第26章二次函数 培优题突破练习 【8个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级下册

第26章二次函数 培优题突破练习★★★ 【8个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册 1 一．二次函数的性质 二．二次函数图象与系数的关系 三．二次函数图象上点的坐标特征 四．二次函数的最值 五．抛物线与x轴的交点 六．二次函数与不等式 七．二次函数的应用 八．二次函数综合题 2 一．二次函数的性质 3 1.对于二次函数y=ax2+bx+c,规定函数y= 是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为(- ，1)，( ，1)，连接MN，若线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为( ____ ) A.-3＜n≤-1或 B.-3＜n＜-1或 C.n≤-1或 A 4 D.-3＜n＜-1或n≥1 【解析】解：如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点． ___ 所以当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3． 5 如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ___ ∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1， ∴-n=1，解得：n=-1． ∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+ 6 n的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ___ ∵抛物线y=-x2+4x+n经过点(0，1)， ∴n=1． 7 如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ___ ∵抛物线y=x2-4x-n经过点M(- ，1)， ∴ +2-n=1，解得：n= ． 8 ∴1＜n≤ 时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤ ， 故选：A． 9 2.已知抛物线y=ax2+bx+c(0＜2a＜b)的顶点为P(x0，y0)，点A(1，yA)，B(0，yB)，C(-1，yC)在该抛物线上，当y0≥0恒成立时， 的最小值为( ____ ) A.1 B.2 C.4 D.3 【解析】解：点A(1，yA)、B(0，yB)、C(-1，yC)在抛物线y=ax2+bx+c上， D 10 得yA=a+b+c,yB=c,yC=a-b+c, = ∵y0≥0恒成立，0＜2a＜b, ∴x0=- ＜-1， ∴4a-2b+c≥0， 即a+b+c≥3(b-a)， 而b-a＞a＞0， ∴ ≥3， 11 即 的最小值为3． 故选：D． 12 3.定义符号min{a,b}含义为：当a＞b时min{a,b}=b；当a＜b时min{a,b}=a.如：min{1，-3}=-3，min{-4，2)=-4．则min{-x2+1，-x}的最大值是( ____ ) A. B. C.1 D.0 【解析】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y=-x2+1与正比例函数y=-x的图象， A 13 如图所示．设它们交于点A、B． 令-x2+1=-x,即x2-x-1=0，解得：x= 或 ， ∴A( ， )，B( ， )． 观察图象可知： ①当x≤ 时，min{-x2+1，-x}=-x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为 ； ②当 ＜x＜ 时，min{-x2+1，-x} 14 =-x,函数值随x的增大而减小，其最大值为小于 ； ③当x≥ 时，min{-x2+1，-x}=-x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为 ． 综上所述，min{-x2+1，-x}的最大值是 ． 故选：A． 15 二．二次函数图象与系数的关系 16 4.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，且过点( ，0)，有下列结论： ①abc＞0； ②a-2b+4c＞0；③25a-10b+4c=0；④3b+2c＞0； 其中所有正确的结论是( ____ ) A.①③ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 【解析】解：①观察图象可知： C 17 a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0， 所以①正确； ②当x= 时，y=0， 即 a+ b+c=0， ∴a+2b+4c=0， ∴a+4c=-2b, ∴a-2b+4c=-4b＞0， 所以②正确； ③因为对称轴x=-1，抛物线与x轴的交点( ，0)， 18 所以与x轴的另一个交点为(- ，0)， 当x=- 时， a- b+c=0， ∴25a-10b+4c=0． 所以③正确； ④当x= 时，a+2b+4c=0， 又对称轴：- =-1， ∴b=2a,a= b, 19 b+2b+4c=0， ∴b=- c. ∴3b+2c=- c+2c=- c＜0， ∴3b+2c＜0． 所以④错误． 或者∵当x=1时，a+b+c＜0， ∴c＜-a-b, 又∵b=2a, 20 ∴a= b, ∴c＜- b, ∴2c＜-3b, ∴2c+3b＜0， ∴结论④错误 故选：C． 21 5.如图，函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1，0)和(m,0)，请思考下列判断： ①abc＜0；②4a+c＜2b；③ =1- ；④am2+(2a+b)m+a+b+c＜0；⑤|am+a|= 正确的是( ____ ) A.①③⑤ B.①②③④⑤ C.①③④ D.①②③⑤ B 22 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴c＞0， ∵- ＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确， ∵x=-2时，y＜0， ∴4a-2b+c＜0，即4a+c＜2b,故②正确， ∵y=ax2+bx+c的图象过点(-1，0)和(m,0)， 23 ∴-1×m= ，am2+bm+c=0， ∴ + + =0， ∴ =1- ，故③正确， ∵-1+m=- ， ∴-a+am=-b, ∴am=a-b, ∵am2+(2a+b)m+a+b+c =am2+bm+c+2am+a+b 24 =2a-2b+a+b =3a-b＜0，故④正确， ∵m+1=| - |， ∴m+1=| |， ∴|am+a|= ，故⑤正确， 故选：B． 25 6.在平面直角坐标系中，对图形F给出如下定义：若图形F上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD的坐标角度是90°．现将二次函数y=ax2(1≤a≤3)的图象在直线y=1下方的部分沿直线y=1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( ____ ) A.30°≤α≤60° B.60°≤α≤90° C.90°≤α≤120° B 26 D.120°≤α≤150° 【解析】解：当a=1时，如图1中， ___ ∵角的两边分别过点A(-1，1)，B(1，1)，作BE⊥x轴于E， ∴BE=OE， ∴∠BOE=45°， 27 根据对称性可知∠AOB=90° ∴此时坐标角度m=90°； 当a=3时，如图2中， ____ 角的两边分别过点A(- ，1)，B( ，1)，作BE⊥x轴于E， 28 ∵tan∠BOE= ， ∴∠BOE=60°， 根据对称性可知∠AOB=60° ∴此时坐标角度α=60°， ∴60°≤α≤90°； 故选：B． 29 7.如图，已知二次函数y=-x2+bx-c,它与x轴交于A、B，且A、B位于原点两侧，与y的正半轴交于C，顶点D在y轴右侧的直线l：y=4上，则下列说法：①bc＜0；②0＜b＜4；③AB=4；④S△ABD=8．其中正确的结论有( ____ ) A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④ 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a=-1＜0， D 30 ∵抛物线的对称轴为直线x=- ＞0， ∴b＞0， 而抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴-c＞0，则c＜0， ∴bc＜0，故①正确； 由顶点D在y轴右侧的直线l：y=4上可得： =4 ∴b2=4c+16 ∵0＜-c＜4 31 ∴-16＜4c＜0 ∴0＜4c+16＜16 ∴0＜b2＜16 ∴0＜b＜4 ∴②正确； ∵a=-1， ∴该抛物线的开口方向及大小是一定的 又∵顶点D在y轴右侧的直线l：y=4上 ∴该抛物线与x轴两交点之间的距离AB是定值， 故可令b=2 则c=-3 32 此时抛物线解析式为：y=-x2+2x+3 由-x2+2x+3=0 得x1=-1，x2=3 故AB=4 ∴③正确； S△ABD=4×4÷2=8 故④正确； 综上，故选：D． 33 8.抛物线y=ax2+bx+c开口向上，顶点为( ，m)，-1＜m＜0，抛物线与x轴交于点(x1，0)，(x2，0)，-1＜x1＜0，1＜x2＜2，则下列结论中，正确的结论有(　　) ①abc＞0；②2a+3b=0；③(a+c)2＜b2；④- ＜b＜0． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：①由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0，故① 34 正确； ② ，3b=-2a,2a+3b=0，故②正确； ③由图象可知，x=1时，a+b+c＜0，a+c＜-b x=-1时，a-b+c＞0，a+c＞b, ∵b＜0， ∴|a+c|＜|b|， ∴(a+c)2＜b2．故③正确； ④x=1时，y=a+b+c＜0，9a+9b+9c＜0， 35 当x= 时，m= ， 由-1＜m＜0，得-1＜ ＜0， -9＜a+3b+9c＜0，即0＜-a-3b-9c＜9 ∴ 两个不等式相加，得8a+6b＜9， 由②2a+3b=0，2a=-3b, ∴-6b＜9， ∴b＞ ， 36 ∵ ， ∴b＞ ，又b＜0， ∴ ＜b＜0． 故④错误． 故选：C． 37 9.已知抛物线y=ax2+bx+c在坐标系中的位置如图所示，它与x,y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息给出以下结论：①2a+b=0；②x=3是ax2+bx+c=0的一个根；③若PA=PB，PA⊥PB，则a+b+c=4．其中正确的有 ____ 个． 【解析】解：①因为抛物线的对称轴x=1， 所以- =1，即b+2a=0， 所以①正确； ②因为A(-1，0)，对称轴x=1， 3 38 所以设抛物线与x轴的另一个交点为E， 所以E(3，0)， 所以x=3时，y=0，即x=3是ax2+bx+c=0的一个根． 所以②正确； ③如图： ___ 39 过点B作BD⊥对称轴于点D，设对称轴交x轴于点C， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=90°， ∴∠APC+∠BPD=90°， ∵∠BPD+∠PBD=90°， ∴∠PBD=∠APC， ∵AP=BP， ∴Rt△APC≌Rt△PBD(AAS) ∴PC=BD=1，DP=AC=2， ∴DC=3， ∴OB=3， 40 ∴B(0，3)．又E(3，0)，A(-1，0)． 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)， 把B(0，3)代入，解得a=-1， ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3， 当x=1时，y=4， 即a+b+c=4． 所以③正确． 故答案为3． 41 10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1，0)，与y轴的交点B在(0，-2)和(0，-1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac-b2＜-4a；④ ；⑤b＞c.其中正确结论有 _____ (填写所有正确结论的序号)． 【解析】解：①∵函数开口方向向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧 ∴ab异号， ①③⑤ 42 ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵图象与x轴交于点A(-1，0)，对称轴为直线x=1， ∴图象与x轴的另一个交点为(3，0)， ∴当x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误； ③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点在(0，-1)的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0， 43 ∴最小值： ＜-1， ∵a＞0， ∴4ac-b2＜-4a； ∴③正确； ④∵图象与y轴的交点B在(0，-2)和(0，-1)之间， ∴-2＜c＜-1 ∴-2＜-3a＜-1， ∴ ＞a＞ ； 故④错误 44 ⑤∵a＞0， ∴b-c＞0，即b＞c； 故⑤正确． 综上所述，正确的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 45 三．二次函数图象上点的坐标特征 46 11.如图，“爱心”图案是由函数y=-x2+6的部分图象与其关于直线y=x的对称图形组成．点A是直线y=x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若 ，则点A的坐标是 ___________________ ． 【解析】解：如图， (-2，2)或(1，5) 47 ___ 过点A作AD⊥x轴，交x轴于点E，交直线y=x于点D，连接BD， ∵A、B关于直线y=x对称， 设A(a,b)， ∴△ABD是等腰直角三角形，四边形OEDF是正方形， ∴B(b,a)， ∵ ， 48 ∴ ， (4 )2=(b-a)2+(b-a)2， 32=2(b-a)2， (b-a)2=16， b-a=4或b-a=-4(舍去)， ∴b=a+4， 又∵A(a,b)在y=-x2+6上， ∴b=-a2+6， 即a+4=-a2+6， 整理得，a2+a-2=0， 49 解得，a1=-2，a2=1， ∴当a1=-2时，b=a+4=-2+4=2， 点A的坐标为(-2，2)； 当a2=1时，b=a+4=1+4=5， 点A的坐标为(1，5)． 故答案为：(-2，2)或(1，5)． 50 四．二次函数的最值 51 12.在四边形ABCD中，AB∥DC，∠C=∠D=60o，AB=6cm,CD=12cm,点P从A点出发，沿A→D→C以1cm/s的速度运动；点Q从B点出发，沿B→C→D以2cm/s的速度运动，直到P与Q相遇就停止运动．在运动过程中，四边形ABQP的面积的最大值为( ____ ) A. cm2 B.21 cm2 C. cm2 D. cm2 C 52 【解析】解：如图1， 作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F， ∴∠BFE=∠AEF=90°， ∴AE∥BF， ∵AB∥CD， ∴四边形AEFB是平行四边形， ∴▱AEFB是矩形， ∴EF=AB=6，AE=BF， ∵∠C=∠D， ∴△AED≌△BFC(AAS)， ∴DE=CF=3， 53 ∴AD=BC=2CF=6，AE=BF=3 ， ∴梯形ABCD的面积S= =27 ， 如图2， 当点Q在BC上时， 当点Q和点C重合时，四边形ABQP的面积最大．此时AP=PQ=3， ∴四边形ABQP的面积=27 - =18 ， 如图3， 54 当点Q在CD上，点P在AD上时，设四边形ABQP的面积为S， ∵ = = ， S△PDQ= ， ∴S=27 = 55 ， ∴当t= 时，S最大= ， 因为 ， 故选：C． 56 13.定义符号min{a,b}的含义为：当a≥b时min{a,b}=b；当a＜b时min{a,b}=a.如：min{1，-3}=-3，min{-4，-2}=-4．则min{-x2+1，-x}的最大值是( ____ ) A. B. C.1 D.0 【解析】解：在同一坐标系xOy中，画出二次函数y=-x2+1与正比例函数y=-x的图象， A 57 如图所示．设它们交于点A、B． 令-x2+1=-x,即x2-x-1=0，解得：x= 或 ， ∴A( ， )，B( ， )． 观察图象可知： ①当x≤ 时，min{-x2+1，-x}=-x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为 ； ②当 ＜x＜ 时，min{-x2+1，-x} 58 =-x,函数值随x的增大而减小，其最大值为小于 ； ③当x≥ 时，min{-x2+1，-x}=-x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为 ． 综上所述，min{-x2+1，-x}的最大值是 ． 故选：A． 59 五．抛物线与x轴的交点 60 14.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … -2 -1 0 1 2 … y=ax2+bx+c … t m -2 -2 n … 且当x=- 时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0＜m+n＜ ，其中，正确结论的是( ____ ) A.①②③ B 61 B.①② C.①③ D.②③ 【解析】解：①根据图表可知： 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0，-2)，(1，-2)， ∴对称轴为直线x= = ，c=-2， ∵当x=- 时，与其对应的函数值y＞0， ∴a＞0，b＜0， ∴函数图象的顶点在第四象限内； 62 ①正确； ②根据二次函数的对称性可知： (-2，t)关于对称轴x= 的对称点为(3，t)， 即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根， ∴②正确； ③∵对称轴为直线x= ，∴- = ，∴b=-a, ∵当x=- 时，与其对应的函数值y＞0， ∴ a- b-2＞0，即 a+ a-2＞0，∴a＞ ． 63 ∵对称轴为直线x= ，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1，m)(2，n)， ∴m=n,当x=-1时，m=a-b+c=a+a-2=2a-2， ∴m+n=4a-4，∵a＞ ． ∴4a-4＞ ， ∴③错误． 故选：B． 64 15.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m)，其中m是常数，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．给出下列4个结论：①不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；②不论m为何值，该抛物线与y轴一定交于正半轴；③抛物线上有一个动点P，满足S△PAB=n的点有3个时，则n= ；④若0＜x＜ 时y＜0，则- ＜m＜0；其中，正确的结论个数是( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 65 【解析】解：y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m, ∵△=(2m+1)2-4(m2+m)=1＞0， ∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点，故①正确， 令x=0，解得y=m2+m. m2+m可能小于0，故②错误， ∵y=(x-m- )2- ， ∴顶点的纵坐标为- ， ∵抛物线上有一个动点P，满足S△PAB=n的点有3个时， ∴点P是抛物线的顶点时满足条件，此时n= ×1× = ，故③正确 66 ， ∵0＜x＜ 时y＜0，A(m,0)，B(m+1，0)， ∴- ≤m≤0，故④错误， 故选：B． 67 16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(-2，-9a)，下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a-b+c=0；④若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-8，其中正确的结论有( ____ ) A.①②③④ B.①②③⑤ C.②③④⑤ D.①②④⑤ D 68 【解析】解：二次函数表达式为：y=a(x+2)2-9a=ax2+4ax-5a=a(x+5)(x-1)， ①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，则abc＜0，故正确； ②函数在y轴右侧的交点为x=1，x=2时，y=4a+2b+c＞0，故正确； ③5a-b+c=5a-4a-5a≠0，故错误； ④y=a(x+5)(x-1)+1，相当于由原抛物线y=ax2+bx+c向上平移了1个单位，故有两个根x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1，正确； ⑤若方程|ax2+bx+c|=1，即：若方程ax2+bx+c=±1，当ax2+bx+c-1=0时，用韦达定理得：其两个根的和为-4，同理当ax2+bx+c+1=0时，其两个根的和也为-4，故正确． 故选：D． 69 17.如图，若抛物线y=x2-4x与x轴正半轴相交于点A，点P是y轴上一动点，过点P作直线l∥x轴，与抛物线相交于B，C两点(B在C的左侧)，过点C作CD⊥x轴于D，连接AB，DP，若OC将四边形BADP的面积分成2：1的两部分，则OC的解析式为( ____ ) A.y=x B.y=2x C.y=4x D.y=8x D 70 【解析】解：如图，设OC交AB于M，交PD于N． ___ ∵PC∥OD，CD⊥OD， ∴∠CPO=∠CDO=∠POD=90°， ∴四边形ODCP是矩形， ∴PC=OD， 71 ∵∠CNP=∠OND，∠CPN=∠ODN， ∴△CPN≌△ODN， ∴PN=DN，设PN=DN=a,AM=x 根据对称性可知：PB=AD，∵PB∥AD， ∴四边形ABPD是平行四边形， ∴AB=PD=2a,BM=2a-x, ∵OC将四边形BADP的面积分成2：1的两部分，BM＞AM， ∴a+2a-x=2(x+a)， ∴a=3x, ∴AM=x,BM=5x,设AD=PB=m, ∵OA∥BC， 72 ∴ = ， ∴ = ， 解得m=8， ∴OD=12，C(12，96)， 设直线OC的解析式为y=kx,则有96=12k, 解得k=8， ∴直线OC的解析式为y=8x, 故选：D． 73 18.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3，0)，顶点为M(-1，m)，且抛物线与y轴的交点B在(0，-2)和(0，-3)之间(不含端点)则下列结论：①当-3≤x≤1时，y≤0；②|ax2+bx+c|-1=m 有两个实数根；③当△ABM的面积为 时， ；④当△ABM 为直角三角形时，在△AOB 内存在唯一一点P，使得 PA+PO+PB 的值最小，最小值的平方为 ，其中正确的结论是( ____ ) A.①②③ B.①②④ A 74 C.①③④ D.②③④ 【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3，0)，顶点为M(-1，m)， ∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1， ∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为(1，0)， ∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上， ∴当-3≤x≤1时，y≤0， 故①正确； ②方程|ax2+bx+c|-1=m 可变形为方程|ax2+bx+c|=m+1， 75 因此|ax2+bx+c|-1=m 有两个实数根相当于函数y=|ax2+bx+c|的图象与函数y=m+1的图象有两个交点， 画出函数图象如下： ___ 故②正确； ③将(-3，0)，(1，0)代入y=ax2+bx+c, 76 得 ， 解得： ， ∴y=ax2+2ax-3a=a(x+1)2-4a, ∴抛物线的顶点为M(-1，-4a)， 设抛物线对称轴交x轴于H，如图， 77 ___ 则H(-1，0)， ∴AH=-1-(-3)=2，MH=4a,OH=1， ∵B(0，-3a)， 78 ∴OB=3a, ∴S△ABM=S△AMH+S梯形BMHO-S△AOB= •AH•MH+ •(MH+OB)•OH- OA•OB= ×2×4a+ ×(4a+3a)×1- ×3×3a=3a, ∵S△ABM= ， ∴3a= ∴a= ， 故③正确； 79 ④如图，过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接AM、AB、BM， 则四边形ACDO是矩形， ∴∠C=∠BDM=∠AOB=90°， ___ ∵A(-3，0)，B(0，-3a)，M(-1，-4a)， ∴AC=OD=4a,OA=CD=3，OB=3a,BD=a,DM=1，CM=2， ∵△ABM为直角三角形，有三种情况：∠BAM=90°或∠AMB=90°或∠ 80 ABM=90°， 显然∠BAM＜90°， ∴只能∠AMB=90°或∠ABM=90°， 若∠AMB=90°，则∠AMC+∠BMD=90°， ∵AC∥OD，OA∥DC， ∴四边形ACDO是平行四边形， ∵∠AOD=90°， ∴四边形ACDO是矩形， ∴∠C=∠BDM=∠AOB=90°， ∴∠AMC+∠MAC=90°， ∴△AMC∽△MBD， 81 ∴ = ，即 ， ∴a2= ， ∵a＞0， ∴a= ； 若∠ABM=90°，则∠ABO+∠MBD=90°， ∵∠AOB=∠BDM=90°， ∴∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠MBD=∠BAO， ∴△ABO∽△BMD， 82 ∴ ，即 ， ∴a2=1， ∵a＞0， ∴a=1； ∵点B在(0，-2)与(0，-3)之间(不含端点)， ∴-3＜-3a＜-2， 解得 ＜a＜1， ∴a= ， 83 ∴OB= ，AB2= ， 如图，将△BPA绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A′，连接PP′，过点A′作A′T⊥x轴于点T，作A′Q⊥y轴于点Q， ___ 84 ∴BP=BP′，PA=P′A′，∠PBP′=∠ABA′=60°， ∴△PBP′和△ABA′是等边三角形， ∴BP=PP′，AA′2=A′B2=AB2= ， ∴PA+PO+PB=P′A′+PO+PP′≥OA′， ∴当点O、P、P′、A′共线时，PA+PO+PB值最小，最小值为OA′， 此时∠APB=∠APO=∠BPO=120°， 设A′(m,n)， 则A′T=-n,AT=-3-m,A′Q=-m,BQ=-n- ， 在Rt△AA′T中， 85 由勾股定理，得AT2+A′T2=AA′2， 在Rt△BA′Q中， 由勾股定理，得BQ2+A′Q2=A′B2， 即 ， 解得 ， 86 ∴OA′2=m2+n2=( )2+( )2= ≠ ， 故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选：A． 87 19.如图，抛物线y=- x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(-1，0)，C(0，2)，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，E点的坐标为 ________ ． 【解析】解：过点E作EG⊥x轴于点G，交抛物线于F， 将A(-1，0)，C(0，2)代入y=- x2+mx+n (2，1) 88 解得： ∴抛物线的解析式为：y=- x2+ x+2 令y=0代入y=- x2+ x+2， ∴0=- x2+ x+2 解得：x=-1或x=4 89 ∴B(4，0) ∴OB=4 设直线BC的解析式为y=kx+b, 把B(4，0)和C(0，2)代入y=kx+b ∴ 解得： ∴直线BC的解析式为：y=- x+2， 90 设E的坐标为：(x,- x+2) ∴F(x,- x2+ x+2) ∴EF=- x2+ x+2-(- x+2)=- x2+2x, ∴△BCF的面积为： EF•OB=2(- x2+2x)=-x2+4x=-(x-2)2+4 四边形CDBF的面积最大时，只需要△BCF的面积最大即可， ∴当x=2时， 91 △BCF的面积可取得最大值， 此时E的坐标为(2，1) 92 六．二次函数与不等式 93 20.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A(-1，-3)，与x轴的一个交点为B(-4，0)．点A和点B均在直线y2=kx+n(k≠0)上．下列结论错误的是( ____ ) A.a+b+c＞-k+n B.不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为-4＜x＜-1 C.abc＜0 D.方程ax2+bx+c=-3有两个不相等的实数根 【解析】解：∵直线y2=kx+n(k≠0)经过抛物线的顶点坐标为B(-1，-3)， ∴a-b+c=-k+n, D 94 ∴a+b+c＞-k+n,所以A正确； ∵当-4＜x＜-1时，y2＞y1， ∴不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为-4＜x＜-1．所以B正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=- =-1， ∴b=2a ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∴b=2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， 95 ∴abc＜0，所以C正确； ∵抛物线的顶点坐标为(-1，-3)， ∴抛物线与直线y=-3只有一个交点， ∴方程ax2+bx+c=-3有两个相等的实数根，所以D错误； 故选：D． 96 21.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，则下列结论： ①b=2a； ②c-a=n； ③抛物线另一个交点(m,0)在-2到-1之间； ④当x＜0时，ax2+(b+2)x＜0； ⑤一元二次方程ax2+(b- )x+c=0有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是( ____ ) D 97 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：①因为抛物线的对称轴为x=1， 即- =1，所以b=-2a, 所以①错误； ②当x=1时，y=n, 所以a+b+c=n,因为b=-2a, 所以-a+c=n, 98 所以②正确； ③因为抛物线的顶点坐标为(1，n)， 即对称轴为x=1， 且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间， 所以抛物线另一个交点(m,0)在-2到-1之间； 所以③正确； ④因为ax2+(b+2)x＜0，即ax2+bx＜-2x, 根据图象可知： 把抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象向下平移c个单位后图象过原点， 即可得抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图象， 所以当x＜0时，ax2+bx＜-2x, 99 即ax2+(b+2)x＜0． 所以④正确； ⑤一元二次方程ax2+(b- )x+c=0， Δ=(b- )2-4ac, 因为根据图象可知：a＜0，c＞0， 所以-4ac＞0， 所以Δ=(b- )2-4ac＞0， 所以一元二次方程ax2+(b- )x+c=0有两个不相等的实数根． 100 所以⑤正确． 故选：D． 101 22.如图，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A、B两点，且点A的横坐标是-2，点B的横坐标为6，则以下结论：①抛物线y=ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点；②x＜0时，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而减小；③AB的长度可以等于8；④△OAB不可能成为等边三角形；⑤当-6＜x＜2时，ax2+kx＜b,其中正确的结论是 _____ ．(填序号) 【解析】解：∵抛物线的对称轴是y轴，抛物线与y轴的交点是(0，0)， ∴抛物线y=ax2的顶点是原点， 故①正确， ①④⑤ 102 ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵当x=-2时，y=4a,当x=6时，y=36a, 4a＜36a, ∴y=kx+b的y随x的增大而增大， 故②错误， ∵4a＜36a, ∴AB不能平行于x轴， ∴AB＞8， 故③错误， ∵OA2=22+(4a)2=4+16a2， 103 OB2=62+(36a)2=36+362•a2， ∴OB＞OA， ∴△AOB不能是等边三角形， 故④正确， 如图， ___ y=-ax2与y=kx-b的图象， 104 ∵当-6＜x＜2时，-ax2＞kx-b, ∴ax2+kx-b＜0， ∴ax2+kx＜b, 故⑤正确， 故①④⑤正确． 105 23.不等式(x+1)(x2-4x+3)＞0有多重解法，其中有一种方法如下，在同一平面直角坐标系中作出y1=x+1和y2=x2-4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：设a,b为整数，若对任意x≤0，都有(ax+2)(x2+2b)≤0成立，则a+b= ____ ． 【解析】解：观察图象可知：然a≠0，由于x的负半轴上ax+2与x2+2b不同号⇒ax+2与x2+2b在x轴负半轴上交点相同，推出- =- ， ∵a,b为整数， ∴a=1，b=-2， ∴a+b=-1． -1 106 ___ 故答案为-1． 107 七．二次函数的应用 108 24.准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置(如图1)，已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB=3米，喷水点A与地面的距离OA=1米(喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型)，水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC=2米(如图2)，此时水柱的函数表达式为 　　，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°(如图3)，则此时水柱与遮阳棚的最小距离为 　　米．(保留根号) 109 _______ 【解析】解：将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点， 过点B作BG⊥MN于G，如图： 110 ___ ∵抛物线的顶点C的坐标为(2，3)， ∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3， 把点A (0，1)的坐标代入y=a(x-2)2+3，得： 1=a×(0-2)2+3， 解得：a=- ， 111 ∴y=- (x-2)2+3=- x2+2x+1， ∵∠DBC=45°，BC⊥y轴， ∴BD与直线y=x平行，且BD与y轴的夹角是45°， ∵BD//MN， ∴MN与直线y=x平行，∠BMG=45°， ∴设M N的解析式为y=x+b, ∵MN与抛物线只有一个交点， ∴方程组 只有一组解， 112 ∴方程x+b=- x2+2x+1有两个相等的实数根， 将方程整理得： x2-x+b-1=0， ∴Δ=(-1)2-4× ×(b-1)=0， 解得：b= ， ∴MN的解析式为y=x+ ， 令x=0，得y= ， ∴M(0， )， 113 ∵B(0，3)， ∴BM=3- = (米)， 在Rt△BMG中，∠BGM=90°，∠BMG=45°， ∵sin∠BMG= ， ∴BG=BM•sin∠BMG= sin45°= × = (米)， ∴此时水住与遮阳棚的最小距离为 米． 故答案为：y=- x2+2x+1， ． 114 八．二次函数综合题 115 25.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，顶点为P，PQ⊥x轴，垂足为Q，点C为PQ中点，则直线AC叫做二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的“截中线”． 已知，二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)的“截中线”AC与二次函数y=ax2+bx+c(a＜0)图象的另一个交点为D，连接PD，且顶点P在第一象限，b=-2a； (1)当c=-3a时； ①若直线AC的解析式为y=x+1，求二次函数的解析式； ②求证：△PCD是等腰三角形； (2)当c≠-3a时，连接AP，若△APD为直角三角形，且c≠a,求c与a之间的数量关系． 116 ______ 【解析】(1)①解：∵b=-2a,c=-3a, ∴y=ax2-2ax-3a=a(x-3)(x+1)， ∴A(-1，0)，P(1，-4a)， 117 ∴C(1，-2a)， ∴-2a=1+1， ∴a=-1， ∴y=-x2+2a+3； ②证明：∵P(1，4)，C(1，2)， ∴PC=2， 联立直线AC和抛物线解析式： ， 解得：x=2或-1(舍去)， ∴D(2，3)， 118 ∴PD= ，CD= ， ∴PD=CD，PD2+CD2=PC2， ∴△PCD为等腰直角三角形． (2)解：∵b=-2a, ∴P(1，c-a)， ∴C(1， )，抛物线解析式为：y=ax2-2ax+c, 令y=0，解得x=1± ， ∴A(1- ，0)， 119 ∴kAP=- ，kAC=- ， ∴直线AC的解析式为：y=- (x-1+ )=- x+ - ， 联立直线AC与抛物线解析式： ， 120 解得：x=1+ ， ∴D(1+ ， (c-a))， ∴AP2= +(c-a)2，AD2= + (c-a)2，DP2= + (c-a)2， ①当AP⊥DP时，AP2+DP2=AD2， 即： +(c-a)2+ + (c-a)2= + (c-a)2， 整理得：- = (c-a)， 121 ∴c=a- ； ②当AD⊥DP时，AD2+DP2=AP2， 即： + (c-a)2+ + (c-a)2= +(c-a)2， 整理得：- = (c-a)， ∴c=a- ； 综上所述，c=a- 或a- ． 122 26.抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线顶点坐标为 ，点P是第一象限抛物线上动点，连接BC，PB． (1)求抛物线和直线BC的解析式； (2)如图1，点P在直线BC上方的抛物线上，使得∠PBC恰好等于∠CBA的 ，求tan∠PBC的值． (3)如图2，连接P，交BC于点M，设△ABM的面积为S1，△PBM的面积为S2，求 的最小值及此时点P的坐标． 123 ________ 【解析】解：(1)由抛物线的表达式知，点C(0，3)， 由题意得：y=a(x-1)2+ ， 将点C的坐标代入上式得：3=a(-1)2+ ， 解得：a=- ， 124 则抛物线的表达式为：y=- (x-1)2+ ， 令y=0，则x=-2或4，即点A、B坐标分别为：(-2，0)、(4，0)， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=- x+3； (2)如图2， ___ 设∠CBA=θ，在直线BC上方的抛物线上存在点P，使得∠PBC恰好等于 125 ，理由如下： 作BD平分∠CBA，交OC于D，作DE⊥BC于E，交BP于F，作EH⊥AB于H，作FG⊥EH于G， ∴∠G=∠EHB=90°，∠FEB=90°， ∴∠GEF+∠GFE=90°，∠GEF+∠BEH=90°， ∴∠BEH=∠GFE， ∴△GEF∽△HBE， ∴FG：EH=EG：BH=EF：EB， ∵OD=DE，∠BDE=∠BDO， ∴BE=OB=4， 126 ∵∠PBC=∠EBD= CBA，∠DBE=∠FEB=90°，EB=EB， ∴△BED≌△BEF(ASA)， ∴EF=DE， ∵∠DCE=∠BCO，∠CED=∠BOC=90°， ∴△CDE∽△CBO， ∴DE：OB=CD：BC， ∵CD=OC-OD=3-DE，BC=5，OB=4， ∴DE：4=(3-DE)：5， ∴EF=OD=DE= ， 127 则tan∠DOB= = ， 即tan∠PBC= ； (3)y=- (x-1)2+ =- x2+ x+3，如图1， ____ 作PQ∥AB，交BC于Q， ∴△PMQ∽△AMB， 128 ∴AM：PM=AB：PQ， 设P(m,- m2+ m+3)， 由- x+3=- m2+ m+3， 则x= m2-m, ∴PQ=m-( m2-m)=- m2-2m, ∵AB=4-(-2)=6， ∴S1：S2=AM：PM=6：(- m2+2m)=6：[- (m-2)2+2]， 129 ∴当m=2时，- (m-2)2+2的最大值为2， ∴ 的最小值为3， 则点P(2，3)． 130 27.如图1，在矩形ABCD中，已知AB=8，点E是AD的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线B-C-D运动，当一个点到达点D时，另一点也随之停止运动．连接PQ，EQ，设动点P运动的时间为t秒，△EPQ的面积为S，图2中的曲线是动点Q在线段CD上时S与t的函数图象． (1)填空： ①AD= ____ ； 6 131 ②当0≤t≤3时，直接写出S与t的函数解析式为 ____________ ． (2)经探究，发现当点Q在线段CD上运动时，S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． (3)在整个运动过程中，若存在某3个时刻t1，t2，t3(t1＜t2＜t3)，使得S的值相等． ①求出S的取值范围； ②当t1+t3=8时，求S的值． 【解析】解：(1)①由图2可得t=3时，点Q在点C处， ∴AD=BC=2t=6， 故答案为：6， S=-4t+12 132 ②∵点E是AD的中点， ∴ ， ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线B-C-D运动， ∴BC÷2=3(s)=AE÷1， ∴当点Q在BC上运动时，点P在AE上运动， ∵PE=3-t,△PEQ的高为8， ∴当0≤t≤3时， ， 故答案为：S=-4t+12； (2)如图，当点Q在线段CD上运动时， 133 DQ=6+8-2t=14-2t,EP=t-3， 此时 ， ∴S=-t2+10t-21， 自变量t的取值范围为3≤t≤6； __ (3)由(1)(2)得 134 ， ①如图， ， __ 对于S=-t2+10t-21，当t=6时，S=-62+10×6-21=3， ∵-1＜0， 135 ∴当 时， ∴3≤S＜4； ②∵t1+t3=8， ∴t3=8-t1， ∴ ， 解得： 或 (舍去)， 把 ，代入S=-4t+12得： ． 136 28.为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x,y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x,CD读数为y,抛物线的顶点为C． (1) (Ⅰ)列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 (Ⅱ)描点：请将表格中的(x,y)描在图2中； (Ⅲ)连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接， 137 并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-h)2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB=m,CD=n,为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数y=a(x-h)2+k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=ax2． ①此时点B′的坐标为 　　； ②将点B′坐标代入y=ax2中，解得a=　　；(用含m,n的式子表示a) 方案二：设C点坐标为(h,k)． ①此时点B的坐标为 　　； 138 ②将点B坐标代入y=a(x-h)2+k中解得a=　　；(用含m,n的式子表示a) (3)【应用】已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB=4，且AB∥x轴，二次函数C1：y1=2(x±h)2+k和C2：y2=a(x±h)2+b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10，若AB∥x轴且AB=4，求a的值． 139 ___ 140 【解析】解：(1)描点连线绘制函数图象如下： ___ 抛物线过点O，故设抛物线的表达式为：y=ax2+b, 将(2，1)、(3，2.25)代入上式得： 141 ，解得： ， 则抛物线的表达式为：y= x2，(x≥0)； (2)方案一： 点B′( m,n)； 将点B′的坐标代入抛物线表达式得：n=a× m2， 则a= ； 142 故答案为：( m,n)， ； 方案二： 点B(h+ m,k+n)， 将点B的坐标代入抛物线表达式得：k+n=a(h+ m-h)2+k, 解得：a= ； 故答案为：(h+ m,k+n)， ； (3)对于二次函数C1：m=4， 143 由a= 得：2= ， 解得：n=8， 则C2距线段AB的距离的n=2， 当a＞0时，则a= = = ； 当a＜0时，同理可得：a=- ， 综上，a=± ． 144 29.如图、在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+bx+2经过点(4，2)．点A在抛物线上，点A的横坐标为m.点C的坐标为(2-m,2-2m)，以AC为对角线作矩形ABCD，使AB⊥y轴． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求抛物线与y轴的交点坐标； (3)当m=2时，求抛物线在矩形ABCD内部的图象(包含边界)的最大值与最小值的差； (4)当抛物线与矩形ABCD的边恰好有4个交点(包含端点)时，直接写出m的取值范围． 145 【解析】解：(1)∵将点(4，2)代入函数表达式得：-8+4b+2=2， 解得 b=2， ∴抛物线所对应的函数表达式为y=- x2+2x+2； (2)对于y=- x2+2x+2，当x=0时，y=2， 即抛物线与y轴的交点坐标(0，2)； (3)当m=2时，则2-m=0，2-2m=-2， ∴C(0，-2)， 把x=2代入得：y=- ×22+2×2+2=4， ∴A(2，4)， 146 ∵以AC为对角线作矩形ABCD，使AB⊥y轴， ∴B(0，4)，D(2，-2)，如图， ___ ∴抛物线在矩形ABCD内部的图象(包含边界)的最大值为4，最小值为2， ∴最大值与最小值的差为 4-2=2． 147 (4)由题意得：A(m,- m2+2m+2)，C(2-m,2-2m)， 当2-2m=- m2+2m+2， 解得：m1=8，m2=0， ∴m＞8； 当- (2-m)2+2(2-m)+2=2-2m, 解得：m=2±2 ， ∴-1＜m＜2-2 ． 综上：m＞8或-1＜m＜2-2 ； 148 30.如图，二次函数y=ax2-2ax-3a(a为常数，且a＜0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，过点D且平行于y轴的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，连接AD，交直线BC于点G． (1)填空：点A的坐标为 _________ ，点B的坐标为 ________ ； (2)试探究 是否为定值，如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由； (3)若点P为二次函数y=ax2-2ax-3a(a为常数，且a＜0)位于第一象限图象上一点，连接AP，交直线BC于点Q，试求 的最大值， (-1，0) (3，0) 149 并求出此时点P的横坐标． _____ 【解析】解：(1)令y=0，得ax2-2ax-3a=0， 解得x1=3或x2=-1， 150 ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)， 故答案为：(-1，0)，(3，0)； (2) 是定值， 把x=0代入y=ax2-2ax-3a,得y=-3a, ∴点C的坐标为(0，-3a)， 设直线BC的解析式为y=kx+b,代入B(3，0)，C(0，-3a)， ∴ ，解得 ， ∴直线BC的解析式为y=ax-3a, 151 过点A作AH∥y轴交直线BC于点H， ___ ∴AH∥DF， ∴△DFG∽△AHG， 152 ∴ = ， ∵点A的坐标为(-1，0)， ∴H(-1，-4a)， ∵y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a, ∴顶点为D(1，-4a)， ∴F(1，-2a)， ∴ = = = ， ∴ 是定值，这个定值为 ； (3)过点A作AH∥y轴交直线BC于点H，过点P作PM∥ 153 y轴交直线BC于点M， ___ ∴H(-1，-4a)， 设P(m,am2-2am-3a)，则M(m,am-3a)， ∴PM=am2-2am-3a-am+3a=am2-3am, 154 ∵AH∥y轴，PM∥y轴， ∴△PMQ∽△AHQ， ∴ = = =- (m- )2+ ， ∴当m= 时， 的最大值为 ，此时点P的横坐标为 ． 155 31.如图1，在直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，已知 ，B(4，0)． (1)求抛物线C1的解析式； (2)如图1，有两动点D、E在△COB的边上运动，它们分别从点O同时出发，点D沿线段OC按O→C方向向终点C运动，速度为每秒1个单位长度，点E沿折线OBC按O→B→C方向向终点C运动，速度为每秒4个单位长度，当某一点到终点时另外一点也停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： ①设△ODE的面积为s,求出s关于t的关系式； 156 ②当t为何值时，△CDE与△COB相似？ (3)如图2，点F是BC上一点，OF平分△COB的面积，将抛物线C1沿射线CB方向平移，当抛物线恰好经过点F时，停止运动，记平移后的抛物线为C2．已知点M是原抛物线C1上的动点，在抛物线C2的对称轴上是否存在一点N，使得以点C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 157 _______ 【解析】解：(1)将 ，B(4，0)代入抛物线C1：y=ax2+bx+3(a≠0)， 158 ∴ ，解得 ， ∴抛物线C1：y=- x2+ x+3． (2)抛物线C1：y=- x2+ x+3，令x=0，则y=3， ∴C(0，3)； ∴OC=3， ∵B(4，0)， ∴OB=4，BC=5， 159 ∴0≤t≤ ； ①如图2-1，当点E在OB上，即0≤t≤1时，OD=t,OE=4t, ∴s= t•4t=2t2； __ 160 如图2-2，当点E在BC上，即1＜t≤ 时，OD=t,BE=4t-4， __ ∴CE=9-4t, 过点E作EE′⊥y轴，∴EE′∥OB， ∴EE′：OB=CE：BC，即EE′：4=(9-4t)：5， 161 ∴EE′= (9-4t)， ∴s= t• (9-4t)=- t2+ t； 综上，s= ； ②当点E在OB上时，如图2-3，此时△CDE是钝角三角形，不符合题意； 162 __ 当点E在BC上时： 当∠CDE=90°时，如图2-4，此时△CDE∽△COB， 163 __ ∴CD：OC=CE：BC， 由①可知，OD=t,BE=4t-4， ∴CD=3-t,CE=9-4t, ∴(3-t)：3=(9-4t)：5， 164 解得，t= ； 当∠CED=90°时，如图2-5，此时△CED∽△COB， __ ∴CD：CB=CE：OC， ∴(3-t)：5=(9-4t)：3， 165 解得，t= ； 综上，当t的值为 或 时，△CDE与△COB相似； (3)存在，理由如下： ∵OF平分△COB面积， ∴F为BC中点，即F(2， )， 由题意可知，抛物线C1沿射线CB平移，且过点F，则C平移至点F时，向右平移2个单位，再向下平移 个单位， ∴抛物线C2解析式为：y=- (x-2)2+ (x-2)+3- ，即y=- x2+ 166 x-3， ∴抛物线C2的对称轴为：x= ， ∴N( ，m)，M(n,- n2+ n+3)，而C(0，3)，B(4，0)， ①以MN、BC为对角线，则MN的中点即是BC中点，如图3-1： 167 ___ ∴ ，解得 ， 168 ∴N( ，- )； ②以NC、BM为对角线，则NC中点即是BM中点，如图3-2： ___ 169 ∴ ，解得 ， ∴N( ，- )； ③以NB、CM为对角线，如图3-3： 170 __ 171 ∴ ，解得 ， ∴N( ，- )， ∴综上所述：满足条件的N点坐标为：( ，- )或( ，- )或( ，- )． 172 32.我们知道：关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a=0)，当系数a,b,c确定时，该二次函数的图象也随之确定，顶点坐标 也唯一确定． (1)①请写出关于x的二次函数y=3x2+2x-4的顶点坐标：　　； ②请写出关于x的二次函数y=-x2+2x+c的顶点坐标：　　；(用含有c的式子表示) (2)已知关于x的二次函数y=x2+bx+4b,请问该抛物线的顶点是否有最高位置或者最低位置？如果有，求出此时b的取值； (3)关于x的二次函数y=x2+mx+mn与 ， 173 这两个抛物线的顶点分别是P1(x1，y1)和P2(x2，y2)当-2≤m≤2时，是否存在实数n,使得y1＜y2恒成立？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】解：(1)①y=3x2+2x-4中a=3，b=2，c=-4， ∴- =- ， =- ， ∴顶点为(- ，- )； 故答案为：(- ，- )； ②y=-x2+2x+c中，a=-1，b=2， 174 ∴- =1， =c+1， ∴顶点坐标为(1，c+1)； 故答案为：(1，c+1)； (2)顶点有最高位置，理由如下： y=x2+bx+4b的顶点坐标为(- b,4b- b2)， 设x=- b,y=4b- b2， ∴y=-x2-8x=-(x+4)2+16， 当x=-4时，y有最大值16， 175 ∴- b=-4， ∴b=8； (3)不存在实数n,使得y1＜y2恒成立，理由如下： ∵y=x2+mx+mn的顶点为(- m,mn- m2)， 的顶点为(- m,n- m)， ∴y1=mn- m2，y2=n- m, 当y1＜y2时，n- m-mn+ m2＞0， ∴m2-2(1+2n)m+4n＞0， 176 当1+2n＞2时，即n＞ ，4-4(1+2n)+4n＞0，解得n＜0， 此时n无解； 当1+2n＜-2时，即n＜- ，4+4(1+2n)+4n＞0，解得n＞- ， 此时n无解； 当-2≤1+2n≤2时，即- ≤n≤ ，Δ=4n2+1＜0， 此时n无解； 综上所述：不存在实数n,使得y1＜y2恒成立． 177 33.定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标y与其横坐标x的差y-x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”． (1)①点A(4，7)的“坐标差”为 ____ ； ②抛物线y=-x2+3x+6的“特征值”为 ____ ； (2)某二次函数y=-x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为-1，且b+c=1，求此二次函数的解析式； (3)二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为(7，3)，点O为坐标原点，点D在x轴上，点F在y轴上，当二次函数y=-x2+px+q的图象与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值． 3 7 178 ______ 【解析】解：(1)①∵A(4，7)，7-4=3， ∴“坐标差”为3， 故答案为：3； ②y-x=-=-x2+3x+6-x=-x2+2x+6=-(x-1)2+7， 179 特征值是7； 故答案为：7； (2)∵b=1-c, ∴y=-x2+(1-c)x+c, ∵二次函数y=-x2+(1-c)x+c的“特征值”为-1． ∴y-x=-x2+(1-c)x+c-x=-x2-cx+c, ∴ ， ∴c=-2， ∴b=3， ∴二次函数的解析式为y=-x2+3x-2； 180 (3)“坐标差”为2的一次函数为y=x+2， ∵二次函数y=-x2+px+q的图象的顶点在直线y=x+2上， ∴设二次函数为y=-(x-m)2+m+2， 二次函数的图象与矩形有三个交点，如图①、②， ①抛物线顶点在直线y=x+2与FE的交点上时(如图①)， 令y=3，则x=1，得交点为(1，3)， 把(1，3)代入y=-(x-m)2+m+2，得3=-(1-m)2+m+2， 解得m1=1，m2=2(舍去)， ∴二次函数的解新式为y=-(x-1)2+3， ∴ 181 ，特征值是 ； ②抛物线右侧部分经过点E时(如图②)， 把E(7，3)代入y=-(x-m)2+m+2，得3=-(7-m)2+m+2， 解得m1=5，m2=10(舍去)， 二次函数的解析或为y=-(x-5)2+7， ∴ ，特征值是 ． ∴综上，二次函数的解析式为y=-(x-1)2+3或y=-(x-5)2+7，“特征值”均为 182 ． 183 34.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a,c是常数)经过A(0，3)、B(3，0)两点．点P为抛物线上一点，且点P的横坐标为m.(1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)点C为抛物线对称轴上一点，连结AC，OC，求△AOC周长的最小值； (3)已知点Q(4-m,m-1)，连结PQ，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形各边垂直于坐标轴． ①抛物线在矩形内的部分图象y随x增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； ②连结BQ，设BQ的中点为D， 184 当以P、D、Q为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出m的取值范围． 【解析】解：(1)将点A(0，3)、B(3，0)代入y=ax2+2x+c, ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∴点O关于直线x=1的对称点O'(2，0)， 185 连接AO'与对称轴交于点C，此时AC+CO=AC+CO'=AO'， ∵AO'= ，AO=3， ∴△AOC周长的最小值为 +3； (3)①∵P点横坐标为m, ∴P(m,-m2+2m+3)， 当4-m=m时，解得m=2，此时P、Q点重合， 当m-1=-m2+2m+3时，解得m= ，此时P、Q点重合， 当m-1=3时，解得m=4，此时Q点与B点重合， ∴当 ＜m＜4或 ＜m＜2时， 186 抛物线在矩形内的部分图象y随x增大而减小， 当 ＜m＜4时，m-1-(-m2+2m+3)=2，解得m=3或m=-2(舍)， 当 ＜m＜2时，-m2+2m+3-(m-1)=2，解得m=-1或m=2(舍)， -m2+2m+3+(4-m)2-2(4-m)-3=2，解得m= ； 综上所述：m的值为3或-1或 ； ②∵B(3，0)，Q(4-m,m-1)，BQ的中点为D， ∴D( ， )， 187 设直线BQ的解析式为y=kx+b, ∴ ， 解得 ， ∴直线BQ的解析式为y=-x+3， ∴A、B、Q三点共线， ∵OA=OB， ∴∠BAO=45°， ∴过点P与AB垂直的直线解析式y=x-m2+m+3， 当点D在直线y=x-m2+m+3上时， -m2+m+3= ， 188 解得m=± ； 当点P在直线y=x-m2+m+3上时，4-m-m2+m+3=m-1， 解得m= ， ∴ ＜m＜ 时或 ＜m＜- 时，以P、D、Q为顶点的三角形为锐角三角形． 189 35.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x=-1，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当m≠-1时，a-b＞am2+bm； ②若 +bx1= +bx2且x1≠x2，则x1+x2=2； ③若OA=OC，则OB=- ； ④若B(1，0)，C(0，3)，连接AC，点P在抛物线的对称轴上，且∠PCA=90°，则P(-1，4)． 其中正确的有( ____ ) A.①③④ A 190 B.①②③ C.①②④ D.②③④ 【解析】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1， ∴当x=-1时，y最大值=a-b+c, ∴当m≠-1时，a-b+c＞am2+bm+c,即a-b＞am2+bm,故①正确； 当 且x1≠x2时，则直线x=x1和直线x=x2关于对称轴对称， ∴x1+x2=-2，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线x=-1， 191 ∴ ， ∴b=2a, ∵OA=OC， ∴A(-c,0)， ∴点B的坐标为(c-2，0)， 把A(-c,0)代入抛物线解析式中得ac2-2ac+c=0， ∴ ， ∴ ， 192 ∴点B的坐标为 ， ∴ ，故③正确； ∵B(1，0)， ∴A(-3，0)， 设P(-1，m)， ∴PA2=[-1-(-3)]2+(m-0)2=m2+4，PC2=(-1-0)2+(m-3)2=m2-6m+10， AC2=(-3-0)2+(0-3)2=18， ∵∠PCA=90°， ∴PC2+AC2=PA2， ∴m2-6m+10+18=m2+4， 193 解得m=4， ∴P(-1，4)，故④正确； 故选：A． 194 36.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx(k为常数)与抛物线y= x2-2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为(0，-4)，连接PA，PB．有以下说法： ①PO2=PA•PB； ②当k＞0时，(PA+AO)(PB-BO)的值随k的增大而增大； ③当k=- 时，BP2=BO•BA；④△PAB面积的最小值为4 ， 其中正确的个数是( ____ ) A.1个 B 195 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：设A(m,km)，B(n,kn)，其中m＜0，n＞0． 联立y= x2-2与y=kx得： x2-2=kx,即x2-3kx-6=0， ∴m+n=3k,mn=-6． 设直线PA的解析式为y=ax+b,将P(0，-4)，A(m,km)代入得： ， 196 解得a= ，b=-4， ∴y=( )x-4． 令y=0，得x= ， ∴直线PA与x轴的交点坐标为( ，0)． 同理可得，直线PB的解析式为y=( )x-4，直线PB与x轴交点坐标为( ，0)． 197 ∵ + = = =0， ∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称． (1)说法①错误．理由如下： 如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称， ∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上． 连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′． 198 ___ 假设结论：PO2=PA•PB成立，即PO2=PA′•PB， ∴ = ， 又∵∠BPO=∠BPO， ∴△POA′∽△PBO， 199 ∴∠POA′=∠PBO， ∴∠AOP=∠PBO． 而∠AOP是△PBO的外角， ∴∠AOP＞∠PBO，矛盾， ∴说法①错误． (2)说法②错误．理由如下： 易知： =- ， ∴OB=- OA． 由对称可知，PO为△APB的角平分线， 200 ∴ = ， ∴PB=- PA． ∴(PA+AO)(PB-BO)=(PA+AO)[- PA-(- OA)]=- (PA+AO)(PA-OA)=- (PA2-AO2)． 如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=-km,PD=4+km. 201 ___ ∴PA2-AO2=(PD2+AD2)-(OD2+AD2)=PD2-OD2=(4+km)2-(-km)2=8km+16， ∵m+n=3k,∴k= (m+n)， ∴PA2-AO2=8• (m+n)•m+16= m2+ mn+16= m2+ ×(-6)+16= 202 m2． ∴(PA+AO)(PB-BO)=- (PA2-AO2)=- • m2=- mn=- ×(-6)=16． 即：(PA+AO)(PB-BO)为定值，所以说法②错误． (3)说法③正确．理由如下： 当k=- 时，联立方程组： ，得A(-2 ，2)，B( ，-1)， ∴BP2=12，BO•BA=2×6=12， ∴BP2=BO•BA，故说法③正确． 203 (4)说法④正确．理由如下： S△PAB=S△PAO+S△PBO= OP•(-m)+ OP•n= OP•(n-m)=2(n-m)=2 =2 ， ∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为2 =4 ． 故说法④正确． 综上所述，正确的说法是：③④． 故选：B． 204 37.如图，已知平行四边形OABC中，OA=6，∠AOC=45°，以AB为直径的圆经过点C，Q为线段OC上任一点(与点O、点C不重合)，过点Q作直线PD⊥OA于D，交直线BC于P，设OD=t,△OPQ的面积为S．以下结论正确的是(　　) ①点B的坐标是(12，6 )； ②直线AB的解析式是：y=x-6； ③S与t的函数关系式是：S=- t2+3t(0＜t＜6)； 205 ④当S=18 -22.5时，直线PQ与已知圆相切． A.②③ B.②③④ C.③④ D.①②③④ 【解析】解：①如图1，连接AC， 206 ___ ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠OAC=90°， ∴∠AOC=45°， 207 ∴OA=AC=BC=6， ∵∠CAO=∠AOE=∠ACE=90°， ∴四边形ACEO是矩形， ∴CE=OA=6， ∴B(12，6)； 故①不正确； ②∵点A的坐标为(6，0)， 设直线AB的解析式为：y=kx+b, 则 ，解得 ， ∴直线AB的解析式为：y=x-6， 208 故②正确； ③∵PD⊥OD， ∴∠PDO=90°， ∵∠DOQ=45°， ∴△DQO是等腰直角三角形， ∴DQ=OD=t, ∴PQ=6-t, ∴S= PQ•OD= •t•(6-t)=- t2+3t(0＜t＜6)； 故③正确； ④当S=18 -22.5时，- t2+3t=18 -22.5， 209 (t-3)2=(6-3 )2， 解得：t1=9-3 ，t2=3 -3， 如图2，过AB的中点G作GF⊥PQ于F，交AC于H， 当t=9-3 时，OD=9-3 ， ____ 210 ∴AD=FH=6-OD=6-(9-3 )=3 -3， ∵AG= AB=3 ， ∴GH=3， ∴FG=3+3 -3=3 =AG， ∴直线PQ与已知圆相切； 当t=3 -3时，OD=3 -3， ∴AD=FH=6-OD=6-(3 -3)=9-3 ， ∴FG=3+9-3 =12-3 ≠AG， ∴此时直线PQ与已知圆不相切， 211 故④不正确； 本题正确的结论有2个是：②③． 故选：A． 212 38.如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A(15，8)，点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M． (1)当AM⊥x轴时，点P的坐标为 　　； (2)若点P在第一象限，设点P的坐标为(x,y)，则y关于x的函数关系式为 　　(不用写出自变量x的取值范围)； (3)当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是 　　． 【解析】解：(1)∵AM⊥x轴，A(15，8)， ∴OM=15， 213 ∵AM与⊙P相切， ∴AM⊥PM， ∵AM⊥x轴， ∴点P在x轴上， ∵点P是圆心， ∴点P的横坐标为 OM= ， ∴P( ，0)， 故答案为：( ，0)； (2)如图1，连接PM，过点P作PG⊥x轴于G，过点A作AQ⊥x轴于Q， 214 ___ 则∠PGM=∠AQM=90°， ∴∠PMG+∠MPG=90°， 由(1)知，PM⊥AM， ∴∠PMG+∠AMQ=90°， ∴∠MPG=∠AMQ， ∴△PGM∽△MQA， 215 ∴ ， ∵PO=PM，PG⊥x轴于G，P(x,y)，且点P在第一象限内， ∴PG=y,OG=GM=x,OM=2OG=2x, ∴MQ=OQ-OM=15-2x, ∵AQ⊥x轴，A(15，8)， ∴OQ=15，AQ=8， ∴ ， ∴y=- x2+ x, 216 故答案为：y=- x2+ x, (3)∵直线AM过点A(15，8)， ∴当AM∥OP是射线OP与直线AM相交的分界点， 如图2，①当点P在第一象限时，过点P作PH⊥x轴于G， 当OP∥AM时， 由(1)知，PM⊥AM， ∴OP⊥PM， ∴∠OPM=90°， ∵PO=PM， ∴△OPM为等腰直角三角形， 217 ∴PH=OH， ∵P(x,y)， ∴x=y, ∴x=- x2+ x, ∴x=0(舍去)或x= ， 由(2)知，OM=2OH=7； 218 ___ 219 ②当点P在第四象限时，过点P'作P'H'⊥x轴于H'， 同①的方法得，P'H'=OH'， ∵P'(x,y)， ∴x=-y, ∴-x=- x2+ x, ∴x=0(舍去)或x= ， 由(2)知，OM=2OH=23， ∴7＜t＜23， 故答案为：7＜t＜23． 220 39.定义在平面直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的折线距离|AB|=|x1-x2|+|y1-y2|．根据折线距离的定义，可以构造出许多美丽的图形．例如点P(1，0)，若平面中有一动点Q，满足Q到P的折线距离为|PQ|=2，则点Q的轨迹为以P(1，0)为中心，2 为边长的正方形(如图所示)，若点M(-2，-1)，N(3，2)动点R满足|MR|+|NR|=11(动点R到点M，N的折线距离之和为11)．已知动点R的轨迹与x轴、y轴均有两个公共点． 221 _____ ①动点R的轨迹与y轴公共点的坐标为 ________________________ ． ②动点R的轨迹交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，R在运动过程中，△ARB面积的最大值为 ____ ． 【解析】解：①设R的轨迹与y轴的交点坐标为：(0，a)， 由题意得， (0，3.5)，(0，-2.5) 17 222 2+3+|y+1|+|y-2|=11， 解之得， y=3.5或y=-2.5， ∴点R的轨迹与y轴的交点坐标为：(0，3.5)或(0，-2.5)， 故答案为：(0，3.5)或(0，-2.5)； ②设点R(x,y)， ∵|x+2|+|x-3|= ，|y+1|+|y-2|= ， ∴当x≤-2时， (1)当y≤-1时，-2x+1-2y-1=11， 223 ∴y=-x- ， (2)当-1＜y＜2时，x=-3.5， (3)当y≥2时，y=x+5.5， 当-2＜x＜3时， (4)当y≤-1时，y=-2.5， (5)当-1＜y＜2时，8(舍去)， (6)当y≥3时，y=3.5， 当x≥3时， (7)当y≤-1时，y=x-5.5， (8)当-1＜y＜2时，x=45， 224 (9)当y≥3时，y=-x+6.5， ∴|x+2|+|x-3|+|y+1|+|y-2|=11的图象如图： ___ 225 设AB的解析式为：y=kx+3.5， ∴4.5k+3.5=0， ∴k=- ， ∴y=- x+3.5， 当x=-2时， y= +3.5， ∴DR= +6= ， 由 得， 226 ， ∴CR= ， ∴S△ABR最大= CR= =17， 故答案为：17． 227 40.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A(3，0)，C(0， )．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM= OC，点P是线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F． (1)当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是 　　； (2)以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时， 228 点G也随之运动，则点G的运动路径的长是 　　． 【解析】解：(1)∵A(3，0)，C(0， )，四边形OABC是矩形， ∴B(3， )， ∵D是BC的中点， ∴D( ， )， ∵点P与原点重合， 设抛物线的解析式为y=ax2+bx, 229 将B(3， )，D( ， )代入y=ax2+bx, ∴ ， 解得 ， ∴y=- x2+ x, 故答案为：y=- x2+ x； 230 (2)∵OM= OC， ∴OM= ， ∴M(0， )， 如图：当P点在O点时，△DFG是等边三角形，当P点在M点时，△DF'G'是等边三角形， ∴DF=DG，DG'=DF'，∠FDG=∠G'DF'=60°， ∴∠GDG'=∠FDF'， ∴△DFF'≌△DGG'(SAS)， ∴FF'=GG'， 231 当P点与O点重合时，y=- x2+ x, 令y=0，则x=0或x= ， ∴E( ，0)， 设直线DE的解析式为y=kx+b, 232 ∴ ， 解得 ， ∴y=- x+ ， ∴F(3， )； 233 当P点与M点重合时， 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 将点B(3， )，D( ， )，P(0， )代入， 得 ， 234 解得 ， ∴y=- x2+ x+ ， 令y=0，则- x2+ x+ =0， 解得x=6或x=- ， 235 ∴E(6，0)， 设直线ED的解析式为y=k'x+b'， ∴ ， 解得 ， ∴y=- x+ ， 236 ∴F'(3， )； ∴FF'= - = ， ∴GG'= ， ∴点G的运动路径的长是 ， 故答案为： ． 237 $$