精品解析：山东省泰安市肥城市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共8页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视，正在播放乒乓球比赛”是必然的事件 B. “抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件 C. “面积相等的两个三角形全等”是不可能事件 D. “网上任意买一张电影票，票上排号恰好是奇数”是不可能事件 2. 已知是方程的一个解，则k的值是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 3. 在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和，盒子中白色球的个数可能是（　　） A. 24个 B. 18个 C. 16个 D. 6个 4. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C D. 6. 某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，设分配生产螺栓x人，生产螺帽的人数为y人，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，对角线分别为、，且交于点，若，，则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 1 8. 已知：关于的不等式组只有三个整数解，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 10. 如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论序号有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 12. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 若是关于、的二元一次方程组的解，则的值是______． 14. 一副三角板如图摆放，点在上，，交于点，交于点．其中，，，_____°． 15. 某童装店按每套88元的价格购进1000套童装，应缴纳的税费为销售额的10%，如果要获得不低于20000元的纯利润，则每套童装至少售价_____元． 16. 在等边中，、分别是，上的点，且，交于，则的大小为______． 17. 如图，数学活动小组自制了一个飞镖盘．若向飞镖盘内投掷飞镖（落在边界线重新投掷），则飞镖落在阴影区域的概率是______．（结果保留） 18. 如图，已知∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，其中点D是边BC所在射线上一动点（点D不与B，C重合），连接AC，EC，则∠DCE的度数为______． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 19. （1）解方程组： （2）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出整数解． 20. 如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1＋∠FEA＝180°．求证： （1）EH∥AD； （2）∠BAD＝∠H． 21. 某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元． (1)求转动一次转盘获得购物券的概率； (2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 22. 某校组织七年级学生赴社会实践基地开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元． （1）求每辆甲种客车和每辆乙种客车的租金分别是多少元？ （2）学校七年级师生共330人，计划租用甲、乙两种客车共8辆，已知甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人，则租车所需费用最少为多少元？ 23 阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中和分别看作一个整体，设，原方程组可化为，解得即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组中，的值为______，的值为______； （2）用材料中的方法解二元一次方程组 24. 如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点；一次函数：的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为． （1）求一次函数的表达式，点，，的坐标； （2）若，直接写出的取值范围． （3）求四边形的面积． 25. 综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共8页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视，正在播放乒乓球比赛”是必然的事件 B. “抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件 C. “面积相等的两个三角形全等”是不可能事件 D. “网上任意买一张电影票，票上排号恰好是奇数”是不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了事件的分类，根据事件的分类进行判断即可得到答案. 【详解】解：A. “打开电视，正在播放乒乓球比赛”是随机事件，故选项错误，不符合题意； B. “抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件，故选项正确，符合题意； C. “面积相等的两个三角形全等”是随机事件，故选项错误，不符合题意； D. “网上任意买一张电影票，票上排号恰好是奇数” 是随机事件，故选项错误，不符合题意； 故选：B 2. 已知是方程的一个解，则k的值是（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．把代入，然后解关于k的方程即可求出k的值． 【详解】解：把代入， ， ∴． 故选A． 3. 在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和，盒子中白色球的个数可能是（　　） A. 24个 B. 18个 C. 16个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可以得到白球的频率，然后用球的总数乘这个频率，即可估计出白球的个数． 详解】解：由题意可得， 盒子中白色球的有：（个）， 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数． 4. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法进行求解． 【详解】A选项，，根据内错角相等，两直线平行，判定，选项正确； B选项，，根据内错角相等，两直线平行，判定，选项错误； C选项，，根据同旁内角互补，两直线平行，判定，选项错误； D选项，，根据同位角相等，两直线平行，判定，选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角及所截的两条直线． 5. 如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断A、B，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角定理判断C、D． 【详解】解：根据图中尺规作图可知，的垂直平分线交于平分， ∴，；选项A、B正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴选项D错误； ∴，选项C正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 6. 某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两个螺帽，要使每天生产的螺栓和螺帽刚好配套，设分配生产螺栓x人，生产螺帽的人数为y人，则下列方程组中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“车间有90名工人，一个螺栓配套两个螺帽”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意可得， 故选：A． 7. 如图，在四边形中，对角线分别为、，且交于点，若，，则的值为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键，利用计算求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 8. 已知：关于的不等式组只有三个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由不等式组的解法得到不等式组的解集，再根据不等式组的整数解的个数得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组只有三个整数解， ∴不等式解集为：， ∴不等式组只有三个整数解为， ∴， 当时，不等式的解集为， ∴不等式的整数解有个，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为， ∴不等式的整数解有个，符合题意， ， 故选． 【点睛】本题考查了根的存在性及个数的判断，不等式组的解法，掌握不等式组的解法是解题的关键． 9. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【详解】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键． 10. 如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了翻折，三角形的外角，根据翻折得，根据三角形的外角得，，可得，即可得；掌握翻折，三角形的外角是解题的关键． 【详解】解：如图所示，直线m交于点F，交于点E， ∵在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故选：A． 11. 如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论： ①；；．其中正确结论的序号有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出；根据全等三角形对应角相等可得，利用“字型”证明． 【详解】解： 平分，，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； ， ， 设交于， ， ，故③正确； 综上所述，正确的结论有①②③共个． 故选：． 12. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．利用等边三角形的性质得到，结合可得，即有，利用同样的方法得到，，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的边长：， 同理可得， 的边长：， 的边长：， …， 可归纳得的边长， ∴的边长为． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 若是关于、的二元一次方程组的解，则的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组的应用，求出、的值是解题的关键． 把代入关于、二元一次方程组，得到关于、的二元一次方程组，解这个方程组即可得到、的值，进而可求出本题答案． 【详解】解：把代入方程组得： ， 由得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， ， 故答案为：4． 14. 一副三角板如图摆放，点在上，，交于点，交于点．其中，，，_____°． 【答案】 【解析】 【分析】由，推出，根据三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是由平行线的性质得到． 15. 某童装店按每套88元的价格购进1000套童装，应缴纳的税费为销售额的10%，如果要获得不低于20000元的纯利润，则每套童装至少售价_____元． 【答案】120 【解析】 【分析】设每套童装的售价为x元，根据利润＝销售收入﹣税费﹣进货成本结合利润不低于20000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】解：设每套童装的售价为x元， 依题意，得：1000x﹣10%×1000x﹣88×1000≥20000， 解得：x≥120． 故答案为：120． 【点睛】此题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到不等关系列式求解． 16. 在等边中，、分别是，上的点，且，交于，则的大小为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，根据全等证出是解决本题的关键． 根据证出，得出，再根据三角形的外角性质即可得出的度数． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， 在D和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 17. 如图，数学活动小组自制了一个飞镖盘．若向飞镖盘内投掷飞镖（落在边界线重新投掷），则飞镖落在阴影区域的概率是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率模型，根据图形，间接表示出阴影部分面积，利用几何概率模型求解公式代值求解即可得到答案，熟练掌握几何概率模型的求解方法是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则空白部分可以看着是半径为的圆， ， 飞镖落在阴影区域的概率是， 故答案为：． 18. 如图，已知∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，其中点D是边BC所在射线上一动点（点D不与B，C重合），连接AC，EC，则∠DCE的度数为______． 【答案】135°或45° 【解析】 【分析】①当点D在线段BC上时，②当点D在线段BC的延长线上时，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：①如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F， ∴∠EFD=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠EFD=∠ABC， ∵∠ADE=90°， ∴，， ∴， 在△ABD和△DFE中， ， ∴△ABD≌△DFE（AAS）， ∴AB=DF，BD=EF， ∵AB=BC， ∴BC=DF，BC-DC=DF-DC， 即BD=CF， ∴EF=CF， ∵∠EFC=90°， ∴∠ECF=∠CEF=45°， ∴∠DCE=180°-45°=135°； ②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F， 同理可证△ABD≌△DFE（AAS）， ∴AB=DF，BD=EF， ∵AB=BC， ∴BD=CF， ∴CF=EF， ∴∠ECF=45°， 即∠DCE=45°； 综上所述，∠DCE的度数为135°或45°． 故答案为：135°或45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 19. （1）解方程组： （2）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出整数解． 【答案】（1）方程组的解是 （2）不等式组的解集为：．在数轴上表示见解析，不等式组的整数解有0，1，2 【解析】 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找确定出不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集，最后再确定出不等级式组的整数解即可． 【详解】解：（1）， ，得，解得：， 将代入②，得，解得． 故方程组的解是； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：． 在数轴上表示为： ． 不等式组的整数解有0，1，2． 【点睛】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式的解集．熟练掌握用加减消元法解二元一次方程组和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 20. 如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1＋∠FEA＝180°．求证： （1）EH∥AD； （2）∠BAD＝∠H． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先证DG∥AB，得出∠1＝∠BAD，则∠BAD＋∠FEA＝180°，再根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出∠1＝∠H，即可得出结论． 【详解】证明：（1）∵∠CDG＝∠B， ∴DG∥AB， ∴∠1＝∠BAD， ∵∠1＋∠FEA＝180°， ∴∠BAD＋∠FEA＝180°， ∴EH∥AD； （2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD， ∴∠1＝∠H， ∴∠BAD＝∠H． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，能灵活运用平行线的判定与性质进行推理是解此题的关键． 21. 某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为20份)，并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元． (1)求转动一次转盘获得购物券的概率； (2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 【答案】（1）P（转动一次转盘获得购物券）=；（2）选择转转盘对顾客更合算． 【解析】 【详解】解：（1）∵转盘被均匀分为份，转动一次转盘获得购物券的有种情况， ∴转动一次转盘获得购物券概率=． （2）因为红色概率=，黄色概率=，绿色概率=，元， ∴选择转转盘对顾客更合算． 22. 某校组织七年级学生赴社会实践基地开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种客车可租，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元． （1）求每辆甲种客车和每辆乙种客车的租金分别是多少元？ （2）学校七年级师生共330人，计划租用甲、乙两种客车共8辆，已知甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人，则租车所需费用最少为多少元？ 【答案】（1）每辆甲种客车的租金是400元，每辆乙种客车的租金是280元； （2）租车所需费用最少为2960元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每辆甲种客车的租金是元，每辆乙种客车的租金是元，根据“1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆，根据租用的8辆客车至少可载客330人，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，结合，均为正整数，即可得出各租车方案，利用总租金每辆甲种客车的租金租用甲种客车的数量每辆乙种客车的租金租用乙种客车的数量，可求出选择各方案所需租车费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每辆甲种客车的租金是元，每辆乙种客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆甲种客车的租金是400元，每辆乙种客车的租金是280元； 【小问2详解】 解：设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆， 根据题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 可以为6，7， 共有2种租车方案， 方案1：租用6辆甲种客车，2辆乙种客车，所需租车费用（元； 方案2：租用7辆甲种客车，1辆乙种客车，所需租车费用为（元． ， 租车所需费用最少为2960元． 答：租车费用最少为2960元． 23. 阅读材料，回答问题． 解方程组，时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，原方程组可化为，解得即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． （1）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么在关于a，b的二元一次方程组中，的值为______，的值为______； （2）用材料中的方法解二元一次方程组 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键．（1）设，，原方程组可化为，根据的解为，即可求解；（2）设，，原方程组可化为，解得，即，即可求解． 小问1详解】 解：设，， 原方程组可化为， 的解为， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 设，， 原方程组可化为， 解得, 即， 解得， 原方程组的解为． 24. 如图，已知函数的图象与轴交于点，与轴交于点；一次函数：的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点、，且点的坐标为． （1）求一次函数的表达式，点，，的坐标； （2）若，直接写出的取值范围． （3）求四边形的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式：，，， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、不等式与函数图象的关系等知识，熟练掌握一次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． （1）利用待定系数确定函数解析式即可得到答案，然后利用一次函数图象与性质代值求解即可求出点，，的坐标； （2）利用不等式与函数图象的关系，数形结合，通过函数关系解不等式即可得到答案； （3）过作轴于，如图所示，由代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：解：把代入中，得即， 把，，代入中，得， 解得， 一次函数的表达式； 直线，令，得到，即， 令，得到，即， 直线，令，得到，即； 【小问2详解】 解：过点、点作轴的垂线，如图所示： 由（1）知、， 表示一次函数：的图象在轴的上方，函数的图象在一次函数：的图象上方，求不等式的解集就是找一次函数：的图象在轴的上方，函数的图象在一次函数：的图象上方部分对应的的范围， ； 【小问3详解】 解：过作轴于，如图所示： ，，； ． 25. 综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】[初步把握]；[深入把握]，证明见解析；[拓展延伸]，，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”． [初步把握]根据证明即可 [深入把握]根据证明，再由全等的性质得到 [拓展延伸]根据证明，由全等的性质可得，，进而可证 【详解】[初步把握] 证明∶ 在和中， ． [深入把握] 证明：和都是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中，， ， ；． ， ． [拓展延伸] 解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$