第26章二次函数 基础题过关检测 【11个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第26章二次函数 基础题过关检测★ 【11个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册 1 一．二次函数的定义 二．二次函数的性质 三．二次函数图象与系数的关系 四．二次函数图象上点的坐标特征 五．二次函数图象与几何变换 六．二次函数的最值 七．抛物线与x轴的交点 八．图象法求一元二次方程的近似根 九．二次函数与不等式 一十．二次函数的应用 一十一 2 一．二次函数的定义 3 1.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是(　　) ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y(cm)与宽x(cm)的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y(cm2)与圆柱的高x(cm)的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出(100-2x)件．利润y(元)与每件进价x(元)的关系． A.① B.② C.③ D.①③ 4 【解析】解：① ，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； ②y=2π×5x=10πx,y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； ③y=(x-80)(100-2x)=100x-2x2-8000+160x=-2x2+260x-8000，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 5 二．二次函数的性质 6 2.如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB=10，BC=5，CD=6，则PQ的长度为( ____ ) A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】解：分别作出两条抛物线的对称轴PM，QC，交AD于点M，C， B 7 ∴四边形PMCQ是矩形， ∴MC=PQ， ∵AB=10，BC=5，CD=6， ∴ ， ， ____ ∴MN=AD-AM-CD=(AB+BC+CD)-AM-CD= ， 8 ∴PQ=8， 故选：B． 9 3.在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y=ax2-4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个雅系点( ， )，且当m≤x≤0时，函数y=ax2-4x+c+ (a≠0)的最小值为-6，最大值为-2，则m的取值范围是( ____ ) A.-1≤m≤0 B.- ＜m≤-2 C.-4≤m≤-2 D.- ≤m＜- C 10 【解析】解：令ax2-4x+c=x,即ax2-5x+c=0， 由题意，△=(-5)2-4ac=0，即4ac=25， 又方程的根为 =- ， 解得a=-1，c=- ， 故函数y=ax2-4x+c+ =-x2-4x-6， ∵y=-x2-4x-6=-(x+2)2-2， ∴函数图象开口向下，顶点为(-2，-2)，与y轴交点为(0，-6)，由对称性， 11 该函数图象也经过点(-4，-6)． 由于函数图象在对称轴x=-2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y=-x2-4x-6的最小值为-6，最大值为-2， ∴-4≤m≤-2， 故选：C． 12 4.抛物线y=x2-2x+m的图象与直线y=3有且只有一个公共点时，m= ____ ． 【解析】解：由题意，∵y=x2-2x+m的图象与直线y=3有且只有一个公共点， ∴令y=x2-2x+m=3，得方程x2-2x+m-3=0． ∴Δ=4-4(m-3)=0． ∴m=4． 故答案为：4． 4 13 5.已知二次函数y=(x-a)(x+2a-1)的对称轴是直线x=-2，则a的值为 ____ ． 【解析】解：y=(x-a)(x+2a-1)=x2+(a-1)x-2a2+a, ∵抛物线的对称轴为直线x=-2， ∴- =-2， ∴a=5． 故答案为：5． 5 14 三．二次函数图象与系数的关系 15 6.如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，对称轴是直线x=1，则下列说法：①b＞0；②2a+b=0；③4a-2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m(ma+b)＜a+b(常数m≠1)．其中正确的个数为( ____ ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为直线x=- ＞0，则b＞0，故本选项正确； B 16 ②由对称轴为直线x=1， ∴- =1，∴b=-2a,则2a+b=0，故本选项正确； ③由图象可知，当x=-2时，y＜0，则4a-2b+c＜0，故本选项错误； ④从图象知，当x=-1时，y=0，则a-b+c=0， ∵b=-2a, ∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故本选项错误； ⑤∵对称轴为直线x=1， ∴当x=1时，抛物线有最大值， ∴a+b+c＞m2a+mb+c, ∴m(ma+b)＜a+b(常数m≠1)，故本选项正确； 17 7.已知抛物线y=x2-2mx+3上的三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，若总有y1＜y2＜y3成立，则x1，x2，x3的值分别可以是( ____ ) A.1，2，3 B.-1，0，2024 C.m,m-1，m+1 D.m,m+2，m-2024 【解析】解：由题意，∵y=x2-2mx+3， ∴抛物线的对称轴是直线x=- =m. ∵a=1＞0， D 18 ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又对于三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，若总有y1＜y2＜y3， ∴|x1-m|＜|x2-m|＜|x3-m|． 再分别将选项A，B，C，D代入上面不等式， ∴A代入后，|1-m|＜|2-m|＜|3-m|，要根据m的范围才能保证不等式成立，故A不正确； B代入后，|-1-m|＜|-m|＜|2024-m|，要看m的范围才能保证不等式成立，故B不正确； C代入之后，|m-m|=0＜|m-1-m|=1=|m+1-m|，与|x1-m|＜|x2-m|＜|x3-m|矛盾，故C不正确； D代入之后，|m-m|=0＜|m+2-m|=2＜|m-2024-m|=2024，不等式成立， 19 符合题意，故D正确． 故选：D． 20 8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，交x轴于(3，0)，下列说法正确的是( ____ ) A.b＜0 B.b2＜4ac C.a+c=b D.2a-b=0 【解析】解：如图，∵抛物线开口向下， ∴a＜0． 又对称轴是直线x=- =1， ∴b=-2a＞0，故A错误． C 21 又抛物线与x轴交于两点， ∴Δ=b2-4ac＞0． ∴b2＞4ac,故B错误． ∵对称轴是直线x=1，且抛物线过(3，0)， ∴抛物线必过点(-1，0)． ∴当x=-1时，y=a-b+c=0． ∴a+c=b,故C正确． ∵b=-2a, ∴2a-b=2a+2a=4a＜0，故D错误． 故选：C． 22 9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，与x轴交于(x1，0)，(x2，0)两点，0＜x1＜1，下列结论正确的是( ____ ) A.abc＞0 B.x1+x2=-1 C.4a-2b+c＞0 D.am2+bm≥a-b(m为任意实数) 【解析】解：A、∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵- =-1， D 23 ∴b=2a＞0， ∵抛物线 与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故结论错误，不符合题意； B、∵抛物线对称轴是直线x=-1，与x轴交于(x1，0)，(x2，0)两点， ∴ ， ∴x1+x2=-2，故结论错误，不符合题意； C、根据对称轴为直线x=-1，0＜x1＜1，则-3＜x2＜-2， ∴x=-2时，y＜0， ∴4a-2b+c＜0，故结论错误，不符合题意； 24 D、当x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c为最小值， ∴a-b+c≤am2+bm+c,即am2+bm≥a-b(m为任意实数)，故结论正确，符合题意． 故选：D． 25 10.如图，已知抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=-1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，下列结论错误的是( ____ ) A.b2+8a＞0 B.3a＞2 C.若实数m≠-1，则a-b＜am2+bm D.当y＞-2时，x1•x2＜0 【解析】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x=-=-1， B 26 ∴b=2a, ∴b2＞0，-8a＜0， ∴8a＞0， ∴b2+8a＞0．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x=-1处取到， ∴若实数m≠-1，则a-b-2＜am2+bm-2，即若实数m≠-1，则a-b＜am2+bm.故C正确，不符合题意； ∵l∥x轴， ∴y1=y2， 令x=0，则y=-2，即抛物线与y轴交于点(0，-2)， ∴当y1=y2＞-2时，x1＜0，x2＞0． ∴当y1=y2＞-2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意； 27 ∵a＞0， ∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故B错误，符合题意； 故选：B． 28 11.定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x=m,对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x=m的“镜面函数”．例如：函数y=x+1的“镜面函数”的解析式为 也可以写成y=|x|+1．已知A(-1，0)，B(3，0)，C(3，-2)，D(-1，-2)，函数y=x2-2nx+2(n＞0)关于直线x=0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，则n的取值范围是 　　． 【解析】解：函数y=x2-2nx+2(n＞0)的“镜面函数”解析式为y=x2+2nx+2(n＞0)， 29 当x=-1时，y＜0， ∴1-2n+2＜0， 解得n＞ ， 当y=x2-2nx+2(n＞0)的顶点在CD上时， ， 解得n=2或n=-2(舍)， 此时，函数y=x2-2nx+2(n＞0)关于直线x=0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有5个交点，不合题意， ∴ ， 当x=3时，y＜-2， 30 ∴9-6n+2＜-2， 解得n ， 综上，n的取值范围为 或n ． 故答案为： 或n ． 31 12.在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y=x2-2mx+m2-1上任意两点． (1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)； (2)若x2=x1+n(n＞0)，点M、N中至少有一个点位于x轴的上方，直接写出n的范围； (3)若对于-1＜x1＜2，x2=m+2时，都有y1＜y2，求m的取值范围． 【解析】解：(1)∵y=x2-2mx+m2-1， ∴抛物线的对称轴为直线x=- =m； (2)∵y=x2-2mx+m2-1=(x-m)-1， 32 ∴抛物线的顶点坐标为(m,-1)， 令y=0，则x2-2mx+m2-1=0， 解得x=m-1或x=m+1， ∴抛物线与x轴的两个交点为A(m-1，0)B(m+1，0)， ∴AB=2 ∵点M、N中至少有一个点位于x轴的上方 ∴x2-x1＞2， ∵x2=x1+n(n＞0)， ∴n＞2； (3)∵抛物线的对称轴为x=m, ∴(m+2，y2)点一定位于对称轴的右侧，它的对称点为(m-2，y2)， 33 ∵对于-1＜x1＜2，x2=m+2时，都有y1＜y2， ∴ ， 解得0≤m≤1． 34 四．二次函数图象上点的坐标特征 35 13.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=-x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m,n(m＞n＞0)，下列结论正确的是( ____ ) A.m+n=1 B.m-n=1 C.m=1 D. =1 【解析】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， B 36 ___ 将A，C两点的横坐标代入函数解析式得， 点A坐标为(m,-m2+4)，点C坐标为(n,-n2+4)， 所以AM=m,MO=-m2+4，CN=n,NO=-n2+4． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD=CD，∠ADC=90°， 所以∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°， 所以∠CDN=∠DAM． 37 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM(AAS)， 所以DM=CN=n,DN=AM=m, 所以MN=DM+DN=m+n, 又因为MN=NO-MO=m2-n2， 所以m2-n2=m+n, 即(m+n)(m-n)=m+n, 因为m＞n＞0， 38 所以m+n≠0， 所以m-n=1． 故选：B． 39 14.已知二次函数y=2x2+m,如图，此二次函数的图象经过点(0，-4)，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为( ____ ) A.2 B.4 C.8 D.18 【解析】解：∵二次函数y=2x2+m的图象经过点(0，-4)， ∴m=-4， C 40 ∵四边形ABCD为正方形， 又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴， ∴OD=OC，S阴影=S矩形BCOE， 设点B的坐标为(n,2n)(n＞0)， ∵点B在二次函数y=2x2-4的图象上， ∴2n=2n2-4， 解得，n1=2，n2=-1(舍负)， ∴点B的坐标为(2，4)， ∴S阴影=S矩形BCOE=2×4=8． 故选：C． 41 15.若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象上，则( ____ ) A.y3＞y2＞y1 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y3＞y2 D.y3＞y1＞y2 【解析】解：∵二次函数y=x2， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴． ∴当x≥0时，y随x的增大而增大， ∵0＜1＜2， A 42 ∴y1＜y2＜y3， 故选：A． 43 16.若A(-1，y1)，B(1，y2)，C(4，y3)三点都在二次函数y=-(x-2)2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( ____ ) A.y1＜y2＜y3 B.y1＜y3＜y2 C.y3＜y1＜y2 D.y3＜y2＜y1 【解析】解：∵a=-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵二次函数y=-(x-2)2+k, ∴抛物线对称轴为x=2， B 44 ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵A(-1，y1)，B(1，y2)，C(4，y3)三点都在二次函数y=-(x-2)2+k的图象上，2-(-1)=3，2-1=1，4-2=2， ∴y2＞y3＞y1， 故选：B． 45 五．二次函数图象与几何变换 46 17.对于二次函数y=3(x-1)2+2的性质，下列描述正确的是( ____ ) A.开口向下 B.对称轴是直线x=-1 C.顶点坐标是(2，1) D.抛物线可由y=3x2+2向右平移1个单位得到 【解析】解：二次函数y=3(x-1)2+2的图象的开口向上， 对称轴为直线x=1， 顶点坐标为(1，2)， 抛物线可由y=3x2+2向右平移1个单位得到． 故选：D． D 47 18.将二次函数y=2(x-1)2+5的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 　　． 【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2(x-1)2+5的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2(x-1+2)2+5，即y=2(x+1)2+5； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2(x+1)2+5向下平移3个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2(x+1)2+5-3，即y=2(x+1)2+2． 故答案为：y=2(x+1)2+2． 48 19.若要平移二次函数y=-x2+2mx-m2-m+1(m为常数)的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需要平移的最短距离为( ____ ) A. B. C.1 D. 【解析】解：∵y=-x2+2mx-m2-m+1=-(x-m)2-m+1， ∴顶点为(m,-m+1)， B 49 ∴抛物线的顶点在直线y=-x+1上，如图， ∴原点O到直线y=-x+1的距离就是需要平移的最短距离， ∵y=-x+1， ∴A(0，1)，B(1，0)， ∴AB= ， ∵ OA•OB= AB•OD，即1×1= OD， ∴OD= ， ∴需要平移的最短距离为 ， 50 20.二次函数 　　的图象向上平移5个单位长度后，再向右平移2个单位长度得到y=(x+2)2+3的图象． 【解析】解：y=(x+4)2-2的图象向上平移5个单位长度后，再向右平移2个单位长度得到y=(x+2)2+3的图象． 故答案为：y=(x+4)2-2． 51 21.把抛物线y=x2的图象向下平移3个单位，所得函数解析式为( ____ ) A.y=(x+3)2 B.y=x2+3 C.y=(x-3)2 D.y=x2-3 【解析】解：∵抛物线y=x2的图象向下平移3个单位， ∴平移后图象的解析式为：y=x2-3， 故选：D． D 52 22.在平面直角坐标系中把抛物线y=x2向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为 　　． 【解析】解：把抛物线y=x2向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为：y=x2-2． 故答案为：y=x2-2． 53 23.已知二次函数y=x2-2tx+3． (1)当t=-2时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当y≥3时，直接写出x的取值范围． (2)若点A(3，6)，B(m,6)是该函数图象上不同的两点，求m的值． (3)当t＞0时，将该函数图象沿y轴向上或向下平移t个单位，若图象的最低点到x轴的距离为1，求t的值． 【解析】解：(1)当t=-2时，则二次函数为x2+4x+3， ①∵y=x2+4x+3=(x+2)2-1， ∴该函数图象的顶点坐标为(-2，-1)； 54 ②∵y=x2+4x+3=(x+2)2-1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2， ∴x＜-2时，y随x的增大而减小，x＞-2时，y随x的增大而增大， 令x2+4x+3=3，即x2+4x=0， 解得x=0或x=-4， ∴抛物线x2+4x+3与直线y=3的交点为(-4，3)，(0，3)， ∴当y≥3时，x的取值范围是x≤-4或x≥0． (2)∵y=x2-2tx+3， ∴对称轴为直线x=- =t, ∵点A(3，6)，B(m,6)是该函数图象上不同的两点， 55 ∴6=9-6t+3， 解得t=1， ∴ ， ∴m=-1． (3)∵y=x2-2tx+3=(x-t)2+3-t2， ∴将函数y=x2-2tx+3图象沿y轴向上平移t个单位得到y=(x-t)2+3-t2+t,向下平移t个单位得到y=(x-t)2+3-t2-t ∴最低点为(t,-t2+3+t)或(t,-t2+3-t)， ∴-t2+3+t=1或-t2+3+t=-1， 解得t1=2，t2=-1(舍去)， 56 -t2+3-t=1或-t2+3-t=-1， 解得t3=1，t4=-2(舍去)， ∴将该函数图象沿y轴向上平移2个单位或向下平移1个单位，图象的最低点到x轴的距离为1， ∴t的值为2和1． 57 24.已知抛物线L1：y=a(x-3)2-5经过点(2，-4)． (1)求L1的函数表达式及其顶点坐标； (2)若点A(m,y1)和B(n,y2)在抛物线L1上，且n-m=4，y1=y2． ①求A，B两点的坐标； ②将抛物线L1平移得到抛物线L2：y=a(x-3+k)2-5．当m≤x≤n时，抛物线L2的函数最大值为p,最小值为q,若p-q=6，求k的值． 【解析】解：(1)把点(2，-4)代入y=a(x-3)2-5得，-4=a(2-3)2-5， 解得a=1， ∴L1的函数表达式为y=(x-3)2-5， ∴顶点坐标为(3，-5)； 58 (2)①由y1=y2可知n+m=6， ∴n-m=4， ∴m=1，n=5， ∴A(1，-1)和B(5，-1)； ②抛物线L2：y=(x-3+k)2-5的对称轴为直线x=3-k,顶点为(3-k,-5)， 由①得1≤x≤5； Ⅰ．当3-k≤1，即k≥2时，x=5时，函数最大值为p=(k+2)2-5；x=1时，函数最小值为q=(k-2)2-5， ∴p-q=[(k+2)2-5]-[(k-2)2-5]=8k=6， 解得k= ＜2(舍去)； 59 Ⅱ.3-k≥5，即k≤-2时，x=1时，函数最大值为p=(k-2)2-5；x=5时，函数最小值为q=(k+2)2-5， ∴p-q=[(k-2)2-5]-[(k+2)2-5]=-8k=6， 解得k=- ＞-2(舍去)； Ⅲ.1＜3-k＜5，即-2＜k＜2时，x=3-k时，函数有最小值q=-5， 若3-k-1≥5-(3-k)，即-2＜k≤0时，x=1时，函数由最大值p=(k-2)2-5， ∴p-q=(k-2)2-5+5=(k-2)2=6， 解得k1=2+ (舍去)，k2=2- ； 若3-k-1≤5-(3-k)，即0＜k≤2时，x=5时，函数由最大值p=(k+2)2-5， ∴p-q=(k+2)2-5+5=(k+2)2=6， 60 解得k1=-2+ (舍去)，k2=-2- (舍去)； 综上，k的值为2- 或-2+ ． 61 六．二次函数的最值 62 25.如图，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上一点，且AE=3，点F是AB边上的动点，以EF为一边作菱形EFGH，使顶点H落在CD上，连接CG，则△HCG面积的最小值为( ____ ) A.1 B. C.3 D. 【解析】解：∵四边形EFGH为菱形， B 63 ∴EF=EH， 当EH⊥CD时，EH取最小值， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D=∠A=90°， ∴点D、H重合，EH的值最小，即为DE的长， ∴EH的最小值为4， ∴EF的最小值为4， 延长HG、AB相交于点M，过点G作GN⊥DC的延长线于点N，则∠GNH=∠A=90°， ∵四边形ABCD为矩形，四边形ABCD为菱形， ∴DN∥AM，EF∥HM，GH=EF，AB=DC=7， 64 ∴∠GHN=∠M，∠AFE=∠M， ∴∠GHN=∠AFE， ∴△GNH≌△EAF(AAS)， ∴NG=AE=3， 当EF、EH取最大时，DH取最大值，此时CH取最小，△HCG的面积取最小值， 当EF取最大时，点B、F重合，此时EF最大值= =5， ∴EH最大值=5， ∴DH= =3， ∴CH最小值=4-3=1， 65 ∴S△HCG最小值= = ． 故选：B． 66 26.在平面直角坐标系中，抛物线 (0≤x≤8)的图象如图所示，对任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”(即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差)，L为a到b时x的值的“极宽”(即b与a的差值)，则当L=7时，W的取值范围是 　　． 【解析】解：根据题意可得： =- (x-3)2+ ， ∴抛物线的对称轴x=3，顶点坐标为(3， 67 )， ∵L=7，即b与a的差值为7， ∴b=a+7， ∵0≤a＜b≤8，即0≤a＜a+7≤8， ∴0≤a≤1，则7≤a+7≤8， ∴当a≤x≤3时，y随x增大而增大，当3＜x≤a+7时，y随x的增大而减小， ∴当x=3时，y有最大值，最大值为 ， 当x=a+7时，y有最小值，最小值为- (a+4)2+ ， ∴W= -[- (a+4)2+ ]= (a+4)2， 68 则对称轴a=-4， ∴当0≤a≤1时，W随a的增大而增大， ∴当a=0时，W有最小值，最小值为4， 当a=1时，W有最大值，最大值为 ， 综上所述：4≤W≤ ； 故答案为：4≤W≤ ． 69 七．抛物线与x轴的交点 70 27.二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数)．不论m为何值，该函数的图象与x轴( ____ ) A.两个不同的交点 B.两个相同的交点 C.没有交点 D.无法判断 【解析】解：当y=0时，x2-2mx+m2+3=0， ∴Δ=b2-4ac=(-2m)2-4(m2+3)=-12＜0， ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有交点， 故选：C． C 71 28.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a＜0)经过A(2，0)，B(-4，0)两点，下列结论正确的是( ____ ) A.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2，x2=4 B.c＜0 C.若点C(-5，y1)，D(π，y2)在该抛物线上，则y1＜y2 D.b＜a+c 【解析】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2，x2=-4，故A选项错误； ∵y=a(x-2)(x+4)=a(x2+2x-8)=ax2+2ax-8a, 又∵a＜0， D 72 ∴-8a＞0， ∴c＞0，故B选项错误； ∵对称轴为直线x= ， 又∵a＜0， ∴y1＞y2，故C选项错误； ∵当x=-1时，y＞0， ∴a-b+c＞0， ∴b＜a+c,故D选项正确； 故选：D． 73 八．图象法求一元二次方程的近似根 74 29.如图，以(1，-4)为顶点的二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是( ____ ) A.2＜x＜3 B.3＜x＜4 C.4＜x＜5 D.5＜x＜6 【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点为(1，-4)， ∴对称轴为x=1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是-3＜x＜-2，∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． C 75 九．二次函数与不等式 76 30.如图是二次函数 和一次函数y2=kx+t的图象，当y1＜y2时，x的取值范围是( ____ ) A.x＜-1 B.x＞2 C.-1＜x＜2 D.x＜-1或x＞2 【解析】解：根据图像，函数y1和y2的图象的两交点的横坐标为2和-1， ∵当x＜-1或x＞2时，二次函数图象在直线的下方， ∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜-1或x＞2， 故选：D． D 77 31.直线y1=ax+b和抛物线y2=ax2+bx(a,b是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中，直线y1=ax+b经过点(-4，0)．下列结论： ①抛物线y2=ax2+bx的对称轴是直线x=-2； ②抛物线y2=ax2+bx与x轴一定有两个交点； ③关于x的方程ax+b=ax2+bx有两个根x1=-4，x2=1； ④若a＞0，当x＜-4或x＞1时，y1＞y2． 其中正确的结论是 _____ (填序号)． 【解析】解：∵直线y1=ax+b经过点(-4，0)， ∴-4a+b=0， ∴- =- =-2， ①②③ 78 故①是正确； ∵a≠0， ∴b=4a≠0， ∴Δ=b2＞0， ∴0=ax2+bx有两个不相等的实数根， ∴抛物线y2=ax2+bx与x轴一定有两个交点， 故②是正确的； ∵ax+b=ax2+bx可化为：ax2+(b-a)x-b, 解得：x1=-4，x2=1， 故③是正确的； 由③得直线y1=ax+b和抛物线y2=ax2+bx的两个交点的横坐标为1，-4， 79 当a＞0时，当x＜-4或x＞1时，y1＜y2， 故④是错误的； 故答案为：①②③． 80 32.我们学习过二次函数与一元二次方程之间的关系，可以借助二次函数的图象，研究一元二次方程的根．如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴的两个交点分别是A(-1，0)，B(3，0)．此时x2-2x-3=0有两个不相等的实数根x1=-1，x2=3；由此观察图象可知：不等式x2-2x-3＞0的解集为：x＜-1或x＞3；类似地：不等式-2x2-4x+7≥1的解集是 _________ ． 【解析】解：由-2x2-4x+7≥1，得x2+2x-3≤0． 画出抛物线y=x2+2x-3的图象如图所示， -3≤x≤1 81 ___ 可知抛物线y=x2+2x-3与x轴的两个交点分别是A(-3，0)，B(1，0)， 则x2+2x-3=0有两个不相等的实数根x1=-3，x2=1． 由此观察图象可知：不等式x2+2x-3≤0的解集为：-3≤x≤1． 82 一十．二次函数的应用 83 33.如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． ____________ 84 (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为 米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为 　　； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计)； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2， 85 水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度(结果保留根号)． 【解析】解：(1)由题意，水滑道ACB所在抛物线的顶点C(-3， )， ∴可设抛物线为y=a(x+3)2+ ． 又B(0，2)， 86 ∴2=a(0+3)2+ ． ∴a= ． ∴抛物线为y= (x+3)2+ ． 故答案为：y= (x+3)2+ ． (2)①由题意，∵抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称， ∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称． ∴B是它们的中点． 又C(-3， )，B(0，2)， 87 ∴抛物线BD的顶点为(3， )． ∴此人腾空后的最大高度为 米． 又此时可设抛物线BD为y=a'(x-3)2+ ， 将B(0，2)代入得， ∴a'(0-3)2+ =2． ∴a'=- ． ∴抛物线BD的解析式y=- (x-3)2+ ． 88 ②由①得y=- (x-3)2+ ， 令y=0， ∴0=- (x-3)2+ ． ∴x=8或x=-2(舍去)． ∴OD=8米． 又OE=12米， ∴DE=12-8=4＞3． ∴落点D在安全范围内． (3)由题意，如图，EF即为所求钢架． 89 _____ ∵ACB所在抛物线y= (x+3)2+ ， 令y=4， ∴4= (x+3)2+ ． ∴x=-8或x=2(舍去)． ∴M(-8，4)． 又B(0，2)， 90 ∴直线BM为y=- x+2． ∵EF∥BM， ∴可设EF为y=- x+m. 联立方程组 ， ∴ (x+3)2+ =- x+m. ∴x2+8x-8m+16=0． 91 ∴Δ=64-4(-8m+16)=0． ∴m=0 ∴直线EF为y=- x,过原点，即F与O重合． ∵M(-8，4)， ∴令x=-8，则y=- x=- ×(-8)=2． ∴OE=2米，ON=8米． 又∠ENO=90°， ∴EF=EO= =2 (米)． 答：这条钢架的长度为2 米． 92 34.习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙(如图)，另外三边用长为30m的篱笆围成．已知墙长为18m,设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为x m,平行于墙的一边的长为ym,矩形劳动实践基地的面积为Sm2． (1)请直接写出y与x,S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)能否围成一个100m2的矩形劳动实践基地，若能，请求出此时垂直于墙的一边的长；若不能，请说明理由． 93 (3)若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14m,垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 【解析】解：(1)由题意，∵2x+y=30， ∴y=30-2x. ∴S=xy=x(30-2x)． ∵0＜y≤18， ∴0＜30-2x≤18． ∴6≤x＜15． ∴y=30-2x；S=x(30-2x)；6≤x＜15． (2)由题意，令S=100， 94 ∴x(30-2x)=100． ∴x=5(不合题意，舍去)或x=10． ∴能围成一个100m2的矩形劳动实践基地，此时垂直于墙的一边的长为10m. (3)由题意，∵S=x(30-2x)=-2(x-7.5)2+112.5． 又可利用的墙的长度不超过14m, ∴0＜30-2x≤14． ∴8≤x＜15． ∵-2＜0， ∴当x＞7.5时，S随x的增大而减小． ∴当x=8时，这个矩形劳动实践基地的面积最大，最大值为：-2(8-7.5)2+ 95 112.5=112． 答：垂直于墙的一边长为8m时，这个矩形劳动实践基地的面积最大，最大值112m2． 96 35.“端午节”期间，某超市销售甲、乙两款粽子，甲、乙两款粽子的进价分别是每袋35元，45元，这个超市用4300元购进甲、乙两款粽子共100袋． (1)购进甲、乙两款粽子各是多少袋？ (2)市场调查发现：乙款粽子每天的销售量m(袋)与销售单价n(元)满足如下关系：m=-n+105(65≤n≤105)，设乙款粽子每天的销售利润是w元，当乙款粽子的销售单价是多少元时，乙款粽子的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【解析】解：(1)设购进甲、乙两款粽子各是x袋，y袋， 97 根据题意得： ， 解得： ， 答：购进甲、乙两款粽子各是20袋，80袋； (2)w=(n-45)(-n+105) =-n2+150n-4725， ∴对称轴为 ， ∵抛物线开口向下， ∴当n=75元时，w最大=(75-45)×(-75+105)=900(元)， 98 答：当乙款粽子的销售单价是75元时，乙款粽子的销售利润最大；最大利润是900元． 99 一十一 100 36.如图，在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y=x2绕原点O顺时针旋转180°后得到C2，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到C3．点A为C3的顶点，作直线OA．点Q(0，m)为平面内一动点，将点Q向上平移两个单位长度得到点B，过点B作垂交直线OA于点C，以BC、BQ为边构造矩形BQCD．设C1、C2、C3的图象为G．当矩形BQCD与图象G有三个公共点时，m的取值范围为 　　． 【解析】解：由题意知，C2的解析式为y=-x2，C3的解析式为y=-(x-4)2+2； 101 ①当B与原点重合时，m=-2，此时矩形不存在； ②当Q在C3与y轴的交点上时，矩形BQDC与图象G有三个公共点，如图： ____ 102 当x=0时，y=-16+2=-14，即Q(0，-14)； 故当m=-14时，矩形与图象G有三个公共点； ③-14＜m＜-2时，矩形与图象G只有两个公共点，如下图所示； ___ ④由②中可知，当m＜-14时，矩形与图象G有四个公共点； ⑤如图，当点D在C3上时，矩形与图象G有三个公共点； 103 ___ 设直线OA的解析式为y=kx,把点A坐标代入得 ，即 ， 104 ∵点Q向上平移两个单位长度得到点B， ∴CD=QB=2， ∴点D的纵坐标为 ，即 ， 把点D坐标代入C3，得： ， 解得： ， (舍去)， ∴ ， 即点Q的以坐标为 ， 105 故 ； ⑥当m=2时，矩形与图象G只有三个公共点，如图； ⑦当m＞2时，矩形与图象G只有两个公共点，如图； 106 ___ 综上，当 或m=2或m=-14时，矩形与图象G有三个公共点， 故答案为： 或m=2或m=-14． 107 37.如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标； (3)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，设点E的横坐标为t,当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的所有可能取值． 108 _____ 【解析】解：(1)在 中，令y=0，得x=4，令x=0，得y=2 ∴A(4，0)，B(0，2) 把A(4，0)，B(0，2)，代入 ，得 109 ，解得 ∴抛物线的解析式为 ； (2)如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为F 110 ___ ∵BE∥x轴，∴∠BAC=∠ABE ∵∠ABD=2∠BAC，∴∠ABD=2∠ABE 即∠DBE+∠ABE=2∠ABE ∴∠DBE=∠ABE ∴∠DBE=∠BAC 111 设D点的坐标为(x, )，则BF=x,DF= ∵tan∠DBE= ，tan∠BAC= ∴ = ，即 解得x1=0(舍去)，x2=2 当x=2时， =3 ∴点D的坐标为(2，3)． 解法二：作点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′的解析式为y= x-2， 112 由题意，直线BD∥AB′， ∴直线BD的解析式为y= x+2， 由 ，解得 或 ， ∴D(2，3)． 解法三：过点A作AE⊥x轴交BD的延长线于点E，过点B作BF⊥AE于点F． 113 ___ ∵BF∥OA， ∴∠CAB=∠ABF， ∵∠DBA=2∠CAB， ∴∠FBE=∠FBA， ∵∠E+∠EBF=90°，∠BAF+∠ABF=90°， ∴∠E=∠BAF， 114 ∴BE=BA， ∵BF⊥AE， ∴AF=EF=OB=2， ∴E(4，4)， ∴直线BD的解析式为y= x+2， 由 ，解得 或 ， ∴D(2，3)． (3)当BO为边时，OB∥EF，OB=EF， 115 ___ 设E(m, )，F(m, )， EF=|( )-( )|=2， 解得m1=2， ， ， 当BO为对角线时，OB与EF互相平分， 116 ____ 过点O作OF∥AB，直线OF： 交抛物线于点F( )和( )， 求得直线EF解析式为 或 ， 117 直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为 或 ， ∴E点的坐标为(2，1)或( ， )或( )或( )或( )． 118 38.如图，直线y=kx-2与经过原点的抛物线y=ax2+bx+c相交于点A，B，与x轴、y轴分别相交于点C，D，抛物线与x轴另一个交点为E，点B的坐标为(-1，-4)，点A在第一象限内且到x轴、y轴的距离相等． (1)求抛物线的解析式； (2)在第四象限内，F是抛物线上一动点．当以点F为圆心，以FC为半径的圆与直线AB相切于点C时，求点F的坐标； 119 (3)在第一象限内，抛物线的对称轴上是否存在一点G，使△GAB的内心也在抛物线的对称轴上？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：(1)∵点B的坐标为(-1，-4)在直线y=kx-2上， ∴-4=-k-2， 解得k=2， ∴y=2x-2， ∵点A在第一象限内且到x轴、y轴的距离相等， ∴A在y=x上， 120 联立 ， 解得 ， ∴A(2，2)， ∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点， ∴c=0， 将B(-1，-4)，A(2，2)代入得 ， 解得 ， ∴y=-x2+3x. 121 (2)∵y=2x-2与x轴、y轴分别相交于点C，D， 当x=0时，y=-2， 当y=0时，x=1， ∴C(1，0)，D(0，-2)， ∴OC=1，OD=2， 由y=-x2+3x,令y=0， ∴-x2+3x=0， 解得x1=0，x2=3， ∴E(3，0)， ∴CE=2， 如图所示，取EH=OC=1，则H(3，-1)， 122 ___ 在△OCD和△EHC中， ， 123 ∴△OCD≌△EHC(SAS)， ∴∠OCD=∠EHC， ∴∠OCD+∠HCE=∠EHC+∠HCE=90°， ∴CH⊥CD， ∴以FC为半径的圆与直线AB相切于点C， 设直线CH的解析式为y=k1x+b1， ∴ ， 124 解得 ， ∴直线CH的解析式为 ， 联立 ， 125 解得 (舍去)或 ， ∴ ． (3) ， ∴抛物线对称轴为直线 ， ∴A(2，2)关于 的对称点A为A′(1，2)， ∵△GAB的内心在抛物线的对称轴上， 126 ∴∠BGA的角平分线所在的直线为 ， 如图所示，连接BA'交 于点G， ___ 设直线BA'的解析式为y=mx+n, 127 将B(-1，-4)，A'(1，2)代入得 ， 解得 ， ∴直线BA′的解析式为y=3x-1， 将 代入得 ， ∴ ． 128 39.如图，直线y=x+m与抛物线y=ax2-2x+c交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与抛物线的对称轴交于点D，抛物线与y轴交于点C(0，-2)，抛物线的对称轴为直线x=2． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点A、B的横坐标分别为s、t,若t-s=12，求 的值； (3)设抛物线的顶点为P，当∠APB=45°时，求m的值． 129 ____ 【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2-2x+c的对称轴为直线x=2， ∴ =2， 130 ∴a= ， ∵抛物线与y轴交于点C(0，-2)， ∴c=-2， ∴抛物线的解析式为y= -2x-2； (2)∵点A、B的横坐标分别为s、t,若t-s=12， ∴A(s,s+m)，B(s+12，s+12+m)，代入抛物线解析式得： ， 131 解得 ， ∴A(-3， )，B(9， )， ∴直线解析式为y=x+ ； 直线与抛物线的对称轴交于点D，则D点坐标为(2， )， ∴AD= =5 ，BD= 132 =7 ， ∴ = ； (3)过点P作MN∥x轴交BA于点M，过点B作BN⊥AB交MN于点N，过点B作BH⊥MN于点H，如图， 133 ____ 抛物线y= -2x-2的对称轴为直线x=2， ∴抛物线顶点坐标为P(2，-4)， ∴．M(-m-4，-4)， 134 由(2)知，D(2，2+m)， ∴DP=MP=6+m, ∴∠DMP=∠PDM=45°， ∴△BMN是等腰直角三角形， ∴点H是MN的中点，且∠N=∠BMN=45°， ∵∠APB=45°，∠APM+∠BPN=135°，∠APM+∠MAP=135°， ∴∠BPN=∠MAP， ∴△BPN∽△PAM， ∴．BN：PM=PN：AM； 由(2)可知，B(x2，x2+m)，A(x1，x1+m)，且x1+x2=6，x1•x2=-2m-4， ∴BH=HN=x2+m+4， 135 ∴ ， 同理可得， ，PN=HN+HP=x2+m+4+x2-2=2x2+m+2， ∴ =(2x2+m+2)： ． 整理得2x2(m+6)=(m+6)(m+10)， ∴m=-6(舍)或 ， ∴ ， ∴ ， 136 解得m=6或m=-6(舍去)． 即若∠AEB=45°，m的值为6． 137 40.如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接BC． (1)点B、C的坐标分别为B(　　，　　)，C(　　，　　) (2)如图，连接PC、AC、AP，AP与BC交于点D，设△PCD和△ACD的面积分别为S1和S2，求 的最大值； 138 (3)连接PB，当 时， ①求点P的坐标； ②点E是PB上的一个动点(点E不与P、B重合)，连接OE，线段OE的垂直平分线FG交OE于点F，交直线BC于点G，则FG的取值范围是 　　． 【解析】解：(1)已知二次函数 的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C， ∴令y=0时， ，整理得：(x+2)(x-8)=0， ∴x1=-2，x2=8， 139 ∴A(-2，0)，B(8，0)， 令x=0时，y=4， ∴C(0，4)， 故答案为：8，0，0，4； (2)已知B(8，0)，C(0，4)， ∴设直线BC所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)， ∴ ， 解得， ， 140 ∴直线BC所在直线的解析式为 ， 如图1所示，过点A作AN⊥x轴交BC于点N，则点N的横坐标为-2，过点P作PT⊥x轴于点T，交BC于点M，过点C作CS⊥AP与点E， ____ ∴当x=-2时， 141 ， ∴N(-2，5)，则AN=5， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴设 ，且0＜t＜8， ∴ ，PM∥AN， ， ∴△PDM∽△ADN， ∴ ，即 ， 142 ∵ ， ， ∴ ， ∴当t=4时， 有最大值，最大值为 ； 143 (3)①连接PB， ，作点A关于BC的对称点Q，则∠ABN=∠QBN，连接QC，作QL⊥y轴于点L，如图2， ___ 在Rt△AOC中，OA=2，OC=4， 144 ∴ ， 在Rt△BOC中，OB=8，OC=4， ∴ ， ∵AC2=20，BC2=80，AB2=102=100， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，即BC⊥AC， ∵点A关于BC的对称点为Q，且BC⊥AC， ∴BC⊥AQ， ∴点A，C，Q三点共线， ∴∠LCQ=∠OCA； 145 ∵∠CLQ=∠COA=90°，CQ=CA， ∴△CLQ≌△COA(AAS)， ∴QL=OA=2，CL=CO=4， ∴Q(2，8)， ∵A(-2，0)，B(8，0)，C(0，4)，∠BOC=90°，则AB=10，OC=4，OB=8，AN=5， ∴ ， ∴∠OBC=∠PBC=∠QBC， ∴点B，P，Q三点共线， ∵点B(8，0)，点Q(2，8)， 146 ∴设直线BQ的解析式为y=mx+n(m≠0)， ∴ ， 解得， ， ∴直线BQ的解析式为 ， 147 ∴ ， 解得， 或 (不符合题意，舍去) ∴ ； ②根据题意，作图如图3，过点G作GU⊥x轴于点U，GV⊥PB于点V，连接OG，GE，过点P作PR⊥x轴于点R，连接OP，作OE′⊥PB于点E′ 148 ， ____ 已知 ，∠ABC=∠PBC，GF是OE的垂直平分线， ∴GU=GV，GO=GE，且∠GUO=∠GVE=90°， 149 ∴Rt△OGU≌Rt△EGV(HL)， ∴∠OGU=∠EGV， ∴∠OGU+∠UGE=∠UGE+∠EGV，即∠OGE=∠UGV， ∴ ， 在四边形GUBV中，∠UBV=360°-90°-90°-∠UGV=180°-∠UGV， ∴ ， ∴∠GOF=∠GEF=∠PBC， ∵ ， 150 ∴ ， ∴ ， 当OE⊥PB时，OE的值最小，即OE′的值最小， 在Rt△PBR中， ， ， ∴ ， 151 ∴ ， 在Rt△OBE′中， ， ∴ ， ∴ ，即GF的最小值为 ， 当点E与点P重合时， 152 ， 当点E与点B重合时，OB=8， ∵ ， ∴ ， 综上所示，GF的取值范围是： ． 故答案为： ． 153 $$