12.3 乘法公式（2个知识点+6类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

12.3乘法公式 课程标准 学习目标 ①掌握两数和乘以两数差公式； ②掌握两数和（差）的平方公式. 1.理解两数和乘以两数差公式，掌握其结构特征，并能灵活运用； 2. 理解两数和（差）的平方公式，掌握其结构特征，并能灵活运用. 知识点01 平方差公式 乘法公式 内容 补充说明 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 1）特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2）平方差公式的变化： ①位置变化： ②符号变化： ③指数变化： ④系数变化： ⑤增项变化： ⑥连用公式： ⑦数学变化： 3）【注意事项】 ①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. ②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式.所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 【即学即练1】 1．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分拼成一个长方形，比较这两个阴影部分面积的结果，可以验证的乘法公式是（     ） A． B． C． D． 【即学即练2】 如果x，y满足方程组，那么的值为 ． 知识点02 完全平方公式 乘法公式 内容 补充说明 完全平方和公式 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即 1）特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央. 2）完全平方和公式的变化： ①通过移项变形 1. 2. 用法：已知a+b、ab、中的两项求另一项的值（知二求一）. ②a+b与a-b的转化 1. 2. 3. 用法：已知a+b、ab、a-b中的两项求另一项的值（知二求一）. 4. 【即学即练1】 若，则代数式： 的值为 ． 【即学即练2】 已知，代数式 ． 题型01 运用平方差公式计算 【典例1】下列可以运用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】化简： ． 【变式2】若，，则 ． 【变式3】计算的结果为 ． 题型02 平方差公式与几何图形 【典例1】在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形．将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A．① B．② C．①② D．无 【变式2】将正方形的南北方向增加，东西方向缩短，则改造后的长方形面积与原来相比（    ） A．减少 B．增加 C．保持不变 D．无法确定 【变式3】在本学期第六章《整式的运算》的学习中，我们用如图中面积的割补来解释某个乘法公式几何意义，这个乘法公式是 （用图中的字母表示）．    题型03 运用完全平方公式计算 【典例1】运用完全平方公式计算： ＝ ＝ 【变式1】计算： ． 【变式2】计算：； 题型04 通过对完全平方公式变形求值 【典例1】图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)图②中的阴影部分的面积为 　　； (2)观察图②请你写出三个代数式、、之间的等量关系是　　　　． (3)若，，则　　　　． (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了　　　　．当，，计算③的面积． 【变式1】已知，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．13 D．14 【变式2】已知a，b为实数． (1)若，，求； (2)若，，分别求a，b的值． 【变式3】已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 题型05 求完全平方公式中的字母系数 【典例1】如果是一个完全平方式，那么k的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【变式1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 【变式3】若，则a的值是 ． 题型06 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例1】图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【变式1】如图，中，，设，以为边向两边作正方形，面积分别是和，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式2】如图，某师范大学新建校区有一块长为米、宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，设计部门计划将在中间的正方形修建一座陶行知雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)求绿化的面积（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【变式3】如图，某区有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为的空白的正方形地块将修建一个凉亭．    (1)用含有a、b的式子表示绿化总面积； (2)若，，求出此时的绿化总面积． 1．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 4．在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（    ） A． B． C． D． 5．用四个长、宽分别为m，n的全等长方形可以摆成如图所示的大正方形，图中阴影部分是一个小正方形．若，则 的值为（    ） A． B． C． D． 6．一大一小的两个正方形如图放置，边长分别为a，b．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．若是完全平方式，则实数m的值是（    ） A． B． C．6或 D．6或 8．一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．设这个长方形的长为，宽为，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．化简“”的结果是（　　） A． B． C． D． 10．下列计算中：①；②；③；④；⑤；不正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11． ． 12．计算： ． 13．已知，，则 ． 14．已知，，则M，N的大小关系是M N（填“>”、“<”或“=”）． 15．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．    16．若是一个完全平方式，则常数的值为 ． 17．计算的结果是 ． 18．若，则的值为 ． 19．若，，且，则的值为 ． 20．已知，满足，则 ． 21．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：． (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 22．图①是一个长为，宽为的长方形，沿图①的虚线剪开分，四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形． (1)图②中的阴影部分的面积是多少？ (2)试用一个等式表示图①、图②这两个图形之间的面积关系； (3)若，，试求的值． 23．先化简，再求值：，其中． 24．在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． (1)若，，求的值． (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． 若满足，求的值． 25．【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是______________； (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 26．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从 （1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 求的值； ②简便计算：． 27．[探究] 如图①，在边长为a的大正方形纸片中裁下一个边长为b的小正方形得到阴影部分、再把阴影部分剪拼成一个长方形、如图②所示，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用含a，b的等式表示） [应用] （1）计算：； （2）计算：． 28．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，求的值． 29．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 30．阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零． 例如：①，我们可以得：， 所以． ②若，求的值． 解：因为， 所以（我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式） 所以， 所以， 所以． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ． (2)已知，求的值． (3)已知是长方形的长和宽，且满足，求长方形的周长． ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3乘法公式 课程标准 学习目标 ①掌握两数和乘以两数差公式； ②掌握两数和（差）的平方公式. 1.理解两数和乘以两数差公式，掌握其结构特征，并能灵活运用； 2. 理解两数和（差）的平方公式，掌握其结构特征，并能灵活运用. 知识点01 平方差公式 乘法公式 内容 补充说明 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 1）特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2）平方差公式的变化： ①位置变化： ②符号变化： ③指数变化： ④系数变化： ⑤增项变化： ⑥连用公式： ⑦数学变化： 3）【注意事项】 ①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. ②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式.所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 【即学即练1】 1．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分拼成一个长方形，比较这两个阴影部分面积的结果，可以验证的乘法公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的几何运用，根据阴影部分面积关系可得结论． 【详解】图1中阴影部分面积 图2中阴影部分面积 ∴可以验证的乘法公式是 故选：B． 【即学即练2】 如果x，y满足方程组，那么的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查平方差公式、代数式求值，把方程组化简得，再利用平方差公式进行整体代入求解即可． 【详解】解：， 由得，， ∴， 故答案为：6． 知识点02 完全平方公式 乘法公式 内容 补充说明 完全平方和公式 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即 1）特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央. 2）完全平方和公式的变化： ①通过移项变形 1. 2. 用法：已知a+b、ab、中的两项求另一项的值（知二求一）. ②a+b与a-b的转化 1. 2. 3. 用法：已知a+b、ab、a-b中的两项求另一项的值（知二求一）. 4. 【即学即练1】 若，则代数式： 的值为 ． 【答案】15 【分析】对多项式进行因式分解，然后将代入，即可求解．本题主要考查了因式分解的应用，关键在于对多项式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：15． 【即学即练2】 已知，代数式 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．由已知条件可得，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：2024． 题型01 运用平方差公式计算 【典例1】下列可以运用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式的结构特性进行判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 【变式1】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：6． 【变式3】计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，利用平方差公式简便运算时，构造出公式结构是解题的关键； 先变形为，再用平方差公式计算，最后计算减法即可． 【详解】 ． 故答案为：1． 题型02 平方差公式与几何图形 【典例1】在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，不能够验证平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何图形的面积与平方差公式的应用，分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【详解】解：A．原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，故可以验证； B．原图阴影部分面积为，拼后新图形中阴影部分是长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； C．原图阴影部分面积为，拼后新图是由两个相同的直角梯形组成的平行四边形，其底为，底边上高为，阴影部分面积为，则有，故可以验证； D．原图阴影部分面积为，拼后新图是由四个相同长方形组成的大长方形，长为，宽为，阴影部分面积为，则有，故不能验证． 故选：D． 【变式1】如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后所得到的图形．将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A．① B．② C．①② D．无 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，理解拼图前后各个部分之间的关系，掌握阴影部分面积的计算方法是关键，利用面积法，分别计算左图与右图的阴影部分面积进而可得结论． 【详解】解：图①，左图的阴影部分的面积为， 右图的阴影部分是上底为，下底为，高为的梯形， 因此面积为 所以有，因此图①方法可以验证平方差公式， 图②，左图的阴影部分的面积为，右图的阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有，因此图②方法也可以验证平方差公式， 故选∶C． 【变式2】将正方形的南北方向增加，东西方向缩短，则改造后的长方形面积与原来相比（    ） A．减少 B．增加 C．保持不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，正方形的面积，长方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 由题意根据正方形和长方形的面积公式求出原来正方形面积和改造后的长方形面积，进行比较计算即得结论． 【详解】解：设正方形的原边长为a，则面积为：， 将正方形的南北方向增加，东西方向缩短， ∴改造后的长方形面积为：， ∴改造后的长方形面积与原来相比减少了． 故选：A． 【变式3】在本学期第六章《整式的运算》的学习中，我们用如图中面积的割补来解释某个乘法公式几何意义，这个乘法公式是 （用图中的字母表示）．    【答案】 【分析】本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化．分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果． 【详解】解：在图(1)中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以阴影部分的面积为， 在图(2)中，阴影部分为一长方形，长为，宽为，则面积为， 由于两个阴影部分面积相等， 所以有． 故答案为2． 题型03 运用完全平方公式计算 【典例1】运用完全平方公式计算： ＝ ＝ 【答案】 【解析】= = 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，利用完全平方公式进行计算，即可解题． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2】计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式：先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】 ； 题型04 通过对完全平方公式变形求值 【典例1】图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)图②中的阴影部分的面积为 　　； (2)观察图②请你写出三个代数式、、之间的等量关系是 　　． (3)若，，则　　． (4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了 　　．当，，计算③的面积． 【答案】(1)或；(2)；(3)；(4)， 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景， （1）阴影部分为边长为的正方形，同时阴影部分面积可以由大正方形的面积减去一个长方形的面积，表示出面积即可； （2）根据（1）中结果可得等式； （3）根据（2）的结论，代入计算，即可求解； （4）根据图形面积直接求法与间接求法，即可列出关系式，再将，代入计算． 【详解】（1）解：由题意可得： 图②中的阴影部分的面积为：或 （2）由（1）可得：； （3）∵，， ∴ （4）图③的面积可以表示为：或， ； 将，代入， 图③的面积． 【变式1】已知，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式．先把的左右两边同时平方，然后利用完全平方公式展开，求出即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ∴， ， 故选：D． 【变式2】已知a，b为实数． (1)若，，求； (2)若，，分别求a，b的值． 【答案】(1)；(2)，或， 【分析】本题考查整式的化简求值、利用完全平方公式的变形求值，运用整体代入的思想是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行变形，再整体代入求值即可； （2）把已知的两式相加可求得，再代入求值即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：，， 两式相加可得，，即， ∴， ∵，，即，， 当时，，， ∴，， 当时，，， ∴，， 综上所述，，或，； 【变式3】已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查完全平方公式． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）结合（1）进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解： ． 题型05 求完全平方公式中的字母系数 【典例1】如果是一个完全平方式，那么k的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的概念，掌握完全平方公式的结构是解题关键．利用完全平方公式的结构特征，对比形式即可求出k的值即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， 故选：D． 【变式1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由完全平方公式求参数，涉及多项式相等及解一元一次方程等知识，熟练掌握完全平方公式及解一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ，解得， 故选：A． 【变式2】如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， ， ， 解得：或， 故答案为： 或． 【变式3】若，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，把展开后与比较即可求解．掌握完全平方公式结构特点是关键． 【详解】解：由于， 即， 所以； 故答案为：4． 题型06 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例1】图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【答案】(1)；；，详见解析；(2)，详见解析；(3)为1或5，详见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的几何图解法及应用等知识点， （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释； （2）图③的面积计算有两种方法，方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是，方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式； （3）由（1）知：，结合为负整数分类讨论即可得解； 熟练掌握数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为，根据阴影部分正方形面积计算公式得， 方法2：大正方形边长为，面积是：，四个长为m，宽为n的长方形的面积是，阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积为， 方法1与方法2均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即， 故答案为：；；； （2）计算图③的面积计算有两种方法， 方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是， 方法二是：组成图③的各部分图形：2个边长为m的正方形的面积，3个长为m，宽为n的长方形的面积即，1个边长为n的正方形的面积，他们的面积和是：，方法一和方法二的计算结果相等， ∴； （3）由（1）知：， ∵， ∴ ， ∴， ∵为负整数， ∴且能被4整除， ∴当时，， 当时，， 综上：为1或5． 【变式1】如图，中，，设，以为边向两边作正方形，面积分别是和，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式的条件是求解本题的关键． 由，建立关于a，b的关系为，从而可得阴影部分的面积． 【详解】解：由， 则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积等于． 故选：A． 【变式2】如图，某师范大学新建校区有一块长为米、宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，设计部门计划将在中间的正方形修建一座陶行知雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)求绿化的面积（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米；(2)平方米 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算化简求值，弄清题意是解本题的关键． （1）绿化面积长方形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米． 答：绿化面积是平方米； （2）当，时，原式（平方米）． 答：绿化面积是29平方米． 【变式3】如图，某区有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为的空白的正方形地块将修建一个凉亭．    (1)用含有a、b的式子表示绿化总面积； (2)若，，求出此时的绿化总面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出代数式是解题关键． （1）阴影部分面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果； （2）把a与b的值代入（1）式计算即可． 【详解】（1）绿化总面积是： ； （2）当，时， 1．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积， ∴． 故选：A． 2．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、能用平方差公式计算，故本选项符合题意； 故选：D． 3．下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方. 【详解】解：、不存在互为相同的项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、1是相同的项，互为相反项是与，符合平方差公式的要求，故本选项符合题意； C、a是相同的项，不存在相反的项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意 ； D、 中符合完全平方公式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意. 故选B 4．在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，先分别求出两个图形中阴影部分的面积，根据两者相等即可得出答案． 【详解】解：正方形中，， 梯形中， ， ∴，故选：C． 5．用四个长、宽分别为m，n的全等长方形可以摆成如图所示的大正方形，图中阴影部分是一个小正方形．若，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，用两种不同的方法，表示出阴影部分的面积，列式求解即可． 【详解】解：由图可知：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的面积 ∴ 故选：C． 6．一大一小的两个正方形如图放置，边长分别为a，b．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运用；阴影部分面积可表示为，利用完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：阴影部分面积为 ； ，， ， 即， 故阴影部分面积为；故选：C． 7．若是完全平方式，则实数m的值是（    ） A． B． C．6或 D．6或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：是完全平方式， ， 或，解得或，故选：D． 8．一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．设这个长方形的长为，宽为，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形，正方形边长之间的关系，面积之间的关系求出、的值，再逐项进行判断即可．本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】解：设这个长方形的长为，宽为，则正方形的边长为，或， ∴， 即， 因此选项B不符合题意； 又，而， ，， 解得，， ，， ∴选项A不符合题意； ，， ， ∴选项C符合题意； ，， ， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 9．化简“”的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查应用完全平方公式和平方差公式进行化简，利用完全平方公式和平方差公式求得结果，再去括号合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：A． 10．下列计算中：①；②；③；④；⑤；不正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查了整式的乘法运算和乘法公式，根据运算法则和乘法公式进行计算后即可得到结论. 【详解】解：①；故选项不正确； ②；故选项不正确； ③；故选项不正确； ④；故选项不正确； ⑤；故选项正确； 则不正确的个数有4个， 故选：C 11． ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，即，根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：，故答案为： 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，先变形再利用平方差公式进行运算，进而得出答案．解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即． 【详解】解： ．故答案为：． 13．已知，，则 ． 【答案】5 【分析】该题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟悉平方差公式． 根据即可算出． 【详解】解：∵，，， ∴，故答案为：5． 14．已知，，则M，N的大小关系是M N（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】利用求差法比较大小即可．本题考查整式的加减，配方法的应用，非负数的性质：偶次方等知识，解题的关键是学会利用求差法比较大小． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ∴．故答案为：> 15．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．    【答案】 【分析】分别求出图2中大正方形，阴影及小长方形的面积，即可得到等式． 【详解】解：图2中大正方形的面积为，阴影图形的面积为，四个小长方形的面积为， ∴，故答案为：． 16．若是一个完全平方式，则常数的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征确定出的值是解本题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ ∴，故答案为：． 17．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用； 先对原式进行变形，然后利用平方差公式依次计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 18．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式及乘方，熟知平方差公式是解题的关键．根据利用平方差公式得，由此得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故答案为：． 19．若，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值问题，由完全平方公式得，即可求解；掌握、、之间的关系是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ；故答案：． 20．已知，满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由，，，得，，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，当及时，等号成立， ∴，当及时，等号成立， ∵， ∴，， ∴．故答案为：． 21．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：． (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？，请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式； （2）利用（1）中的等式变形后，直接代入求得答案即可； 【详解】（1）； （2）∵，， ∴； 22．图①是一个长为，宽为的长方形，沿图①的虚线剪开分，四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形． (1)图②中的阴影部分的面积是多少？ (2)试用一个等式表示图①、图②这两个图形之间的面积关系； (3)若，，试求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)1 【分析】（1）阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可； （2）结合图形，阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，由（1）两种方法所表示的面积相等可得答案； （3）①由（2）的结论代入计算即可； 本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键． 【详解】（1）解：依题意，阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去4个长，宽为的长方形面积，即； 故答案为：； （2）解：依题意，阴影面积是小正方形，边长是，则小正方形的面积是， 结合（1）得， 故答案为：； （3）解： ，， ∴， ∵， ∴． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 24．在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨． (1)若，，求的值． (2)阅读以下解法，并解决相应问题． “若满足，求的值”． 解：设，，则，这样就可以利用（1）的方法进行求值了． 若满足，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，根据题中所求，将完全平方公式恒等变形求值是解决问题的关键． （1）利用完全平方公式，恒等变形，代值求解即可得到答案； （2）阅读理解，根据题中的解法，利用完全平方公式恒等变形求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，即， 将代入得， ； （2）解：设，，则， ， ． 25．【教材重现】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的乘法公式是______________； (2)根据（1）中的乘法公式解决问题：已知，求的值； (3)把上述两个正方形按照如图3所示的方式拼接，其中三点在同一条直线上，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；(2)4；(3)120 【分析】（1）用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）根据（1）的结论，代入数值进行计算，即可作答． （3）延长，交于一点E，则，再代入，，进行计算即可． 本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握平方差公式的结构特征，多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）解：∵，且 ∴ （3）解：如图3，延长，交于一点E ∵四边形是正方形 ∴ ，， ； 26．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从 （1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 求的值； ②简便计算：． 【答案】(1)B；(2)①3 ② 【分析】（1）根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为；重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形，根据面积不变性质，建立等式解答即可． （2）①根据，结合已知 求的值即可． ②根据题意，得，解答即可． 本题考查了平方差公式的几何意义，及其应用，正确理解意义，灵活应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为； 重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形， 根据面积不变性质，建立等式得． 故选B． （2）①根据，且 故． ②根据题意，得． 27．[探究] 如图①，在边长为a的大正方形纸片中裁下一个边长为b的小正方形得到阴影部分、再把阴影部分剪拼成一个长方形、如图②所示，通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______．（用含a，b的等式表示） [应用] （1）计算：； （2）计算：． 【答案】探究：；[应用]（1）4；（2） 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． [探究]根据阴影部分的面积相等，得到； [应用]（1）根据平方差公式进行计算即可求解； （2）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：[探究]：由题意可知，图（1）中的阴影部分面积为， 图（2）中的阴影部分面积为， 通过观察比较图（2）与图（1）中的阴影部分面积相等， 可以得到乘法公式， 故答案为：；． [应用] （1） ． （2） ． 28．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2） (1)观察图2请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的结论，若，，则______； (3)拓展应用：若，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案； （2）由（1）可得出，据此即可得出答案； （3）根据完全平方公式得出，再代入，据此即可得出答案． 【详解】（1） 解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∴． 故答案为：； （3）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴． 29．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【答案】(1)；(2)，；(3)；(4)16 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关键． （1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为的正方形； （2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即可； （3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式； （4）将的变形为：即可求解． 【详解】（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形，故答案为：； （2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为； 方法二：从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即为阴影部分的面积， 即；故答案为：，； （3）由（2）的两种方法可得，； 故答案为：； （4）． ，， ． 30．阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零． 例如：①，我们可以得：， 所以． ②若，求的值． 解：因为， 所以（我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式） 所以， 所以， 所以． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ． (2)已知，求的值． (3)已知是长方形的长和宽，且满足，求长方形的周长． 【答案】(1)2；0；(2)；(3)10 【分析】此题考查完全平方公式的应用，以及偶次方的非负性质的应用． （1）利用完全平方公式变形把等式化成几个非负数相加得零的形式即可； （2）利用完全平方公式变形把等式化成几个非负数相加得零的形式即可求出x、y的值，然后代入求值． （3）同（2）根据完全平方公式求出a，b的值，然后根据长方形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是：2；0； （2）∵， ∴． ∴． ∴ ． ∴． ∴； （3）∵， ∴ ∴ ∴ ∴，   ∴，， ∴长方形的周长为： ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$