第十讲 函数的概念 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第十讲 函数的概念 知识点梳理： 1．函数的定义 （1）一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f（x），x∈A． （2）其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域． 显然，值域是集合B的子集． （3）函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 2．区间的概念 （1）设a，b是两个实数，而且a<b．我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b），（a，b]． 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点． 实数集R可以用区间表示为（﹣∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“﹣∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞），（a，＋∞），（﹣∞，b]，（﹣∞，b）． 3．函数的表示法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 4．作函数y＝f（x）图象的方法 （1）若y＝f（x）是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍． （2）若y＝f（x）不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f（x）的图象． （3）描点法作函数图象的三个步骤 ◆列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f（x），并用表格的形式表示出来． ◆描点：把第（1）步表格中的点（x，f（x））一一在平面直角坐标系中描出来． ◆连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大（或由大到小）的顺序连接起来． 5．分段函数 如果函数y＝f（x），x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数． 6．应用函数知识解决实际问题的一般步骤 （1）阅读材料、理解题意； （2）把实际问题抽象为函数问题，并建立相应的函数模型； （3）利用函数知识对函数模型进行分析、研究，得出数学结论； （4）把数学结论（结果）应用到实际问题中，解决实际问题． 重难点解析： 1．关于函数的三要素 （1）函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． （2）函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f（x）|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． （3）函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y． 2．区间的概念 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 （a，b） {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b） {x|a<x≤b} 半开半闭区间 （a，b] {x|x≥a} [a，＋∞） {x|x>a} （a，＋∞） {x|x≤b} （﹣∞，b] {x|x<b} （﹣∞，b） （1）特别地：实数集R可以用区间表示为（﹣∞，＋∞），“∞”读作“无穷大”，“﹣∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． （2）区间是数集的另一种表示方法，但并不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}，Z，Q等就不能用区间表示． 3．判断两个函数为同一个函数的条件： 同一个函数的判定只有当两个函数的定义域、值域和对应关系都相同时，两个函数才表示同一函数，但由于值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域及对应法则相同，两函数即表示同一函数． 4．求函数值域的原则及常用方法 （1）原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． （2）常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f（x）＝ax＋b＋（其中a，b，c，d为常数，且ac≠0）型的函数常用换元法． ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． 5．函数三种表示法的几点说明 （1）解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域． （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等．其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值．这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去． （3）图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象． 6．画函数图象的关注点 （1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； （2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； 3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点． 7．分段函数的特点 （1）分段函数是一个函数，并非几个函数． （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集． （3）分段函数的值域是各段值域的并集． （4）分段函数的图象要分段来画． 8．应用函数知识解决实际问题的关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用． 例题讲解： 题型1 函数的定义 【例1】（多选）下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有（　　） A．A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 【例2】（多选）下列式子中，能表示y是x的函数关系有（　　） A．x＝y2+1 B．y＝x2+1 C．x﹣y＝0 D． 【例3】已知集合，，，，下列对应关系中从到的函数为　　 A． B． C． D． 题型2 求函数的定义域 【例4】函数的定义域为 　 　． 【例5】函数的定义域为 　 　． 【例6】函数的定义域是 　 　． 题型3 函数的值域 【例7】函数，2，的值域为　　 A．， B．，3， C．， D．，4， 【例8】函数，，的值域为　　 A．， B．， C．， D．， 【例9】求下列函数的值域． （1） ，，； （2）． 题型4 判断函数是否为同一个函数 【例10】下列各组函数表示同一函数的是（　　） A．f（x）＝与f（x）＝（）2 B．f（x）＝与g（t）＝|t| C．y＝与y＝• D．f（x）＝x﹣1与g（x）＝﹣1 【例11】下面各组函数中是同一函数的是　　 A．， B．， C．， D．， 【例12】边长为的正方形面积关于的函数为（a），则下列函数中与（a）是同一函数的为　　 A． B． C． D． 题型5 区间 【例13】已知区间，，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【例14】下列区间与集合{x|x＜﹣2或x≥0}相对应的是（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞） 【例15】用区间表示数集{x|2＜x≤4}＝　 　． 题型6 函数的表示法 【例16】某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了，觉得有点累，休息后沿原路返回．想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距离与时间的图象大致为　　 A． B． C． D． 【例17】下列图象中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【例18】已知函数用列表法表示如表，若，则可取　　 1 2 3 4 5 2 3 4 2 3 A．2 B．3 C．4 D．5 题型7 求函数解析式 【例19】已知f（+1）＝x+2，则f（x）的解析式为（　　） A．f（x）＝x2﹣1 B．f（x）＝x2﹣1（x＞1） C．f（x）＝x2﹣1（x≥1） D．f（x）＝x2﹣1（x≥0） 【例20】已知函数，则的解析式是　　． 【例21】（1）已知f（+1）＝x+2，求f（x）解析式 （2）已知f（x）+2f（﹣x）＝2x+1，求f（x）解析式 （3）若f（x）是二次函数，且满足f（0）＝0，f（x+1）＝f（x）+x+1，求f（x）解析式． 题型8 画函数图象 【例22】已知函数． （1）在给出的坐标系中画出函数f（x）的图象； （2）求f（﹣5）+f（2）的值； （3）根据图象写出函数的定义域和值域． 【例23】已知函数f（x）的解析式f． （1）求f（f（））； （2）若f（a）＝2，求a的值； （3）画出f（x）的图象，并写出函数f（x）的值域（直接写出结果即可）． 【例24】已知函数f（x）＝|x﹣1|+1． （1）用分段函数的形式表示f（x）； （2）画出f（x）的图象； （3）求函数f（x）的值域． 题型9 分段函数 【例25】已知函数，则＝（　　） A． B． C． D． 【例26】已知函数f（x）＝，求f（f（﹣1））的值（　　） A．45 B．﹣45 C．﹣5 D．5 【例27】已知函数f（x）＝． （1）分别求f（﹣1），f（0.5），的值； （2）画出函数f（x）的图象； （3）求出函数f（x）的定义域及值域． 解题梳理： 1．判断一个对应关系是否为函数的方法 （1）根据函数的概念判断 （2）根据图形判断 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 2．求函数的定义域 （1）根据函数的解析式求定义域时，常有以下几种情况： ①如果解析式是整式，那么定义域为R；如果解析式是分式，那么定义域是使分母不为零的一切实数的集合； ②如果解析式是二次根式，那么定义域是使根号内的式子大于或等于0的全体实数的集合； ③如果解析式由几个部分的数学式子构成，那么定义域是使各部分式子都有意义的实数集； ④对于应用问题、几何问题中的函数定义域，要考虑到自变量的实际意义和几何意义． （2）求定义域时要将结果写成集合或区间形式． 3．函数求值的方法 （1）求f（a）：已知f（x）时，只需用a替换f（x）中的x即得f（a）的值； （2）求f（g（a））：已知f（x）与g（x），求f（g（a））的值应遵循由里往外的原则． 4．函数解析式的求法 求函数解析式，关键是对基本方法的掌握，常用方法有配凑法、换元法、待定系数法、解方程（组）法、赋值法等． （1）配凑法：将形如f（g（x））的函数的表达式配凑为关于g（x）的表达式，并整体将g（x）用x代换，即可求出函数f（x）的解析式．如由f（x＋1）＝（x＋1）2可得f（x）＝x2． （2）换元法：将函数f（g（x））中的g（x）用t表示，则可求得x关于t的表达式，并将最终结果中的t用x代换，即可求得函数f（x）的解析式． （3）待定系数法：将已知类型的函数以确定的形式表达，并利用已知条件求出其中的参数，从而得到函数的解析式． 一次函数解析式为y＝ax＋b（a≠0），二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）． （4）解方程（组）法：采用解方程或方程组的方法，消去不需要的函数式子，得到f（x）的表达式，这种方法也称为消去法． （5）赋值法：利用恒等式将特殊值代入，求出特定函数的解析式．这种方法灵活性强，必须针对不同的类型选取不同的特殊值． 5．求函数值域的方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． （2）配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． （3）图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域． （4）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． （5）换元法：对于一些无理函数（如y＝ax±b±），通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 6．分段函数 （1）分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值．当出现f（f（x0））的形式时，应从内到外依次求值． （2）已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． （3）若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，转化为方程或不等式问题． 变式练习： 1．下列哪一组函数相等（　　） A．f（x）＝x与g（x）＝ B． C． D．f（x）＝x2与g（x）＝ 2．下列各组函数表示同一函数的是（　　） A．f（x）＝x+1，g（x）＝ B．f（x）＝1，g（x）＝x0 C． D．f（x）＝g（t）＝|t| 3．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，] B．（0，） C．[0，] D．[0，） 4．可以表示以x为自变量的函数图象是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数f（x）＝则f（3）的值是（　　） A．1 B．2 C．8 D．9 6．函数y＝的定义域为（　　） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 7．已知f（x）是一次函数，2f（2）﹣3f（1）＝5，2f（0）﹣f（﹣1）＝1，则f（x）＝（　　） A．3x+2 B．3x﹣2 C．2x+3 D．2x﹣3 8．已知四组函数： ①f（x）＝x，g（x）＝（）2； ②f（x）＝x，g（x）＝； ③f（n）＝2n﹣1，g（n）＝2n+1（n∈N）； ④f（x）＝x2﹣2x﹣1，g（t）＝t2﹣2t﹣1． 其中是同一函数的（　　） A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④ 9．已知函数f（x）的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项能表示f（x）的图象的是（　　） A． B． C． D． 10．下列函数中，对任意x，不满足2f（x）＝f（2x）的是（　　） A．f（x）＝|x| B．f（x）＝﹣2x C．f（x）＝x﹣|x| D．f（x）＝x﹣1 （多选）11．给出下列四个对应，其中构成函数的是（　　） A． B． C． D． （多选）12．下列各组函数是同一函数的是（　　） A．f（x）＝2x与g（x）＝ B．f（x）＝与f（x）＝ C．f（x）＝2x2+1与g（t）＝2t2+1 D．f（x）＝x与g（x）＝ （多选）13．下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有（　　） A．A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 （多选）14．如图中所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止，选项中对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 15．已知f（x）+2f（﹣x）＝x2+2x，则f（x）的解析式为　 　． 16．函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为 　 　． 17．已知函数的定义域为[﹣3，6]，则a+b＝　 　． 18．已知f（2x+1）＝x2﹣2x，则f（3）＝　 　． 19．函数y＝的定义域为　 　．（用区间表示） 20．已知函数f（x）＝，若f（f（0））＝4a，则实数a＝　 　． 21．给定函数f（x）＝﹣x+1，g（x）＝（x﹣1）2，x∈R． （1）画出函数f（x），g（x）的图象； （2）∀x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}，请分别用图象法和解析法表示函数m（x）． 22．已知函数 求：（1）画出函数f（x）简图（不必列表）；（2）求f（f（3））的值； （3）当﹣4≤x＜3时，求f（x）取值的集合． 23．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 24．给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x+1）2，x∈R． （1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象； （2）对任意实数x，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}． 请分别用图象法和解析法表示函数M（x）． 25．已知函数f（x）＝． （1）求f（2）+f（），f（3）+f（）的值； （2）求证f（x）+f（）是定值． 答案与解析 例题讲解： 题型1 函数的定义 【例1】（多选）下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有（　　） A．A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 【答案】AD 【分析】根据函数的定义分别进行判断即可． 【解答】解：A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的平方；满足函数的定义，A正确， A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的开方；不是函数关系，∵（±1）2＝1，∴1有2个对应元素，不满足唯一性，不是函数关系．B不正确， A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数；不是函数关系，∵0的倒数不存在，∴0没有对应元素，不是函数关系．C不正确， A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍，即m＝2n，其中n∈A，m∈B，故是A到B的函数，D正确， 故选：AD． 【例2】（多选）下列式子中，能表示y是x的函数关系有（　　） A．x＝y2+1 B．y＝x2+1 C．x﹣y＝0 D． 【答案】BCD 【分析】利用函数的定义：对于定义域中的每个x值，都有唯一确定的y值与之对应，逐一判断即可． 【解答】解：选项A中，x＝5时，可以有y＝±2与之对应，故y不是x的函数关系， 选项B中，对应实数集中的每个x值，都有唯一确定的y＝x2+1的值与之对应，故y是x的函数关系， 选项C中，对应实数集中的每个x值，都有唯一确定的y＝x的值与之对应，故y是x的函数关系， 选项D中，对应非负实数集中的每个x值，都有唯一确定的y＝x2的值与之对应，故y是x的函数关系． 故选：BCD． 【例3】已知集合，，，，下列对应关系中从到的函数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可． 【解答】解：对于，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故错误， 对于，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故错误， 对于，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故错误， 对于，在对于关系中，因为，，所以，，，且则集合中任意一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合到集合的函数，故正确． 故选：． 题型2 求函数的定义域 【例4】函数的定义域为 　（﹣∞，0）∪（0，1]　． 【答案】（﹣∞，0）∪（0，1]． 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【解答】解：要使函数有意义，则，得，即x≤1且x≠0， 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]． 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]． 【例5】函数的定义域为 　[﹣4，1）∪（1，4]　． 【答案】[﹣4，1）∪（1，4]． 【分析】求出使得函数有意义的自变量的取值范围即可． 【解答】解：若函数有意义，需满足，∴﹣4≤x≤4，且x≠1， 则函数的定义域为：[﹣4，1）∪（1，4]． 故函数的定义域为：[﹣4，1）∪（1，4]． 【例6】函数的定义域是 　[﹣1，1）∪（1，+∞）　． 【答案】[﹣1，1）∪（1，+∞）． 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【解答】解：由题意得： ，解得：x≥﹣1且x≠1， 故函数的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）， 故答案为：[﹣1，1）∪（1，+∞）． 题型3 函数的值域 【例7】函数，2，的值域为　　 A．， B．，3， C．， D．，4， 【答案】 【分析】把的值代入解析式计算即可得答案． 【解答】解：时，， 当时，， 当时，， 故，2，的值域为，3，． 故选：． 【例8】函数，，的值域为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求值域即可． 【解答】解：由，，，故（1）， 又，（4），所以函数在，的值域为，． 故选：． 【例9】求下列函数的值域． （1），，； （2）． 【答案】（1），； （2），，． 【分析】（1）利用的单调性可求得答案； （2）由，可求得其值域． 【解答】解：（1）为增函数， 当，时，，； （2）， 的值域为，，． 题型4 判断函数是否为同一个函数 【例10】下列各组函数表示同一函数的是（　　） A．f（x）＝与f（x）＝（）2 B．f（x）＝与g（t）＝|t| C．y＝与y＝• D．f（x）＝x﹣1与g（x）＝﹣1 【答案】B 【分析】根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断两个函数是同一函数． 【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝|x|的定义域为R，函数f（x）＝＝x的定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B，函数f（x）＝的定义域为R，函数g（t）＝|t|＝的定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于C，函数y＝的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），函数y＝•＝的定义域为[1，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于D，函数f（x）＝x﹣1的定义域为R，函数g（x）＝﹣1＝x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数． 故选：B． 【例11】下面各组函数中是同一函数的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可． 【解答】解：：两函数定义域不同，不是同一函数； ：两函数的对应关系关系不同，不是同一函数； ：两函数的定义域不同，不是同一函数； ：两函数定义域，对应关系相同，值域也相同，是同一函数． 故选：． 【例12】边长为的正方形面积关于的函数为（a），则下列函数中与（a）是同一函数的为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出（a），再根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可． 【解答】解：由题意可知，（a）， 对于，函数的定义域为，与（a）的定义域不同，所以不是同一个函数，故错误； 对于，函数的定义域为，与（a）的定义域不同，所以不是同一个函数，故错误； 对于，函数与（a）的定义域不同，所以不是同一个函数，故错误； 对于，函数与（a）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一个函数，故正确． 故选：． 题型5 区间 【例13】已知区间，，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由区间的定义列式即可求得结果． 【解答】解：由题意可知，，解得． 故选：． 【例14】下列区间与集合{x|x＜﹣2或x≥0}相对应的是（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞） 【答案】C 【分析】由题意，利用区间的定义，得出结论． 【解答】解：集合{x|x＜﹣2或x≥0}相对应的区间为（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）， 故选：C． 【例15】用区间表示数集{x|2＜x≤4}＝　（2，4]　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据区间的定义，可得答案． 【解答】解：数集{x|2＜x≤4}＝（2，4]， 故答案为：（2，4] 题型6 函数的表示法 【例16】某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了，觉得有点累，休息后沿原路返回．想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进．则该同学离起点的距离与时间的图象大致为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同确定函数图象即可． 【解答】解：第一段时间，该生骑车为直线方程形式，单调递增．第二段实际休息，此时距离起点的距离不变，此时休息期间为常数，然后原路返回，此时距离减小，为递减函数，然后调转车头继续前进，此时距离逐步增加，所以图象合适． 故选：． 【例17】下列图象中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，依次分析选项中的图象，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，其对应函数的值域不是N＝{y|0≤y≤1}，A错误； 对于B，图象中存在一部分与x轴垂直，该图象不是函数的图象，B错误； 对于C，其对应函数的定义域为M＝{x|0≤x≤1}，值域是N＝{y|0≤y≤1}，C正确； 对于D，其对应函数的定义域不是M＝{x|0≤x≤1}，D错误； 故选：C． 【例18】已知函数用列表法表示如表，若，则可取　　 1 2 3 4 5 2 3 4 2 3 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】由已知表格，分别判断，2，3，4，5时是否满足方程即可． 【解答】解：结合表格可知，当时，（1），则（1）（2）， 当时，（2），（2）（3）； 当时，（3），（3）（4），此时满足题意； 当时，（4），（4）（2），此时满足题意； 当时，（5），（5）（3），此时满足题意． 故选：． 题型7 求函数解析式 【例19】已知f（+1）＝x+2，则f（x）的解析式为（　　） A．f（x）＝x2﹣1 B．f（x）＝x2﹣1（x＞1） C．f（x）＝x2﹣1（x≥1） D．f（x）＝x2﹣1（x≥0） 【答案】C 【分析】利用配凑法直接求解即可． 【解答】解：f（+1）＝x+2＝（+1）2﹣1， 所以f（x）＝x2﹣1（x≥1）． 故选：C． 【例20】已知函数，则的解析式是　　． 【分析】利用换元法即可得出． 【解答】解：令，则， ， ． 故答案为． 【例21】（1）已知f（+1）＝x+2，求f（x）解析式 （2）已知f（x）+2f（﹣x）＝2x+1，求f（x）解析式 （3）若f（x）是二次函数，且满足f（0）＝0，f（x+1）＝f（x）+x+1，求f（x）解析式． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用换元法，设+1＝t，用t表示，求出f（t），即得f（x）； （2）用换元法，由f（x）+2f（﹣x）＝2x+1①，得f（﹣x）+2f（x）＝﹣2x+1②；由①、②求出f（x）即可； （3）用待定系数法，设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），分别求出a、b、c即可． 【解答】解：（1）∵f（+1）＝x+2， 设+1＝t（t≥1）， ∴＝t﹣1， ∴f（t）＝（t﹣1）2+2（t﹣1）＝t2﹣1（t≥1）， 即f（x）＝x2﹣1（x≥1）； （2）∵f（x）+2f（﹣x）＝2x+1①， ∴f（﹣x）+2f（x）＝﹣2x+1②； ∴②×2﹣①得，3f（x）＝﹣6x+1， ∴f（x）＝﹣2x+； （3）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵f（0）＝0，∴c＝0； 又∵f（x+1）＝f（x）+x+1， ∴a（x+1）2+b（x+1）＝ax2+bx+x+1； 即， 解得a＝b＝； ∴f（x）＝x2+x． 题型8 画函数图象 【例22】已知函数． （1）在给出的坐标系中画出函数f（x）的图象； （2）求f（﹣5）+f（2）的值； （3）根据图象写出函数的定义域和值域． 【答案】（1）作图见解析； （2）5； （3）定义域为R，值域为[0，+∞）． 【分析】（1）利用二次函数的图象与常数图象的特征即可画出函数图象； （2）根据函数解析式直接求解； （3）根据函数图象求解即可． 【解答】解：（1）利用二次函数的图象与常数图象的特征， 画出分段函数的图象，如图所示： （2）因为， 所以f（﹣5）＝1，f（2）＝22＝4， 所以f（﹣5）+f（2）＝5； （3）由条件知，函数f（x）的定义域为R， 由函数的图象知， 当x≥0时，f（x）＝x2的值域为[0，+∞）， 当x＜0时，f（x）＝1， 所以f（x）的值域为[0，+∞）． 【例23】已知函数f（x）的解析式f． （1）求f（f（））； （2）若f（a）＝2，求a的值； （3）画出f（x）的图象，并写出函数f（x）的值域（直接写出结果即可）． 【答案】（1）f（f（））＝3； （2）a＝﹣1或3； （3）图象见解析，函数f（x）的值域为（﹣∞，6]． 【分析】（1）根据分段函数的性质，先求f（）的值，即可得出答案； （2）根据分段函数的性质，分类讨论即可得出答案； （3）根据分段函数的性质，即可作出函数图象，由图象可知函数值域． 【解答】解：（1）∵f，∴f（）＝+5＝， ∴f（f（））＝f（）＝﹣2×+8＝﹣3； （2）∵f，f（a）＝2， ∴或或，解得a＝﹣1或a＝3， 故a＝﹣1或3； （3）作出函数f（x），如右图所示： 由图象得，f（x）的最大值为f（1）＝6，故函数f（x）的值域为（﹣∞，6]． 【例24】已知函数f（x）＝|x﹣1|+1． （1）用分段函数的形式表示f（x）； （2）画出f（x）的图象； （3）求函数f（x）的值域． 【答案】（1）f（x）＝；（2）；（3）[1，+∞）． 【分析】（1）分段去掉绝对值符号即可；（2）根据解析式画函数图象；（3）根据图象可得函数的值域． 【解答】解：（1）函数的分段表示形式为f（x）＝； （2）图象由两条射线组成，图象如图所示： （3）观察图象可得函数的值域为[1，+∞）． 题型9 分段函数 【例25】已知函数，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由＞1，得＝﹣＝． 【解答】解：∵函数， ∴＝﹣＝． 【例26】已知函数f（x）＝，求f（f（﹣1））的值（　　） A．45 B．﹣45 C．﹣5 D．5 【答案】A 【分析】由题意，利用分段函数求函数的值． 【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（﹣1）＝﹣1×（﹣5）＝5， ∴f（f（﹣1））＝f（5）＝5×9＝45， 故选：A． 【例27】已知函数f（x）＝． （1）分别求f（﹣1），f（0.5），的值； （2）画出函数f（x）的图象； （3）求出函数f（x）的定义域及值域． 【答案】（1）f（﹣1）＝1，f（0.5）＝，＝2；（2）图象见解析；（3）[﹣2，2]；[0，4]． 【分析】分段函数的问题，分段解决即可． 【解答】解：（1）因为f（x）＝． 所以f（﹣1）＝1，f（0.5）＝，＝2； （2）函数f（x）的图象如图所示： （3）求出函数f（x）的定义域为[﹣2，2]， x＝4，y＝4，由图象可得值域为：[0，4]． 变式练习： 1．下列哪一组函数相等（　　） A．f（x）＝x与g（x）＝ B． C． D．f（x）＝x2与g（x）＝ 【答案】D 【分析】判断函数是否相等要看两个方面，对应关系与定义域． 【解答】解：f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝的定义域为{x|x≠0}，故不相等； f（x）＝x2的定义域为R，g（x）＝（）4的定义域为[0，+∞），故不相等； f（x）＝|x|的定义域为R，g（x）＝（）2的定义域为[0，+∞），故不相等； f（x）＝x2与g（x）＝的定义域及对应关系都相同，故相等； 故选：D． 2．下列各组函数表示同一函数的是（　　） A．f（x）＝x+1，g（x）＝ B．f（x）＝1，g（x）＝x0 C． D．f（x）＝g（t）＝|t| 【答案】D 【分析】要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，观察四个选项结果有三个的定义域不同，只有选D． 【解答】解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析， 即定义域，对应法则和值域， A选项两个函数的定义域不同， B选项两个函数的定义域不同， C选项两个函数的定义域不同， 故选：D． 3．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，] B．（0，） C．[0，] D．[0，） 【答案】D 【分析】由函数y＝的定义域为R，则对于任意x∈R，有mx2+4mx+3恒不等于0成立，然后分m＝0和m≠0讨论求解．当m≠0时需要分母所对应方程的判别式小于0． 【解答】解：∵y＝的定义域为R， 当m＝0，∴mx2+4mx+3＝3满足题意； 当m≠0时，由Δ＝16m2﹣12m＜0， 解得0＜m＜． 综上，当0≤m＜，即m∈[0，）时，函数y＝的定义域为R． 故选：D． 4．可以表示以x为自变量的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义可知，每一个x有且只有一个函数值与之对应． 【解答】解：由函数的定义可知， 每一个x有且只有一个函数值与之对应， 故选：C． 5．已知函数f（x）＝则f（3）的值是（　　） A．1 B．2 C．8 D．9 【答案】A 【分析】结合已知函数解析式，可把x＝3直接代入即可求解． 【解答】解由题意可得，f（3）＝3﹣2＝1． 故选：A． 6．函数y＝的定义域为（　　） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 【答案】D 【分析】依题意，直接接不等式x2﹣4＞0，即可求得定义域． 【解答】解：依题意，x2﹣4＞0，解得x＜﹣2或x＞2， ∴函数的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． 故选：D． 7．已知f（x）是一次函数，2f（2）﹣3f（1）＝5，2f（0）﹣f（﹣1）＝1，则f（x）＝（　　） A．3x+2 B．3x﹣2 C．2x+3 D．2x﹣3 【答案】B 【分析】根据f（x）是一次函数，可设出f（x）的解析式，然后将已知条件代入，运用待定系数法求解即可． 【解答】解：∵f（x）是一次函数， ∴可设f（x）＝kx+b（k≠0）， 又∵2f（2）﹣3f（1）＝5，2f（0）﹣f（﹣1）＝1，则有： ，解得：， ∴f（x）＝3x﹣2． 故选：B． 8．已知四组函数： ①f（x）＝x，g（x）＝（）2； ②f（x）＝x，g（x）＝； ③f（n）＝2n﹣1，g（n）＝2n+1（n∈N）； ④f（x）＝x2﹣2x﹣1，g（t）＝t2﹣2t﹣1． 其中是同一函数的（　　） A．没有 B．仅有② C．②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数． 【解答】解：①f（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为[0，+∞），所以定义域不同，所以①不是同一函数． ②．f（x）的定义域为R，而g（x）的定义域为R，所以定义域相同，对应法则相同，所以②是同一函数． ③．因为g（n）＝2n+1（n∈N）的定义域和f（n）的定义域不相同，所以③不是同一函数． ④两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以④是同一函数． 故选：C． 9．已知函数f（x）的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项能表示f（x）的图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，我们根据唯一性可判断C答案表示的不是函数的图象，而由函数的图象我们易判断出A、B、D三个函数图象对应函数的定义域和值域，进而可以判定答案 【解答】解：C表示的不是函数的图象，因为其不函数定义中B中有唯一的元素和A中元素对应； A、B表示的图象是函数，其值域为B＝{y|0≤y≤2}，故也不满足要求； D表示的图象是函数，其定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，故满足要求； 故选：D． 10．下列函数中，对任意x，不满足2f（x）＝f（2x）的是（　　） A．f（x）＝|x| B．f（x）＝﹣2x C．f（x）＝x﹣|x| D．f（x）＝x﹣1 【答案】D 【分析】根据选项中所给的解析式逐个验证即可． 【解答】解：选项D中，2f（x）＝2x﹣2≠f（2x）＝2x﹣1， 选项A、B、C中函数，均满足2f（x）＝f（2x）． 故选：D． （多选）11．给出下列四个对应，其中构成函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的定义即可判断选项是否正确． 【解答】解：根据函数的定义可得AD正确，而C是一对多，B是定义域内3没有对应，不符合函数的定义， 故选：AD． （多选）12．下列各组函数是同一函数的是（　　） A．f（x）＝2x与g（x）＝ B．f（x）＝与f（x）＝ C．f（x）＝2x2+1与g（t）＝2t2+1 D．f（x）＝x与g（x）＝ 【答案】BCD 【分析】由题意利用函数的三要素，判断得出结论． 【解答】解：由于f（x）＝2x的值域为R，而g（x）＝的值域为[0，+∞），它们的值域不一样，故它们不是同一个函数； 由于 f（x）＝与f（x）＝具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数； 由于f（x）＝2x2+1与g（t）＝2t2+1具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数； 由于f（x）＝x与g（x）＝ 具有相同的定义域、值域、对应关系，故它们是同一个函数， 故选：BCD． （多选）13．下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有（　　） A．A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 【答案】AD 【分析】根据函数的定义分别进行判断即可． 【解答】解：A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的平方；满足函数的定义，A正确， A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1}，f：A中的数的开方；不是函数关系，∵（±1）2＝1，∴1有2个对应元素，不满足唯一性，不是函数关系．B不正确， A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数；不是函数关系，∵0的倒数不存在，∴0没有对应元素，不是函数关系．C不正确， A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍，即m＝2n，其中n∈A，m∈B，故是A到B的函数，D正确， 故选：AD． （多选）14．如图中所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止，选项中对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由几何体的结构和题意知，容器轴截面的面积由大变小，容器中水面的高度h随时间t的变化增加变快，反之变慢，再由图象的平缓与陡峭变化得答案． 【解答】解：A、因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A错误； B、因为几何体轴截面的面积下面小上面大，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B正确； C、球是个对称的几何体，下半球轴截面的面积由小变大，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以水的高度增加的越来越快，则图象先陡峭再平缓再陡峭，故C正确； D、图中几何体的轴截面的面积由大变小再变大，所以水的高度增加的由慢到快再到慢，则图象先平缓再变陡再平缓，故D正确． 故选：BCD． 15．已知f（x）+2f（﹣x）＝x2+2x，则f（x）的解析式为　f（x）＝x2﹣2x　． 【答案】见试题解答内容 【分析】由f（x）+2f（﹣x）＝x2+2x，f（﹣x）+2f（x）＝x2﹣2x，联立可求． 【解答】解：因为f（x）+2f（﹣x）＝x2+2x， 所以f（﹣x）+2f（x）＝x2﹣2x， 联立可得，f（x）＝x2﹣2x． 故答案为：f（x）＝x2﹣2x． 16．函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为 　[0，4]　． 【答案】[0，4]． 【分析】根据题意可得出kx2﹣2kx+4≥0恒成立，显然k＝0时，满足题意；k≠0时，可得出Δ＝4k2﹣16k≤0，解出k的范围，这样即可得出k的取值范围． 【解答】解：函数y＝的定义域为R等价于kx2﹣2kx+4≥0恒成立， 当k＝0时，显然成立；当k≠0时，由Δ＝4k2﹣16k≤0，得0＜k≤4， 综上，实数k的取值范围为[0，4]． 故答案为：[0，4]． 17．已知函数的定义域为[﹣3，6]，则a+b＝　2　． 【答案】2． 【分析】根据函数的定义域知不等式ax2+bx+18≥0的解集，再利用根与系数的关系求出a、b的值． 【解答】解：函数的定义域为[﹣3，6]， 所以不等式ax2+bx+18≥0的解集为[﹣3，6]， 所以﹣3和6是方程ax2+bx+18＝0的两实数根， 由根与系数的关系知，， 解得a＝﹣1，b＝3， 所以a+b＝2． 故答案为：2． 18．已知f（2x+1）＝x2﹣2x，则f（3）＝　﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】【方法一】利用换元法求出f（x）的解析式，再计算f（3）的值． 【方法二】根据题意，令2x+1＝3，求出x＝1，再计算f（3）的值． 【解答】解：【方法一】∵f（2x+1）＝x2﹣2x， 设2x+1＝t，则x＝， ∴f（t）＝﹣2×＝t2﹣t+， ∴f（3）＝×32﹣×3+＝﹣1． 【方法二】∵f（2x+1）＝x2﹣2x， 令2x+1＝3，解得x＝1， ∴f（3）＝12﹣2×1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 19．函数y＝的定义域为　　．（用区间表示） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【解答】解：因为函数有意义当且仅当，解得， ∴﹣2≤x≤3，且x， ∴函数的定义域为：， 故答案为：． 20．已知函数f（x）＝，若f（f（0））＝4a，则实数a＝　2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题利用分段函数的特点，先求f（0），再求f（2），最后得到关于a的方程并解之得即可． 【解答】解：∵函数f（x）＝ ∴f（0）＝2，f（2）＝4+2a＝4a， 解得a＝2． 故答案为2 21．给定函数f（x）＝﹣x+1，g（x）＝（x﹣1）2，x∈R． （1）画出函数f（x），g（x）的图象； （2）∀x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}，请分别用图象法和解析法表示函数m（x）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用一次函数和二次函数的图象关系进行作图． （2）利用图象法以及作差法进行求解即可． 【解答】解：（1）两个函数的对应图象如图： （2）图象法：由图象知当x≤0或x≥1时，f（x）≤g（x），此时m（x）＝min{f（x），g（x）}＝f（x）， 当0＜x＜1时，f（x）＞g（x），此时m（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x）， 解析法： g（x）﹣f（x）＝（x﹣1）2﹣（﹣x+1）＝（x﹣1）2+（x﹣1）＝x（x﹣1）， 由g（x）﹣f（x）＝x（x﹣1）≥0得x≥1或x≤0，此时g（x）≥f（x）， 由g（x）﹣f（x）＝x（x﹣1）＜0得0＜x＜1，此时g（x）＜f（x）， 则m（x）＝min{f（x），g（x）}＝． 22．已知函数 求：（1）画出函数f（x）简图（不必列表）； （2）求f（f（3））的值； （3）当﹣4≤x＜3时，求f（x）取值的集合． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据分段函数的表达式，画出函数f（x）简图即可； （2）利用分段函数直接代入求f（f（3））的值； （3）当﹣4≤x＜3时，求f（x）的值域即可． 【解答】解：（1）由分段函数可知，函数f（x）简图为： （2）∵f（3）＝4﹣32＝4﹣9＝﹣5， ∴f（f（3））＝f（﹣5）＝1﹣2（﹣5）＝1+10＝11； （3）当﹣4≤x＜0时，1＜f（x）≤9， 当x＝0时，f（0）＝2， 当0＜x＜3时，﹣5＜f（x）＜4， 综上：﹣5＜f（x）≤9． 23．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据规则制定，可知函数为分段函数，从而可得函数解析式，并可画出函数的图象． 【解答】解：设票价为y元，里程为x公里，则根据题意，某空调汽车运行路线中有21个汽车站（首位各一个），那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是（0，20]． 由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数的解析式：y＝ 根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示： 24．给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x+1）2，x∈R． （1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象； （2）对任意实数x，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}． 请分别用图象法和解析法表示函数M（x）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象（图1）．函数M（x）的图象图2． （2）由图1中函数取值情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．由x+1＝（x+1）2，解得x，即可得出． 【解答】解：（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象（图1） 图1 函数f（x），g（x）的图象 图2 函数M（x）的图象 （2）由图1中函数取值情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．由x+1＝（x+1）2，得x（x+1）＝0，解得x＝﹣1，或x＝0． 结合图2，得出函数M（x）＝． 25．已知函数f（x）＝． （1）求f（2）+f（），f（3）+f（）的值； （2）求证f（x）+f（）是定值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用函数表达式，能求出f（2）+f（），f（3）+f（）的值． （2）由f（x）＝，利用函数性质能证明f（x）+f（）是定值1． 【解答】解：（1）∵函数f（x）＝， ∴f（2）+f（）＝＝＝1， f（3）+f（）＝＝＝1． 证明：（2）∵f（x）＝， ∴f（x）+f（）＝＝＝1． ∴f（x）+f（）是定值1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$