专题01 二次函数（基础类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的认识 【解惑】下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列函数中是二次函数的有（  ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 2．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 3．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 类型二、列二次函数关系式 【解惑】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 3．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 类型三、y=ax²的图象与性质 【解惑】点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A． B． C． D． 2．观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与 轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ． 类型四、y=ax²+k的图象与性质 【解惑】已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【融会贯通】 1．已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，将抛物线在x轴和x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折记作，和构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 ． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线对称； ③图形G的面积为S，满足．    3．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为 ．    类型五、y=a (x-h)²的图象与性质 【解惑】对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【融会贯通】 1．已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 3．已知二次函数，当时，随着的增大而增大．当时，随的增大而减小，则的值为 ． 类型六、y=a (x-h)²+k的图象与性质 【解惑】对于抛物线 ，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大. 【融会贯通】 1．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ． 3．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，若对于，都有，则m的取值范围为 ． 类型七、y=ax²+bx+c的图象与性质 【解惑】抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小： （填“”、“”或“”）． 3．二次函数的对称轴为 ，顶点坐标为 ；二次函数的对称轴为 ，顶点坐标为 ． 类型八、二次函数与x,y轴的交点 【解惑】在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 【融会贯通】 1．把抛物线向下平移2个单位长度后，与y轴的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是 ． 3．二次函数的图象与轴交点坐标是 ． 类型九、二次函数的平移 【解惑】将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是(   ) A． B． C． D． 2．抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则 ， ． 3．将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 类型十、待定系数法求二次函数的解析式 【解惑】已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求此抛物线对应的函数表达式． 【融会贯通】 1．已知二次函数的图象顶点是，且过点，求这个二次函数的解析式． 2．如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，． (1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式； (2)求点B的坐标． 3．如图，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式． (2)求抛物线的对称轴，并直接写出当随的增大而减小的的取值范围； (3)点和点都在抛物线上，点在抛物线对称轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为． ①当时，求点N的纵坐标为_____；当点N的纵坐标为，m的值为____； ②当点不在轴上时，过点作轴于点．当点在轴上方，且抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，直接写出点H的坐标． 【一览众山小】 1．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 3．抛物线是由抛物线经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（   ） A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位 4．将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 5．如图，已知抛物线，则关于的方程的解是 ．    6．二次函数的图象经过点，则的值是 ． 7．求二次函数的顶点坐标、对称轴及其最值． 8．已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 9．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 10．如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的认识 【解惑】下列函数中，y关于x的二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的的定义．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、当时，是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； B、是y关于x的二次函数，故本选项符合题意； C、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； D、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B 【融会贯通】 1．下列函数中是二次函数的有（  ） ①；②；③；④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答． 【详解】①，是二次函数； ②，分母中含有字母，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数. 则二次函数共2个， 故选：B 2．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 3．下列函数①；②；③；④；⑤．其中是二次函数的是 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①为一次函数； ②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④为二次函数； ⑤函数式为分式，不是二次函数． 故答案为②④． 【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键． 类型二、列二次函数关系式 【解惑】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答． 【详解】根据题意有：， 故选：D． 2．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 首先表示出原边长为4厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为4厘米的正方形面积为：（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：， 则面积为：平方厘米， ∴． 故答案为：． 3．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 类型三、y=ax²的图象与性质 【解惑】点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 【融会贯通】 1．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 2．观察二次函数的图象，并填空． （1）图象与x轴的交点也是它的 ，这个点的坐标是 ； （2）二次函数的图象是一条 ，它的开口向 ，它的对称轴为 ； （3）当时，随着x值的增大，y的值 ；当时，随着x值的增大，y的值 ． 【答案】 顶点 抛物线 上 y轴（或直线） 减小 增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】解：（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在第一象限，顶点C在第二象限，顶点B在抛物线的图象上．若正方形的边长为，与 轴的正半轴的夹角为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，作轴于，则，由题意知，，，可得，由正方形的性质、勾股定理可得，由，可得，，即，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于，则， 由题意知，，， ∴， 由正方形的性质、勾股定理可得， ∵， ∴，， ∴， 将代入得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式等知识．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，含的直角三角形，二次函数解析式是解题的关键． 类型四、y=ax²+k的图象与性质 【解惑】已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．先求得函数的对称轴为轴，再判断，离对称轴距离，从而判断出的大小关系． 【详解】解：∵函数的对称轴为轴， ∴，在对称轴两侧， ∵抛物线开口向下，且， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．首先确定在第三象限，、在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， 正比例函数的图象经过一、三象限， 点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且， 在第三象限，在第一象限， 由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， 在第一象限， ，， ． 故选：D． 2．平面直角坐标系中，将抛物线在x轴和x轴下方的部分记作，将沿x轴翻折记作，和构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是 ． ①图形G关于原点对称； ②图形G关于直线对称； ③图形G的面积为S，满足．    【答案】①③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③． 【详解】解：如图，    由图形可知，图形关于原点对称，不关于直线对称，故①正确，②错误； 观察图形，图形的面积大于两个的面积，小于的面积， 所以，图形的面积满足，故③正确． 故答案为：①③． 3．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，连接AC，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可． 【详解】解：连接AC，交y轴于点D，    当时，则，即， 四边形是正方形， ，， 点， ， 解得：， 故答案为：． 类型五、y=a (x-h)²的图象与性质 【解惑】对于二次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由，抛物线开口向上，而对称轴为直线，可得答案； 【详解】解：∵二次函数， 由于，抛物线开口向上， 而对称轴为直线， 所以当时，y随x的增大而增大． 故选D 【融会贯通】 1．已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵函数， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵， ∴， 故选：C． 2．已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 【答案】 0 6或1/1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 3．已知二次函数，当时，随着的增大而增大．当时，随的增大而减小，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得h的值． 【详解】解：∵当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴h的值为， 故答案为：． 类型六、y=a (x-h)²+k的图象与性质 【解惑】对于抛物线 ，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，随的增大而增大. 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得． 【详解】解：A、对于抛物线，对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、对于抛物线，函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 2．已知，若抛物线与线段没有交点，则m取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一次函数交点问题，由可得抛物线随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动，分抛物线对称轴在点A左侧，在点A右侧，两种情况讨论即可． 【详解】解：由可得抛物线的对称轴直线为，顶点坐标为，图象开口向上， 如图，随m值的变化，抛物线顶点在直线上移动， 当对称轴在点A左侧时，， 把代入得， 解得或 (舍去)， 时，抛物线与线段没有交点， 当对称轴在点A右侧时，， 设线段所在直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 线段所在直线的解析式为， 联立，得：， 抛物线与线段没有交点， ， ， 综上，当或，抛物线与线段没有交点， 故答案为：或． 3．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，若对于，都有，则m的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出，的中点在对称轴左侧，再根据对称性求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∵，， ∴离对称轴更近， ∴，的中点在对称轴左侧， ∴， ∴， 故答案为：． 类型七、y=ax²+bx+c的图象与性质 【解惑】抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 2．已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的性质，进行判断即可。 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ∵， ∴； 故答案为： 3．二次函数的对称轴为 ，顶点坐标为 ；二次函数的对称轴为 ，顶点坐标为 ． 【答案】 直线 直线 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是是解题的关键． 根据抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是求解作答即可． 【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为，即； 同理，的对称轴为直线，顶点坐标为， 故答案为：直线，，直线，． 类型八、二次函数与x,y轴的交点 【解惑】在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故选：A． 【融会贯通】 1．把抛物线向下平移2个单位长度后，与y轴的交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的平移，根据平移的性质，求出新抛物线的解析式，再求与y轴的交点即可求解． 【详解】解：抛物线向下平移个单位得，， ∴把代入得，， ∴与y轴的交点的坐标为：． 故选：A． 2．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点和函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴为是解题的关键． 【详解】解：解：函数的对称轴，则与x轴的另一个交点的坐标为， 故答案为：． 3．二次函数的图象与轴交点坐标是 ． 【答案】 【分析】题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法，理解坐标轴上点的坐标的特点是解题关键． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴交点坐标是， 故答案为：． 类型九、二次函数的平移 【解惑】将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“左加右减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线的解析式为． 故选：． 【融会贯通】 1．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据二次函数图象平移的方法“上加下减，左加右减”即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是：，即． 故选：B． 2．抛物线是由抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 由题意知，，根据上加下减，左加右减，可得平移后的抛物线为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的抛物线为， ∴，， 故答案为：，． 3．将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 类型十、待定系数法求二次函数的解析式 【解惑】已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求此抛物线对应的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式和待定系数法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据抛物线的顶点坐标为，可设二次函数的顶点式为，再用待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线对应的函数表达式为， 把代入上式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为， 即． 故此抛物线对应的函数表达式为． 【融会贯通】 1．已知二次函数的图象顶点是，且过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为，.顶点坐标为，对称轴方程为，极值为当时，来求出相应的数． 【详解】设二次函数解析式为，图象顶点是， ∴， 依题意得：， 解得， ∴. 2．如图，顶点的抛物线与直线相交于A，B两点，且点A在x轴上，连接，． (1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式； (2)求点B的坐标． 【答案】(1)点A的坐标是， (2)点B的坐标为 【分析】本题考查了一次函数与抛物线的交点问题，用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标问题，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，能求出点A的坐标是解此题的关键． （1）先根据一次函数的解析式求出点A的坐标，设顶点为的抛物线的解析式为，把点A的坐标代入求出a即可； （2）解两函数解析式组成的方程组，即可求出点B的坐标． 【详解】（1）由， 得当时，， 所以点A的坐标是， 设顶点为的抛物线的解析式为， 点在抛物线上，， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）联立， 得：，， 点A的坐标是， 点B的坐标为． 3．如图，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式． (2)求抛物线的对称轴，并直接写出当随的增大而减小的的取值范围； (3)点和点都在抛物线上，点在抛物线对称轴的右侧，且点关于点的对称点恰好落在轴上，设点的横坐标为． ①当时，求点N的纵坐标为_____；当点N的纵坐标为，m的值为____； ②当点不在轴上时，过点作轴于点．当点在轴上方，且抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，直接写出点H的坐标． 【答案】(1)； (2)对称轴为，； (3)①，或；②点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得解； （2）把抛物线化为顶点式即可得解； （3）①将代入解析式，得出点的纵坐标，进而根据对称性即可得出的纵坐标；根据点的纵坐标为，则点的纵坐标为，代入抛物线解析式，即可求解；②分两种情况讨论，得出和，解方程，即可求解； 【详解】（1）解：把点，点代入二次函数得 解得， ∴二次函数； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴当随的增大而减小的的取值范围为； （3）解∶①当时， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为； 若点的纵坐标为，则点的纵坐标为， 令，得 解得：， 故答案为：，或； ②设点的横坐标为， 情形一，如图所示， ∵点关于点的对称点恰好落在轴上， ∴的纵坐标为， ∵抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得舍去． 此时点的坐标为； 情形二：如图所示，则为最低点，为最高点， ∵点关于点的对称点恰好落在轴上， ∴的纵坐标为， ∵抛物线在内部（包括边界）的最高点和最低点的纵坐标之差为， ∴点的纵坐标为， ∴，即， 解得，舍． 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数，中心对称的性质以及解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质以及解一元二次方程是解题的关键． 【一览众山小】 1．将抛物线向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键．根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是． 故选C． 2．下列关于函数的说法正确的是（   ） A．任何函数都与x轴有交点 B．一次函数，二次函数都与y轴有交点 C．反比例函数与y轴的交点为（0，0） D．原点不在坐标轴上 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与一次函数，二次函数，反比例函数的定义，正确把握它们的区别与联系是解题的关键． 直接利用一次函数，二次函数，反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A、任何函数都不一定与x轴有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． B、一次函数，二次函数都与y轴有交点，原说法正确，故此选项符合题意． C、反比例函数与y轴不会有交点，原说法不正确，故此选项不符合题意． D、原点是坐标轴上的点，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．抛物线是由抛物线经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（   ） A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度得到的， 故选：B． 4．将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的平移，顶点坐标．由题意知，平移后的抛物线解析式为，然后求顶点坐标即可． 【详解】解：由题意知，平移后的抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 5．如图，已知抛物线，则关于的方程的解是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴交点的横坐标，即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由函数图象可知抛物线与x轴交于， ∴关于的方程的解是， 故答案为：． 6．二次函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】1 【分析】 本题考查了求整式的值，点在函数图象上的意义；将代入函数关系式，即可求解；理解点在函数图象上的意义是解题的关键． 【详解】解：图象经过点， ， 即． 故答案：． 7．求二次函数的顶点坐标、对称轴及其最值． 【答案】顶点坐标是，对称轴：直线．当时，y最小值=－2 【分析】本题主要考查求二次函数的顶点坐标和对称轴、最值，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴、最值． 【详解】解： ∴顶点坐标是，对称轴：直线．当时，y最小值=－2 8．已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴当时，． 9．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键． （1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式； （2）写出关于x轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式． 【详解】（1）解：由表格可知，二次函数经过点， 所以该抛物线的对称轴为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数表达式为    将代入得：； 即   将代入得： （2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位， 依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得 ， 即． 10．如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称． (1)求该抛物线的函数关系式和对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1)函数表达式为，抛物线的对称轴为 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． （1）将，代入，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【详解】（1）抛物线过点，， 将，代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为， ， 即抛物线的对称轴为； （2）点与点关于对称轴对称，点， 点的坐标为， ，且轴． ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$