第26章二次函数 中档题拓展训练 【9个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第26章二次函数 中档题拓展训练★★ 【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册 1 一．二次函数的性质 二．二次函数图象与系数的关系 三．二次函数图象上点的坐标特征 四．二次函数的最值 五．待定系数法求二次函数解析式 六．抛物线与x轴的交点 七．二次函数与不等式 八．二次函数的应用 九．二次函数综合题 2 一．二次函数的性质 3 1.二次函数y=x2-4x+7的图象的顶点所在的象限是( ____ ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】解：∵y=x2-4x+7=(x-2)2+3， ∴顶点坐标为(2，3)， ∴顶点在第一象限． 故选：A． A 4 2.如图，一次函数y=x+2的图象经过二次函数y=-x2+bx+c的图象顶点P，连接OP，当OP长度最小时，则b,c的值分别为( ____ ) A.-2，0 B.2，1 C.2，0 D.-2，1 【解析】解：∵P在直线y=x+2上， ∴当OP⊥直线y=x+2时，OP最短． 又直线OP过原点， A 5 ∴可得直线OP为y=-x. 联列方程组 ， ∴ ． ∴此时P(-1，1)． ∴ ． ∴b=-2，c=0． 6 3.已知二次函数y=x2-2x-3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是-4，则m的取值范围是( ____ ) A.m≥1 B.m≤1 C.-1≤m≤1 D.0≤m≤2 【解析】解：由题意，∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4， ∴当x=1时，y取最小值为-4． ①当m+2＜1时，即m＜-1时， 有(m+2)2-2(m+2)-3=-4． C 7 ∴m=-1，不合题意． ②当m≤1，m+2≥1时，即-1≤m≤1． 此时当x=1时，y取最小值为-4，符合题意． ③当m＞1时， 有m2-2m-3=-4． ∴m=1，不合题意． 总上，-1≤m≤1． 故选C． 8 4.二次函数y=a(x+h)2-k的图象如图所示，则一次函数y=kx+h的图象一定不经过( ____ ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 【解析】解：由题意得：二次函数y=a(x+h)2-k的图象的顶点坐标为：(-h,-k)，且顶点在第四象限， ∴-h＞0，-k＜0， ∴h＜0，k＞0， C 9 ∴一次函数y=kx+h的图象一定经过一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：C． 10 5.定义：如果两个函数的图象上分别存在唯一的一个点，这两点关于x轴对称，则称这两个函数是“有关系的”．若一次函数y=x+1与二次函数y=-x2+3x-t是“有关系的”，则t的值为 ____ ． 【解析】解：由题意，设一次函数y=x+1上存在唯一的一个点为(m,n)，关于x轴对称的点(m,-n)在二次函数y=-x2+3x-t上， ∴ ． ∴m2-4m+t-1=0． ∵点的唯一性， ∴方程m2-4m+t-1=0的Δ=16-4(t-1)=0． 5 11 ∴t=5． 故答案为：5． 12 6.若点A(0，y1)，B( ，y2)，C(3，y3)在抛物线y=(x-1)2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 　　(用“＞”连接)． 【解析】解：∵y=(x-1)2+k的开口向上，且对称轴为x=1， 又∵点C离对称轴最远，点B离对称轴最近， ∴y3＞y1＞y2． 故答案为：y3＞y1＞y2． 13 7.对于代数式A、B，定义一种新运算：A⊗B=2A2-AB+B． ①若(x+1)⊗5=5，则x=-1或 ； ②若x1、x2是一元二次方程(x-1)⊗(x+2)=4的两个根，则 ； ③若二次函数y=x⊗(x-2)在-3≤x≤a内有最小值 ，则 ； ④若y=|3⊗(x2+1)|的函数图象与直线y=x+2b有两个交点，则 ； 以上结论正确的个数是( ____ ) A.1 B 14 B.2 C.3 D.4 【解析】解：①∵(x+1)⊗5=5， ∴(x+1)⊗5=2(x+1)2-5(x+1)+5=5， 即2(x+1)2-5(x+1)=0， (x+1)(2x+2-5)=0， 解得：x1=-1，x2= ， 故是正确的； ②由定义的新运算可得： 15 (x-1)⊗(x+2)=2(x-1)2-(x-1)(x+2)+(x+2)=4， 即x2-4x+2=0， ∵x1、x2是一元二次方程(x-1)⊗(x+2)=4的两个根， ∴x1+x2=4，x1x2=2， ∴ + =(x1+x2)2-2x1x2=42-2×2=12； 故是正确的； ③由定义的新运算可得： 二次函数y=x⊗(x-2)=2x2-x(x-2)+x-2=x2+3x-2， ∵y=x2+3x-2=(x- )2- ， 16 ∴函数的顶点为( ，- )， ∵二次函数y=x⊗(x-2)在-3≤x≤a内有最小值 ， ∴a≥ ； 故错误； ④由定义的新运算可得：函数y=|3⊗(x2+1)|=|2×32-3(x2+1)+(x2+1)|=|16-2x2|， 17 令y=0，则16-2x2=0，解得x= ， ∴函数y=|3⊗(x2+1)|的图象与x轴的交点为(-2 ，0)，(2 ，0)， 把(-2 ，0)代入y=x+2b,解得b=- ， 把(2 ，0)代入y=x+2b,解得b= ， ∴当 时，y=|3⊗(x2+1)|的函数图象与直线y=x+2b有两个交点， 令16-2x2=x+2b,整理得2x2+x-16+2b=0， 若Δ=0时，y=|3⊗(x2+1)|的函数图象与直线y=x+2b有三个交点， 即12-4×2×(-16+2b)=0，解得b= ， 18 ∴当b＞ 时，y=|3⊗(x2+1)|的函数图象与直线y=x+2b有两个交点， 故若y=|3⊗(x2+1)|的函数图象与直线y=x+2b有两个交点，则 或b＞ ； 故错误； 故选：B． 19 二．二次函数图象与系数的关系 20 8.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=1．给出下列结论：①ac＜0；②b2-4ac＞0；③2a-b=0；④a-b+c=0．其中，正确的结论有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∴ac＜0，故①正确； C 21 由函数图象可知抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2-4ac＞0，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线x=1， - =1， ∴b=-2a, ∴b+2a=0，故③错误； ∵抛物线与x轴一个交点为(3，0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)， ∴a-b+c=0，故④正确； 故选：C． 22 9.关于二次函数y=mx2+(3m+2n)x+6n(其中mn＜0)有以下论述，正确的是( ____ ) ①当n=-3m时，对称轴为直线 ． ②函数图象与x轴必有两个不同的交点． ③函数图象必过某一定点． A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 【解析】解：因为n=-3m, A 23 所以抛物线的对称轴为直线x= ． 故①正确． 令y=0得， mx2+(3m+2n)x+6n=0， 则Δ=(3m+2n)2-4m×6n=(3m-2n)2， 因为mn＜0， 所以Δ＞0， 则函数图象与x轴必有两个不同的交点． 故②正确． 因为y=mx2+(3m+2n)x+6n=(x2+3x)m+(2x+6)n, 24 由x2+3x=0得， x1=0，x2=-3． 由2x+6=0得， x=-3， 所以当x=-3时，y=0， 即函数图象过定点(-3，0)． 故③正确． 故选：A． 25 10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，且经过点(0，1)．给出下列结论：①a＜0；②b=2a；③4a-2b+c＞0；④b2-4ac＞0．正确的是：( ____ ) A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 【解析】解：由题意，∵抛物线开口向下， ∴a＜0，故①正确． D 26 又对称轴是直线x=- =-1， ∴b=2a,故②正确． ∵对称轴是直线x=-1， 又当x=0时，y=1＞0， ∴当x=-2时，y=4a-2b+c=1＞0，故③正确． 又∵抛物线对称轴是直线x=-1，且抛物线与x轴的一交点为(1，0)， ∴另一交点为(-3，0)． ∴Δ=b2-4ac＞0，故④正确． 综上，正确的有：①②③④． 故选：D． 27 11.如图，已知抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=-1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，下列结论错误的是( ____ ) A.b2+8a＞0 B.3a＞2 C.若实数m≠-1，则a-b＜am2+bm D.当y＞-2时，x1•x2＜0 【解析】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x=-=-1， B 28 ∴b=2a, ∴b2＞0，-8a＜0， ∴8a＞0， ∴b2+8a＞0．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x=-1处取到， ∴若实数m≠-1，则a-b-2＜am2+bm-2，即若实数m≠-1，则a-b＜am2+bm.故C正确，不符合题意； ∵l∥x轴， ∴y1=y2， 令x=0，则y=-2，即抛物线与y轴交于点(0，-2)， ∴当y1=y2＞-2时，x1＜0，x2＞0． ∴当y1=y2＞-2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意； 29 ∵a＞0， ∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故B错误，符合题意； 故选：B． 30 12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)，其对称轴为直线x=3．下列结论： ①abc＞0； ②若a＞0，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x1＜x2)，若x1+x2＞6，则y1＜y2； ③若方程|ax2+bx+c|=a有四个根，则这四个根的和为12； ④当c=-7时，若5≤x≤6，对应y的整数值有4个，则 ． 其中正确的结论是 ____ .(填写序号) 【解析】解：①∵无法判断c的符号， ∴无法判断abc的符号，故①错误，不合题意； ②③ 31 ②若a＞0，则抛物线开口向上， ∵M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x1＜x2)，且x1+x2＞6， ∴点M(x1，y1)到对称轴的距离小于点N(x2，y2)到对称轴的距离， ∴y1＜y2，故②正确，符合题意； ③方程|ax2+bx+c|=a的四个根分别为ax2+bx+c=a和ax2+bx+c=a的根， ∵抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=3对称， ∴抛物线与直线y=3的交点的横坐标之和为6， 抛物线与直线y=3的交点横坐标之和为12， ∴方程|ax2+bx+c|=a的四个根的和为12，故③正确，符合题意； ④∵对称轴为直线x=3， 32 ∴- =3， ∴b=-6a, ∵c=-7， ∴抛物线y=ax2-6ax-7， ∴抛物线过点(6，-7)， 若5≤x≤6，对应y的整数值有4个， 若a＞0，分别为-7，-8，-9，-10，则-11＜25a-30a-7≤-10，解得 ≤a＜ ； 若a＜0，分别为-7，-6，-5，-4， 33 则-4≤25a-30a-7＜-3， 解得- ＜a≤- ，故④错误． 故答案为：②③． 34 13.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x -4 -3 -1 1 5 y 0 5 9 5 -27 下列结论： ①abc＞0； ②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根； ③当-4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5； ④若点(m,y1)，(-m-2，y2)均在二次函数图象上，则y1=y2； ⑤满足ax2+(b+1)x+c＜2的x的取值范围是x＜-2或x＞3． 其中正确结论的序号为 _____ ． ①②④ 35 【解析】解：把(-4，0)，(-1，9)，(1，5)代入y=ax2+bx+c得： ， 解得 ∴abc＞0，故①正确； ∵a=-1，b=-2，c=8， ∴y=-x2-2x+8， 当y=9时，-x2-2x+8=9， 36 ∴x2+2x+1=0， ∵Δ=22-4×1×1=0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线 ， ∴抛物线的顶点坐标为(-1，9)， 又∵a＜0， ∴当x＜-1时，y随x的增大而增大；当x＞-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，函数取最大值9， ∵x=-3与x=1时函数值相等，等于5， ∴当-4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误； 37 ∵ ， ∴点(m,y1)，(-m-2，y2)关于对称轴x=-1对称， ∴y1=y2，故④正确； 由ax2+(b+1)x+c＜2 得ax2+bx+c＜-x+2，即-x2-2x+8＜-x+2，画函数 y=-x2-2x+8和y=-x+2图象如下： 38 ___ 39 由 ， 解得 ， ∴A(2，0)，B(-3，5)， 由图形可得，当x＜-3或x＞2时，-x2-2x+8＜-x+2，即ax2+(b+1)x+c＜2，故⑤错误； 综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． 40 三．二次函数图象上点的坐标特征 41 14.若(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线y=ax2(a＞0)图象上两个不同的点，则(|x1|-|x2|)(y1-y2)为( ____ ) A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 【解析】解：∵(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线y=ax2(a＞0)图象上两个不同的点， ∴y1=ax21，y2= = ， ∴(|x1|-|x2|)(y1-y2)=a(|x1|-|x2|)(x1+x2)(x1-x2)， D 42 当x1＞0，x2＞0时， 上式=a(x1-x2)(x1+x2)(x1-x2) =a(x1+x2)(x1-x2)2， ∵a＞0，(x1+x2)＞0，(x1-x2)2＞0， ∴原式＞0， 当x1＜0，x2＜0时， 上式=a(x2-x1)(x1+x2)(x1-x2) =a(x1+x2)(x1-x2)2， ∵a＞0，(x1+x2)＞0，(x1-x2)2＞0， ∴原式＞0， 当x1＞0，x2＜0时， 43 上式=a(x1+x2)(x1+x2)(x1-x2) =a(x1-x2)(x1+x2)2， ∵a＞0，(x1-x2)＞0，(x1-x2)2≥0， ∴原式≥0， 当x1＜0，x2＞0时， 上式=a(-x1-x2)(x1+x2)(x1-x2) =-a(x1-x2)(x1+x2)2， ∵-a＜0，(x1-x2)＜0，(x1+x2)2≥0， ∴原式≥0． 故选：D． 44 15.小坤同学画二次函数y=ax2+bx+c(a＞0，b＞0)的图象，列出下表，对应值计算有误的一组点坐标是( ____ ) x … -2 0 1 2 … y … 3 2 3 3 … A.(-2，3) B.(0，2) C.(1，3) D.(2，3) D 45 【解析】解：∵a＞0，b＞0 ∴抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧， 而抛物线经过(-2，3)，(0，2)，(2，3)时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，经过(1，3)，(0，2)，(2，3)抛物线开口向下，对称轴在y轴的右侧，不符合题意， ∵抛物线不能同时经过(-2，3)，(1，3)，(2，3)， ∴(2，3)不在抛物线上， 故选：D． 46 16.若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象上，则( ____ ) A.y3＞y2＞y1 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y3＞y2 D.y3＞y1＞y2 【解析】解：∵二次函数y=x2， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴． ∴当x≥0时，y随x的增大而增大， ∵0＜1＜2， A 47 ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． 48 四．二次函数的最值 49 17.在平面直角坐标系xOy中，M是抛物线y=x2+x-2在第三象限上的一点，过点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为P，Q，则四边形OPMQ的周长的最大值为( ____ ) A.1 B.2 C.4 D.6 【解析】解：令y=0，则x2+x-2=0， 解得x1=-2，x2=1， ∴抛物线与x轴的交点为(-2，0)，(1，0)， D 50 设M(m,m2+m-2)(-2＜m＜0)，则MQ=-m,MP=-(m2+m-2)=-m2-m+2， ∴令四边形OPMQ的周长为L，L=2(-m2-m+2-m)=-2(m2+2m-2)=-2(m+1)2+6， ∵-2＜0， ∴m=-1时，L取最大值，为6． 故选：D． 51 18.当a-2≤x≤a时，二次函数y=x2-4x+3的最小值为15，则a的值为( ____ ) A.-2或8 B.8 C.6 D.-2或6 【解析】解：当y=15时，有x2-4x+3=15， 解得：x1=-2，x2=6． ∵当a-2≤x≤a时，函数有最小值15， ∴a-2=6或a=-2， ∴a=8或a=-2， A 52 19.如图，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上一点，且AE=3，点F是AB边上的动点，以EF为一边作菱形EFGH，使顶点H落在CD上，连接CG，则△HCG面积的最小值为( ____ ) A.1 B. C.3 D. 【解析】解：∵四边形EFGH为菱形， B 53 ∴EF=EH， 当EH⊥CD时，EH取最小值， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D=∠A=90°， ∴点D、H重合，EH的值最小，即为DE的长， ∴EH的最小值为4， ∴EF的最小值为4， 延长HG、AB相交于点M，过点G作GN⊥DC的延长线于点N，则∠GNH=∠A=90°， ∵四边形ABCD为矩形，四边形ABCD为菱形， ∴DN∥AM，EF∥HM，GH=EF，AB=DC=7， 54 ∴∠GHN=∠M，∠AFE=∠M， ∴∠GHN=∠AFE， ∴△GNH≌△EAF(AAS)， ∴NG=AE=3， 当EF、EH取最大时，DH取最大值，此时CH取最小，△HCG的面积取最小值， 当EF取最大时，点B、F重合，此时EF最大值= =5， ∴EH最大值=5， ∴DH= =3， ∴CH最小值=4-3=1， 55 ∴S△HCG最小值= = ． 故选：B． 56 五．待定系数法求二次函数解析式 57 20.已知二次函数的图象与一次函数y=4x-8的图象有两个公共点P(2，m)，Q(n,-8)，如果抛物线的对称轴是直线x=-1，求此二次函数的表达式． 【解析】解：(1)由二次函数与一次函数图象交于P(2，m)，Q(n,-8)， 将x=2，y=m代入一次函数y=4x-8中得：m=8-8，解得：m=0， 将x=n,y=-8代入一次函数y=4x-8中得：-8=4n-8，解得：n=0， ∴P(2，0)，Q(0，-8)， 设二次函数解析式为y=ax2+bx-8(a≠0)， 由抛物线对称轴为直线x=-1，得到- =-1，即b=2a①， 将P坐标代入抛物线解析式得：0=4a+2b-8②， 联立①②解得：a=1，b=2，∴抛物线解析式为y=x2+2x-8． 58 六．抛物线与x轴的交点 59 21.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点坐标为(-1，4)，则下列说法正确的是( ____ ) A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x＜-1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【解析】解：选项A：∵顶点坐标为(-1，4)，∴对称轴为x=-1，故选项A错误； 选项B：由对称性可知，(-3，0)关于x=-1对称的点为(1，0)， D 60 故选项B错误； 选项C：开口向下，当x＜-1时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 选项D：设二次函数解析式为y=a(x+1)2+4，将(-3，0)代入得a=-1， ∴y=-(x+1)2+4，令x=0得y=3， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确． 故选：D． 61 22.若抛物线y=x2-ax(a为常数)与x轴有且只有一个公共点，则a的值为 ____ ． 【解析】∵抛物线y=x2-ax(a为常数)与x轴有且只有一个公共点， ∴Δ=a2=0， ∴a=0． 0 62 23.若关于x的方程x2-(m+3)x+m+6=0的两根x1，x2满足1＜x1≤2＜x2，则二次函数y=x2-(m+3)x+m+6的顶点纵坐标的最大值是 　　． 【解析】解：∵关于x的方程x2-(m+3)x+m+6=0的两根x1，x2满足1＜x1≤2＜x2， ∴Δ=[-(m+3)]2-4(m+6)=m2+2m-15=(m+5)(m-3)＞0， ∴m＞3或m＜-5， ∵x1+x2=m+3＞1+2=3， ∴m＞0， ∴m＞3， ∵二次函数y=x2-(m+3)x+m+6= - 63 +4， ∴对称轴为直线x= ，顶点为( ，- )，图象开口向上， ∴当x＜ 时，y随x的增大而减小， ∴x1在对称轴的左侧，1＜x1≤2， ∴当x1=2时，点(x1，0)距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值， ∴22-2(m+3)+m+6=0， ∴m=4， 64 ∴顶点纵坐标的最大值是 +4=- ， 故答案为： ． 65 24.如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为-2，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则DE+EF的最小值 　　． 【解析】解：对于y=-x2-2x+3，当y=0时，-x2-2x+3=0， 解得：x1=-3，x2=1， ∴点A的坐标为(-3，0)， 对于y=-x2-2x+3，当x=-2时，y=3， ∴点D的坐标为(-2，3)， 66 作点D关于y轴对称的点T，则点T(2，3)， 连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF， ___ 当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小， 67 最小值为线段TN的长． 理由如下： 当点E与点M不重合，点F与点N不重合时， 根据轴对称的性质可知：DE=TE， ∴DE+EF=TE+EF， 根据“两点之间线段最短”可知：TE+EF+AF＞AT， 即：TE+EF+AF＞TN+AN， ∵AF=AN=2， ∴TE+EF＞TN， 即：DE+EF＞TN， ∴当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小． 68 ∵点T(2，3)，A(-3，0)， ∴OH=2，TH=3，OA=3， ∴AH=OA+OH=5， 在Rt△ATH中，AH=5，TH=3， 由勾股定理得：TA= = ， ∴TN=TA-AN= -2． 即DE+EF为最小值为 -2． 故答案为： ． 69 25.如图，抛物线y=ax2+(a-3)x-3(a＞0)与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OB=OC． (1)求这条抛物线的解析式； (2)若点M(x1，b)与点N(x2，b)在(1)中的抛物线上，且x1＜x2，MN=n.求 的值． 【解析】解：(1)由题意，令x=0时，则y=-3， ∴C(0，-3)． ∴OB=OC=3． 70 ∴B(3，0)． 将B(3，0)代入y=ax2+(a-3)x-3中， ∴a=1． ∴这条抛物线的解析式为y=x2-2x-3． (2)由题意，∵ ， 又∵MN=n,x1＜x2， 71 ∴ ． ∴ = = =4． 答： 的值为4． 72 26.已知二次函数 ． (1)直接写出该函数图象的对称轴． (2)求证：当|a|＞1时，该函数图象与x轴的两个交点均在正半轴． (3)点A(a+1，y1)、B(2a-2，y2)在该函数图象上，直接写出y1与y2的大小关系及相应的a的取值范围． 【解析】(1)解：由题意得，抛物线对称轴是直线x=- =1． (2)证明：由题意，令y=ax2-2ax+a- =[ax-(a-1)][x-(1+ )]=0． ∴x= =1- 或x=1+ ． 73 ∴该函数图象与x轴的两个交点为(1- ，0)，(1+ ，0)． ∵|a|＞1， ∴0＜ ＜1． ∴-1＜ ＜1． ∴0＜1+ ＜2，-1＜- ＜1． ∴0＜1- ＜2． ∴该函数图象与x轴的两个交点均在正半轴． (3)解：由题意，对称轴是直线x=1， 74 又点A(a+1，y1)、B(2a-2，y2)在该函数图象上， ∴|a+1-1|=|a|，|2a-2-1|=|2a-3|． ①当a＞0时，若|a|＞|2a-3|，即点A离对称轴比点B离对称轴远， ∴y1＞y2． 若0＜a＜ ， ∴a＞3-2a. ∴a＞1． ∴此时1＜a＜ ． 若a≥ ， 75 ∴a＞2a-3． ∴a＜3． ∴此时 ≤a＜3． 综上，1＜a＜3时，y1＞y2． 当a＞0时，若|a|＜|2a-3|，即点A离对称轴比点B离对称轴近， ∴y1＜y2． 若0＜a＜ ， ∴a＜3-2a. ∴a＜1． ∴此时0＜a＜1． 76 若a≥ ， ∴a＜2a-3． ∴a＞3． ∴此时a＞3． 综上，0＜a＜1或a＞3时，y1＜y2． ②当a＜0时，若|a|＞|2a-3|，即点A离对称轴比点B离对称轴远， ∴y1＜y2． 此时-a＞3-2a, ∴a＞3，不合题意． 当a＜0时，若|a|＜|2a-3|，即点A离对称轴比点B离对称轴近， 77 ∴y1＞y2． 此时-a＜3-2a, ∴a＜3． ∴a＜0时，y1＞y2． 综上所述，当a＜0或1＜a＜3时，y1＞y2；0＜a＜1或a＞3时，y1＜y2． 78 27.定义[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的特征数，下面给出特征数为[2m,1-m,-1-m]的函数结论，其中正确的结论是 _____ ．(填写序号) ①当m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上； ②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ； ③当m＜0时，函数在x＜ 时，y随x的增大而增大； ④若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则m= ①②③ 79 【解析】解：由定义可得，特征数为[2m,1-m,-1-m]的函数为y=2mx2+(1-m)x-1-m, ①当x=1时，y=0， ∴m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上， 故①正确； ②令y=0，则2mx2+(1-m)x-1-m=0， ∴(2mx+1+m)(x-1)=0， 设函数与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)， ∴ ， ∴|x1-x2|=| |=| |， 80 当m＞0时，|x1-x2|＞ ， 故②正确， ③函数对称轴为x= ， 当m＜0是，对称轴x＞ ， ∵a=2m＜0， ∴抛物线开口向下， 对称轴左边是增大而增大，x＜ 就在对称轴左边 故③正确， 81 ④如图1，当m＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点， 由②可得，AB= ， 过C作CD⊥AB于D， ∵AB=|1- |=| |， CD=| |=| |=| | ∵△ABD为等腰直角三角形， 82 ∴AB=2CD， ， ∵A与B不重合， ∴3m+1≠0．m≠0， ， |3m+1|=2， ∴ 或m=-1， 故④错误， 故答案为：①②③． 83 七．二次函数与不等式 84 28.如图，已知抛物线 ，直线y2=-x+1，下列判断中： ①当x＜0或x＞1时，y1＜y2； ②当x=-2或x=3时，y2-y1=6； ③当 时y1-y2随x的增大而增大； ④使 的x的值有3个． 其中正确的个数有( ____ ) A.1 B.2 C 85 C.3 D.4 【解析】解：由题意，可得 ， ∴ 或 ． ∴ 和y2=-x+1两图象的交点为(0，1)，(1，0)． ∴y1＜y2时，即二次函数图象在一次函数图象下方对应的自变量的取值范围． 86 ∴当x＜0或x＞1时，y1＜y2，故①正确． 又y2-y1=-x+1-(-x2+1)=x2-x=6， ∴x=3或x=-2． ∴当x=-2或x=3时，y2-y1=6，故②正确． ∵y2-y1=x2-x=(x- )2- ， 又y2-y1对应抛物线开口向上， ∴当x＞ 时，y随x的增大而增大，故③正确． ∵|y2-y1|= ， 87 ∴x2-x= 或x2-x=- ． ∴对于x2-x- =0的Δ＞0，此时方程有两个不等的实数根；而对于x2-x+ =0的Δ=1- =- ＜0，此时方程没有实数根． ∴|y2-y1|= 的x有2个，故④错误． 综上，正确的有①②③共3个． 故选：C． 88 29.如图是二次函数 和一次函数y2=kx+t的图象，当y1＜y2时，x的取值范围是( ____ ) A.x＜-1 B.x＞2 C.-1＜x＜2 D.x＜-1或x＞2 【解析】解：根据图像，函数y1和y2的图象的两交点的横坐标为2和-1， ∵当x＜-1或x＞2时，二次函数图象在直线的下方， ∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜-1或x＞2， 故选：D． D 89 八．二次函数的应用 90 30.一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部分，杯口AB=8cm,杯底CD=4cm,且AB∥CD，杯深12cm,如图2若盛有部分水的水杯倾斜45°(即∠ABP=45°)，水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为( ____ ) A.5cm B.6cm C. D.7cm D 91 【解析】解：建立如图所示坐标系，作PE⊥x轴于点E． ____ 各点坐标为：A(-4，0)，B(4，0)，C(-2，-12)，D(2，-12)． 设y=a(x+4)(x-4)， -12=a(-2+4)(-2-4)， a=1， y=(x+4)(x-4)=x2-16， 92 ∵∠ABP=45°，∠PEB=90°， ∴∠BPE=45°， ∴∠EPB=∠EBP， ∴EP=EB． 设P(x,y)． BE=4-x,EP=-y, -y=4-x, -(x2-16)=4-x, 解得x1=4(舍去)，x2=-3， y=9-16=-7， PE=-y=7． 93 31.如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y= ，正常水位时水面宽AB为36m,当水位上升5m时水面宽CD为( ____ ) _______ A.10m B.12m C 94 C.24m D.48m 【解析】解：∵AB=36米， ∴当x=18时，y=- ×182=-9， 当水位上升5米时，y=-4， 把y=-4代入抛物线表达式得：-4=- x2， 解得x=±12， 此时水面宽CD=24(m)， 故选：C． 95 32.在2024年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y(单位：米)与飞行的水平距离x(单位：米)之间具有函数关系 ，则小康这次实心球训练的成绩为 ____ 米． 【解析】解：当y=0时， ， 12 96 整理，得x2-10x-24=0， 解得x1=12，x2=-2(舍)， 所以小康这次实心球训练的成绩是12米． 故答案为：12． 97 33.电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在铅售过程中发现，每周的销售量y(件)与每件玩具售价x(元)之间满足一次函数关系y=-2x+320(其中100≤x≤120，且x为整数)，电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润是 ______ 元． 【解析】解：由题意，利润w=(x-100)(-2x+320)=-2(x-130)2+1800． ∵-2＜0， ∴当x＜130时，y随x的增大而增大． 又∵100≤x≤120， ∴当x=120时，w取得最大值，此时w=1600． 答：当每件玩具售价为120元时， 1600 98 电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1600元． 故答案为：1600． 99 34.实验与探究 某课外科技小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如下表： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离x/m 0 9 18 27 36 … 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 … 【探究发现】 100 通过分析数据可以发现x随t的变化满足一次函数关系，y随t的变化满足二次函数关系． (1)请直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； 【解决问题】 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下面的问题： (1)若发射平台相对于水平安全线的高度为0m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离； (2)在水平安全线上设置回收区域MN，AM=112.5m,MN=4.5m.若飞机落到回收区域MN内(不包括端点M、N)， 101 求发射平台相对于水平安全线的高度变化范围． 【解析】】解：探究发现：(1)由题意，x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系， 设x=kt,y=at2+bt, 由题意得：9=2k, ． ∴k= ， ． ∴一次函数的关系式为x= t,二次函数的关系式为y=- t2+12t. 102 解决问题：(1)由题意，∵y=- t2+12t, 令y=0=- t2+12t, ∴t1=0(舍)，t2=24． ∴当t=24时，x=108． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为108m. (2)设发射平台相对于安全线的高度为n m,飞机相对于安全线的飞行高度y′=- t2+12t+n, ∵112.5＜x＜117， 103 ∴112.5＜ t＜117． ∴25＜t＜26． 在y′=- t2+12t+n中， 当t=25，y′=0时，n=12.5； 当t=26，y′=0时，n=26． ∴12.5＜n＜26． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m. 104 35.广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．(题中“元”为人民币) 【解析】解：设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元， w=(x-2)[100+50(5-x)] =-50(x-4.5)2+312.5， ∵-50＜0， 105 ∴w随x的增大而减小， ∴当x=4.5时，w有最大值，最大值为312.5万元， 答：该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为312.5万元． 106 36.如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，再以相等的间隔从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，主索DPC所在曲线的y与x之间近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a＞0)． 某实践小组经过测量，桥面AB中点M处上方点P为该悬索桥主索的最低点，MP=5m,MA=40m,塔桥AD高度为25m. (1)求该悬索桥主索所在抛物线的解析式； 107 (2)若想在距离M点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度； (3)厂家生产了一条长16.25m的吊索，应将该吊索安置在距A点多远的桥面上？ 【解析】解：(1)由题意得，点P(40，5)，D(0，25)， 设主索所在抛物线的解析式为y=a(x-40)2+5， 将D(0，25)代入该解析式可得，25=a(0-40)2+5， ∴ ， ∴该悬索桥主索所在抛物线的解析式为 ； (2)设点N在M点左侧20m处，则xN=40-20=20， 108 当x=20时， ， 则这两条吊索的总长度为：2×10=20(m)， ∴这两条吊索的总长度为20m. (3)解：吊索长度为16.25m, 则 ， 解得x1=10或x2=70， 答：应将该吊索安置在距A点10m或70m的桥面上． 109 37.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． (1)若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出 _____ 件； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ (3)若在销售过程中每一件商品有a(a＞2)元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请求出a的取值范围． 160 110 【解析】解：(1)由题意得：若每件商品的售价定价为55元，则每个月可卖出210-(55-50)×10=160件， 故答案为：160； (2)由题意得：y=(210-10x)(50+x-40)=-10x2+110x+2100(0＜x≤15且x为整数)： ∴y=-10(x-5.5)2+2402.5， ∵a=-10＜0， ∴当x=5.5时，y有最大值2402.5， ∵0＜x≤15，且x为整数， 当x=5时，50+x=55，y=2400(元)， 当x=6时，50+x=56，y=2400(元)， 111 ∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元； (3)由题意得： y=(210-10x)(50+x-40-a)=-10x2+(110-10a)x+210(10-a)， 函数的对称轴为： ， 售价每件不低于57元时，即x≥57-50=7， 即临界点为： ， 解得：a=3， ∴2＜a≤3． 112 38.如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y=a(x-20)2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC=2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上(包括端点B、C)，求a的取值范围． 113 _______ 【解析】解：(1)①设石块运行的函数关系式为y=a(x-20)2+10， 把(0，0)代入解析式得：400a+10=0， 解得：a=- ， ∴解析式为：y=- (x-20)2+10，即y=- x2+x(0≤x≤40)； 114 ②石块能飞越防御墙AB，理由如下： 把x=30代入y=- x2+x得： y=- ×900+30=7.5， ∵7.5＞6， ∴石块能飞越防御墙AB； (3)由题可知B(28，6)，抛物线y=a(x-20)2+k, ∴把(0，0)，(28，6)代入得： ， 解得a=- ； 115 把C(30，6)，(0，0)代入解析式 ， 解得a=- ， ∴a的取值范围为- ≤a≤- ． 116 九．二次函数综合题 117 39.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-3，0)和B(1，0)，交y轴于点C，点D为顶点坐标． (1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标； (2)点P在抛物线第二象限运动(不含A，C两点)，连接BC，BP，当∠ABP=∠OCB时，求点P的横坐标． 【解析】解：(1)由题意得：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+bx+3， 解得：a=-1， ∴抛物线的函数表达式为 y=-x2-2x+3， ∵抛物线的函数表达式为 y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4． ∴D(-1，4)； 118 (2)如答图，过点P作 PM⊥x轴于点M． ___ ∴∠PMB=90° ∵抛物线的表达式为y=-x2-2x+3 ∴C(0，3)， ∵B(1，0)， ∴OC=3，OB=1． ∴在Rt△CBO中 ， 119 ∵点P在抛物线 y=-x2-2x+3第二象限上运动，点P的横坐标为m, ∴P(m,-m2-2m+3)， ∴PM=-m2-2m+3，BM=1=m. ∵∠ABP=∠OCB， ∴tan∠ABP=tan∠OCB． 在Rt△PBM中， ， ∴3(-m2-2m+3)=1-m. 解得：m=- (不合题意的值已舍去)， ∴点P的横坐标为 ． 120 40.综合与实践 【生成概念】抛物线L：y=x2+2mx+n与y轴交于点A，若抛物线L′上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L′是L的“兄弟抛物线”． 121 【感知特例】(1)已知抛物线L：y=x2+2x+2，写出L的“兄弟抛物线”L′的解析式，并画出抛物线L和L′． 【代数推理】通过代数推理证明抛物线L图象的性质：从特定的条件开始，利用代数的定义、公式、运算法则，以及等式和不等式的性质，进行逻辑推理，以验证已知的结果或得出结论，这一过程称为代数推理．我们不妨来试试． 运用代数推理证明：抛物线L：y=x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x=-1． 证明：在抛物线L上任取一点M(a,b)，则b=a2+2a+2 点M关于直线x=-1对称的点N(-2-a,b)， ∵(-2-a)2+2(-2-a)+2=a2+2a+2=b, 122 ∴点N也在抛物线L：y=x2+2x+2的图象上， ∵点M(a,b)是抛物线L：y=x2+2x+2上的任意一点，它关于直线x=-1对称的点N(-2-a,b)都在抛物线L：y=x2+2x+2的图象上， ∴抛物线L：y=x2+2x+2的图象是轴对称图形，对称轴是直线x=-1． (2)仿照上述方法，运用代数推理证明：抛物线L：y=x2+2x+2与L的“兄弟抛物线”L′关于点A中心对称． 【拓展延伸】(3)智慧小组发现抛物线L：y=x2+2mx+n和L的“兄弟抛物线”L这两抛物线的顶点所连直线l和mn有一定的关系，请你求出直线l与x轴正半轴夹角θ的正切值tanθ(可用m、n表示)． 【解析】(1)L的“兄弟抛物线”L的解析式为y=-x2+2x+2， 123 图象如图所示： __ (2)运用代数推理证明：抛物线L；y=x2+2x+ 124 2与L的“兄弟抛物线”L关于点A中心对称， 证明：在抛物线L上任取一点M(a,b)，则b=a2+2a+2， 点M关于点A(0，2)成中心对称的N(-a,4-b)， L′的解析式为y=-x2+2x+2， ∵-(-a)2+2(-a)+2=a2-2a+2=4-b, ∴点N在抛物线U：y=-x2+2x+2的图象上， ∵点M(a,b)是抛物线L；y=x2+2x+2上的任意一点，它关于点A(0，2)中心对称的点N(-a,4-b)都在抛物线L：y=-x2+2x+2的图象上， ∴抛物线L：y=x2+2x+2的图象上的任意一点关于点A(0，2)中心对称的点都在抛物线U：y=-x2+2x+2的图象上． 同理，抛物线L：y=-x2+2x+2的图象上的任意一点关于点A(0，2) 125 中心对称的点都在抛物线L：y=x2+2x+2的图象上． ∴抛物线L：y=x2+2x+2与L的“兄弟抛物线”L关于点A中心对称． (3)∵抛物线L：y=x2+2mx+n的顶点坐标为(-m,n-m2)，点A(0，n)， ∴抛物线L：y=-x2+2x+2的顶点坐标为(m,n+m2)， ∴tanθ=m. 126 $$