1.1.1空间向量及其运算 第2课时（同步课件）数学人教B版选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其运算(2) 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第1章 空间向量 想一想，平面向量除了可以进行线性运算之外，还可以进行什么样的运算？ 回顾与思考 1.两个非零平面向量的夹角？ 复习回顾 平面内，给定两个非零向量，，任意在平面内选定一点O，作，，则大小在内的∠AOB称为与的夹角，记作<> A B O 观察上述平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角该如何定义，并尝试总结两者的不同之处。 尝试与发现 一、空间向量的夹角 平面向量的夹角：给定两个非零向量，，任意在平面内选定一点O，作，，则大小在内的∠AOB称为与的夹角，记作<> 空间向量的夹角：给定两个非零向量，，任意在空间内选定一点O，作，，则大小在内的∠AOB称为与的夹角，记作<> 一、空间向量的夹角 规定，零向量和任意向量都垂直. 例1. 如图所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角： (1)与 (2)与 (3)与 (4)与 解:(1)45° (2)135° (3)90° (4)180° 【例题探究一】求空间向量的夹角 练习1. 在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° C 【例题探究一】求空间向量的夹角 2.两个非零平面向量的数量积？ 复习回顾 平面内，给定两个非零向量，的数量积(也称为内积)定义为 投影向量 几何意义：的数量积等于在上的投影数量与的长度的乘积. 二、空间向量的数量积 规定零向量与任意向量的数量积为0. 二、空间向量的数量积 投影向量 三、空间向量的数量积的性质 思考辨析？ 非零向量 数量积运算 数量积运算 数量积运算 非零向量 可约吗？ 可除吗？ 可结合吗？ 数量积运算 不约 不除 不结合 误区 例2. 如图所示长方体ABCD-A1B1C1D1，E是AA1的中点，AA1=AD=2，AB=4，求： (1)； (2) A B C D A1 B1 C1 D1 E 解:(1)(方法一)因为是长方体，而且AA1=AD=2， 所以>=∠B1BC1=45°， |AA1=1, 因此，=| 【例题探究二】求空间向量的数量积 例2. 如图所示长方体ABCD-A1B1C1D1，E是AA1的中点，AA1=AD=2，AB=4，求： (1)； (2) A B C D A1 B1 C1 D1 E 解:(1)(方法二)由图可以看出， 在上的投影是， 而且|AA1=1, 注意到与的方向相同，所以等于的长， 即= 【例题探究二】求空间向量的数量积 例2. 如图所示长方体ABCD-A1B1C1D1，E是AA1的中点，AA1=AD=2，AB=4，求： (1)； (2) A B C D A1 B1 C1 D1 E 解:(2)由图可以看出， 在上的投影是， 而且|AA1=1, 注意到与的方向相反，所以等于的长的相反数， 即= 【例题探究二】求空间向量的数量积 求简单的空间向量数量积的方法 (1)直接在空间几何体中求模和夹角． (2)利用数量积的几何意义，结合图形，先由一个向量向另一个向量投影，再利用公式求解，注意几何体中的垂直关系或特殊角． 练习2. 如图所示，在棱长为1的正四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： 答案：(1) (2) (3) (4) 0 【例题探究二】求空间向量的数量积 【例题探究三】空间向量数量积的应用 例3 (1)已知空间向量a，b，|a|＝2，|b|＝，a·b= -2， 则<a，b>＝________ 解：∵a·b＝|a||b|cos<a，b>， ∴cos<a，b>＝ = 又<a，b>∈[0，π]， ∴<a，b>＝. 【例题探究三】空间向量数量积的应用 例3 (2)已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________. 解：∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576， 则a2＋2a·b＋b2＝576， ∴2a·b＝576－132－192＝46. 又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝132＋192－46＝484， ∴|a－b|＝22. 【例题探究三】空间向量数量积的应用 练习3(多选) 设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，下列结论正确的是( 　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|－|b|<|a－b| C．(c·b)a－(c·a)b与c垂直 D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 BCD 当堂练习 1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角 B 当堂练习 2．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于(　　) A．14 B． C．4 D．2 B 当堂练习 3.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，点E，F分别为AB，AD的中点，则·＝________. 1 课堂小结 1.类比地推广： 平面向量的夹角——空间向量的夹角 平面向量的数量积——空间向量的数量积 2.数量积的性质： 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听