专题09 直线圆的方程与椭圆（选填）-备战2025届安徽新高考数学模拟题分类汇编（安徽专用）

专题09 直线圆的方程与椭圆（选填） 题型一 直线与圆的方程 1．（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 2．（2024·安徽黄山·一模）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽安庆·二模）已知点，，O是坐标原点，点B满足，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽合肥·一模）已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·模拟预测）过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·模拟预测）已知点M是直线和（）的交点，，，且点M满足恒成立，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽·模拟预测）已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）10．（2024·安徽合肥·二模）已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 （多选）11．（2024·安徽六安·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．已知，，则的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 （多选）12．（2024·安徽·模拟预测）已知点在定圆内，经过点的动直线与交于两点，若的最小值为4，则（    ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．存在直线使得 D．的最大值为12 13．（2024·安徽合肥·模拟预测）过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为 . 14．（2024·安徽黄山·二模）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 15．（2024·安徽·三模）已知圆的圆心为点，直线与圆交于两点，点在圆上，且，若，则 . 16．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线和，若C与恰有一个公共点，则实数 ；若C与恰有两个公共点，则实数m的取值范围是 ． 题型二 椭圆综合题 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽阜阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一条垂直于轴的直线 B．是两条平行直线 C．是一个半径为1的圆 D．是椭圆 4．（2024·安徽·三模）在椭圆的4个顶点和2个焦点中，若存在不共线的三点恰为某个正方形的两个顶点和中心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽池州·二模）已知实数满足，若的最大值为4，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽安庆·二模）设F是椭圆的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 7．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B．或 C．或 D．或 10．（2024·安徽·模拟预测）已知点分别为椭圆的左顶点、右焦点，点为上一点，且为的平分线，，则的内切圆的半径为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆：的上、下顶点分别为，，是椭圆上异于，的一点，直线和的斜率分别为，，则满足的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． （多选）12．（2024·安徽合肥·三模）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8 B．若上存在点，使得，则的取值范围为 C．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 D．若为上一点，，则的最小值为 （多选）13．（2024·安徽合肥·一模）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（    ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 （多选）14．（2024·安徽阜阳·一模）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（    ） A．的最小值为4 B．为定值 C．存在点，使得 D． （多选）15．（2024·安徽·模拟预测）已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2 C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为 （多选）16．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（    ） A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B．的离心率为 C．旋转前的椭圆标准方程为 D． （多选）17．（2024·安徽·模拟预测）已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于另一点，则（    ） A．当直线的斜率为时，直线的斜率为 B．当时，点到直线的距离为 C．的最小值为 D．当时，直线的方程可以为 18．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 19．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知圆和椭圆，点，，直线交轴于，直线平行轴交于（点在轴上方），，直线交于点，直线交轴于点，则椭圆的长轴长为 ． 20．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点和，定点和，若，且的周长恒为16，则的最小值为 ． 21．（2024·安徽·三模）椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上第一象限内，记，存在圆经过点，且，则椭圆的离心率为 . 22．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，是椭圆上一点，线段与轴交于，若，，则椭圆的离心率为 . 23．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ． 24．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 直线圆的方程与椭圆（选填） 题型一 直线与圆的方程 1．（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定. 【详解】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2. 故选：C 2．（2024·安徽黄山·一模）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记点，记切点分别为、，求出圆心的坐标，证明出，可得出，设，求出的值，利用同角三角函数的基本关系结合二倍角的正弦公式可求得的值. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径为， 记点， 记切点分别为、，如下图所示： 由切线长定理可得，又因为，， 所以，，所以，， 设，由圆的几何性质可得， 则，所以，， 由图可知，为锐角，则， 所以，，故. 故选：A 3．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】根据题意可得直线表示过定点，且除去的直线，点在圆上，可判断直线与圆相交. 【详解】因为直线，即， 当时，，解得， 所以直线表示过定点，且除去的直线， 将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上， 所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意， 所以直线与圆相交. 故选：C 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按点的位置分不在坐标轴与在坐标轴上两种情况讨论，结合圆的标准方程，点在圆上，以及方程根的情况综合分析的值即可. 【详解】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式， 代入点的坐标，可得关于的方程， 圆，的半径，是该方程的两个不同实根， 所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得． 当点在轴上时，， 此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切， 且，满足． 同理，当点在轴上时，，同样满足． 故选：C 【点睛】结论点睛：圆的标准方程为，其中圆心为，半径为. 5．（2024·安徽安庆·二模）已知点，，O是坐标原点，点B满足，则与夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得点的轨迹是以为圆心，半径的圆，结合直线与圆相切，求得切线的倾斜角，即可求解. 【详解】设点，可得，因为，可得， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 如图所示，设过点与圆相切的直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得， 设切线的倾斜角为，则，可得， 即与夹角的最大值为. 故选：A    6．（2024·安徽合肥·一模）已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【详解】即，则圆心为，半径， 直线，令，解得，即直线恒过定点， 又，所以点在圆内， 设，，，由， 消去整理得，显然，则， 则， 所以，， 则， 则， 又直线的斜率不为，所以不过点， 所以动点的轨迹方程为（除点外）， 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D      【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得. 7．（2024·安徽·模拟预测）过坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一 ：先求出，再由两角和的正切值求解即可得出答案；解法二：设直线的方程为，由圆心到直线的立即等于半径，解方程即可得出答案. 【详解】解法一  由，得， 该圆的圆心为，半径为1，如图所示，连接， 易知， 所以，    解法二  由，得， 该圆的圆心为，半径为1，设直线的方程为， 则， 解得：或，所以． 故选：B 8．（2024·安徽·模拟预测）已知点M是直线和（）的交点，，，且点M满足恒成立，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到点的轨迹方程为，结合恒成立，求得点，再由，且直线的方程为，得到在直线上存在两个点满足或三点共线，进而求得其最小值. 【详解】将直线化为，可得直线恒过定点， 同理可得直线恒过定点，当时， 可得，则，，当时，显然，所以， 因为点是直线和的交点，所以点的轨迹方程为， 又因为恒成立，可得恒成立， 即恒成立，所以，即， 又由，且直线的方程为， 可得原点到直线的距离为， 所以在直线上存在两个点满足或三点共线， 如图所示，可得， 所以的最小值为. 故选：D 9．（2024·安徽·模拟预测）已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解. 【详解】 直线即直线，过定点， 直线即直线，过定点， 又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆， 即轨迹方程为，圆心， 因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切， 所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围. 设设圆的半径为， 因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值， ， 又因为，即， 即， 所以，即， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：结合已知直线过定点，求出交点的轨迹方程是关键. （多选）10．（2024·安徽合肥·二模）已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】AD 【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距，从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D项的正误． 【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径． 对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得． 两圆外切时，圆心距，即，解得． 综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确； 对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，， 即，可得，解得且，故C项不正确； 对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 故选：AD． （多选）11．（2024·安徽六安·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆关于直线对称 B．已知，，则的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由直线穿过圆心即可判断，对于BCD，分别将问题理解成圆上的点与定点的距离平方和、在y轴上的截距和圆上的点和定点连线的斜率，在数形结合即可求得最值情况，进而求解即可判断. 【详解】由题圆C的圆心为，半径为， 对于A，显然圆心满足，故直线穿过圆心， 所以圆关于直线对称，A对； 对于B，， 设，如图， 所以根据代数式的几何意义可知的最小值为：，故B对； 对于C，设，即，动点在圆C上， 则z取得最小值时，即为直线在y轴上截距最小， 如图，过圆C所在平面作直线，直线与直线平行， 由图可知，当直线与圆C相切时其在y轴上截距取得最大值或最小值， 此时圆心C到直线的距离等于半径，即， 或，故的最小值为，故C错； 对于D，因为，设， 则根据代数几何意义可知当圆上的点与定点两点间斜率最大时， 的值最大， 如图，显然当过T的直线与圆相切时斜率最大， 设切线为，， 则有圆心到切线距离，或， ，故D对. 故选：ABD. （多选）12．（2024·安徽·模拟预测）已知点在定圆内，经过点的动直线与交于两点，若的最小值为4，则（    ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．存在直线使得 D．的最大值为12 【答案】BC 【分析】A选项，根据点在圆的内部得到不等式，求出，利用垂径定理得到，而，从而得到方程，求出；B选项，在A选项基础上得到，结合求出直线的斜率和倾斜角；C选项，假设存在，结合满足要求，故C正确；D选项，由三角形面积公式和相交弦定理得到D错误. 【详解】A．因为点在圆的内部，所以，解得． 设点到直线的距离为，则，其中为定值， 所以当时，最大，最小． 又圆心，所以， 所以，解得，A错误． B．由选项可知，当时，直线，而，所以， 所以直线的倾斜角为，B正确． C．假设存在直线使得，则此时点到直线的距离为，满足要求， 所以假设成立，C正确． D．由三角形面积公式得 ，    因为弦一定经过点，设直线与圆相交于点， 因为，所以∽， 故，故， 因为， 所以， 所以， 当，即时等号成立，故D错误． 故选：BC． 13．（2024·安徽合肥·模拟预测）过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案. 【详解】由曲线知，该曲线为圆 且圆心为，半径为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为. 根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：，满足题意. 当直线的斜率存在时， 设直线方程为：，即 圆心到直线的距离为， 当直线截圆所得线段长度时 根据垂径定理可得，，解得 此时直线方程为. 故答案为：或. 14．（2024·安徽黄山·二模）若函数有两个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】． 【分析】令，则有，将问题转化为半圆与直线有两个交点，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】令， 则，所以， 又因为，即为， 表示单位圆位于轴上及上方部分； 而，表示过点且斜率为的直线， 所以将问题转化为半圆与直线有两个交点， 当直线与半圆相切时；，解得， 当直线过点时，则有，解得， 综上，． 故答案为：． 15．（2024·安徽·三模）已知圆的圆心为点，直线与圆交于两点，点在圆上，且，若，则 . 【答案】 【分析】设弦的中点为，得到，化简，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为，设弦的中点为， 因为，，所以， 且， 所以 ， 解得. 故答案为：.    16．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线和，若C与恰有一个公共点，则实数 ；若C与恰有两个公共点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】0或4； 【分析】若C与恰有一个公共点，结合直线与圆的位置关系分析求解；若C与恰有两个公共点，结合对称性可知C与在内只有1个交点，且不过，联立方程可得关于x方程只有一个正根，且根不为0，结合二次函数零点分布分析求解. 【详解】由题意可知：曲线表示圆心为，半径为的圆， 若C与恰有一个公共点，则，解得或； 因为C与均关于y轴对称，注意到与y轴的交点为， 若C与恰有两个公共点，等价于C与在内只有1个交点，且不过， 此时， 联立方程，消去y得， 即关于x方程只有一个正根，且根不为0， 则或， 解得或， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：0或4；. 题型二 椭圆综合题 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，且圆在椭圆内，则确定与圆相切时取得最小值，即可求解. 【详解】由题意知，，且圆在椭圆内， 当与圆相切时，取得最小值， 此时， 所以， 所以的最小值为. 故选：A 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率和焦距可得，进而可得，即可得方程. 【详解】由题意可知：，可得， 则，所以该椭圆的方程为. 故选：C 3．（2024·安徽阜阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（    ） A．是一条垂直于轴的直线 B．是两条平行直线 C．是一个半径为1的圆 D．是椭圆 【答案】C 【分析】由题意设，结合条件等式即可列式化简，从而判断求解即可. 【详解】不妨设点的坐标为，，，， 由可得，即. 故选：C 4．（2024·安徽·三模）在椭圆的4个顶点和2个焦点中，若存在不共线的三点恰为某个正方形的两个顶点和中心，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析这三个点一定构成等腰直角三角形，所以只可能是两种特殊情形，由于结果都是满足，所以只可求出一个离心率. 【详解】根据题意，只需要这三个点构成等腰直角三角形，所以这三个点只可能是“短轴的两个端点和一个焦点”或“两个焦点和短轴的一个端点”， 可设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 这两种情况都满足，所以， 即椭圆的离心率为， 故选：C 5．（2024·安徽池州·二模）已知实数满足，若的最大值为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题给条件构造关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】令，则，则时， 由，整理得， 则， 整理得，则，解之得 故选：D 6．（2024·安徽安庆·二模）设F是椭圆的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求出，再由，即可求解. 【详解】由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称， 设椭圆的另一个焦点为，则四边形为平行四边形， 由椭圆定义可知：， 又，，所以， 又 过原点，所以， 所以的周长的最小值为：. 故选：C    7．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设椭圆的方程为：，由，，可求出或，代入椭圆方程化简即可得求出，即可得出答案. 【详解】因为椭圆的焦点为，， 所以设椭圆的方程为：, 设，，， 则，因为， 所以，所以， 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以或， 因为在上，所以，即， 解得：或，因为椭圆的焦点在轴上， 所以.故的方程为. 故选：D    8．（2024·安徽·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，求得，结合题意和斜率公式，化简得到方程，即可求解. 【详解】由直线过椭圆的右焦点且斜率为，则直线的方程为（其中）， 设，联立方程组 ，整理得， 则， 所以，可得，解得. 故选：B 9．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由直线的斜率得和，由得和，中，由余弦定理列方程求椭圆的离心率. 【详解】由题知在轴上方，直线的斜率为，则，． 由，，得， 所以由椭圆的定义有． 在中，由余弦定理得， 整理得，得，即， 解得或， 故椭圆的离心率为或． 故选：C 10．（2024·安徽·模拟预测）已知点分别为椭圆的左顶点、右焦点，点为上一点，且为的平分线，，则的内切圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的性质可求得,根据角平分线的性质可求得的值，由余弦定理可得,可求得的值，利用面积法可求内切圆的半径. 【详解】由题意可得，则． 如图．由角平分线定理，得． 令，则． 在中，由余弦定理，得， 即，解得（负值已舍去），则．    设的内切圆的半径为．根据三角形的面积公式有 ， 所以， 解得． 故选：D 11．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆：的上、下顶点分别为，，是椭圆上异于，的一点，直线和的斜率分别为，，则满足的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点在椭圆上及两点斜率公式转化计算得，再判定选项即可. 【详解】由题意可知，．设（），则， 所以，所以， 所以．结合选项可得椭圆的方程可以为． 故选：C （多选）12．（2024·安徽合肥·三模）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8 B．若上存在点，使得，则的取值范围为 C．若直线与恒有公共点，则的取值范围为 D．若为上一点，，则的最小值为 【答案】BD 【分析】对于A：根据椭圆的定义结合焦点所在的位置分析判断；对于B：分析可知当位于短轴顶点时，最大，此时，分类讨论焦点所在位置分析求解；对于C：因为直线过定点，可知定点在椭圆内或椭圆上，列式求解即可；对于D：设，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解. 【详解】对于选项A：由椭圆定义可得的周长为 ， 但焦点不一定在轴上，故A错误； 对于选项B：若，则， 当位于短轴顶点时，最大，此时， 可知，即， 当时，由，解得； 当时，由，解得； 综上所述：的取值范围为，故B正确； 对于选项C：因为直线过定点，则，即， 又因为，且，所以的取值范围为，故C错误； 对于选项D：若，即椭圆， 设，可得， 当时，，故D正确． 故选：BD． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法 （1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解； （2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解； （3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． （多选）13．（2024·安徽合肥·一模）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（    ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 【答案】BCD 【分析】对于A，判断与的大小即即可；对于B,设，，，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C，求出，利用二次函数求最值即可；对于D，利用椭圆的定义，转化求的最大值，即可. 【详解】 对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误； 对于B，设，则，，且，即，又, 则， 又，故，则B正确； 对于C，，，， 则当时，取最小值为，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为, 的周长为：, 当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确， 故选：BCD. （多选）14．（2024·安徽阜阳·一模）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（    ） A．的最小值为4 B．为定值 C．存在点，使得 D． 【答案】BCD 【分析】 求出可判断A；由椭圆的对称性可判断B；因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点可判断C；求出可判断D. 【详解】对于A，由椭圆的方程可知， 所以焦点，设，则，， 因为在椭圆上，所以， ， 即，A错误； 对于B，由椭圆的对称性可知，，可得B正确； 对于C，因为，所以以为直径的圆与椭圆有交点，则存在点， 使得，故C正确； 对于D，设，则， 则， 故D正确． 故选：BCD． （多选）15．（2024·安徽·模拟预测）已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的长轴长为2 B．椭圆C的短轴长为2 C．椭圆C的离心率为 D．点P的坐标为 【答案】BD 【分析】根据圆的方程确定的值，再由的面积可得点P的坐标，从而可得的值，再逐项判断即可得答案. 【详解】因为圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，， 所以， 又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点， 则，故，代入圆方程可得，所以，故点P的坐标为，故D正确； 将点P的坐标代入椭圆方程可得，又，解得， 故椭圆C的长轴长为，短轴长为，故A不正确，B正确； 则椭圆C的离心率为，故C不正确. 故选：BD. （多选）16．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（    ） A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B．的离心率为 C．旋转前的椭圆标准方程为 D． 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的对称性可联立以及与椭圆方程，进而可判断焦点所在的直线，即可判断A，根据直线与椭圆的交点间距离可求解长轴以及短轴长，即可求解BC，根据方程有解，利用判别式即可求解. 【详解】由题意可知，斜椭圆关于和对称，联立直线与，可得，联立直线与，可得，所以两焦点所在直线方程为，A选项错误； 由可知，与相交的两点之间距离等于短轴为，与相交的两点之间距离等于长轴为，故焦距为，故的离心率为，选项正确； 旋转不改变椭圆的长短轴大小，所以旋转前的椭圆焦点在轴上，曲线方程为选项正确； 因为，关于的方程有解，所以，解得，所以选项正确， 故选：BCD． （多选）17．（2024·安徽·模拟预测）已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于另一点，则（    ） A．当直线的斜率为时，直线的斜率为 B．当时，点到直线的距离为 C．的最小值为 D．当时，直线的方程可以为 【答案】AC 【分析】通过设点的坐标，结合椭圆方程求得，由，解出判断选项A；点到直线距离公式判断选项B；通径是焦点弦中的最短弦判断选项C；由已知条件求直线的斜率判断选项D. 【详解】由椭圆方程，得，，，则. 设，，则. 若直线，的斜率都存在，则，， 得，为定值. 因为，所以，故A正确. 当时，直线的方程为，则点到直线的距离为，故B错误. 因为线段为过椭圆焦点的弦，通径是焦点弦中的最短弦， 所以的最小值为，故C正确. 当时，直线的方程为. 与椭圆方程联立，解得或 则直线与椭圆的交点为，. 若点的坐标为，则， 若点的坐标为，则，故D错误. 故选：AC. 18．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，由，可得，可求椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的长轴长为4，则可得，解得， 因为，由椭圆的对称性可知， 所以，解得，所以， 又椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为. 故答案为：. 19．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，已知圆和椭圆，点，，直线交轴于，直线平行轴交于（点在轴上方），，直线交于点，直线交轴于点，则椭圆的长轴长为 ． 【答案】8 【分析】设出点坐标，结合题意，利用斜率相等可得点坐标，同理可逐步计算出点、点、点、点坐标，最后结合点坐标解出的值即可得解. 【详解】设，由， 解得，，即，即， 则有，即， 又，解得，即， 则，由，有， 设，，有，由可得， 故，化简得，即或（舍去）， 则，则，由，解得， 故椭圆的长轴长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出点坐标，结合题意，利用斜率相等逐步计算出点、点、点、点坐标，最后结合点坐标解出的值. 20．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点和，定点和，若，且的周长恒为16，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】以的中点为坐标原点，直线为轴建立如图的直角坐标系，由题意求出点的轨迹方程，结合图像可知，即可得出答案. 【详解】由题意知，点在以为圆心，6为半径的圆上运动， 点在以，为焦点，长轴长为10的椭圆上运动（长轴两端点除外）． 为方便计算，可将，视为定点，则点在以为圆心，为半径的圆上运动， 以的中点为坐标原点，直线为轴建立如图的直角坐标系， 设点和，则点的轨迹方程为， 由图可知，当，，三点共线时 （在，之间或，重合），等号成立． 故答案为：. 21．（2024·安徽·三模）椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上第一象限内，记，存在圆经过点，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切求得，再设出点，结合斜率的坐标公式求出即可求出离心率. 【详解】显然直线斜率都存在，且， 由，得， 则，而， 于是，设，则， 因此，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 22．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，是椭圆上一点，线段与轴交于，若，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，则，由条件得，在中，由余弦定理得，即可求解椭圆的离心率. 【详解】因为，所以设，则， 因为，所以，所以，所以， 由椭圆定义知：， 在中，由余弦定理得：， 所以，所以或，所以或，又，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为： 23．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】或 【分析】在中，表示出，，，然后利用余弦定理计算求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以，． 由，得，所以． 在中，由余弦定理得， 整理得，得，即， 解得或，故椭圆的离心率为或． 故答案为：或. 24．（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，，根据对称性可知四边形为平行四边形，即可得到，再由余弦定理及椭圆的定义求出，即可求出，最后由得到关于的方程，解得即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，根据对称性可知四边形为平行四边形， 又，所以， 又， 又，， 即， ， 所以， 所以， 即， 所以，解得或． 又因为，所以． 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$