专题10 双曲线与抛物线（选填）-备战2025届安徽新高考数学模拟题分类汇编（安徽专用）

专题10 双曲线与抛物线（选填） 题型一 双曲线综合题 1．（2024·安徽合肥·一模）双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线，直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽淮北·一模）已知双曲线的一条渐近线与圆交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．（2024·安徽合肥·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽淮北·二模）已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为4和，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 7．（2024·安徽·三模）过双曲线的下顶点作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于两点，若,则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 8．（2024·安徽合肥·三模）已知双曲线的右焦点为，圆与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（   ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（    ） A．若圆与圆内切，则圆与圆内切 B．若圆与圆外切，则圆与圆外切 C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆 D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线 11．（2024·安徽·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一点，点满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·安徽黄山·一模）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于，且，当时，双曲线离心率的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 13．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． （多选）14．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，且，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则（    ） A．的面积 B． C． D．为定值 （多选）15．（2024·安徽·二模）已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（    ） A．双曲线的方程为 B．的面积为 C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切 （多选）16．（2024·安徽·模拟预测）设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹与椭圆共焦点 C．是的轨迹的一条渐近线 D．过能做4条直线与的轨迹有且只有一个公共点 （多选）17．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（    ） A．C的离心率为3 B．当时， C． D．为定值 （多选）18．（2024·安徽安庆·三模）直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，从左到右依次排列，则（    ） A．线段与线段的中点必重合 B． C．线段的长度不可能成等差数列 D．线段的长度可能成等比数列 19．（2024·安徽马鞍山·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则 ． 20．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，圆上的点到的一条渐近线的距离的最大值为是双曲线右支上一点，线段与双曲线的左支交于点，若的重心与内心重合，则直线的方程为 ． 21．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，直线与的渐近线的一个交点为，若，则的离心率为 ． 22．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点．若（为坐标原点），点到直线的距离为，则的离心率为 ． 23．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，P为渐近线位于第一象限内的点，过原点O作直线AB平行于FP， 交双曲线于A，B两点，四边形FPBA为矩形，则该双曲线的离心率为 ． 24．（2024·安徽六安·模拟预测）设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，使得，则双曲线的离心率为 ． 题型二 抛物线综合题 1．（2024·安徽黄山·一模）已知抛物线的焦点为，则的值为（    ） 2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·三模）已知抛物线：与直线：交于M，N两点，点P在线段上，且，若点在直线上，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（    ） A． B． C． D．3 6．（2024·安徽池州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点．过作直线的垂线，垂足分别为，则（    ） A．16 B．18 C．20 D．24 7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线，过其焦点F的直线交C于A，B两点，M为AB中点，过M作准线的垂线，垂足为N，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·模拟预测）已知点是抛物线上不同的两点，，若的焦点到直线的距离为3，则直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 （多选）9．（2024·安徽马鞍山·三模）已知点P，A，B在抛物线y2=2px（p>0）上，线段AB，PA，PB的中点分别为D，M，N，线段M，N的中点为E，若直线PA，PB的斜率之和为0，则（    ） A．点M，N不在x轴上 B．点E在x轴上 C．点D与点P的横坐标相等 D．点D与点P的纵坐标互为相反数 （多选）10．（2024·安徽·三模）已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（    ） A．的方程为 B．已知点，则的最小值为3 C． D．若，则与的面积相等 （多选）11．（2024·安徽安庆·二模）抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（    ） A．当时， B．面积的最大值为2 C．点E在一条定直线上 D．设直线倾斜角为，为定值 （多选）12．（2024·安徽·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相切于点，连接，在中，设，则的值为 . 14．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为，半径为6的圆过坐标原点以及，且与该抛物线的准线相切，则 . 15．（2024·安徽·二模）已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为 ，的面积为 （为坐标原点）． 16．（2024·安徽池州·二模）造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点，记矩形一边所在直线为，将点折叠到上（即），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线的所有包络线中，恰好过点的包络线所在的直线方程为 .    17．（2024·安徽阜阳·一模）抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到抛物线，其准线方程为，则抛物线的焦点坐标为 ． 18．（2024·安徽合肥·二模）抛物线的焦点为，准线为为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，与轴交于点，若，则 ． 19．（2024·安徽淮北·一模）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数 . 20．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 21．（2024·安徽·模拟预测）已知为抛物线的焦点，过点的直线与交于A，B两点，过点作，与的准线交于点，且，，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 双曲线与抛物线（选填） 题型一 双曲线综合题 1．（2024·安徽合肥·一模）双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程以及焦距可得，可得渐近线方程. 【详解】由焦距为4可得，即，又， 所以，可得，即； 则的渐近线方程为. 故选：B 2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦距为4得，由得，再根据渐近线方程求经过一、三象限的渐近线的斜率. 【详解】因为双曲线的焦距为4，所以，解得， 所以则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为. 故选：B 3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线，直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，且，结合离心率的定义分析求解. 【详解】因为双曲线的焦点在x轴上，由题意可知：， 所以该双曲线的离心率为. 故选：D 4．（2024·安徽淮北·一模）已知双曲线的一条渐近线与圆交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到双曲线的渐近线过圆心，求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由圆的方程，可得圆心为，半径为 又由双曲线，可得其中一条渐近线方程为，即， 因为双曲线的渐近线交圆于两点，且， 所以圆心在直线，即，可得， 则双曲线的离心率为. 故选：D 5．（2024·安徽合肥·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题设条件得到，，再利用在椭圆上，得到，即可求出结果. 【详解】如图，设，，则直线的方程为， 令，得到，所以， ，因为， 所以，得到，故， 又，所以，得到， 又，所以，得到①， 又因为在双曲线上，所以②，又③， 由①②③得到，所以， 解得或，又，所以，得到， 故选：D 6．（2024·安徽淮北·二模）已知为双曲线的右顶点，为坐标原点，为双曲线上两点，且，直线的斜率分别为4和，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由可得：是的中点，即关于原点对称，然后设点，去表达直线的斜率，联立方程组可解得，最后把这点代入双曲线方程，就可以得到一个关于离心率的方程，并解得结果. 【详解】由可得：是的中点，即关于原点对称， 不妨假设点，则， 由及直线的斜率分别为4和可得： ，联立解得：， 所以把点代入双曲线方程得： ， 再由代入得：，解得：， ， 故选：A 7．（2024·安徽·三模）过双曲线的下顶点作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于两点，若,则C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】过点作另一条渐近线的垂线于，借助双曲线的对称性计算可得，即可得离心率. 【详解】过点作另一条渐近线的垂线于，由对称性可得， 由，则有，则， 故，故，故， 即. 故选：A 8．（2024·安徽合肥·三模）已知双曲线的右焦点为，圆与的渐近线在第二象限的交点为，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由解得，根据三角函数的定义知，利用同角的三角函数关系求得，，由诱导公式、两角和的正弦公式和正弦定理计算可得，结合离心率的概念即可求解. 【详解】如图，由题意知，双曲线的渐近线方程为， 则，解得，所以, 由三角函数的定义知， 又，且显然为锐角，， 又，解得，， 则， 在中，由正弦定理可得，即， 化简得，所以的离心率为． 故选：C 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，由离心率的定义结合上式化简可得，再由基本不等式可得B正确；D错误；再举反例可得AC错误. 【详解】由已知得，． 由，得，又， 当，时，， 当，时，． 故选：B 10．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（    ） A．若圆与圆内切，则圆与圆内切 B．若圆与圆外切，则圆与圆外切 C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆 D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线 【答案】C 【分析】先证明当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；若，则圆与圆外切，圆与圆内切，从而A和B错误；然后当时，将条件变为，从而根据椭圆定义知点的轨迹为椭圆，C正确；当时，将条件变为，从而根据双曲线定义知点的轨迹为双曲线的左支，D错误. 【详解】我们分别记的中点为，显然是的中点，故，. 当时，在圆内，此时，圆和圆不可能与圆外切，而圆与圆内切等价于， 即，即，同理，圆与圆内切也等价于； 当时，在圆外，故“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和， 即和，即和. 所以，此时“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，同理，“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和. 下面考虑四个选项（我们没有考虑的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）： 由于当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切； 若，则圆与圆外切，圆与圆内切. 这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误； 若，则，此时“圆与圆内切”和“圆与圆内切”都等价于， 而根据椭圆定义，对应的轨迹即为，C正确； 若，则，此时“圆与圆外切”等价于， 而根据双曲线定义，对应的轨迹为， 仅仅是双曲线的半支，D错误. 故选：C 11．（2024·安徽·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一点，点满足，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，过点作，交的延长线于点，由双曲线的定义结合余弦定理代入计算，再由离心率的计算公式，即可得到结果. 【分析】    由，得，． 因为，所以点在线段上，且． 如图，过点作，交的延长线于点，则， 所以，所以． 设，则，所以． 由双曲线的定义可知，所以， 则．设，则． 在中，由余弦定理，得， 即，所以， 则（负值已舍去）． 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于结合双曲线的定义以及余弦定理代入计算. 12．（2024·安徽黄山·一模）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于，且，当时，双曲线离心率的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】 根据渐近线方程求出直线的方程为，可求得，再由双曲线定义利用即可求得双曲线离心率的最大值为. 【详解】如下图所示：    不妨取渐近线方程为，又易知， 则直线的方程为， 联立直线与双曲线，可得， 所以； 且，由双曲线定义可得， 当时，可得， 所以，解得； 因此双曲线离心率的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用双曲线定义结合，表示出的长度再利用建立不等式即可解得离心率的取值范围. 13．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，设，表示出的方程求得，则，由表示出P的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解. 【详解】由，得的横坐标为，设， 则直线的方程为，令，得，即， 所以线段的中点，则， 由，得，则， 即，代入双曲线方程得， 即，整理得， 由，解得. 故选：A 【点睛】思路点睛：解答本题的思路是根据点的坐标表示出点的坐标，由中点坐标公式表示出点的坐标，结合平面向量数量积的坐标表示求得，代入双曲线方程计算即可. （多选）14．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，且，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则（    ） A．的面积 B． C． D．为定值 【答案】BCD 【分析】对于A，通过相似三角形计算边的关系，并通过基本不等式求面积取值范围即可；对于B，通过两点距离公式计算线段的长度，并作比较即可；对于C，D，通过相似三角形确定边的比值即可； 【详解】依题意，如图所示，，设直线与轴的交点为， 所以，设，， 因为，所以， 所以，所以， 即，即， 所以且时等号成立，故A错误． 设， 所以，由得， 所以， 所以，故B正确． 由A选项可得，，所以， 所以，故正确． 由，得， 则，即， 所以为定值，故D正确． 故选：BCD． （多选）15．（2024·安徽·二模）已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（    ） A．双曲线的方程为 B．的面积为 C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交 D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切 【答案】BD 【分析】根据双曲线定义结合为等边三角形得，，由余弦定理得 ，进而求出方程为判断选项A；求出判断选项B；利用两圆相切的几何意义可判断选项C、D. 【详解】由已知得，由双曲线定义知：， 因为，所以，故，， 在中，由余弦定理得：， 解得：，所以，方程为，A错误. 的面积为，B正确. 取的中点，，两圆内切，故C错误. 取的中点，则，两圆外切，故D正确. 故选：BD （多选）16．（2024·安徽·模拟预测）设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹与椭圆共焦点 C．是的轨迹的一条渐近线 D．过能做4条直线与的轨迹有且只有一个公共点 【答案】BC 【分析】对A，设点，，根据条件列式求出轨迹方程可判断；对B，由点的轨迹方程求出焦点坐标可判断；对C，点的轨迹方程求出渐近线方程可判断；对D，点在轴上，过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，只有两条切线，其中与渐近线平行的直线过点不合题意. 【详解】对于A，设点，，则，， 所以，化简得，所以点的轨迹方程为.故A错误； 对于B，由A选项，点的轨迹的焦点为与椭圆共焦点，故B正确； 对于C，点的轨迹对应曲线的渐近线为，故C正确； 对于D，点在轴上，设，则，， 所以直线，与渐近线平行，但点不在点的轨迹上， 故过点只能作点的轨迹两条切线，如图所示，故D错误. 故选：BC.    （多选）17．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（    ） A．C的离心率为3 B．当时， C． D．为定值 【答案】BCD 【分析】根据离心率的公式即可求解A，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D. 【详解】由题意得，，故A错误； 联立，得，解得或，则，故B正确； 由直线：可知，又，，故在线段的中垂线上， 设，的斜率分别为，，，故直线的方程为， 联立，得， 设，则，，故. 当轴时，，是等腰直角三角形，且易知； 当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故， 因为，所以，所以，，故C正确； 因为，故，故，故D正确. 故选：BCD. （多选）18．（2024·安徽安庆·三模）直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，与的两条渐近线分别交于两点，从左到右依次排列，则（    ） A．线段与线段的中点必重合 B． C．线段的长度不可能成等差数列 D．线段的长度可能成等比数列 【答案】ABD 【分析】设出直线的方程，并分别与双曲线的渐近线方程、双曲线方程联立，利用中点坐标公式判断出线段和共中点，可判断A；从而证得线段与线段的长度始终相等，可判断B；由等差中项的性质可判断C；由等比中项的性质可判断D. 【详解】设直线， 联立得， 于是， 联立得， 于是，所以， 因此线段与线段的中点必重合，A正确； 设中点为，则，所以，B正确； 假设线段的长度成等差数列，则， 所以，于是， 两边同时平方并整理得， 于是， 展开整理得，该方程有解，所以存在直线， 使得线段的长度成等差数列，C错误； 同上推理，当线段的长度相等时， 线段，的长度成等比数列，D正确. 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19．（2024·安徽马鞍山·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线的定义表示出，，即可得到，再由余弦定理计算可得. 【详解】依题意过点的直线与的右支交于，两点， 且，，， 则，，， 所以， 可得， 解得或（舍去）． 故答案为：． 20．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，圆上的点到的一条渐近线的距离的最大值为是双曲线右支上一点，线段与双曲线的左支交于点，若的重心与内心重合，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】首先得到圆的圆心和半径，判断渐近线与圆的位置关系，得到圆心到渐近线的距离，进而利用点到直线的距离公式求得，得到，然后根据的重心与内心重合得到，即可利用双曲线的定义、余弦定理及同角三角函数的基本关系得到直线的斜率，从而得到直线的方程． 【详解】即，则圆心为，半径，原点在圆的内部，则的渐近线与圆相交， 依题意可得圆心到渐近线的距离为的渐近线方程为， 则， 得， 设双曲线的焦距为，则．由题不妨设在轴上方， 若的重心与内心重合，则为等边三角形， ． 由双曲线的定义得， 又，所以， 又，所以在中，， 则，故直线的斜率为． 由对称性可知，当在轴下方时，直线的斜率为． 综上，直线的方程为或，即或． 故答案为：或． 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键有三点：一是根据圆上的点到的一条渐近线的距离的最大值求出；二是根据的重心与内心重合，得到为等边三角形；三是利用双曲线的定义求出相关线段的长，进而利用解三角形的知识求出直线的斜率，最终得到直线的方程． 21．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，直线与的渐近线的一个交点为，若，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】不妨令点在渐近线上，利用双曲线的几何性质，结合，列出方程，求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】根据题意，根据双曲线的对称性，不妨令点在渐近线上，则，可得， 由，，且， 因为，可得，即，解得， 所以双曲线的离心率． 故答案为：. 22．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点．若（为坐标原点），点到直线的距离为，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由可得，过点作于点，利用三角形中位线性质和双曲线定义可求得，，然后根据勾股定理构造齐次式可得离心率. 【详解】如图，连接，因为，所以． 过点作于点，则． 又，所以， 又，所以为的中位线，所以． 又，所以． 令双曲线的半焦距为，在中，， 即，得，所以的离心率为． 故答案为： 23．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，P为渐近线位于第一象限内的点，过原点O作直线AB平行于FP， 交双曲线于A，B两点，四边形FPBA为矩形，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由已知，可得P点坐标为，由双曲线的性质可得B为的中点，则得，代入双曲线方程，化简即可解出双曲线的离心率. 【详解】 由已知，四边形FPBA为矩形，可知O为AB的中点，所以， 设P点坐标为，则， 又P在渐近线上，联立解得， 延长交轴于点，由对称性可得为双曲线的右焦点，则B为的中点， 则，代入化简得，， 则得，解得（负值舍去）. 故答案为：. 24．（2024·安徽六安·模拟预测）设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，使得，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】首先向量坐标化，求得，再根据等面积公式和双曲线的定义，即可求解，再根据两点间的距离公式求得点的坐标，代入双曲线方程后，即可求解离心率. 【详解】设，，由对称性不妨设点在第一象限，此时点也在第一象限， 因为，所以，， 所以，又， 解得：，， 所以， 所以,解得：，所以， 代入双曲线方程得，解得：，， 所以离心率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求点的坐标. 题型二 抛物线综合题 1．（2024·安徽黄山·一模）已知抛物线的焦点为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】 由抛物线标准方程可得焦点坐标，可求得的值. 【详解】根据抛物线的标准方程可得焦点坐标为， 即，可得. 故选：C 2．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【详解】    如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得， ， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：，解得， 再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得： ，设交点， 则， 而， 当时，解得，此时， 当时，解得，此时， 故选：D 3．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，将点坐标代入抛物线方程，求得，求出，即可求得的面积. 【详解】    将代入C的方程，得，故， 所以，则的面积. 故选：A 4．（2024·安徽·三模）已知抛物线：与直线：交于M，N两点，点P在线段上，且，若点在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线，的方程分别为，，由点到直线的距离为，与点到直线的距离也为，得到，是方程的两根，由韦达定理可得，设，，则，故，将直线与抛物线联立，由韦达定理可得k的值. 【详解】已知直线：，设直线，的方程分别为，， 记点到直线的距离为，因为，所以点到直线的距离也为，由点到直线的距离公式可得：则， 整理得，， 故，是方程的两根，故， 设，，则，故， 联立 ，整理得：， 所以，，即 由韦达定理可得，， 则，故，解得，满足题意， 故选：A 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点在于利用角平分线上的点到两边的距离相等，然后用点到直线的距离公式得到了关于和两个一元二次方程，由两个方程的结构相同得出，，是方程的两根，再根据韦达定理得到的结论，从而使得该题得解. 5．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】抛物线的焦点到其准线的距离为，又，进而利用得，从而可得的值. 【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 所以,即, 由得，即，则， 由焦半径公式可得. 故选：A 6．（2024·安徽池州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点．过作直线的垂线，垂足分别为，则（    ） A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】D 【分析】先通过和轴的交点为，得出，即，从而确定抛物线方程为，然后根据抛物线的定义即得，最后联立得，通过并结合韦达定理即可得到结果. 【详解】在中，令，得，所以，即，所以， 所以的方程为，则． 设，，联立得，即，所以，． 又，所以. 故选：D 7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线，过其焦点F的直线交C于A，B两点，M为AB中点，过M作准线的垂线，垂足为N，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线定义可求得点坐标，进一步求得直线的方程，联立与抛物线的方程后，利用韦达定理可求得中点的坐标，继而求得点的坐标，利用两点间的距离公式计算即可. 【详解】由题可知，,准线方程为， 过点作于,于,于, 设， 由抛物线的定义知, 所以， 所以，， 所以, 所以, 则直线的方程为：， 联立直线与抛物线方程： ，消去得，， 则， 所以， ， 所以,则, 所以， 故选：B. 8．（2024·安徽·模拟预测）已知点是抛物线上不同的两点，，若的焦点到直线的距离为3，则直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，再根据斜率公式或者点到直线的距离公式求解即可. 【详解】解法一 设直线的方程为， 与联立，并消去，得， 所以，得，可知直线经过点. 设直线的倾斜角为，由且到直线距离为，得， 所以或，直线的斜率为或. 解法二 设直线的方程为，与联立， 并消去得，所以，得， 则点到直线的距离为，解得，， 所以直线的斜率为或. 故选：A （多选）9．（2024·安徽马鞍山·三模）已知点P，A，B在抛物线y2=2px（p>0）上，线段AB，PA，PB的中点分别为D，M，N，线段M，N的中点为E，若直线PA，PB的斜率之和为0，则（    ） A．点M，N不在x轴上 B．点E在x轴上 C．点D与点P的横坐标相等 D．点D与点P的纵坐标互为相反数 【答案】ABD 【分析】令且，则，且，结合坐标的中点公式判断名项正误. 【详解】解：如图所示： 令且， 则， 又，则， 而， 所以， 则， 故，而，则B选项正确； 若点M或N在x轴上，则，即， 故与题设矛盾， 所以点M或N不在x轴上，A选项正确； 由上， 则点D与点P的纵坐标互为相反数，D选项正确； 显然D不可能在抛物线上，点D与点P的横坐标不相等，C选项错误. 故选：ABD. （多选）10．（2024·安徽·三模）已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（    ） A．的方程为 B．已知点，则的最小值为3 C． D．若，则与的面积相等 【答案】ACD 【分析】对于A，设，联立抛物线的方程，结合韦达定理求出即可判断；对于B，结合抛物线定义、三角形三边关系即可判断；对于C，设，分别联立抛物线方程，结合韦达定理即可判断；对于D，由C选项分析可得 ，结合以及韦达定理即可得出两个三角形的高相等，显然三角形同底，由此即可判断. 【详解】 当过点时，设，联立，可得， ， 故，解得，则，故A正确； 过点向的准线引垂线，垂足分别为， 点到的准线的距离， 由抛物线定义可知， 等号成立当且仅当点为与抛物线的交点，故错误； 设，由，可得， ， 由，可得， ， 故，同理可得，故正确； ，故， 注意到，可得， 所以，从而与的面积相等，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出，由此即可顺利得解. （多选）11．（2024·安徽安庆·二模）抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（    ） A．当时， B．面积的最大值为2 C．点E在一条定直线上 D．设直线倾斜角为，为定值 【答案】CD 【分析】由焦点为可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于的一元二次方程，即可得与有关韦达定理，对A：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B：利用韦达定理与弦长公式及面积公式计算即可得；对C：借助导数的几何意义可得与的方程，即可得点坐标，即可得解；对D：由，故可得. 【详解】 由抛物线的焦点为，故，即， 由题意可知，直线斜率存在， 设，，， 联立，有，， ，， 对A：， 当时，即有，故， 即，即或，故A错误； 对B：， 故，故B错误； 对C：由，，即，有， 故，又，故， 同理可得，设点， 则有，有， ，由，， 故，，故点E在一条定直线上且该直线为，故C正确； 对D：由，，则， 故有，即， 故为定值且该定值为，故D正确. 故选：CD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. （多选）12．（2024·安徽·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点的横坐标即可得，可判断A；求出直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，利用定义即可得，然后可判断B；根据点的横坐标求出即可判断C；将代入直线方程，求出纵坐标，然后由可得面积，可判断D. 【详解】选项A：过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以，所以， 由抛物线定义可得，，所以， 解得，故A正确．    选项B：由A得抛物线的方程为，，直线的方程为， 联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或， 所以，故，故，B错误． 选项C：由，，得，故C正确． 选项D：由上知，得， 故，故D正确． 故选：ACD. 13．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线相切于点，连接，在中，设，则的值为 . 【答案】 【分析】设点在准线上的射影为，则，设的方程为，联立方程组，结合，求得，得到，在中，利用正弦定理，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为，则， 设点在准线上的射影为，则， 因为直线与抛物线相切，设的方程为， 联立方程组，整理得， 所以，解得，所以， 在中，由正弦定理可知. 故答案为：.    14．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为，半径为6的圆过坐标原点以及，且与该抛物线的准线相切，则 . 【答案】8 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意可知圆心在直线上，且，解得即可. 【详解】抛物线的焦点，准线为， 因为圆过坐标原点以及，所以圆心在直线上， 因为圆的半径为且与该抛物线的准线相切，所以，解得. 故答案为： 15．（2024·安徽·二模）已知抛物线的焦点，直线过与抛物线交于，两点，若，则直线的方程为 ，的面积为 （为坐标原点）． 【答案】； 【分析】由题意求出抛物线方程，进而求出直线的方程，联立抛物线方程，求得，，结合计算即可求解. 【详解】因为抛物线过点A，所以，解得，所以抛物线的方程为， 则，得直线的方程为，与联立整理得， 设，故，， 故的面积为． 故答案为：； 16．（2024·安徽池州·二模）造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点，记矩形一边所在直线为，将点折叠到上（即），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线的所有包络线中，恰好过点的包络线所在的直线方程为 .    【答案】 【分析】根据给定条件，设出所求直线方程，与抛物线方程联立，结合判别式求解即得. 【详解】依题意，抛物线的每条包络线与该抛物线相切， 显然过点的包络线所在的直线斜率存在，设方程为， 由消去并整理得：， 则，解得， 所以所求直线方程为. 故答案为： 17．（2024·安徽阜阳·一模）抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到抛物线，其准线方程为，则抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】 利用旋转后抛物线的顶点到准线的距离等于顶点到其焦点的距离，求出，进而得到结果. 【详解】 由于抛物线绕其顶点逆时针旋转之后， 抛物线的顶点到其准线的距离与到其焦点的距离相等，即为 且可知，则，则，所以抛物线的焦点坐标为． 故答案为：. 18．（2024·安徽合肥·二模）抛物线的焦点为，准线为为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，与轴交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设准线与轴交于点，根据圆的性质及抛物线的定义可得为等边三角形，即可求出，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】抛物线的焦点为，准线：，设准线与轴交于点，则， 依题意、均在轴的左侧，又，所以也在轴的左侧且点在轴上方， 又为圆的直径，所以，即， 由抛物线的定义可知，又， 所以为等边三角形，所以，则， 所以， 所以，， 在中 . 故答案为：.    19．（2024·安徽淮北·一模）已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由题设共线，作，垂足分别为，结合抛物线定义及相似比求参数值即可. 【详解】由题设知：共线，且，如下图， 作，垂足分别为，则， 所以，又，则， 所以，即，故. 故答案为：2 20．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】确定圆的圆心与半径，结合抛物线的定义可得，从而可得其最小值. 【详解】依题意抛物线的准线方程为，    圆的圆心为，半径为1， 过作垂直于抛物线的准线，垂足为，则， 所以，当三点共线，且点在之间时等号成立． 故答案为：. 21．（2024·安徽·模拟预测）已知为抛物线的焦点，过点的直线与交于A，B两点，过点作，与的准线交于点，且，，则 ． 【答案】4 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，过点作轴的垂线，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，即可得到，再由弦长公式计算可得.． 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线方程为． 当过点的直线垂直于轴时，易知，，则，不符合题意． 当过点的直线斜率为0时，直线与只有一个交点，不符合题意． 设直线的方程为． 联立，化简得， 设，显然，则． 由，，可知． 所以． 如图，过点作轴的垂线，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 因为， 所以，所以，则． 又， 所以，整理得，解得，则． 又，即， 所以，则，解得． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题以学生熟悉的抛物线为载体，求参数的值，将创新思维融于解题之中，具有化腐朽为神奇的效果．抓住是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$