第27章圆 中档题拓展训练 【13个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第27章圆 中档题拓展训练★★ 【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册 1 一．垂径定理的应用 二．圆周角定理 三．圆内接四边形的性质 四．点与圆的位置关系 五．三角形的外接圆与外心 六．切线的性质 七．切线的判定 八．切线的判定与性质 九．三角形的内切圆与内心 一十．正多边形和圆 一十一．弧长的计算 一十二 一十三．圆锥的计算 2 一．垂径定理的应用 3 1.某应急物资储藏室的门洞截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆，其中AB=1.8m,BC=2m,一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m,宽1.6m,它能通过储藏室的门吗？请通过计算说明理由． 【解析】解：这辆货车能通过储藏室的门．理由如下： 如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AD的垂线交半圆于F，G，过O作OE⊥FG，E为垂足， 4 ___ 则FG=MN=1.6m,AD=BC=2m,由作法得，FE=GE=0.8m, 又∵OF=OA=1m, 在Rt△OEF中，根据勾股定理得： ， ∴FM=1.8+0.6=2.4(m)， ∵2.4m＞2.3m,∴这辆货车能通过储藏室的门． 5 二．圆周角定理 6 2.如图，圆上依次有A，B，C，D四个点，AC，BD交于点P，连接AD，AB，BC，若∠ACB=40°，则∠ADB的度数为( ____ ) A.30° B.40° C.50° D.60° 【解析】解：∵ = ， ∴∠ADB=∠ACB， ∵∠ACB=40°， B 7 ∴∠ADB=40°， 故选：B． 8 3.如图，已知AB是⊙O的直径，半径OD⊥AB，点C在劣弧AD上(不与点A，D重合)．设∠ABC=25°，则∠COD=( ____ ) A.40° B.50° C.65° D.70° 【解析】解：∵OD⊥AB， ∴∠AOD=90°， ∵∠AOC=2∠ABC=2×25°=50°， A 9 ∴∠COD=90°-50°=40°． 故选：A． 10 4.如图，点C在以AB为直径的半圆O上，∠AOC=140°，点D在AC上，则∠D的度数是( ____ ) A.100° B.110° C.120° D.130° 【解析】解：如图，连接BC， ____ B 11 ∵∠AOC=140°， ∴∠B= ∠AOC=70°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠B=180°， ∴∠D=180°-∠B=110°． 故选：B． 12 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD=70°，∠ADC=40°，则∠AED的度数为( ____ ) A.110° B.115° C.120° D.105° 【解析】解：如图所示，连接BD， C 13 ___ ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ADC=40°， ∴∠BDC=50°， 又∵∠ABD=∠ACD=70°， ∴∠AED=∠ABD+∠BDC=120°， 14 6.如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点， 则tan∠CDE=　　． 【解析】解：根据圆周角定理得，∠CDE=∠CAE， ∴tan∠CDE=tan∠CAE= = = ， 故答案为： ． 15 7.如图，直线l1∥l2，直线AB分别交l1，l2于点A，B，∠MAB=120°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，若在弧上存在点C使∠ACB=20°，则∠1的度数是( ____ ) A.80° B.75° C.70° D.60° 【解析】解：如图， 由作法得BA=BC， ∴∠BAC=∠ACB=20°， A 16 ∵∠MAB=120°， ∴∠MAC=120°-20°=100°， ∵直线l1∥l2， ∴∠2=∠MAC=100°， ∴∠1=180°-∠2=80°． 故选：A． 17 8.如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD=6，BE=1，则弦AC的长为 　　． 【解析】解：∵A B⊥C D，C D=6， ∴ ， 设⊙O的半径为r,则O E=O B-E B=r-1， 在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，即(r-1)2+32=r2， 解得：r=5， ∴OA=5，OE=4， ∴AE=OA+OE=9， 在Rt△AEC中，由勾股定理得： 18 9.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是优弧AB上一点，若∠BDC=20°，则∠AOC为( ____ ) A.20° B.80° C.50° D.40° 【解析】解：如图，连接OB， D 19 __ ∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB， ∴∠COB=∠AOC， ∵∠BDC=20°，∠COB=2∠BDC， ∴∠COB=40°， ∴∠AOC=40°， 故选：D． 20 10.如图，在以AB为直径的半圆中，有一内接矩形CDEF，其边长比CF：DC=2：1，若DC=c,AC=a,BC=b,给出下面四个结论： ①a-b=2c②ab=c2③ ④a2+b2=8c2 上述结论中，所有正确结论的序号是( ____ ) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ 【解析】解：∵DC=c,C F：D C=2：1，AC=a,BC=b, C 21 ∴CF=2c, ∴OF=OC=c, ∵OA=OB， ∴OA-OF=OB-OC， ∴AF=BC=b, ∵AC-AF=FC， ∴a-b=2c,①正确； 连接A D，B D， ____ 22 ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADC+∠BDC=90°， ∵∠ADC+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠CDB， ∴△DAC∽△BDC， ∴ ，即 ， 即a b=c2，②正确； ∵a-b=2c,a b=c2， ∴ 23 ，故③正确； ∴ ，故④错误； 故选：C． 24 三．圆内接四边形的性质 25 11.如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC=50°，则∠ABC的度数是( ____ ) A.50° B.100° C.130° D.150° 【解析】解：∵BE∥AD， ∴∠ADC=∠BEC=50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC=180°-∠ADC=130°． C 26 12.如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠D=50°，则∠BAC的度数是 _____ ． 【解析】解：∵∠D=50°， ∴∠C=∠D=50°， ∵AC是直径， ∴∠CBA=90°， ∴∠BAC=90°-∠C=90°-50°=40°， 故答案为：40°． 40° 27 四．点与圆的位置关系 28 13.在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b,则⊙O的半径为( ____ ) A. B. C.a D.b 【解析】解：∵点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b, B 29 ∴⊙O的半径为 ． 故选：B． 30 五．三角形的外接圆与外心 31 14.如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B=25°，则∠CAD= ____ °． 【解析】解：连接CD， ___ ∵∠B=25°， ∴∠B=∠D=25°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， 65 32 ∴∠CAD=90°-∠D=65°， 故答案为：65． 33 六．切线的性质 34 15.如图，BC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，线段AO交⊙O于点D，连接DC．若∠A=50°，则∠C等于( ____ ) A.15° B.20° C.25° D.30° 【解析】解：∵BC是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO=90°， ∵∠A=50°， B 35 ∴∠AOB=40°， ∵OD=OC， ∴∠C=∠ODC= AOB=20°， 故选：B． 36 16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点 的半径为1，P是线段MN上的一点，连接PO交⊙O于点A，在PO的左侧过点P作⊙O的切线PB，切点为B，连接AB，OB． (1)当∠BPO=30°时，线段AB的长是 　　； (2)点P在线段MN上运动时，线段AB长度的取值范围是 　　． 【解析】解：(1)∵PB是圆O的切线，OB为圆的半径， ∴PB⊥OB， 37 在Rt△OPB中，∠BPO=30°， ∴∠POB=60°， ∵OA=OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴AB=OA=1； 故答案为：1； (2)如图所示，延长AO交圆O于点C，连接BC， ∵PB为圆O的切线， ∴∠PBO=90°， ∵AC为圆O的直径， ∴∠ABC=90°， 38 ∴∠PBO-∠ABO=∠ABC-∠ABO， ∴∠PBA=∠OBC， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠PBA=∠OCB， ∵∠BPA=∠CPB， ∴△BPA∽△CPB， ∴ = = ， 设PA=x,AB=y, ∴ = = ，即 = ， 39 ∴PB2=x(x+2)=x2+2x,BC= ， ∵∠ABC=90°， ∴根据勾股定理得：AB2+BC2=AC2=22=4， ∴ = ， ∵x＞0，y＞0， ∴y= = = ， ∴y随x的增大而增大， ∴当x最小时，y最小；x最大时，y最大， 40 由图可知，当P在M点时，PA最大，最大为OM-OA=3-1=2，即x的最大值为2， 把x=2代入得：y最大值为 = ； 当OP⊥MN时，PA最小，即x最小， ∵M(0，3)，N(- ，0)， ∴MN= = = ， ∴当OP⊥MN时，OP= = 41 = ， ∴当x的最小值为 -1= 时，y的最小值为 = ， 则线段AB的范围是 ≤AB≤ ． 故答案为： ≤AB≤ ． 42 17.在⊙O中，弦AD=BC． (1)如图1，比较 与 的长度，并证明你的结论． (2)如图2，DB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线与DB的延长线交于点E，若CE∥AB，CD=6，求阴影部分的面积． 【解析】解：(1) 与 的长度相等， 证明：∵弦AD=BC， ∴ = ， 43 ∴ + = + ， ∴ + = ， + = ， ∴ = ， ∴ 与 的长度相等． (2)如图2，连接OC，则OC=OD， ∴∠OCD=∠BDC， ∵CE与⊙O相切于点C， ∴CE⊥OC， ∵DB为⊙O的直径， ∴∠OCE=∠BCD=90°， 44 ∴∠BCE=∠OCD=90°-∠OCB， ∴∠BCE=∠BDC， ∵CE∥AB， ∴∠BCE=∠ABC， ∴∠ABC=∠BDC， ∵ = ， ∴∠BDC=∠ABD， ∴∠ABC=∠ABD=∠BDC， ∵∠ABC+∠ABD+∠BDC=90°， ∴∠ABC=∠ABD=∠BDC= ×90°=30°， 45 ∴∠BOC=2∠BDC=60°， ∴∠E=30°=∠BDC， ∴CE=CD=6， ∵ =tan30°= ， ∴OC= CE= ×6=2 ， ∴S阴影=S△OCE-S扇形BOC= ×6×2 - =6 -2π， ∴阴影部分的面积是6 -2π． 46 七．切线的判定 47 18.如图，直径AB⊥弦CD于点E，PD∥AC． (1)求证：AC=PD； (2)若直径AB=6， ，求证：PD是⊙O的切线． 【解析】证明：(1)∵PD∥AC， ∴∠A=∠P， ∵直径AB⊥弦CD于点E， ∴CE=DE，∠CEA=∠DEP=90°， ∴△CEA≌△DEP(AAS)， ∴AC=PD； 48 (2)连接OD，BC， ____ ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵AB=6， ， ∴ ， ∴∠A=30°， 49 ∵直径AB⊥弦CD于点E， ∴ = ， ∴∠BOD=2∠A=60°， 由(1)得∠A=∠P=30°， ∴∠ODP=90°，即OD⊥PD， ∴PD是⊙O的切线． 50 八．切线的判定与性质 51 19.如图，△ABC是圆内接三角形，过圆心O作OE⊥AC，连接OA，过点C作CD∥AO，交BA的延长线于点D，∠AOE=45°． (1)求证：DC是⊙O的切线； (2)如果BC•CF=8，求⊙O半径的长度． 【解析】(1)证明： 52 __ ∵∠AOE=45°，OA=OC，OE⊥AC， ∴∠AOC=2∠AOE=90°， ， ∵CD∥AO， ∴∠OCD=180°-∠AOC=90°， 53 即CD⊥OC， ∵OC是⊙O的半径， ∴DC是⊙O的切线． (2)解：由(1)可知∠AOC=90°，∠OAC=45°， ∴ ， ∴∠ABC=∠OAC=45°， ∵∠BCA=∠ACF， ∴△ABC∽△FAC， ∴ ，即AC2=BC•CF， ∵BC•CF=8， 54 ∴AC2=8， ∴由勾股定理得2OC2=AC2=8， 解得：OC=2(负值舍去)， ∴⊙O半径的长度为2． 55 20.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F，连接BD． (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)已知AC=10，AF=15，求DF的长． 【解析】(1)证明：∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90°， 即∠ABC+∠CBD=90°， ∵AB=AC， 56 ∴∠ABC=∠C， ∵∠ADB=∠C， ∴∠ABC=∠ADB， ∵BC∥DF， ∴∠CBD=∠FDB， ∴∠ADB+∠FDB=90°， 即∠ADF=90°， ∴AD⊥DF， 又∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； (2)解：∵AB=AC=10，AF=15， 57 ∴BF=AF-AB=5， ∵∠F=∠F，∠FBD=∠FDA=90°， ∴△FBD∽△FDA， ∴BF：DF=DF：AF， ∴DF2=BF×AF=5×15=75， ∴DF= =5 ． 58 21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD=BC． (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若AD= ，AE=1，求 的长． 【解析】(1)证明：连接OD， 在△OBD和△OBC中， ， 59 ∴△OBD≌△OBC(SSS)， ∴∠ODB=∠OCD=90°， ∴OD⊥AB， ∵OD是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线； (2)解：设⊙O的半径为R， 在Rt△OAD中，AD= ，AE=1，AO=AE+OE=1+R，OD=R，AD2+OD2=AO2， ∴( )2+R2=(1+R)2， 解得R=1， 60 ∴OD=1， ∴tan∠AOD= = ， ∴∠AOD=60°， ∴∠COD=120°， 由(1)知△OBD≌△OBC， ∴∠BOD=∠BOC= ∠COD=60°， ∴ 的长= = ． 61 22.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为 上一点，F为DC延长线上一点，且EF=FP，FE与AB的延长线于点G，连接AE，交CD于点P． (1)求证：FG为⊙O的切线； (2)连接AD，若AD∥FG，CD=8，cosF= ，求EG和BG的长． 【解析】(1)证明：连接OE，则OE=OA， ∴∠OEA=∠OAE， 62 ∵EF=FP， ∴∠FEP=∠FPE=∠APH， ∵CD⊥AB于点H， ∴∠AHP=90°， ∴∠OEF=∠FEP+∠OEA=∠APH+∠OAE=90°， ∵OE是⊙O的半径，且FG⊥OE， ∴FG为⊙O的切线． (2)解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD=8， ∴∠AHD=∠FHG=∠OHD=90°，DH=CH= CD=4， 63 ∵AD∥FG， ∴∠ADH=∠F， ∴ =cos∠ADH=cosF= ， ∴AD= DH= ×4=5， ∴AH= = =3， 连接OD，设OD=OA=OB=OE=r,则OH=r-3， ∵OH2+DH2=OD2， ∴(r-3)2+42=r2， 解得r= ， 64 ∴OB=OE= ， ∵∠OEG=90°， ∴∠EOG=90°-∠G=∠F=∠ADH， ∴ =tan∠EOG=tan∠ADH= = ， =cos∠EOG=cosF= ， ∴EG= OE= × = ，OG= OE= × = ， ∴BG=OG-OB= - = ， ∴EG的长是 ，BG的长是 ． 65 23.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．⊙O的两条弦FB，FD相交于点F，∠DAE=∠BFD． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若∠C=30°，CD=2 ，求扇形OBD的面积． 【解析】(1)证明：连接OD，则OD=OB， ∴∠ODB=∠ABC， ∵∠DAE=∠BFD，∠DAB=∠BFD， ∴∠DAE=∠DAB， ∵AB是⊙O的直径， 66 ∴∠ADC=∠ADB=90°， ∴ =cos∠DAE=cos∠DAB= ， ∴AC=AB， ∴∠C=∠ABC， ∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE=∠DEC=90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． 67 (2)解：∵AC=AB，AD⊥BC， ∴BD=CD=2 ， ∵∠ADB=90°，∠ABD=∠C=30°， ∴∠BAD=90°-∠ABD=60°， ∴∠BOD=2∠BAD=120°， ∵ = =sinBAD=sin60°= ， ∴AB=4， ∴OB= AB=2， 68 ∴S扇形OBD= = ， ∴扇形OBD的面积为 ． 69 24.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在边BC上，CD=1，BD=3．点P是线段AD上一动点，当半径为1的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　　． 【解析】解：①当⊙P与AC边相切时，如图， ____ 过点P作PE⊥AC，则E为切点，PE=1． 70 ∵BC⊥AC， ∴PE∥CD． ∴ ． ∵AD= = = ， ∴ ， ∴AP= ； 此时，点P与点D重合． ②当⊙P与BC边相切时，如图， 71 ____ 过点P作PF⊥BC，则F为切点，PF=1． ∵BC⊥AC， ∴PF∥CA． ∴ ． 由①得：AD= ， ∴PD=AD-AP= -AP． 72 ∴ ， 解得：AP= ； ③当⊙P与AB边相切时，如图， ____ 过点P作PG⊥BA于点G，则G为切点，PG=1． 过点D作DH⊥AB于点H， 73 ∵CD=1，BD=3， ∴BC=4． ∴AB= =5． ∵∠BHD=∠BCA=90°，∠B=∠B， ∴△BDH∽△BAC． ∴ ． ∴ ． ∴DH= ． ∵DH⊥AB，PG⊥BA， 74 ∴PG∥DH． ∴ ． ∴ ， ∴AP= ． 综上，当半径为1的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 或 或 ． 75 25.如图，△ABC中，点O是边AB上任意一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AC于E，交AB交于D，给出下列信息：①∠C=90°；②∠BDF=∠F；③AC是⊙O的切线． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 ____ ，结论是 ____ (只要填写序号)． (2)如果CF=1，sinA= ，求⊙O的半径． 【解析】解：(1)选择的条件是：①②，结论是：③， 理由：连接OE， ①② ③ 76 ___ ∵OD=OE， ∴∠ODE=∠OED， ∵BD=BF， ∴∠ODE=∠F， ∴∠F=∠OED， ∴OE∥BF， 77 ∴∠OEA=∠ACB=90°， ∵OE是圆O的半径， ∴AC是⊙O的切线； 故答案为：①②，③(答案不唯一)； (2)在Rt△AOE中，sinA= = ， ∴设OE=3a,AO=5a, ∴AB=AO+OB=5a+3a=8a, ∵OE∥BF，OB=OD， ∴DE=EF， ∴OE是△DBF的中位线， 78 ∴BF=2OE=6a, ∴BD=BF=6a, ∵CF=1， ∴BC=BF-CF=6a-1， 在Rt△ABC中，sinA= = ， ∵sinA= ， ∴ = ， ∴a= ， 79 ∴OE=3a= ， ∴⊙O的半径是 ． 80 九．三角形的内切圆与内心 81 26.已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为( ____ ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】解：设这个三角形的内切圆半径是r, ∵三角形周长为12，面积为6， ∴ ×12r=6， 解得r=1． D 82 故选：D． 83 一十．正多边形和圆 84 27.如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，则∠PAB的大小为( ____ ) A.18° B.36° C.54° D.72° 【解析】解：如图，连接OA、OB， B 85 ___ ∵多边形ABCDE为圆内接正五边形， ∴ ， ∵OA=OB， ∴ ， ∵PA为圆O的切线， 86 ∴OA⊥AP， ∴∠OAP=90°， ∴∠PAB=90°-∠OAB=36°， 故选：B． 87 28.如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF，⊙O的半径为2，这个正六边形的边心距为( ____ ) A.2 B.1 C. D. 【解析】解：作OG⊥AB交AB于点G， ∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形， ∴∠AOB= =60°， D 88 ∵OA=OB，OG⊥AB， ∴∠AOG=∠BOG=30°， ∴OG=OB•cos∠BOG=2× = ， 故选：D． 89 29.已知一个正多边形的内角比外角多36°，则这个多边形的边数为( ____ ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】解：设这个多边形的外角为x,则与它相邻的内角为x+36°，由题意得， x+x+36°=180°， 解得x=72°， A 90 ∴这个多边形的边数为 =5， 即这个正多边形为正五边形， 故选：A． 91 30.如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为两个正六边形的中心．则tan∠O2AC的值为 　　． 【解析】解：如图，连接O2C，过O2点作O2E⊥BC，垂足为E，设正六边形的边长为a,则O1A=O1B=O2C=a, 在Rt△O2CE中，O2C=a,∠CO2E=30°， ∴EC= O2C= a=BE，O2E= O2C= a, ∴AE=2a+ a= a, 92 ∴tan∠O2AC= = ． 故答案为： ． 93 31.半径为R的圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为( ____ ) A. B.1：2 C. D. 【解析】解：如图，过点O作OD⊥BC于点D，连接OB， ___ C 94 ∵△ABC是正三角形，且是半径为R的圆O的内接正三角形， ∴ ， ∴ ； 如图，过点A作OD⊥BC于点D，连接OB，OA， ___ ∵六边形半径为R的圆的内接正六边形， ∴∠AOB=60°，OA=OB=R， 95 ∴△AOB是正三角形， ∴∠AOD=30°， ∴ ， ∴圆的内接正三角形、正六边形的边心距之比为 ． 故选：C． 96 一十一．弧长的计算 97 32.如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中， 的圆心为A，半径为AD； 的圆心为B，半径为BA1； 的圆心为C，半径为CB1； 的圆心为D，半径为DC1…， 、 、 、 的圆心依次为A、B、C、D循环，则 的长是( ____ ) A. C 98 B.2023π C. D.2024π 【解析】解：∵由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的，并且每一段弧的半径每次比前一段弧半径 ， ∴ ，BA1=BB1=1， ，DC1=DD1=2， ，BA2=BB2=2+1， ，DC2=DD2=2+2， 99 ⋯⋯ ， ， ∴弧A2024B2024的半径为 ， ∴弧A2024B2024的弧长= ． 故选：C． 100 33.若扇形的圆心角为80°，半径为9，则扇形的弧长为 ____ ． 【解析】解：l= = =4π． 故答案为：4π． 4π 101 一十二 102 34.团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度、需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为 　　厘米，正方形团扇的边长为 　　厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【解析】解：(1)由题意得： 103 圆形团扇的半径为： = (厘米)，正方形团扇的边长为： (厘米)， 故答案为： ， ； (2)∵圆形团扇的半径为 厘米， ∴圆形团扇的周长为： = (厘米)， ∵正方形团扇的边长为 厘米， 104 ∴正方形团扇的周长为： = (厘米)， ∵ ，3＜π＜4， ∴ ， ∴圆形团扇所用的包边长度更短． 105 35.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：如图，连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B， A 106 ____ ∵OA=OO′=AO′=2， ∴三角形AOO′是等边三角形， ∴∠AOO′=60°，OB= OO′=1， ∴AB= = ， ∴S弓形AO′=S扇形AOO′-S△AOO′ = -2× × 107 = - ， ∴S阴影=S弓形AO′+S扇形AO′O = - + = - ． 故选：A． 108 36.2024年中国山地自行车联赛第一站暨巴黎奥运会选拔赛上，青海省体工二大队多名运动员获得佳绩．自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD，∠DAB=115°，∠ABC=125°，两车轮的直径均为60cm,现要在自行车两轮的阴影部分(分别以C，D为圆心的两个扇形)装上挡水的铁皮，那么安装单侧(阴影部分)需要的铁皮面积约是( ____ ) A.300πcm2 B.500πcm2 C.900πcm2 A 109 D.1200πcm2 【解析】解：∵四边形ABCD中∠DAB=115°，∠ABC=125°，AB∥CD， ∴∠ADC=65°，∠BCD=55°， ∵车轮的直径为24英寸，约60cm, ∴需要的铁皮面积约是 =300π(cm)2， 故选：A． 110 37.如图，在扇形AOB中，∠O=30°，点C为OA的中点，点P为OB上任一点，其中 ，当CP+AP的值最小时，图中阴影部分的面积为 　　.(结果保留π) 【解析】解：作点A关于OB的对称点A′，连接AA′，连接CA′与OB交于点P，连接AP；点P′(异于点P)是OB上的任意一点，连接AP′、CP′、A′P′． ___ 111 ∵点A和A′关于OB对称， ∴OB垂直平分AA′， ∴AP′=AP， ∴CA′=CP+AP， 同理，CP′+AP′=CP′+A′P′， ∵CP′+AP′＞CA′， ∴当点P在如图位置时，CP+AP的值最小． ∵OA=OA′， ∴△AOA′是等腰三角形， ∵OB⊥AA′， ∴OB是∠AOA′的平分线， 112 ∴∠AOA′=60°， ∴△AOA′是等边三角形， ∵点C为OA的中点， ∴A′C⊥OA， ∴CP=OC•tan30°= × =1， ∴S△OAP= OA•CP= ×2OC•CP= ， ∵S扇形AOB= π(2OC)2=π， ∴S阴影=S扇形AOB-S△OAP=π- ． 113 一十三．圆锥的计算 114 38.圆锥的展开图的面积为200πcm2，圆锥母线与底面圆的半径之比为2：1，则母线长为( ____ ) A.10 B.20 C. D.20 【解析】解：设圆锥底面圆的半径为r cm,则圆锥母线长为2r cm, 由题意得： ×2πr×2r=200π， 解得：r=10(负值舍去)， B 115 则圆锥母线长为20cm, 故选：B． 116 39.一个圆锥的底面半径的长为3，母线的长为15，则侧面展开图的面积是( ____ ) A.6π B.9π C.45π D.54π 【解析】解：∵圆锥的底面半径的长为3， ∴圆锥的底面周长的长为6π， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为6π， ∴扇形弧长为： ×6π×15=45π， C 117 ∴圆锥侧面展开图的面积为45π， 故选：C． 118 40.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=4cm,则该圆锥的母线长l=12cm,扇形的圆心角θ= _____ °． 【解析】解：根据题意得 ， 解得θ=120． 故答案为：120． 120 119 $$