11.2.1三角形的内角课件-2023-2024学年人教版 数学八年级上册

三角形的内角和 人教版初中数学八年级上册 第十一章 三角形 11.2.1 三角形的内角 这些三角形的内角和是多少度？ 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关。意 有什么办法可以验证三角形的内角和为 180° 呢? 课前导入 课前导入 我们可以通过量角器测量各个角的度数，然后相加就可以得到得出这个结论。 我们还可以在纸板上任意绘制一个三角形，然后将三个内角撕下来拼在一起，也可以验证这一结论。 验证三角形的内角和为 180°的两种方法测量、拼接. 动手操作，探究新知 1 每个人拿出一张完整的纸张 2 在纸张上任意绘制一个三角形 一起来动手 动手操作，探究新知 3 我们将三角形三个内角剪下 一起来动手 动手操作，探究新知 4 将三角形三个内角拼在一起，通过观察发现，可以拼成一个平角，即180°。 一起来动手 A B C ∠A ∠B ∠C l A B C l 想一想，还有其他的拼接方法吗？ 新知讲解 在图中，∠B 和∠C 分别拼在∠A 的左右，通过观察发现，三个角合起来形成一个平角。 A B C l 活动延伸 思考：直线l与△ABC 的边 BC 有什么关系? 平行 测量存在误差，观测的结果不一定可靠，我们还需要通过数学知识来证明.从上面的动手操作过程，你能发现证明的思路吗？ 新知讲解 A B C l 过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC 的边BC，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论。 证明思路 新知讲解 已知:△ABC，求证:∠A+∠B+∠C=180°. A B C 2 1 l 证明：如图，过点A作直线 l，使l∥BC. 想一想：同学们还有其他的证法吗？ A B C l ∵l // BC， ∴∠2＝∠B(两直线平行，内错角相等). 同理：∠1=∠C. ∵∠1+∠2+∠BAC=180°(平角定义). ∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换). 所以任意一个三角形的内角和都等于180°. 证明结论 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°. 新知讲解 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的方法？ 新知讲解 思路总结 为了证明三个角的和为 180°，通过做辅助线将三角形内角转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法. 辅助线 为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 三角形的内角和定理的运用 例1 如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB 的度数。 C A B D 解:∵∠BAC＝40°，AD 是∠ABC 的角平分线， ∴∠BAD＝ ∠BAC＝20° ∵在△ABD 中，∠B=75° ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°-75°-20°＝85° 所以∠ADB 的度数的度数为85°. 三角形的内角和定理的运用 例2 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向，从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢? A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB 是△ABC 的一个内角。如果能求出∠CAB，∠ABC，根据三角形的内角和定理就能求出∠ACB. 解题思路 A B C D E 北 北 例2 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B岛的北偏西40方向，从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度?从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢? A B C D E 北 北 解: 由题意可知∠CAB=∠BAD -∠CAD=80°-50°-30° 三角形的内角和定理的运用 东 ∵AD//BE， ∴∠BAD+∠ABE＝180° ∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°＝100° ∴∠ABC＝∠ABE-∠EBC＝100°-40°＝60° 在△ABC 中， ∠ACB ＝180°-∠ABC-∠CAB＝180°-60°-30°＝90° 答:从B岛看A，C两岛的视角∠ABC 是60°，从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 是90° 课堂练习 1. 求出下列各图中的 x 值. x = 70 x = 30 x = 50 课堂练习 2.已知: 如图，在△ABC中，∠DAE=10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B=60°，求∠C的度数。 解:∵AD⊥BC，∠B=60° ∴在△ABD中，∠BAD=90°-60°=30° A B C D E 又∵∠DAE=10° ∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30°+10°=40° 又∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠BAE=80° ∴在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-80°-60°=40° 所以∠C的度数是40° 拓展提升 3. 如图，在△ABC 中,BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB. (1)若∠A = 60°,求∠BPC 的度数． (2)你能直接写出∠BPC 与∠A 之间的数量关系吗？ 解：(1)在△ABC 中,∵∠A =60°, ∴∠ABC +∠ACB =120°． ∵ BP 平分∠ABC,CP 平分∠ACB, ∴∠PBC +∠PCB = (∠ABC +∠ACB ) = 60°． ∵∠PBC +∠PCB +∠BPC = 180° ∴∠BPC =180° - 60°=120°． 所以∠BPC 的度数为120°. ∵∠PBC +∠PCB +∠BPC = 180°， ∴∠BPC = 180° - (∠ABC +∠ACB) = 180° - (180° - ∠A） = 90° + ∠A． 拓展提升 3. 如图，在△ABC 中,BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB. (1)若∠A = 60°,求∠BPC 的度数． (2)你能直接写出∠BPC 与∠A 之间的数量关系吗？ 解：∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB， ∴∠PBC +∠PCB = (∠ABC +∠ACB )． （2）∠BPC 与∠A 之间的数量关系是∠BPC = 90° + ∠A． 课堂小结 1.三角形内角和定理内容：三角形三个内角的和等于 180。 2.三角形的内角和定理证明：了解添加辅助线的方法及其目的。 3.完成“三角形三个内角的和等于180°”的学习探索环节。 4.能够利用三角形内角和定理解决生活中的简单问题。 学知识 兴中华 人教版初中数学八年级上册 $$