第五章 圆全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(鲁教版五四制)

数 学 九年级全一册 LJ 1 2 3 第五章 圆 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 圆心角与圆周角 （第1题图） 1.【2022山东滨州中考】如图，在中，弦, 相交于点 ．若 ， ，则 的大小为( ) A A. B. C. D. 【解析】， ， . ， ， ，故选 A． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 （第2题图） 2.【2023吉林中考】如图，，是的弦，，是 的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接 .若 ，则 的度数可能是( ) D A. B. C. D. 【解析】如图，连接 . ， . ， . 点为 上任意一点 （点不与点B重合）， . ， ，故选D． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 3.【2022山东泰安中考】如图，是的直径， ， ，，则 的半径为( ) D A. B. C. D. 【解析】连接并延长交于点，连接 ， ，， , 是直径， .在中，， ， ，的半径为 ．故选D． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 4.【2023湖北武汉中考】如图，,,都是的半径， . （1）求证： ； 【证明】， . ， . ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 （2）若,，求 的半径. 【解】如图，过点作交于点，交于点 ，连接 ，则， . ， ，，， ， .在中， ，.在 中， ，，，即 的 半径是 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 关键点拨 （2）根据垂径定理，作垂直于弦的半径是解题的关键. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 考点2 垂径定理 5.【2022湖南长沙中考】如图，,,是上的点， ， 垂足为点，且为的中点，若，则 的长为___． 7 【解析】 为的中点， ， ，.在和 中， ， ．故答 案为7． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 6.【2023上海中考】如图，在中，弦的长为8，点在 延长 线上，且， . （1）求 的半径； 【解】如图，过点作，垂足为 ， . 在中，，， 的半 径为5. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）求 的正切值. 【解】 如图，过点作，垂足为 . ，， . ，，，， ， . 在中， . 在中，，的正切值为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 思路分析 （1）过点作，垂足为，根据垂径定理可得 ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长即可； （2）过点作，垂足为，根据已知可得 的长，再利用平行线分线段 成比例可得，从而求出的长，进而求出的长，然后在 中， 利用勾股定理求出的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算 即可解答. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 考点3 切线的性质与判定 7.【2022山东潍坊中考】（多选）如图， 的内切圆 (圆心为点与各边分别相切于点，，，连接， ， ．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于 ， 两点；分别以点，为圆心，以大于 的长为半径作弧， 两条弧交于点；作射线 ．下列说法正确的是( ) AC A.射线一定过点 B.点是 三条中线的交点 C.若是等边三角形，则 D.点不是 三条边的垂直平分线的交点 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 【解析】 圆是的内切圆， 点是 三条内角平分线的交点.由尺 规作图可知，射线是的平分线， 射线一定过点 ，故A选项说法正确， 符合题意；点是 三边垂直平分线的交点，故B、D选项说法错误，不符合题 意；是等边三角形， 点D,分别为,的中点，是 的中位 线， ，故C选项说法正确，符合题意. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 8.【2023山东滨州中考】如图，，分别与相切于 ， 两点，且 ，若点是上异于点， 的一点， 则 的大小为__________. 或 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 【解析】 如图，当点在优弧上时，连接， , 分别与相切于点，， ， . 由圆周角定理知， .当点在劣弧 上时，由圆内接四边 形的性质得 ，故答案为 或 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 9.【2023山东聊城中考】如图，在 中， ，的平分线交于点， 的平分线 交于点.以上的点为圆心，为半径作 ，恰好 过点 . （1）求证：是 的切线； 【证明】如图，连接， 平 分，， ， ， ， 是的半径，是 的切线. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 （2）若，，求 的半径. 【解】如图，过作平分，， ， . ，， 在中， ， ，， 在 中， ， 在中， . ， 易得，， ，解 得，的半径为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 思路分析 （1）连接，由题意得到，根据等腰三角形的性质得到 ， 再结合角平分线的定义可得，根据平行线的判定定理得到 ， 根据 ，得到 ，于是得到结论； （2）过作，根据角平分线的性质得到 ，根据锐角三角函数和勾 股定理，求得, 的长，根据相似三角形的判定和性质列式计算即可得到结论. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 23 考点4 弧长与扇形面积 10.【2023山东滨州中考】如图，某玩具品牌的标志由半径为 的三个等圆构成，且三个等圆，， 相互经过彼此的 圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，连接，，，，，， ， ，，则，，， 都是边 长为1的正三角形，所以 ， 故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 11.【2023山东临沂中考】如图，是的外接圆，是 的直径， ，，为的延长线与 的交点. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 25 （1）求证：是 的切线； 【证明】如图，连接并延长交于点，连接 ，则 ， ， . ， ， ，， ， ，， ， 是的半径，是 的切线. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 26 （2）若 ，，求 的长. 【解】 ， ， ， 是等边三角形， ，，， 的 长是 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 27 思路分析 （2）由 ，可求的度数，从而可得 的度数，进而 得到是等边三角形，以及的度数，然后根据弧长公式求出 的长. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 28 考点5 正多边形与圆 12.【2023安徽中考】如图，正五边形内接于 ，连接 ,，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 , ， ，故选D． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 29 13. 【2022山东青岛中考】如图，正六边形 内接于 ，点在上，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 【解析】如图，连接，， 六边形 是正六边形， ， ， ，故选D． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 章测 一、选择题（本大题共6小题，共30分） 1.下列说法正确的是( ) A A.一个三角形只有一个外接圆 B.三点确定一个圆 C.长度相等的弧是等弧 D.三角形的外心到三角形三条边的距离相等 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 【解析】A选项，任意三角形都有且只有一个外接圆，正确，本选项符合题意；B 选项,不共线的三点确定一个圆，原说法错误，本选项不符合题意；C选项,长度相 等的弧不一定是等弧，原说法错误，本选项不符合题意；D选项,三角形的外心到 三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意．故选A． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 （第2题图） 2.如图，圆上有三点,,，四边形 是菱形， ，点是圆上一点且不与,,重合，则 ( ) C A. B. C. 或 D. 或 【解析】如图，分两种情况：①当点在优弧 上时，由圆周角定 理得 ；②当点在劣弧 上时， 为图中点 ，由圆周角定理得 .综上所 述，为 或 ，故选C． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 （第3题图） 3.如图，内接于，，，则 的长为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，连接，，过点作 于点D，则 ， ． ， ． ，, , ,的长为 ．故选B． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 （第4题图） 4.【2023浙江嘉兴期中】如图，在平面直角坐标系中， 的圆心 坐标为，半径为5，函数的图象被 截得的弦 的长为8，则 的值为( ) D A.6 B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 【解析】如图，作轴于C，交于D，作于 ，连接 的圆心坐标是，，.把 代入 得， 点D坐标为，， 为等腰直角 三角形，也为等腰直角三角形. ， .在中，， ， ， .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 （第5题图） 5.【2023山东济宁期末】如图，正六边形 的边长为12，连 接，以点为圆心，为半径画弧，得扇形 ，将扇形 围成一个圆锥，则圆锥的高为( ) D A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 思路分析 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 【解析】 正六边形的各边相等，每个内角都是 ， ， .如图，过B作于点， , ， ， ， 弧 所对的圆心角为 ， ， 圆锥底面半径 , 圆锥高为 ，故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 6.【2023江苏镇江期末】如图，在等腰三角形中， ， ，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3.将 绕点按顺时针方向旋转，，的对应点分别为， ，在旋转 的过程中边所在直线与 相切的次数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 【解析】如图（1），由题意可知同时与边的延长线、射线相切， 的半径为3.设与边的延长线、射线分别相切于点,点，连接交 于点，连接，，.作于点， 的延长线于点 ，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形，, 直线与 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 相切. ，，.作于点 ，由旋转 得， .当绕点A旋转到与 重合， 即旋转角 时，与相切.如图（2），绕点A旋转到点 与点 重合.， 为 的半径，与相切.如图（3），绕点A旋转到 ，作 交的延长线于点，， 四边形 为矩形， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ，与相切.综上所述，在旋转的过程中边 所在直线与 相切3次，故选C. 图（1） 图（2） 图（3） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 二、填空题（本大题共4小题，共20分） （第7题图） 7.如图，圆锥的底面半径长为，母线长为 ， 则这个圆锥侧面展开图的圆心角为_____度． 120 【解析】 设这个圆锥侧面展开图的圆心角为 .圆锥底面周 长为，则扇形的弧长为 .由弧长公 式得 ,则 .故答案为120． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 （第8题图） 8.如图，在中， ，， 的周长为1 9．若与，，三边分别相切于点，，，则 的 长为_____. 3.5 【解析】 与，，三边分别相切于点，， ， ，， 的周长为19, ，即 ， ， ， ， 为等边三角形， ．故答案为3.5． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 思路分析 先根据切线长定理得到，，，再由 的周长为19得到 ，则，然后证明为等边三角形，从而得到 的长． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 9.【2023浙江宁波模拟】如图，在平面直角坐标系中，已知，四边形 和都是正方形，点，，共线，点，，在轴上，点，，在以 为圆心，为半径的圆上，则 的长为_ ____. （第9题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 【解析】 设点，则.根据题意可得 .在 中， ，为 中 点.在中，，， ，解得，（舍去）， 点 ， ，.在和 中， ， ， ， ， .故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 48 （第10题图） 10.如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点 ， 与轴分别交于点与点,则圆心到坐标原点 的距 离是______. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 【解析】 如图，连接,，，作于点 与 轴相切于点，， ， ， 四边形 是矩形， ，，， ， 思路分析 连接，，，作于，先证明四边形 是矩形，根据垂径定 理求出，最后利用勾股定理在中求出 即可． .在中， .故 答案为. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 三、解答题（本大题共4小题，共50分） 11. 【2023江苏宿迁质检】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1， 每个小正方形的顶点称为格点，点，，， 均为格点. 图（1） 图（2） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 （1）如图（1）是以格点为圆心， 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在 上找出一点，使 ，写出作法，并给出证明； 图（1） 【解】如图（1），取格点，连接，，，并延长 ， 交于点，则点 即为所求. 证明：由勾股定理可得 ，则四边形 为菱形，可得， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 （2）如图（2）是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦 上找出 一点，使 ，写出作法，并给出证明. 图（2） 【解】 如图（2）,取格点，连接交于点，点 即为所求. 证明：取格点，作直径，连接 . 在中， . 在中， ， , ， ， ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 12.如图，内接于，是的直径，直线与 相 切于点，在上取一点，使得，线段， 的延长 线交于点 ． （1）求证：直线是 的切线. 【证明】如图，连接 ， ， ， ， . 直线与相切于点， 直线 ， .是的半径， 直线是 的切线. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 （2）若， ，求图中阴影部分的面积(结果保留 ． 【解】 ， . ， 是等边三角形， ， , ， ， ， ． 关键点拨 此题考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、扇形的面积计算公式 等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 13.【2023福建福州台江区调研】如图，内接于， 是 的直径，是上一点，弦交于点，弦于点 ， 连接，，且 . （1）求证： ； 【证明】是的直径， ， . ， ， ， . （2）求证： ； 【证明】， ，由（1）知 ， ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 （3）若，，求 的长. 【解】如图，连接，是的直径， ， ，， ， ，， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ，，. ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 14.【2023山东潍坊一模】如图，在水平地面上放置了一个和矩形 ， 与地面相切于点，，，矩形的宽，长 .将矩 形绕点逆时针旋转一定角度，得到矩形 . 图（1） 图（2） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 58 （1）旋转过程中，当，，三点共线时，如图（1）.求证：直线与 相切； 图（1） 【证明】如图（1），连接， 四边形 是矩形， ，，， 共 线，， ， . 又 ， 与相切于， ， ， ， 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 59 .在和 中， ， ， ，为的半径， 直线与 相切. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）旋转过程中，当边落在上时，如图（2）.求矩形 扫过的面积. 图（2） 【解】如图（2），连接，.在 中， . 由（1）知， 在上， 旋转角 ， .由图形可知，矩 形扫过的面积为，和扇形的面积之和， 矩形 扫 过的面积为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 61 思路分析 （2）连接，，利用勾股定理求得 ，利用（1）的结论求得旋转角，结合 图形得到矩形扫过的面积为，和扇形 的面积之和，然后 利用三角形、扇形的面积公式即可求出答案. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 62 $$