2.3 直线的交点坐标与距离公式讲义 -2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2.3 直线的交点坐标与距离公式 知识点一 交点坐标及其应用 【解题思路】求两相交直线的交点坐标． (1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组． (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法． 【例1-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高二上·江苏·假期作业）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（23-24高二上·北京·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（22-23高二上·全国·期中）（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 2．（22-23高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 3．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 4．（2024·上海奉贤 ）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 知识点二 两点间的距离 【解题思路】 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 【例2-1】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，那么两点之间的距离等于 . 【例2-2】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（2023高二上·全国·专题练习）点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是 ． 【变式】 1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 知识点三 点到线的距离 【解题思路】 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【例3-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【例3-2】（22-23高二下·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【变式】 1．（23-24 ·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 知识点四 两条平行线的距离 【解题思路】 两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 【例4-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【例4-2】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【变式】 1．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 3．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 知识点五 对称问题 【解题思路】 (1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 (2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (3)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n) 则有 (4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解 【例5-1】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（22-23高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【例5-3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 4．（22-23高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点六 将军饮马 【例6-1】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【例6-2】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例6-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式】 1．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 2．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 4．（23-24高二上·广东湛江·期中）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（    ） A． B．32 C． D．48 【题组一 交点坐标及其应用】 1．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023·全国·高二专题练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____． 3．（2024·江苏·高二专题练习）若直线经过直线和的交点，则___________. 4．（2023·江苏·高二）设三直线；；交于一点，则k的值为______． 【题组二 两点间的距离】 1 ．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 2．（2023·安徽省亳州市）光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从A到B经过的路程为（       ） A． B． C． D． 3．（2024·云南）已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（       ） A． B． C． D． 4．（2024湖北）直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（　　） A． B． C．3 D． 【题组三 点到线的距离】 1．（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 2．（23-24 北京顺义·阶段练习）在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为 . 【题组四 两条平行线间的距离】 1．（23-24 河南信阳 ）直线与直线之间的距离为 ． 2．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 3．（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 4．（2023·江苏·高二专题练习）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为 【题组五 对称问题】 1．（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 2．（23-24高二上·北京西城·阶段练习）点关于直线的对称点坐标为 . 3．（23-24 重庆九龙坡·阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 4．（23-24高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 . 5．（23-24高二上·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 7．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程为 ． 8．（2023高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 9．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是 10．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 11（2024陕西）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【题组六 将军饮马】 1．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 2 ．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 4．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 5．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建三明·期中）已知，从点射出的光线经y轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 7．（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 8．（2024·云南昆明·模拟预测）（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 直线的交点坐标与距离公式 知识点一 交点坐标及其应用 【解题思路】求两相交直线的交点坐标． (1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组． (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法． 【例1-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 【例1-2】（24-25高二上·江苏·假期作业）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 【例1-3】（23-24高二上·北京·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得，即直线与的交点坐标为， 而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即. 故选：A 【变式】 1．（22-23高二上·全国·期中）（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【解析】联立方程，解得 ， 因为交点在第四象限，可得，解得 故选：AC. 2．（22-23高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 3．（23-24高二上·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 答案不唯一（只需写出中的一个即可） 【解析】解方程组，得，所以与的交点坐标为； 由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形， 只需经过，或与平行，或与平行. 当经过时，图1所示，，； 当与平行时，图2所示，，； 当与平行时，图3所示，，. 故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）.    图 1    图 2    图 3 4．（2024·上海奉贤 ）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】/ 【解析】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则故答案为： 知识点二 两点间的距离 【解题思路】 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 【例2-1】（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，那么两点之间的距离等于 . 【答案】3 【解析】因为点，，则，所以两点之间的距离等于3. 故答案为：3. 【例2-2】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，，解得，故，则两点间的距离为.故选：C 【例2-3】（2023高二上·全国·专题练习）点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是 ． 【答案】 【解析】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于， 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故答案为： 【变式】 1．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】因为，则,故选： 2．（23-24高二上·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以交点坐标为， 所以原点到交点的距离为， 故选：C. 3．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【解析】，化简为，解得：或. 故答案为：或 知识点三 点到线的距离 【解题思路】 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可． (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|. (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 【例3-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】原点到直线间的距离是：.故选：A 【例3-2】（22-23高二下·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【解析】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或.故选：C. 【变式】 1．（23-24 ·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，，所以直线的方程为，即， 点到直线的距离为.故选：C. 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·随堂练习）若点到直线的距离为1，则实数a的值为 ． 【答案】或 【解析】因为点到直线的距离为1，所以解得：或 故答案为：或 知识点四 两条平行线的距离 【解题思路】 两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 【例4-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【解析】平行直线和之间的距离.故选：A 【例4-2】（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）（多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【解析】将直线化为，则，之间的距离， 即，解得或．故选：BD． 【变式】 1．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，，解得，所以， 故两平行直线间的距离．故选：C． 2．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 【答案】/ 【解析】由于与平行，则，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意； 当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：，两直线方程分别为， 所以直线与的距离为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【答案】 【解析】因为直线与直线平行，所以，解得， 所以直线的方程可化简， 而直线，即直线，它们之间的距离为， 故答案为：；. 知识点五 对称问题 【解题思路】 (1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 (2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (3)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n) 则有 (4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解 【例5-1】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求对称点的坐标为，则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为.故选：D. 【例5-2】（22-23高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 【例5-3】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 【变式】 1．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为，由，解得：，∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即，故选：C. 2．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得，故点关于直线对称的点的坐标为，故选：B 3．（22-23高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 4．（22-23高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 5．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 6．（23-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线上， 故所求直线方程为，即. 故选：A. 7．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为， 在上取一点，设它关于直线的对称点为， 则有，整理得，解得，即， 由，，可得所求直线方程为，即， 故选：C. 知识点六 将军饮马 【例6-1】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【解析】设点关于直线对称的点为， 则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：C 【例6-2】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，显然点在直线的同侧，设点关于直线的对称点为点， 则，解得，，即点， 由对称性知， 当且仅当点为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 【例6-3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则的最小值为，此时故选：C． 【变式】 1．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【解析】如图所示， 关于轴的对称点为, 则, 当三点共线时等号成立， 又, 故的最小值为5, 故选：B. 2．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知， ， 设， 则的几何意义为的值， 如图，作点关于x轴的对称点，连接， 与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为. 而， 即的最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 3．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【解析】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 4．（23-24高二上·广东湛江·期中）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（    ） A． B．32 C． D．48 【答案】A 【解析】 如图，设关于直线对称的点为， 则得即， 易知， 当三点共线时， 取得最小值， 最小值为. 故选：A 【题组一 交点坐标及其应用】 1．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 2．（2023·全国·高二专题练习）直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____． 【答案】 【解析】由题意可得，解得， 且，故答案为： 3．（2024·江苏·高二专题练习）若直线经过直线和的交点，则___________. 【答案】 【解析】由题意，直线，，交于一点， 所以，得， 所以直线过点， 得，求解得. 故答案为： 4．（2023·江苏·高二）设三直线；；交于一点，则k的值为______． 【答案】1 【解析】联立，解得，即与交于点， 依题意可知，，解得.故答案为：. 【题组二 两点间的距离】 1 ．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】A，B两点间的距离为.故选：B 2．（2023·安徽省亳州市）光线从点射到轴上，经轴反射以后过点，光线从A到B经过的路程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点关于轴的对称点为，则光线从A到B经过的路程为的长度，即.故选：C. 3．（2024·云南）已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设过A点中线长即为线段AD.D为BC中点：，即D（4，2） ∴故选：B. 4．（2024湖北）直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由得，即， 由得，即， 则|AB|.故选：D 【题组三 点到线的距离】 1．（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 2．（23-24 北京顺义·阶段练习）在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为 . 【答案】或 【解析】设直线上的点为， 点直线的距离为， 原点到l的距离为， 所以，解得或， 所以此点的坐标为或. 故答案为：或. 【题组四 两条平行线间的距离】 1．（23-24 河南信阳 ）直线与直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【解析】的方程可化为，与平行， 由平行直线之间的距离公式可得.故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【解析】由题意可得，解得或，故答案为：2或 3．（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【解析】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 4．（2023·江苏·高二专题练习）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为 【答案】 【解析】直线化为，则两直线之间的距离，即，解得.所以实数的取值范围为.故选：B. 【题组五 对称问题】 1．（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线l的的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 2．（23-24高二上·北京西城·阶段练习）点关于直线的对称点坐标为 . 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点坐标为，则，解得， 所以对称点为，故答案为： 3．（23-24 重庆九龙坡·阶段练习）已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【解析】由直线化为， 令，解得，于是此直线恒过点． 设点P关于直线的对称点为， 则，解得，∴． 故答案为： 4．（23-24高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 . 【答案】 【解析】因为直线与直线交于点A， 所以联立，解得，即. 设点关于直线的对称点坐标为， 则的中点坐标为，， 故，解得，即点A关于直线的对称点坐标是. 故答案为：. 5．（23-24高二上·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【解析】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 7．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【解析】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即， 故答案为： 8．（2023高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 【答案】 【解析】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 9．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是 【答案】 【解析】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 10．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【解析】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 11（2024陕西）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为.    【题组六 将军饮马】 1．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 2 ．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以． 故选：C. 3．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【解析】作出图形知在直线的同侧，点关于直线的对称点， 则. 故选：D. 4．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 5．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，目标式表示动点到定点和的距离之和. 点在直线上， 设点A关于的对称点为， 则，解得， 由对称性可知，， 当三点共线时等号成立， 所以，的最小值为. 故选：C 6．（23-24高二上·福建三明·期中）已知，从点射出的光线经y轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程为，点关于y轴的对称点为， 设点E关于直线的对称点为， 则，解之得，则 设点射出的光线交y轴于点C，交直线于点D， 则光线所经过的路程为 故选：C 7．（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A．      8．（2024·云南昆明·模拟预测）（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【答案】ABD 【解析】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD.             1 学科网（北京）股份有限公司 $$