan∠OAC= = ， ∴∠OAC=30°， ∴BP′=AB•sin30°=6 × =3 ， ∴PQ的最小值= = ， 78 22.已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=12，圆C半径为6，P为斜边AB上的一个动点，PM、PN分别与圆C相切于M、N，连接MN交PC于点Q，则AQ的最小值为 　　． 【解析】解：如图， 79 ___ 过点A作⊙C的切线AE和AF，连接EF，交AC于G，同样过点B作⊙C的切线，得出等同于点G的H点， 连接CE， ∴CE⊥AE， 80 根据对称性可得， EF⊥AC， ∴∠AEC=∠CGE=90°， ∵∠ACE=∠GCE， ∴△CGE∽△CEA， ∴ ， ∴CG•AC=CE2=62=36， 同理可得， CH•CB=36， PQ•PC=CN2=36， 81 ∴CQ•PC=CG•AC， ∴ = ， ∵∠CGT=∠PCQ， ∴△CGQ∽△CAP， ∴∠CQG=∠BAC， ∵AB=BC，∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠B=45°， ∴∠CQG=∠BAC=45°， 同理可得， ∠CQH=∠B=45°， 82 ∴∠GQH=∠CQG+∠CQH=90°， ∴点Q在以GH为直径的圆O上运动， 连接AO交⊙O于Q′，作OR⊥AC于R， ∵CG•AC=36， ∴12•CG=36， ∴CH=CG=3， ∴GH= =3 ， ∴半径OG= ， ∵OR⊥CG， 83 ∴CR=GR= ， ∴AR=AC-CR=12- = ， ∵OR= ， ∴AO= = = ， ∴AQ′=AO-OQ′= - =6 ， 故答案为：6 ． 84 23.如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t=PE+2PF，则t的取值范围是 　　． 【解析】解：设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，如图1，连接OM，ON，延长NO交CB于D， ∴∠CND=∠OMD=90°， ∵∠ACB=60°， ∴△CND是直角三角形， 85 ∴∠CDN=30°， ∵ON=OM=2， ∴OD=4， ∴DN=OD+ON=4+2=6， ∴CN= DN=2 ， 如图1，延长EP交BC于Q， ∵EQ⊥AC，PF⊥BC， ∴∠CEQ=∠PFQ=90°， ∵∠ACB=60°， ∴∠EQC=30°， 86 ∴△ECQ与△PFQ是直角三角形， ∴ CE=EQ，PQ=2PF， ∴t=PE+2PF=PE+PQ=EQ， 当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值， 连接OP， 则四边形ENOP是正方形， ∴EN=OP=2，CN=CM=2 ， ∴t=PE+2PF=PE+PQ=EQ= CE= (CN+EN)= (2 +2)=6+2 ； 如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的左侧时，t有最小值 87 ， 同理可得t=PE+2PF=PE+PQ=EQ= CE= (CN-EN)= (2 -2)=6-2 ； 故t的取值范围是6-2 ≤t≤6+2 ， 故答案为：6-2 ≤t≤6+2 ． 88 九．切线的判定 89 24.如图，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过AC弧的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B．若HB=6cm,BC=4cm,则⊙O的直径为( ____ ) A. cm B. cm C.13cm D. cm 【解析】解：连接PH，OH， ∵H是 的中点， C 90 ∴∠HPC=∠APH，∠AOH=∠APC， ∴OH∥BC， 即OH⊥BH， ∴HB是⊙O的切线； ∵PB是⊙O的割线，HB=6cm,BC=4cm, ∴HB2=BC•BP， ∴36=4BP， ∴BP=9， ∴PH= = = ； ∵在Rt△BPH与Rt△HPA中，∠HPC=∠APH， ∴Rt△BPH∽Rt△HPA， 91 ∴ = ， ∴AP= = =13cm； 故选：C． 92 25.如图，在▱ABCD中，AC=AD，⊙O是△ACD的外接圆，BC的延长线与AO的延长线交于E． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若AB=8，AD=5，求OE的长． 【解析】(1)证明：∵AC=AD， ∴ ， ∴OA⊥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC， ∴OA⊥AB， 93 ∴AB是⊙O的切线； (2)解：连接OD，如图所示： ∵OA⊥CD， ∴CF=DF=4， ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△ECF， ∴ = =1， ∴AD=CE，AF=EF， ∴BC=CE， ∴BE=2BC=2AD=10， 94 ∴AE= =6， ∴AF=EF=3， 设OE=x,则OF=3-x,⊙O的半径为6-x, 由勾股定理得：OF2+DF2=OD2， 即(6-x)2=(3-x)2+42， 解得：x= ， 即OE= ． 95 26.已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOC的度数为60°，连接PB． (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线． 【解析】(1)解：如图，连接OB． ∵AB⊥OC，∠AOC=60°， ∴∠OAB=30°， ∵OB=OA， ∴∠OBA=∠OAB=30°， ∴∠BOC=60°， 96 ∵OB=OC， ∴△OBC的等边三角形， ∴BC=OC． 又OC=2， ∴BC=2； (2)证明：由(1)知，△OBC的等边三角形，则∠COB=60°，BC=OC． ∵OC=CP， ∴BC=PC， ∴∠P=∠CBP． 又∵∠OCB=60°，∠OCB=2∠P， ∴∠P=30°， 97 ∴∠OBP=90°，即OB⊥PB． 又∵OB是半径， ∴PB是⊙O的切线． 98 27.如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=4cm,AE=3cm,求⊙O的半径． 【解析】(1)证明：连接OD，如图1所示： ∵OA=OD， ∴∠1=∠2， ∵AD平分∠CAM， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， 99 ∴MN∥OD， ∵DE⊥MN， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； (2)解：连接CD，如图2所示： ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴AD= = =5(cm)， ∵DE⊥MN， ∴∠AED=90°， ∴∠ADC=∠AED， 100 又∵∠2=∠3， ∴△ADC∽△AED， ∴ ， 即 ， ∴AC= (cm)， ∴OA= AC= cm, 即⊙O的半径为 cm. 101 一十．切线的判定与性质 102 28.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，点D为弧AC的中点，∠CDG=∠B，DG的反向延长线与BA的延长线交于点E，连接BD与AC交于点F． (1)求证：GE是⊙O的切线； (2)若 ，求sinE的值． 【解析】(1)证明：连接OD，如图， ∵∠CDG=∠B，∠B=∠C， ∴∠CDG=∠C， ∴AC∥EG． ∵点D为弧AC的中点， 103 ∴ ， ∴OD⊥AC， ∴OD⊥GE． ∵OD为⊙O的半径， ∴GE是⊙O的切线； (2)解：连接BC，设OD与AC交于点H，如图， ∵ ， ∴设CF=3a,则AF=5a, ∴AC=8a. ∵OD⊥AC， 104 ∴CH=AH= AC=4a. ∴HF=CH-CF=a. ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴BC⊥AC， ∴BC∥OD， ∴△BCF∽△DHF， ∴ =3， ∵AC∥EG， 105 ∴ =3， ∴AB=3AE， 设AE=k,则AB=3k, ∴OA=OB=OD= AB=1.5k, ∴OE=OA+AE=2.5k. ∴sinE= ． 106 一十一 107 29.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC； (1)求证：直线DM是⊙O的切线； (2)若DF=2，AF=5，求BD长． 【解析】(1)证明：如图所示，连接OD， ∵点E是△ABC的内心， 108 ___ ∴∠BAD=∠CAD， ∴ = ， ∴OD⊥BC， 又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC， ∴∠BDM=∠DBC， ∴BC∥DM， ∴OD⊥DM， 109 又∵OD为⊙O半径， ∴直线DM是⊙O的切线； (2)∵ = ， ∴∠DBF=∠DAB， 又∵∠BDF=∠ADB(公共角)， ∴△DBF∽△DAB， ∴ ，即DB2=DF•DA， ∵DF=2，AF=5∴DA=DF+AF=7 ∴DB2=DF•DA=14 ∴DB= ． 110 30.如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，AI⊥OI，AB=2，BC=3，则AC的长为( ____ ) A.4 B. C. D. 【解析】证明：如图1，延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI， A 111 __ ∵OA=OD，OI⊥AD， ∴AI=ID， ∵∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI= (∠BAC+∠ABC)=∠DIB， ∴BD=ID=AI， ∵I是其内心， ∴AD是∠BAC的平分线， 112 ∴ = ， ∴OD⊥BC，记垂足为E， ∴BE= BC， 作IG⊥AB于G， ∵∠DBE=∠IAG，BD=AI， ∴△BDE≌△AIG(AAS)， ∴AG=BE= BC， 如图，过I作IM⊥AC，IN⊥BC， 113 ___ ∵I是其内心， ∴AG=AM，CM=CN，BG=BN， ∴AG=AC-CM=AC-(BC-BN)=AC-BC+BN=AC-BC+(AB-AG)， ∴AG= (AB+AC-BC)， ∴AB+AC=2BC， ∵AB=2，BC=3， ∴AC=4， 114 故选：A． 115 31.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，O为Rt△ABC的外心，I为Rt△ABC的内心，延长Al交⊙O于点D．连接OI，则cos∠OID的值为( ____ ) A. B. C. D. D 116 【解析】解：如图，过点I作IM⊥BC于M，IN⊥AC于N，IP⊥AB于P． ___ 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，AC=6，AB=8， ∴BC= =10． ∵点O为△ABC的外心， ∴CO为外接圆半径，CO= BC=5． ∵I为Rt△ABC的内心， 117 设⊙I的半径为r, ∴IP=IN=IM=r, 又∵∠IPA=∠INA=∠BAC=90°， ∴四边形IPAN是正方形， ∴AP=AN=r,CM=CN=6-r,BM=BP=8-r, ∵BC=10， ∴8-r+6-r=10， 解得r=2， ∴IM=r=2，CM=6-r=4． 在Rt△OIM中， ∵∠IMO=90°，OM=CO-CM=5-4=1， 118 ∴OI= = = ， 连接OD，设AD与BC交于点S，过点S作SR⊥OI于点R， 则OD=CO=5， ___ ∵I为Rt△ABC的内心， ∴DA平分∠BAC， ∴ = ， ∴OD⊥BC， 119 ∴OD∥IM， ∴ = = ，OM=1， ∴SM= ，OS= ， ∵sin∠ROS= = ， ∴ = ， ∴RS= ， 在Rt△ISM中，根据勾股定理，得 120 IS= = = ， 在Rt△ISR中，根据勾股定理，得 IR= = = ， ∴cos∠OID= = × = ． 故选：D． 121 32.如图，关于△ABC，有以下结论：①若O是锐角△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；②若O是△ABC的内心，∠A=50°，则∠BOC=115°；③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1．其中正确的有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 122 【解析】解：①∵O是△ABC的外心，∠A=50°， ∴∠BOC=100°，故①正确； ②∵O是△ABC的内心，∠A=50°， ∴∠BOC=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=115°，故②正确； ③∵BC=6，AB+AC=10， ∴三角形的周长是16， 设AB=x,则AC=10-x, 由海伦公式：S= ，p= ， ∴S= 123 =4 ≤4× =12， 等号仅当8-x=x-2即x=5时成立， 故三角形的面积的最大值是12，故③正确； ④△ABC的面积是12，周长是16，设内切圆半径为x, 则 x×16=12， 解得：r=1.5， 题中内切圆的半径是1，故④错误． 故正确的有①②③共3个． 故选：C． 124 33.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，直线l经过△ABC的内心O，过点C作CD⊥l,垂足为D，连接AD，则AD的最小值是 　　． 【解析】解：如图，圆O与Rt△ABC三边的切点分别为E，F，G，连接OE，OF，OG， ___ ∵圆O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB=90°，BC=3，AC=4， 125 ∴CE=CF，BE=BG，AF=AG，AB= =5， ∴四边形CEOF是正方形， 设正方形CEOF的边长为x, 则BE=BG=3-x,AF=AG=4-x, 根据题意，得 3-x+4-x=5， 解得x=1， ∴OC= = ， ∵CD⊥l, ∴∠CDO=90°， 126 ∴点D在以OC为直径的圆Q上，如图， ___ 连接AQ，过点Q作QP⊥AC于点P， 当点D运动到线段QA上时，AD取得最小值， ∴CP=QP= ， ∴AP=AC-CP=4- = ，圆Q的半径QD= ， 127 ∴QA= = = ， ∴AD的最小值为AQ-QD= - =2 ． 故答案为：2 ． 128 34.点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI=2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC=6，ID=5，则IE的长为 ____ ． 【解析】解：延长ID到M，使得DM=ID，连接CM． __ ∵I是△ABC的内心， 4 129 ∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB， ∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，∠BCD=∠IAB， ∴∠DIC=∠DCI， ∴DI=DC=DM， ∴∠ICM=90°， ∴CM= =8， ∵AI=2CD=10， ∴AI=IM，∵AE=EC， ∴IE= CM=4， 故答案为4． 130 一十二．正多边形和圆 131 35.由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形(如图3)，则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：过图2中菱形的顶点B作BE⊥AD于E， B 132 设图3中正八边形的中心点为点O，一边为MN，连接OM、ON，过M点作MP⊥ON于P， ___ 设正八边形的边长为a,则AB=AD=MN=a, 由正八边形的性质可得，∠ABC= =135°，∠MON= =45°， ∵AD∥BC， ∴∠BAE=45°， 133 ∴BE= AB= a, ∴S菱形ABCD=AD•BE= a2， ∴空白部分面积的面积为4× a2=2 a2， ∵∠MON=45°， ∴OP=PM， 设OP=PM=x,则OM=ON= x, ∴PN=( -1)x, ∵PM2+PN2=MN2， 134 ∴x2+( -1)2x2=a2， ∴x2= a2， ∴S△OMN= ON•PM= x2= a2， ∴正八边形的面积为：8× a2=2( +1)a2， ∴阴影部分的面积为：2( +1)a2-2 a2=2a2， ∴阴影部分面积与空白部分面积之比为 = ． 故选：B． 135 36.如图，多边形ABCDEF为正六边形，点M在边BC上，过M作MN∥CD交ED于点N，连接AN，且满足∠AMB=∠ANM．设四边形MNDC，四边形AFEN和三角形ABM的面积分别为a,b,c,则正六边形ABCDEF的面积为( ____ ) A.2a+2b+2c B.2a+3b+c C.a+2b+2c D.a+2b+3c 【解析】解：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转120°得到△AFG， C 136 连接GN交EF于H． ___ ∵∠AFG=∠B=120°， ∴∠EFG=360°-∠AFG-∠AFE=120°=∠E， ∴MN∥CD，∠C=∠D， ∴四边形CDNM是等腰梯形， ∴CM=DN， 137 ∵BC=DE， ∴BM=GF=EN， ∵∠GHF=∠NHE， ∴△FGH≌△ENH(AAS)， ∴S△FHG=S△EHN， ∵∠MAN=180°-∠ANM-∠AMN=180°-∠AMB-∠AMN=∠CMN=60°，∠MAG=120°， ∴∠GAN=∠MAN=60°， ∵AG=AM，AN=AN， ∴△GAN≌△MAN(SAS)， ∴S△AMN=S∠AGN=S△ABM+S四边形AFEN=b+c, 138 ∴S正六边形ABCDEF=a+b+c+b+c=a+2b+2c. 故选：C． 139 37.设正三角形△1的面积为S1，作△1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为△2，面积为S2，如此下去作一系列的正三角形△3，△4，……，其面积相应为S3，S4，……，设S1=1，Tn=S1+S2+……+Sn，则当n充分大时，Tn的值最接近以下哪个值？( ____ ) A. B. C. D.2 C 140 【解析】解：由题意：S1=1，S2= ，S3=( )2，…Sn=( )n-1， ∴Tn=1+ +…+( )n-1① 两边乘4得到：4Tn=4+1+ +…+( )n-2②， ②-①得到：3Tn=4-( )n-1， 当n充分大时，( )n-1接近0， ∴Tn的值接近 ， 故选：C． 141 38.如图，小圆O的半径为1，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBnCn依次为同心圆O的内接正三角形和外切正三角形，由弦A1C1和弧A1C1围成的弓形面积记为S1，由弦A2C2和弧A2C2围成的弓形面积记为S2，…，以此下去，由弦AnCn和弧AnCn围成的弓形面积记为Sn，其中S2020的面积为　　． 【解析】解：∵小圆O的半径为1， △A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBnCn依次为同心圆O的内接正三角形和外切正三角形， ∴S1=S -S 142 = - × × ， S2= - 2 ×1 S3= - 4 ×2 … 发现规律： Sn= - ×(2n-1) ×2n-2 = ×22n-2-22n-4× 143 =22n-4( - ) ∴S2020的面积为：24036( - )． 故答案为：24036( - )． 144 一十三 145 39.如图，矩形ABCD中．AB=3 ，BC=6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为( ____ ) A. B.6π- C. D. A 146 【解析】解：如图，连接DF． ___ ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD=3 ，AD=DF=BC=6， ∴CF= =3，BF=BC-CF=3， ∴tan∠FDC= ， ∴∠FDC=30°，∠ADF=60° 147 ∴S阴=S扇形ABE-(S矩形ABCD-S扇形DAF-S△DCF) = -(18 - - •3•3 ) = π- ， 故选：A． 148 40.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A=105°，BD=CD． (1)求∠DBC的度数； (2)若⊙O的半径为3，求阴影部分面积． 【解析】解：(1)∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠DCB+∠BAD=180°， ∵∠A=105°， ∴∠C=180°-105°=75°， ∵BD=CD， ∴∠DBC=∠C=75°； 149 (2)连接BO、CO， __ ∵∠C=∠DBC=75°， ∴∠BDC=30°， ∴∠BOC=60°， OB=OC， ∴△BOC是等边三角形，阴影部分面积= - = ． 150 $$