专题05 数列-【中职专用】湖南省十年（2015-2024）对口招生数学真题分类汇编

专题05 数列 【考点考法】　 【考查要点01】　①等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d．②数列的和：Tn＝a1＋a2＋…＋an．③等差数列的求和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝． 【规律方法】　数列求和的常见类型及解法： (1)等差数列的求和：利用Sn＝na1＋d或Sn＝求解． (2)等比数列的求和：利用Sn＝或Sn＝(q≠1)求解． (3)既不是等差数列也不是等比数列的数列求和：采取分组求和法，即将和式分为若干组，其中每一组都应是等差数列或等比数列的和，然后运用等差或等比数列的求和公式求出每一组的值再相加． 【考查要点02】　等差数列、等比数列及数列求和的综合应用． 【规律方法】判定等差、等比数列方法： 1．等差数列的判定方法 (1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)或an－an－1＝d(n∈N*，n≥2，d是常数)(定义法)可判定{an}成等差数列． (2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)等差中项法(从第二项起每一项都是前一项与后一项的等差中项)可判定{an}成等差数列． (3)an＝kn＋b[k，b为常数，n∈N*]通项公式形如一次函数可判定{an}成等差数列． (4)Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)前n项和形如二次函数(常数项为0)可判定{an}为等差数列． 2．等比数列的判定方法 (1)定义法：根据等比数列的定义，如果或(n＞1)是一个与n无关的常数，可判定数列{an}为等比数列． (2)等比中项法：对于各项均不为零的数列{an}，若对于任意大于1的正整数n都有a＝an－1·an＋1，则可判定数列{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝Aqn－1(Aq≠0)形如指数函数，则可判定{an}为等比数列． (4)前n项和公式法：在数列{an}中，前n项和为Sn，若Sn＝Aqn－A(Aq≠0，且q≠1)，则可判定{an}为等比数列． 3．对口高考数列求和常见方法 (1)基本公式法：如果一个数列是等差、等比数列可以直接利用等差、等比数列求和公式求和． 例1　已知等差数列{an}的通项公式是an＝12n－1，设Sn是数列{an}的前n项和，求Sn． 解：∵an＝12n－1，∴a1＝11，d＝12， ∴Sn＝(a1＋an)＝(11＋12n－1)＝(12n＋10)＝6n2＋5n． (2)分组转化求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．一般步骤是拆裂通项—重新分组—求和合并． 例2　求数列的前n项和：1＋1，＋4，＋7，…，＋3n－2，…． 解：设Sn＝(1＋1)＋＋＋…＋， 将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝＋(1＋4＋7＋…＋3n－2)． (分组) 当a＝1时，Sn＝n＋＝； (分组求和) 当a≠1时，Sn＝＋＝＋． (3)错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． 例3　求和：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1(x≠0，1)．① 解：由题可知，{(2n－1)xn－1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn－1}的通项之积． 设xSn＝1x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)xn．②(设置错位) ①－②，得(1－x)Sn＝1＋2x＋2x2＋2x3＋2x4＋…＋2xn－1－(2n－1)xn．(错位相减) 再利用等比数列的求和公式得(1－x)Sn＝1＋2x·－(2n－1)xn， ∴Sn＝． 例4　求数列，，，…，，…前n项的和． 解：由题可知，的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列的通项之积， 设Sn＝＋＋＋…＋．① Sn＝＋＋＋…＋．② (设置错位) ①－②，得Sn＝＋＋＋＋…＋－ (错位相减) ＝2－－． ∴Sn＝4－． (4)奇偶分析求和法 求一个数列的前n项和Sn，如果需要对n进行奇偶性讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解，这种方法称为奇偶分析法． 例5　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－9＋11－…＋(－1)n(2n－1)． 分析：观察数列的通项公式an＝(－1)n(2n－1)可知Sn与数列项数n的奇偶性有关，故利用奇偶分析法及分组求和法求解，也可以在奇偶分析法的基础上利用并项求和法求得结果． 解：当n为偶数时， Sn＝－1＋3－5＋7－9＋11－…＋(－1)n(2n－1) ＝－(1＋5＋9＋…＋2n－3)＋(3＋7＋11＋…＋2n－1) ＝n； 当n为奇数时， Sn＝－1＋3－5＋7－9＋11－…＋(－1)n(2n－1) ＝－(1＋5＋9＋…＋2n－1)＋(3＋7＋11＋…＋2n－3) ＝－n． 综上所述，Sn＝(－1)nn． (5)并项求和法 一个数列{an}的前n项和Sn中，某些项合在一起就具有特殊的性质，因此可以几项结合求和，再求Sn，称之为并项求和法．形如an＝(－1)nf(n)的类型，就可以采用相邻两项合并求解．如例5中可用并项求和法求解． 例6　求S＝－12＋22－32＋42－…－992＋1 002． 解：S＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－992＋1 002)＝10＋10＋…＋10＝500． (6)裂项相消法 如果一个数列{an}的通项公式能拆分成两项差的形式，并且相加过程中可以互相抵消至只剩下有限项时，这时只需求有限项的和，把这种求数列前n项和Sn的方法叫做裂项相消法． 例7　求数列，，…，，…的前n项和． 解：设an＝＝－， (裂项) 则Sn＝＋＋…＋ (裂项求和) ＝(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－1． (后三种方法可以归为一种观察法，对非等差、等比数列求和要学会观察规律，再寻找合适方法求和) 【真题检测】 1.(2024湖南对口高考)已知数列的通项公式为，若，则（ ） A. 15 B. 17 C. 20 D. 34 2.(2024湖南对口高考)已知数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 3.(2023湖南对口高考)设等差数列的前n项和为．若，，则的最小值为______． 4.(2023湖南对口高考)已知等比数列的公比，，且，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 5.(2022湖南对口高考)若数列满足，且，则数列的通项公式______. 6.(2022湖南对口高考)已知等差数列满足，. （1）求； （2）设数列的前项和为，问：，，是否成等比数列？请说明理由. 7.(2021湖南对口高考)已知各项为正数等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前n项和. 8.(2020湖南对口高考)已知等差数列的前和为，且，，则________ 9.(2020湖南对口高考) 已知数列是首项为1，公比为2的等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和，若，求n． 10.(2019湖南对口高考) 将2，5，11三个数分别加上相同的常数m，使这三个数依次成等比数列，则_____________． 11.(2019湖南对口高考) 已知数列是等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求． 12.(2014湖南对口高考) 设等差数列的前项为，若，求： （1）数列的通项公式；（2）数列中所有正数项的和。 13.(2015湖南对口高考) 已知等比数列的前项和，则 . 14.(2015湖南对口高考) 已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和的最小值. 15.(2016湖南对口高考) 己知数列的前项和，则2= ． 16.(2016湖南对口高考)已知各项均为正数的等比数列 中，，． (1)求{}的通项公式； (2)设{}的前项和为，且，求的值． 17.(2017湖南对口高考)已知数列为等差数列，， （1）求数列的通项公式 （2）设，，求数列的前项和 18.(2018湖南对口高考)如图，画一个边长为4的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为_____ 19.(2018湖南对口高考)已知数列为等差数列, 1，5. (1)求数列的通项公式；   (2)设数列的前项和为,若=100.求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 数列 【考点考法】　 【考查要点01】　①等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d．②数列的和：Tn＝a1＋a2＋…＋an．③等差数列的求和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝． 【规律方法】　数列求和的常见类型及解法： (1)等差数列的求和：利用Sn＝na1＋d或Sn＝求解． (2)等比数列的求和：利用Sn＝或Sn＝(q≠1)求解． (3)既不是等差数列也不是等比数列的数列求和：采取分组求和法，即将和式分为若干组，其中每一组都应是等差数列或等比数列的和，然后运用等差或等比数列的求和公式求出每一组的值再相加． 【考查要点02】　等差数列、等比数列及数列求和的综合应用． 【规律方法】判定等差、等比数列方法： 1．等差数列的判定方法 (1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)或an－an－1＝d(n∈N*，n≥2，d是常数)(定义法)可判定{an}成等差数列． (2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)等差中项法(从第二项起每一项都是前一项与后一项的等差中项)可判定{an}成等差数列． (3)an＝kn＋b[k，b为常数，n∈N*]通项公式形如一次函数可判定{an}成等差数列． (4)Sn＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)前n项和形如二次函数(常数项为0)可判定{an}为等差数列． 2．等比数列的判定方法 (1)定义法：根据等比数列的定义，如果或(n＞1)是一个与n无关的常数，可判定数列{an}为等比数列． (2)等比中项法：对于各项均不为零的数列{an}，若对于任意大于1的正整数n都有a＝an－1·an＋1，则可判定数列{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝Aqn－1(Aq≠0)形如指数函数，则可判定{an}为等比数列． (4)前n项和公式法：在数列{an}中，前n项和为Sn，若Sn＝Aqn－A(Aq≠0，且q≠1)，则可判定{an}为等比数列． 3．对口高考数列求和常见方法 (1)基本公式法：如果一个数列是等差、等比数列可以直接利用等差、等比数列求和公式求和． 例1　已知等差数列{an}的通项公式是an＝12n－1，设Sn是数列{an}的前n项和，求Sn． 解：∵an＝12n－1，∴a1＝11，d＝12， ∴Sn＝(a1＋an)＝(11＋12n－1)＝(12n＋10)＝6n2＋5n． (2)分组转化求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．一般步骤是拆裂通项—重新分组—求和合并． 例2　求数列的前n项和：1＋1，＋4，＋7，…，＋3n－2，…． 解：设Sn＝(1＋1)＋＋＋…＋， 将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝＋(1＋4＋7＋…＋3n－2)． (分组) 当a＝1时，Sn＝n＋＝； (分组求和) 当a≠1时，Sn＝＋＝＋． (3)错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． 例3　求和：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1(x≠0，1)．① 解：由题可知，{(2n－1)xn－1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn－1}的通项之积． 设xSn＝1x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)xn．②(设置错位) ①－②，得(1－x)Sn＝1＋2x＋2x2＋2x3＋2x4＋…＋2xn－1－(2n－1)xn．(错位相减) 再利用等比数列的求和公式得(1－x)Sn＝1＋2x·－(2n－1)xn， ∴Sn＝． 例4　求数列，，，…，，…前n项的和． 解：由题可知，的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列的通项之积， 设Sn＝＋＋＋…＋．① Sn＝＋＋＋…＋．② (设置错位) ①－②，得Sn＝＋＋＋＋…＋－ (错位相减) ＝2－－． ∴Sn＝4－． (4)奇偶分析求和法 求一个数列的前n项和Sn，如果需要对n进行奇偶性讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解，这种方法称为奇偶分析法． 例5　求和：Sn＝－1＋3－5＋7－9＋11－…＋(－1)n(2n－1)． 分析：观察数列的通项公式an＝(－1)n(2n－1)可知Sn与数列项数n的奇偶性有关，故利用奇偶分析法及分组求和法求解，也可以在奇偶分析法的基础上利用并项求和法求得结果． 解：当n为偶数时， Sn＝－1＋3－5＋7－9＋11－…＋(－1)n(2n－1) ＝－(1＋5＋9＋…＋2n－3)＋(3＋7＋11＋…＋2n－1) ＝n； 当n为奇数时， Sn＝－1＋3－5＋7－9＋11－…＋(－1)n(2n－1) ＝－(1＋5＋9＋…＋2n－1)＋(3＋7＋11＋…＋2n－3) ＝－n． 综上所述，Sn＝(－1)nn． (5)并项求和法 一个数列{an}的前n项和Sn中，某些项合在一起就具有特殊的性质，因此可以几项结合求和，再求Sn，称之为并项求和法．形如an＝(－1)nf(n)的类型，就可以采用相邻两项合并求解．如例5中可用并项求和法求解． 例6　求S＝－12＋22－32＋42－…－992＋1 002． 解：S＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－992＋1 002)＝10＋10＋…＋10＝500． (6)裂项相消法 如果一个数列{an}的通项公式能拆分成两项差的形式，并且相加过程中可以互相抵消至只剩下有限项时，这时只需求有限项的和，把这种求数列前n项和Sn的方法叫做裂项相消法． 例7　求数列，，…，，…的前n项和． 解：设an＝＝－， (裂项) 则Sn＝＋＋…＋ (裂项求和) ＝(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－1． (后三种方法可以归为一种观察法，对非等差、等比数列求和要学会观察规律，再寻找合适方法求和) 【真题检测】 1.(2024湖南对口高考)已知数列的通项公式为，若，则（ ） A. 15 B. 17 C. 20 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】将代入通项公式中即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得. 故选：B. 2.(2024湖南对口高考)已知数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由等差数列的定义结合通项公式即可求解. （2）根据等比数列的定义结合前项和公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，， 则为等差数列，且， 所以. 即； 【小问2详解】 由题意得，， 则， 所以等比数列，且， 则． 3.(2023湖南对口高考)设等差数列的前n项和为．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题目条件列方程求出，用等差数列前n项和公式写出，进而求出其最值. 【详解】因为为等差数列，， 由等差中项可得，，又， 可得，解得， 所以， 所以当时，取最小值为. 故答案为：. 4.(2023湖南对口高考)已知等比数列的公比，，且，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质结合等差中项的公式即可求解； （2）根据题意可知为等比数列，进而可求前n项和． 【小问1详解】 已知等比数列的公比，，且，，成等差数列， 则有 因为，所以， 所以， 则的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可知， 则，为的等比数列， 则有， 所以数列的前n项和. 5.(2022湖南对口高考)若数列满足，且，则数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】利用构造法求解数列通项公式即可. 【详解】因为，所以， 又， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列. 所以，则. 故答案为：. 6.(2022湖南对口高考)已知等差数列满足，. （1）求； （2）设数列的前项和为，问：，，是否成等比数列？请说明理由. 【答案】（1）19 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据求公差，再根据通项公式求. （2）先根据等差数列前项和公式求，，，再根据等比数列的特征判断是否成等比数列. 【小问1详解】 因为是等差数列，， 即，， ∴. 【小问2详解】 因为等差数列的前项和为，， 所以， ， ， ∵，即， ∴，，，成等比数列. 7.(2021湖南对口高考)已知各项为正数等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列前n项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件结合等比数列的通项公式求出即可； （2）由，得知是等差数列，接着利用等差数列的求和公式求出答案即可. 【小问1详解】 且，， 【小问2详解】 8.(2020湖南对口高考)已知等差数列的前和为，且，，则________ 【答案】49 【解析】 【分析】根据题干条件求出公差，进而利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为. 所以. 所以. 故答案为：49. 9.(2020湖南对口高考) 已知数列是首项为1，公比为2的等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和，若，求n． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的首项和公比，得到通项公式. （2）根据等比数列的求和公式，计算时，的取值. 小问1详解】 ∵数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴数列的通项公式为，. 【小问2详解】 ∵，故. 当时，即，此时，. 故，. 10.(2019湖南对口高考) 将2，5，11三个数分别加上相同的常数m，使这三个数依次成等比数列，则_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据等比数列的等比中项计算分析即可. 【详解】2，5，11三个数分别加上相同的常数m， 所以三个数为，，， 因为这三个数成等比数列， 所以， 所以. 故答案为：1. 11.(2019湖南对口高考) 已知数列是等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求． 【答案】（1） （2）50. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式即可求解. （2）根据求出数列的通项公式，再根据数列的特点即可求出前n项和. 【小问1详解】 因为在等差数列中， 所以公差， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以. 12.(2014湖南对口高考) 设等差数列的前项为，若，求： （1）数列的通项公式；（2）数列中所有正数项的和。 解：(1)由等差数列的性质得： 解得 数列 的通项公式为 (2)令 解得 数列 中所有正数项的和 数列 中所有正数项的和是 120 13.(2015湖南对口高考) 已知等比数列的前项和，则 . [答案]-3 [分析]根据等比数列求和公式可求出三项即可根据等比中项性质得到方程 根据等比数列性质得 = 则 解得 14.(2015湖南对口高考) 已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和的最小值. [分析](1)根据方程组求首项和公差 (2)根据二次函数的性质可求出最小值 (1) 设等差数列 的公差为 则 解得 (2) 由二次函数的性质可知当 和 时, 取到最小值 当 和 时, 取到最小值 15.(2016湖南对口高考) 己知数列的前项和，则2= ． [答案]5 . [分析]根据与的关系 因为 所以 16.(2016湖南对口高考)已知各项均为正数的等比数列 中，，． (1)求{}的通项公式； (2)设{}的前项和为，且，求的值． [分析]（1）方程组 （2）解方程 (1) 由题知 又因为数列是正项等比数列 所以 的通项公式为 (2) 17.(2017湖南对口高考)已知数列为等差数列，， （1）求数列的通项公式 （2）设，，求数列的前项和 [分析](1)求出首项和公差 (2)分组求和 (1)设数列 的公差为 因为 所以 因为 所以 即数列 的通项公式为 . , 所以数列 的前 项和 18.(2018湖南对口高考)如图，画一个边长为4的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为_____ [答案] [分析]等比数列应用 由规律可知 = 19.(2018湖南对口高考)已知数列为等差数列, 1，5. (1)求数列的通项公式；   (2)设数列的前项和为,若=100.求. [分析]（1）求出首项和公差 （2）解方程求出n 解：（1）故数列 为差数列 (2) 由题知 =100 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$