专题04 三角函数-【中职专用】湖南省十年（2015-2024）对口招生数学真题分类汇编

专题04 三角函数 【考点考法】　 【考查要点01】　同角三角函数的关系． 平方关系：sin 2x＋cos 2x＝1．　商数关系：tan x＝． 三角函数值的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦(记忆口诀)． 【考查要点02】　诱导公式：sin (π－α)＝sin α． 【必备知识】　(1)诱导公式： 1)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α． 2)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α． 3)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α，tan(2π－α)＝－tan α． 4)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α． (2)利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为区间内的角的三角函数，其基本步骤是负化正，大化小，小化锐． (3)30°，45°，60°的三角函数值如下： α(度) 0° 30° 45° 60° α(弧度) 0 sin α 0 cos α 1 tan α 0 1 【考查要点03】　①诱导公式：cos ＝sin α．②同角三角函数关系式：商数关系tan x＝．③正弦函数的单调性：正弦函数y＝sin x在区间上单调递增．④余弦函数y＝cos x在区间上单调递减．⑤正切函数y＝tan x在区间上单调递增． 【规律方法】　不同类型的三角函数值的大小比较的两种常用方法： (1)可以利用同角三角函数关系式及诱导公式将其转化为同一类型的三角函数值，然后根据函数的单调性比较大小． (2)根据三角函数的单调性先比较出它们与30°，45°，60°的三角函数值的大小，然后根据不等式的传递性来比较大小． 【考查要点04】　①余弦函数y＝cos x的值域：[－1，1]．②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的单调性：当k>0时，y＝kx＋b在(－∞，＋∞)上单调递增；当k<0时，y＝kx＋b在(－∞，＋∞)上单调递减． 【考查要点05】　(1)正弦定理：在三角形中，各边和它的对角的正弦的比值相等，即＝＝． (2)两角和的余弦公式：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． 【考查要点06】　(1)余弦定理：三角形任意一条边长的平方等于其他两条边长的平方和减去这两条边及其夹角余弦乘积的2倍，即a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos B；c2＝a2＋b2－2abcos C． (2)正弦定理：在三角形中，各边和它的对角的正弦的比值相等，即＝＝． (3)锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝． 【真题检测】　 1.(2024湖南对口高考)函数取最大值时，的值可以为（ ） A. B. C. D. 2.(2024湖南对口高考)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则_________． 3.(2024湖南对口高考)如图，已知△ABC中，，，． （1）求； （2）若为线段上的一点，且，求的长． 4.(2023湖南对口高考)下列命题中正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数在区间内是减函数 C. 函数的图象与函数的图象有交点 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 5.(2023湖南对口高考)已知，，则______． 6.(2023湖南对口高考)如图，已知在△ABC中，，． （1）若，求AC的长； （2）若D为AC的中点，求的值． 7.(2022湖南对口高考)已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8.(2022湖南对口高考)已知，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9.(2022湖南对口高考)若角的终边经过点，则______. 10.(2022湖南对口高考)如图，点为等边三角形的边上一点，且，. （1）求的长； （2）求的值. 11.(2021湖南对口高考)为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ） A. 向上平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向右平移个单位 12.(2021湖南对口高考)已知，且为第四象限角，则____________ 13.(2021湖南对口高考)如图，在△ABC中，，点D在BC边上，且，， （1）求AC的长； （2）求的值. 14.(2020湖南对口高考)的值等于（ ） A. B. C. D. 15.(2020湖南对口高考)已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 16.(2020湖南对口高考)函数的最小值为________． 17.(2020湖南对口高考)已知的内角A，B，C所对的边分别为，且，， （1）求A； （2）求的值． 18.(2019湖南对口高考)已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 19.(2019湖南对口高考)函数（A为常数）的部分图象如图所示，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 20.(2019湖南对口高考)已知直线（a，b为常数）经过点，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 21.(2019湖南对口高考)如图，在直角三角形中，，为△ABC内一点，，且． （1）求的长； （2）求的值． 22.(2018湖南对口高考)已知cos α＝－，且α为第三象限角，则tan α＝(　　) A． B． C．－ D．－ 23.(2018湖南对口高考)已知a＝sin 15°，b＝sin 100°，c＝sin 200°，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 24.(2018湖南对口高考)函数f(x)＝cos x＋b(b为常数)的部分图象如图所示，则b＝________． 25.(2018湖南对口高考)如图，在四边形ABCD中，BC＝CD＝6，AB＝4，∠BCD＝120°，∠ABC＝75°．求四边形ABCD的面积． 26.(2017湖南对口高考)已知,,则（ ） A. B.- C. D.- 27.(2017湖南对口高考)函数的最小值为______ 28.(2017湖南对口高考)已知分别为△内角的对边， （1）若，且，求△的面积 （2）若，求的值 29.(2014湖南对口高考)函数的最大值为 （ ） A． B．1 C． D．2 30.(2014湖南对口高考)已知，则 。 31.(2014湖南对口高考)已知A，B，C是的三个内角，且，。 （1）求的值； （2）若BC＝5，求的面积。 32.(2015湖南对口高考)已知，则（ ） A. B. C. D. 32.(2015湖南对口高考)在中，分别是角所对的边，已知，，. （1）求角的大小； （2）求的面积. 33.(2016湖南对口高考)己知cos =，（-,0），则tan =（ ） A． B．- c．- D． 34.(2016湖南对口高考)在△ABC中，内角A, B, C的对边分别为．已知a=, b=， A=. (1)求的值; (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角函数 【考点考法】　 【考查要点01】　同角三角函数的关系． 平方关系：sin 2x＋cos 2x＝1．　商数关系：tan x＝． 三角函数值的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦(记忆口诀)． 【考查要点02】　诱导公式：sin (π－α)＝sin α． 【必备知识】　(1)诱导公式： 1)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α． 2)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α． 3)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α，tan(2π－α)＝－tan α． 4)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α． (2)利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为区间内的角的三角函数，其基本步骤是负化正，大化小，小化锐． (3)30°，45°，60°的三角函数值如下： α(度) 0° 30° 45° 60° α(弧度) 0 sin α 0 cos α 1 tan α 0 1 【考查要点03】　①诱导公式：cos ＝sin α．②同角三角函数关系式：商数关系tan x＝．③正弦函数的单调性：正弦函数y＝sin x在区间上单调递增．④余弦函数y＝cos x在区间上单调递减．⑤正切函数y＝tan x在区间上单调递增． 【规律方法】　不同类型的三角函数值的大小比较的两种常用方法： (1)可以利用同角三角函数关系式及诱导公式将其转化为同一类型的三角函数值，然后根据函数的单调性比较大小． (2)根据三角函数的单调性先比较出它们与30°，45°，60°的三角函数值的大小，然后根据不等式的传递性来比较大小． 【考查要点04】　①余弦函数y＝cos x的值域：[－1，1]．②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的单调性：当k>0时，y＝kx＋b在(－∞，＋∞)上单调递增；当k<0时，y＝kx＋b在(－∞，＋∞)上单调递减． 【考查要点05】　(1)正弦定理：在三角形中，各边和它的对角的正弦的比值相等，即＝＝． (2)两角和的余弦公式：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． 【考查要点06】　(1)余弦定理：三角形任意一条边长的平方等于其他两条边长的平方和减去这两条边及其夹角余弦乘积的2倍，即a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos B；c2＝a2＋b2－2abcos C． (2)正弦定理：在三角形中，各边和它的对角的正弦的比值相等，即＝＝． (3)锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝． 【真题检测】　 1.(2024湖南对口高考)函数取最大值时，的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和与差的正弦公式结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意得， ， 函数取最大值时， 则， 即. 当时，. 故选：C. 2.(2024湖南对口高考)已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据终边上的坐标求出r，然后计算出，再根据二倍角公式计算即可. 【详解】因为终边上一点的坐标为， 所以， ， 则． 故答案为：. 3.(2024湖南对口高考)如图，已知△ABC中，，，． （1）求； （2）若为线段上的一点，且，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解. （2）根据正弦定理即可求解. 【小问1详解】 在△ABC中，， 由余弦定理得， ， 因为， 所以. 【小问2详解】 在中， 由正弦定理可得， ， 所以. 4.(2023湖南对口高考)下列命题中正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数在区间内是减函数 C. 函数的图象与函数的图象有交点 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的图象和性质逐项分析判断即可. 【详解】函数的周期为，故A错误， 函数在区间内是增函数，故B错误， 函数的值域，函数的值域， 所以两个函数图象没有交点，故C错误， 的图象向左平移个单位， 即，故D正确. 故选：D. 5.(2023湖南对口高考)已知，，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，结合两角差的余弦公式即可求解. 【详解】已知，， 所以， 故答案为：0 6.(2023湖南对口高考)如图，已知在△ABC中，，． （1）若，求AC的长； （2）若D为AC的中点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）根据正弦定理即可求解 【小问1详解】 根据余弦定理， 在△ABC中， ， 则AC的长为； 【小问2详解】 因为D为AC的中点， 则， 由正弦定理可得， 在中， ， 在△BDC中， 又因为， 则有， 即， 则， 所以. 7.(2022湖南对口高考)已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】因为. 所以. 故选：A. 8.(2022湖南对口高考)已知，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域求解. 【详解】∵, ∴, ∴, 故选：C 9.(2022湖南对口高考)若角的终边经过点，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】由终边上的点求正弦值，余弦值，再求. 【详解】∵角的终边经过点， ∴， ∴，， ∴. 故答案为：. 10.(2022湖南对口高考)如图，点为等边三角形的边上一点，且，. （1）求的长； （2）求的值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解. （2）根据正弦定理求解. 【小问1详解】 ∵△ABC为等边三角形， ∴ 又∵， ∴， 即， 在中， ， 即， ， ∴ 【小问2详解】 ∵， 在中，由正弦定理得： ， 即， 解得： . 11.(2021湖南对口高考)为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ） A. 向上平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向下平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加，右减”的平移规律判断选项. 【详解】根据平移规律可知，只需向左平移个单位得到. 故选：B 12.(2021湖南对口高考)已知，且为第四象限角，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】首先求的值，再求. 【详解】，且为第四象限角， ， . 故答案为：. 13.(2021湖南对口高考)如图，在△ABC中，，点D在BC边上，且，， （1）求AC的长； （2）求的值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理直接求解． （2）利用，结合两角差的正弦公式即可得解． 【小问1详解】 ，，， 在中，由余弦定理得， . 【小问2详解】 ，所以，又由题意可得， 14.(2020湖南对口高考)的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求解. 【详解】 故选：C. 15.(2020湖南对口高考)已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，再根据不等式的性质和正弦函数的单调性比较大小. 【详解】根据诱导公式可得，. 而， ∵，故. 而根据正弦函数的单调性可知，， ∴. 故选：C. 16.(2020湖南对口高考)函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的值域，求得函数的最小值. 【详解】∵， 故函数取最小值时，，此时. 故答案为：. 17.(2020湖南对口高考)已知的内角A，B，C所对的边分别为，且，， （1）求A； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求解. （2）先根据三角形内角和为得到角，再根据两角和的余弦公式求解 【小问1详解】 ∵，，， 根据正弦定理，可知，代入得到， ，即. ∵，故， ∴得到. 【小问2详解】 ∵，，∴. 18.(2019湖南对口高考)已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在其终边上任设点为，，根据任意角三角函数的定义求解. 【详解】由于为第二象限角，根据已知条件，在其终边上任设点，，则 ， . 故选：D 19.(2019湖南对口高考)函数（A为常数）的部分图象如图所示，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像确定函数的值域，再由即可求出A的值. 【详解】由图像可知函数的值域为， 即， 则， 又因为， 所以. 故选：A. 20.(2019湖南对口高考)已知直线（a，b为常数）经过点，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入直线中，利用辅助角公式将式子进行化简，再利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】直线（a，b为常数）经过点， 则， 所以，其中满足，而a，b不同时为0， 则， 由得， 所以一定成立. 故选：A. 21.(2019湖南对口高考)如图，在直角三角形中，，为△ABC内一点，，且． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件结合三角形的特点根据余弦定理即可求出答案； （2）根据正弦定理即可求解. 小问1详解】 直角三角形中，， 所以， 在△BMC中，，，, 所以， 又因为，且为锐角， 所以， 则在△ABM中，应用余弦定理得： ， 解得. 【小问2详解】 在△ABM中，应用正弦定理得： ， 即， 解得. 22.(2018湖南对口高考)已知cos α＝－，且α为第三象限角，则tan α＝(　　) A． B． C．－ D．－ 【答案】B 【解析】利用方程思想，代入求值sin 2α＝1－cos 2α＝，再根据α为第三象限角，sin α<0，得sin α＝－，再由商数关系：tan α＝＝＝． 23.(2018湖南对口高考)已知a＝sin 15°，b＝sin 100°，c＝sin 200°，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a [答案]C [分析]三角函数单调性 因为 由已知的形式结构易想到用函数单调性比大小，但注意到15°，100°，200°不在同一个单调区间内，可先从角所在象限确定值的正负，再用诱导公式把他们转化为锐角三角函数值．由角所在的象限易知a>0，b>0，c<0，b＝sin 100°＝sin 80°，由y＝sin x在[0°，90°]是增函数，sin 15°<sin 80°＝sin 100°，答案选C．本题解法具有经典性，采用函数单调性及中间量，还可以采用数形结合画出y＝sin x一个周期的图象即可观察得出． 【失分剖析】　利用正弦函数比大小时没注意到15°，100°，200°不在同一个单调区间内，由15°<100°<200°，得出sin 15°<sin 100°<sin 200°，即a＜b＜c． 24.(2018湖南对口高考)函数f(x)＝cos x＋b(b为常数)的部分图象如图所示，则b＝________． 【考查要点】　三角函数的图象． [答案]2 [分析]三角函数图像问题 由图像可知最大值是 3 因为 所以 所以 【解题思路】　方法一：从图象平移的角度：由图可知它是由f(x)＝cos x向上平移两个单位长度后的图象，所以b＝2． 方法二：要求未知b的值，可选取图象中可确定的一个点．如图可知过点(0，3)，当x＝0时，函数值为3，即cos 0＋b＝3，所以b＝2． 【失分剖析】　对余弦函数的图象认识不够，弄错平移单位．相对而言，方法二更难失分． 25.(2018湖南对口高考)如图，在四边形ABCD中，BC＝CD＝6，AB＝4，∠BCD＝120°，∠ABC＝75°．求四边形ABCD的面积． [分析]余弦定理及面积公式 解:如图, 连结 ，在 中, , , 由余弦定理得： 四边形 的面积 【考查要点】　正余弦定理的实际应用，非规则四边形的面积转化． 【解题思路】　求非规则四边形的面积要转化为规则图形，本题易想到连接对角线，得两个三角形，转化为求两个三角形面积和：S四边形ABCD＝S△BCD＋S△BDA．由三角形面积公式需寻找两边和夹角的正弦值，由已知条件易求S△BCD＝×6×6×sin 120°＝9，可连接BD，再转求S△ABD，在△BCD中，BC＝CD，∠BCD＝120°，∴∠DBC＝∠BDC＝30°．又∵∠ABC＝75°，∴∠ABD＝45°．由AB＝4，S△BAD＝×AB×BD×sin ∠ABD可知先求BD，在△BCD中由余弦定理可求． 【失分剖析】　没仔细分析已知条件，随机连接AC得两个三角形后，学生会因运算中出现了非特殊角而导致运算量变大而放弃，平时要强化尝试、探究练习，养成不怕困难的品质． 26.(2017湖南对口高考)已知,,则（ ） A. B.- C. D.- [答案]A [分析]同角三角函数基本关系 又因为 且 所以 即 27.(2017湖南对口高考)函数的最小值为______ [答案]-1 [分析]根据的值域即可求出答案 已知函数 由 得: , 即 综上所述, 答案: 28.(2017湖南对口高考)已知分别为△内角的对边， （1）若，且，求△的面积 （2）若，求的值 [分析](1)根据面积公式即可算出 （2）正、余弦定理 综上所述, 结论是: 的面积是 (2) 在 中, 由正弦定理得 , , , 由余弦定理得 综上所述，结论是: 29.(2014湖南对口高考)函数的最大值为 （ ） A． B．1 C． D．2 [答案]C [分析]根据辅助角公式或者和差公式逆用即可得出答案 当 30.(2014湖南对口高考)已知，则 。 [答案] [分析]根据对称性求得 且 31.(2014湖南对口高考)已知A，B，C是的三个内角，且，。 （1）求的值； （2）若BC＝5，求的面积。 [分析]以值代角求,根据面积公式计算. 解：（1） 则 所以为钝角 , 则>0 所以B为锐角 在 中, 所以 (2)由正弦定理得 , 解得 32.(2015湖南对口高考)已知，则（ ） A. B. C. D. [答案]B [分析]根据同角三角函数关系可求出 由题知 且 则, 32.(2015湖南对口高考)在中，分别是角所对的边，已知，，. （1）求角的大小； （2）求的面积. [分析](1)用正弦定理边角互化，再用余弦定理求C (2)根据即可求出答案 (1) 由正弦定理可得 由余弦定理可得 所以C为锐角 (2) 综上所述, 结论是: 33.(2016湖南对口高考)己知cos =，（-,0），则tan =（ ） A． B．- c．- D． [答案]C [分析]同角三角函数的基本关系 cos= 由 且在第四象限 得 34.(2016湖南对口高考)在△ABC中，内角A, B, C的对边分别为．已知a=,b=，A=. (1)求的值; (2)求的值． [分析]（1）正弦定理 （2）和差公式展开即可 （1）由正弦定理得: 所以 （2） 由（1）知 为锐角 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$