第十一讲 函数的单调性 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第十一讲 函数的单调性 知识点梳理： 1．函数的单调性 一般地，设函数f（x）的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增． 特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递减． 特别地，当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 2．函数的最大值 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）∀x∈I，都有f（x）≤M； （2）∃x0∈I，使得f（x）=M． 那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值． 3．函数的最小值 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）∀x∈I，都有f（x）≥M； （2）∃x0∈I，使得f（x）=M ． 那么，我们称M是函数y＝f（x）的最小值． 重难点解析： 1．函数的单调性及其符号表达 （1）函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性． （2）函数单调性的符号表达 一般地，设函数f（x）的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增． 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递减． 2．增函数、减函数 当函数f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 当函数f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 3．单调区间 如果函数y＝f（x）在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． （1）单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求： ①属于同一个区间D； ②任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替； ③有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2． （2）并非所有的函数都具有单调性．如f（x）＝它的定义域为Z，但不具有单调性． （3）单调区间 ①这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域（﹣∞，+∞）上单调递增， y＝﹣x在整个定义域（﹣∞，+∞）上单调递减； ②这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域（﹣∞，+∞）上不具有单调性，但在（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增． （4）函数在某个区间上单调递增（减），但是在整个定义域上不一定都是单调递增（减）．如函数y＝（x≠0）在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． （5）一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝（x≠0）在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都单调递减，不能认为y＝（x≠0）的单调递减区间为（﹣∞，0）∪（0，+∞）． （6）函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 4．函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f（x）≤M f（x）≥M ∃x0∈I，使得f（x0）＝M 结论 称M是函数y＝f（x）的最大值 称M是函数y＝f（x）的最小值 几何意义 f（x）图象上最高点的纵坐标 f（x）图象上最低点的纵坐标 5．对函数最值的三点说明 （1）最大（小）值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2（x∈R）的最小值是0，有f（0）＝0． （2）最大（小）值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f（x）≤M（f（x）≥M）成立，也就是说，函数y＝f（x）的图象不能位于直线y＝M的上（下）方． （3）最大（小）值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f（x）的图象与直线y＝M至少有一个交点． 6．函数最值与函数值域的关系 函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大（小）值． 7．函数的最大（小）值与单调性的关系 （1）若函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），则函数f（x）在区间[a，b]上的最小（大）值是f（a），最大（小）值是f（b）． （2）若函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），在区间[b，c]上单调递减（增），则函数f（x）在区间[a，c]上的最大（小）值是f（b），最小（大）值是f（a）与f（c）中较小（大）的一个． 例题讲解： 题型1 判断函数的单调区间 【例1】函数的单调减区间为　　 A．，， B． C．， D．， 【例2】函数的单调增区间是　　 A． B．， C．， D．， 【例3】函数的单调减区间是　　． 题型2 利用定义证明函数的单调性 【例4】已知函数． （1）若，求（1）的值； （2）若，判断在区间上的单调性，并用定义证明． 【例5】已知，试判断在，上的单调性，并证明． 【例6】已知函数． （1）求的定义域； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明． 题型3 利用图象判断函数的单调性 【例7】如图是定义在区间，的函数，则的增区间是 　　． 【例8】如果函数的图象如图所示，那么此函数的减区间为 　　． 【例9】函数的图象如图所示，根据图象写出函数的单调区间，并指出在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数． 题型4 利用单调性求参数范围 【例10】函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．，， 【例11】已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣1，1] B．（﹣1，2） C．[1，2） D．（0，+∞） 【例12】已知函数f（x）＝是R上的减函数，则a的取值范围是　 ． 题型5 函数单调性的应用 【例13】函数的递增区间是，则函数的递增区间是　　 A． B． C． D． 【例14】已知函数在R上单调递减，则a的取值范围为（　　） A．[0，+∞） B．（﹣∞，0] C．（0，+∞） D．R 【例15】已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 题型6 求函数的最值 【例16】3．对于任意的实数x，已知函数f（x）＝，则f（x）的最大值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【例17】函数y＝|x﹣2|+|3x+1|的最小值为 　 　． 【例18】函数f（x）＝的最小值为　 　． 题型7 求函数在某区间上的最值 【例19】已知函数，则的最大值为　　 A． B． C．1 D．2 【例20】若，则函数的最大值为　　 A．1 B． C． D． 【例21】函数，，的值域为　　 A．， B．， C．， D．， 题型8 根据函数的最值求参数 【例22】若函数在区间，上的最大值为，则实数　　 A．3 B． C．2 D．或3 【例23】若函数在，上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可能是　　 A．2 B． C．1 D．0 【例24】若函数在区间，上的最大值为4，则　　． 题型9 实际问题中求函数的最值 【例25】某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，，其中为销售量（单位：吨），若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为 　　万元． 【例26】某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资64万元新建一处 农业生态园．建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支出费用增加2万元．从第一年起，每年收入都为36万元．设表示前年的纯利润总和前年的总收入前年的总支出费用投资额） （1）求的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值； （2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值． 解题梳理： 1．求函数的单调区间 （1）求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间． （2）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开． 2．利用定义证明函数单调性的步骤 （1）取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2． （2）作差变形：作差f（x1）－f（x2）（或f（x2）－f（x1）），并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． （3）定号：确定f（x1）－f（x2）（或f（x2）－f（x1））的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． （4）结论：根据定义确定单调性． 3．由函数单调性求参数范围 （1）由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件． 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小．探求参数满足的条件． （2） 当函数f（x）的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式（组），然后求解，此时注意函数的定义域． 4．利用图象求函数最值的一般步骤 （1）画出函数y＝f（x）的图象； （2）观察图象，找出图象的最高点和最低点； （3）写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 5．利用单调性求函数的最大（小）值的一般步骤 （1）判断函数的单调性； （2）利用函数的单调性求出最大（小）值． 6．二次函数最值的求法 （1）探求二次函数y＝f（x）在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f（x）的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大（小）值不一定在顶点处取得． （2）二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． 7．利用单调性求最值的常用结论 （1）如果函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），则f（x）在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小（大）值和最大（小）值． （2）如果函数f（x）在区间（a，b]上单调递增，在区间[b，c）上单调递减，则函数f（x）在区间（a，c）上有最大值f（b）． （3）如果函数f（x）在区间（a，b]上单调递减，在区间[b，c）上单调递增，则函数f（x）在区间（a，c）上有最小值f（b）． 变式练习： 1．函数y＝x2+bx+c（x∈[0，+∞））是单调函数，则b的取值范围是（　　） A．b≥0 B．b≤0 C．b＞0 D．b＜0 2．函数y＝f（x）的图象如图所示，其增区间是（　　） A．[﹣4，4] B．[﹣4，﹣3]∪[1，4] C．[﹣3，1] D．[﹣3，4] 3．下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（　　） A．f（x）＝x2 B．f（x）＝ C．f（x）＝|x| D．f（x）＝2x+1 4．定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立，则必有（　　） A．f（x）在R上是增函数 B．f（x）在R上是减函数 C．函数f（x）是先增加后减少 D．函数f（x）是先减少后增加 5．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣3） B．（0，+∞） C．（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 6．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么﹣1＜f（x）＜1的解集是（　　） A．（﹣3，0） B．（0，3） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，+∞） 7．已知函数y＝f（x）在区间[﹣5，5]上是增函数，那么下列不等式中成立的是（　　） A．f（4）＞f（﹣π）＞f（3） B．f（π）＞f（4）＞f（3） C．f（4）＞f（3）＞f（π） D．f（﹣3）＞f（﹣π）＞f（﹣4） 8．已知函数上是增函数，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．[1，+∞） D．[1，2] 9．下列结论正确的是（　　） A．函数y＝kx（k为常数，k＜0）在R上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．在定义域内为减函数 D．在（﹣∞，0）为减函数 10．已知函数f（x）＝，则f（x）（　　） A．在（﹣∞，0）上单调递增 B．在（0，+∞）上单调递增 C．在（﹣∞，0）上单调递减 D．在（0，+∞）上单调递减 （多选）11．下列各选项正确的是（　　） A．若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则y＝f（x）在I上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数y＝﹣在定义域上不是增函数 D．函数y＝x2的单调递减区间为（﹣∞，0] （多选）12．下列函数中，满足“任意x1，x2（x1≠x2）∈（0，+∞），都有”的有（　　） A．f（x）＝5x+1 B．f（x）＝﹣3x+1 C．f（x）＝x2+4x+3 D． （多选）13．函数s＝f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（　　） A．函数s＝f（t）的定义域为[﹣3，+∞） B．函数s＝f（t）的值域为（0，5] C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应 D．当t1，t2∈（0，1）（t1≠t2）时， 14．函数y＝x3+x在（﹣∞，+∞）上的图象是 　 　（填“上升”或“下降”）的． 15．设函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈R都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则f（﹣3）与f（﹣π）的大小关系是　 　． 16．函数的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是　 　． 17．已知函数f（x）＝（a≠0）在区间[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是　 　． 18．f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，且f（2﹣a）﹣f（a﹣3）＜0．求a的范围　 　． 19．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，且f（x﹣2）＜f（1﹣x），则x的取值范围为　 　． 20．若函数f（x）＝|2x+a|在区间[3，+∞）上是增函数，则a的取值范围是　 　． 21．已知二次函数f（x）满足f（x）＞3﹣6x的解集为（1，3），且f（0）＝0． （1）求f（x）的解析式； （2）当x∈[t，t+2]（t∈R）时，求函数f（x）的最大值g（t）（用t表示）． 22．已知，x∈（﹣2，2）． （1）用定义判断并证明函数f（x）在（﹣2，2）上的单调性； （2）若f（a+2）＞f（2a﹣1），求实数a的取值范围． 23．作出函数f（x）＝的图象，并指出函数的单调区间． 24．已知函数f（x）＝． （1）求f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明． 25．已知函数． （1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数； （2）若f（x）在上的值域是，求a的值． 26．已知奇函数f（x）＝． （1）求实数m的值，并画出y＝f（x）的图象； （2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围． 答案与解析 例题讲解： 题型1 判断函数的单调区间 【例1】函数的单调减区间为　　 A．，， B． C．， D．， 【分析】求出定义域，运用反比例函数的单调性即可判断． 【解答】解：函数的定义域为，，， 由反比例函数的性质可得， 在上递减，在上递减． 故选：． 【例2】函数的单调增区间是　　 A． B．， C．， D．， 【分析】首先确定函数的定义域，然后结合复合函数同增异减的原则即可求得函数的单调递增区间． 【解答】解：函数有意义，则：，解得：或3， 二次函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增， 幂函数 在定义域内单调递增， 结合复合函数的单调性可得函数 的单调增区间是，． 故选：． 【例3】函数的单调减区间是　　． 【分析】设，先求函数的定义域，然后利用复合函数单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：设， 由设，解得3或1，当3时，函数单调递增， 当1时，函数单调递减， 为增函数， 根据复合函数的单调性之间的关系，可知函数的单调递减区间，， 故答案为：， 题型2 利用定义证明函数的单调性 【例4】已知函数． （1）若，求（1）的值； （2）若，判断在区间上的单调性，并用定义证明． 【答案】（1）； （2）单调递增，详见解答过程． 【分析】（1）把代入可求（1），进而可求； （2）任取，利用作差法比较与的大小即可判断． 【解答】解：（1）当时，， 所以（1），（1）（3）； （2）当时，在区间上的单调递，证明如下： 任取，则，， 则， 所以， 所以在上单调递增． 【例5】已知，试判断在，上的单调性，并证明． 【分析】运用单调性的定义判断得出：，运用定义判断符号，就可以得出，利用单调性的定义判断即可． 【解答】证明：设，，，且． ，，，且． ，，，， ， 即， 在，上的单调递增． 【例6】已知函数． （1）求的定义域； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明． 【分析】（1）令分母不等于0解出的范围； （2）在上任取两个数，化简，判断其符号，得出结论． 【解答】解：（1）函数的定义域为． （2）在上任取两个数， ， ，， ， 即 函数在上是减函数． 题型3 利用图象判断函数的单调性 【例7】如图是定义在区间，的函数，则的增区间是 　　． 【答案】，和，． 【分析】由函数图象直接判断函数的单调增区间即可． 【解答】解：由图可知：在，和，上都单调递增，在，上单调递减， 故答案为：，和，． 【例8】如果函数的图象如图所示，那么此函数的减区间为 　　． 【答案】，，，． 【分析】数形结合能求出此函数的减区间． 【解答】解：函数的图象如图所示， 数形结合得此函数的减区间为：，，，． 故答案为：，，，． 【例9】函数的图象如图所示，根据图象写出函数的单调区间，并指出在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数． 【答案】函数的单调区间有，，，在，上单调递减，在上单调递增． 【分析】由已知结合函数的图象即可求解函数的单调区间，判断函数的单调性即可． 【解答】解：结合函数图象可知，函数的单调区间有，，， 在，上单调递减，在上单调递增． 题型4 利用单调性求参数范围 【例10】函数在上为增函数，且，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．，， 【答案】 【分析】由题意根据函数的单调性的定义可得，由此解得的范围． 【解答】解：函数在上为增函数，且， ，解得， 故选：． 【例11】已知函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣1，1] B．（﹣1，2） C．[1，2） D．（0，+∞） 【答案】A 【分析】根据f（x）在R上递增列不等式，由此求得a的取值范围． 【解答】解：y＝x2﹣2x+4的开口向上，对称轴为x＝1， 由于f（x）在R上单调递增， 所以，解得﹣1＜a≤1， 所以a的取值范围是（﹣1，1]． 故选：A． 【例12】已知函数f（x）＝是R上的减函数，则a的取值范围是　0＜a≤2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】要满足题意，两段都要减，且当x＝1时的值，第一段要不小于第二段，解不等式可得． 【解答】解：由题意可得， 解得0＜a≤2 故答案为：0＜a≤2 题型5 函数单调性的应用 【例13】函数的递增区间是，则函数的递增区间是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】函数是函数向左平移5个单位得到的，利用函数在区间，是增函数，即可得到结论． 【解答】解：函数是函数向左平移5个单位得到的， 函数在区间，上是增函数， 增区间为向左平移5个单位，即增区间为 故选：． 【例14】已知函数在R上单调递减，则a的取值范围为（　　） A．[0，+∞） B．（﹣∞，0] C．（0，+∞） D．R 【答案】A 【分析】由x⩾0时，单调递减，f（x）＝（x﹣a）2单调递减，所以a⩾0． 【解答】解：因为f（x）在R上单调递减，所以当x⩾0时，单调递减， 当x＜0时，f（x）＝（x﹣a）2单调递减，则a≥0，且需满足（0﹣a）2⩾f（0）＝﹣1，所以a∈[0，+∞）． 故选：A． 【例15】已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由函数为减函数可得，从而得出答案． 【解答】解：由函数是实数集上的减函数，又， 所以，解得． 故选：． 题型6 求函数的最值 【例16】3．对于任意的实数x，已知函数f（x）＝，则f（x）的最大值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数解析式画出函数图象，数形结合即可判断． 【解答】解：函数f（x）＝的图象如下所示： 由函数图象可知，当x＝1时，函数取得最大值f（x）max＝f（1）＝1． 故选：C． 【例17】函数y＝|x﹣2|+|3x+1|的最小值为 　　． 【答案】 【分析】利用绝对值的定义去掉绝对值符号后，可求得最小值． 【解答】解：当x≤﹣时，y＝2﹣x﹣3x﹣1＝﹣4x+1， 则y≥﹣4×（﹣）+1＝， 当﹣＜x＜2时，y＝2﹣x+3x+1＝2x+3， 则＜y＜7， 当x≥2时，y＝x﹣2+3x+1＝4x﹣1≥7 ∴y的最小值是． 故答案为：． 【例18】函数f（x）＝的最小值为　　． 【答案】 【分析】根据分离常数法，将f（x）变形为f（x）＝+，换元，令t＝∈[2，+∞），于是f（t）＝t+，再结合对勾函数的单调性即可得解． 【解答】解：f（x）＝＝＝+， 令t＝，则t∈[2，+∞）， f（t）＝t+在t∈[2，+∞）上单调递增， ∴f（t）min＝f（2）＝2+＝． 故答案为：． 题型7 求函数在某区间上的最值 【例19】已知函数，则的最大值为　　 A． B． C．1 D．2 【答案】 【分析】先判断在，上的单调性，即可求出最大值． 【解答】解：因为在上单减，所以在上单减， 即在，上单减， 所以的最大值为． 故选：． 【例20】若，则函数的最大值为　　 A．1 B． C． D． 【分析】根据基本不等式即可求出答案． 【解答】解：， ．当且仅当时取等号， 故函数的最大值为， 故选：． 【例21】函数，，的值域为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】先判断二次函数在已知区间上单调性，进而可求函数的值域． 【解答】解：因为的开口向上，对称轴， 故函数在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值3． 故函数的值域为，． 故选：． 题型8 根据函数的最值求参数 【例22】若函数在区间，上的最大值为，则实数　　 A．3 B． C．2 D．或3 【答案】 【分析】将函数化为，，，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值． 【解答】解：函数，即，，， 当时，不成立； 当，即时，在，递减，可得为最大值， 即，解得，成立； 当，即时，在，递增，可得（1）为最大值， 即（1），解得，不成立； 综上可得． 故选：． 【例23】若函数在，上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可能是　　 A．2 B． C．1 D．0 【答案】 【分析】由已知可得，对分类可得函数的单调性，求得最值，再由最大值与最小值的差为2列式求解值． 【解答】解：由题意，当时，在，上为增函数， 有，解得； 当时，在，上为减函数， 有，解得． 综上知． 故选：． 【例24】若函数在区间，上的最大值为4，则　　． 【分析】利用函数的单调性，真假求解闭区间上的最大值即可，求出． 【解答】解：函数函数是一次函数，增函数， 所以在区间，上的最大值为4，即，解得． 故答案为：1． 题型9 实际问题中求函数的最值 【例25】某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，，其中为销售量（单位：吨），若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为 　　万元． 【分析】设销售甲种产品吨，由题意建立利润关于的函数关系，配方法求最值． 【解答】解：设销售甲种产品吨，则销售乙种产品吨， 由题意可得利润， 当时，获得最大利润万元． 故答案为：34． 【例26】某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资64万元新建一处 农业生态园．建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支出费用增加2万元．从第一年起，每年收入都为36万元．设表示前年的纯利润总和前年的总收入前年的总支出费用投资额） （1）求的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值； （2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值． 【答案】（1）和；（2）． 【分析】（1）根据题意，可知每年的支出费用组成首项为11，公差为2的等差数列，然后求出总支出，再根据利润的计算公式求出，进一步求出最大值； （2）由（1）知，前年的年平均纯利润为，然后利用基本不等式求出其最大值． 【解答】解：（1）由题意，每年的支出费用组成首项为11，公差为2的等差数列， 故前年的总支出费用为， ，． 又， 时，取得最大值105， 即前13年的纯利润总和最大，且最大值为105万元． （2）由（1）知，前年的年平均纯利润为， ，当且仅当，即时等号成立， ， 即前8年的年平均纯利润最大，且最大值为10万元． 变式练习： 1．函数y＝x2+bx+c（x∈[0，+∞））是单调函数，则b的取值范围是（　　） A．b≥0 B．b≤0 C．b＞0 D．b＜0 【答案】A 【分析】由二次函数的图象特征可得对称轴与区间[0，+∞）的位置关系，从而得到不等式． 【解答】解：∵y＝x2+bx+c在[0，+∞）上是单调函数，且其图象开口向上， ∴y＝x2+bx+c在[0，+∞）上单调递增， ∴﹣，解得b≥0， 故选：A． 2．函数y＝f（x）的图象如图所示，其增区间是（　　） A．[﹣4，4] B．[﹣4，﹣3]∪[1，4] C．[﹣3，1] D．[﹣3，4] 【答案】C 【分析】根据图象从左到右上升段，对应其x范围可得增区间． 【解答】解：结合图象分析可知，函数的图象在区间[﹣3，1]是上升的，所以对应其增区间是[﹣3，1]． 故选：C． 3．下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（　　） A．f（x）＝x2 B．f（x）＝ C．f（x）＝|x| D．f（x）＝2x+1 【答案】B 【分析】根据题意可知f（x）是（0，+∞）上的单调递减函数，依次判断选项中的单调性进行判断． 【解答】解：由题意可知f（x）是（0，+∞）上的单调递减函数， f（x）＝x2是在（0，+∞）上的单调递增函数，A错； f（x）＝|x|是在（0，+∞）上的单调递增函数，C错； f（x）＝2x+1是在R上的单调递增函数，D错； f（x）＝是在（0，+∞）上的单调递减函数，B对； 故选：B． 4．定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立，则必有（　　） A．f（x）在R上是增函数 B．f（x）在R上是减函数 C．函数f（x）是先增加后减少 D．函数f（x）是先减少后增加 【答案】A 【分析】由单调性的定义说明单调性即可． 【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立， 即对任意两个不相等实数a，b， 若a＜b，总有f（a）＜f（b）成立， f（x）在R上是增函数． 故选：A． 5．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣3） B．（0，+∞） C．（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 【答案】C 【分析】由题意根据函数的单调性的定义可得 2m＞﹣m+9，由此解得 m的范围． 【解答】解：∵函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9）， ∴2m＞﹣m+9，解得 m＞3， 故选：C． 6．已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么﹣1＜f（x）＜1的解集是（　　） A．（﹣3，0） B．（0，3） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，0]∪[1，+∞） 【答案】B 【分析】由A、B为f（x）图象上的点，得f（0）＝﹣1，f（3）＝1，由|f（x）|＜1，得﹣1＜f（x）＜1，即f（0）＜f（x）＜f（3），再根据函数的单调性可解不等式． 【解答】解：∵A、B为f（x）图象上的点， ∴f（0）＝﹣1，f（3）＝1， 由|f（x）|＜1，得﹣1＜f（x）＜1，即f（0）＜f（x）＜f（3）， 又f（x）为R上的增函数， 所以0＜x＜3，即不等式的解集为{x|0＜x＜3}， 故选：B． 7．已知函数y＝f（x）在区间[﹣5，5]上是增函数，那么下列不等式中成立的是（　　） A．f（4）＞f（﹣π）＞f（3） B．f（π）＞f（4）＞f（3） C．f（4）＞f（3）＞f（π） D．f（﹣3）＞f（﹣π）＞f（﹣4） 【答案】D 【分析】根据f（x）在[﹣5，5]上是增函数，所以比较4，﹣π，3，π，﹣3，﹣4这几个数的大小即可得到对应函数值的关系． 【解答】解：∵f（x）在[﹣5，5]上是增函数，∴A．﹣π＜3，∴f（﹣π）＜f（3），所以该选项错误； B．π＜4，∴f（π）＜f（4），所以该选项错误； C.3＜π，∴f（3）＜f（π），所以该选项错误； D．﹣3＞﹣π＞﹣4，∴f（﹣3）＞f（﹣π）＞f（﹣4），所以该选项正确． 故选：D． 8．已知函数上是增函数，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C．[1，+∞） D．[1，2] 【答案】D 【分析】由题意可得，函数在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上也是增函数，且有﹣12+2a×1≤（2a﹣1）×1﹣3a+6，从而可得一不等式组，解出即可． 【解答】解：因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数， 所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）上均单调递增，且﹣12+2a×1≤（2a﹣1）×1﹣3a+6， 故有，解得1≤a≤2． 所以实数a的取值范围是[1，2]． 故选：D． 9．下列结论正确的是（　　） A．函数y＝kx（k为常数，k＜0）在R上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．在定义域内为减函数 D．在（﹣∞，0）为减函数 【答案】D 【分析】本题中四个选项中的函数分别为一次函数、二次函数、反比例函数，利用相关函数的性质逐一判断其单调性，以判断正确选项即可． 【解答】解：对于选项A，y＝kx（k为常数，k＜0）在R上是减函数，故A不对 对于选项B，函数y＝x2在R上是先减后增的函数，故B不对 对于选项C，是一个反比例函数，在区间（﹣∞，0）为减函数，在（0，+∞）为减函数，在R上没有单调性，故C不对 对于选项D，在（﹣∞，0）为减函数是正确的 故选：D． 10．已知函数f（x）＝，则f（x）（　　） A．在（﹣∞，0）上单调递增 B．在（0，+∞）上单调递增 C．在（﹣∞，0）上单调递减 D．在（0，+∞）上单调递减 【答案】B 【分析】根据分式函数的性质即可得到结论． 【解答】解：f（x）＝＝＝2﹣， 则根据分式函数的单调性的性质可知，函数在（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）上都是增函数， 故在（0，+∞）上单调递增， 故选：B． （多选）11．下列各选项正确的是（　　） A．若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则y＝f（x）在I上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数y＝﹣在定义域上不是增函数 D．函数y＝x2的单调递减区间为（﹣∞，0] 【答案】CD 【分析】根据增函数的定义即可判断选项A错误；根据二次函数的单调性即可判断选项B错误，D正确；根据反比例函数的单调性即可判断选项C正确． 【解答】解：A中，没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确； B中，y＝x2在x≥0时是增函数，在x＜0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确； C中，y＝﹣在整个定义域内不具有单调性，故正确； D正确． 故选：CD． （多选）12．下列函数中，满足“任意x1，x2（x1≠x2）∈（0，+∞），都有”的有（　　） A．f（x）＝5x+1 B．f（x）＝﹣3x+1 C．f（x）＝x2+4x+3 D． 【答案】BD 【分析】由题意得，函数在（0，+∞）上单调递减，然后逐个分析判断即得． 【解答】解：因为任意x1，x2（x1≠x2）∈（0，+∞），都有， 所以函数在（0，+∞）上单调递减， 对于A，f（x）＝5x+1在（0，+∞）上单调递增，所以A错误； 对于B，f（x）＝﹣3x+1在（0，+∞）上单调递减，所以B正确； 对于C，因为f（x）＝x2+4x+3的对称轴为直线x＝﹣2，且开口向上，所以函数在（0，+∞）上单调递增，所以C错误； 对于D，在（0，+∞）上单调递减，所以D正确． 故选：BD． （多选）13．函数s＝f（t）的图像如图所示（图像与t正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（　　） A．函数s＝f（t）的定义域为[﹣3，+∞） B．函数s＝f（t）的值域为（0，5] C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应 D．当t1，t2∈（0，1）（t1≠t2）时， 【答案】BD 【分析】通过图象观察函数的定义域，值域，单调性即可得出答案． 【解答】解：由图象可知，当t∈[﹣3，﹣1]，s∈[1，5]， 当t∈[0，+∞），s∈（0，4]， 故f（t）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞），故A选项错误． f（t）的值域为（0，5]，故B选项正确． 当s∈[1，2]时，通过图象可以发现，当s＝2时，有3个不同的t值与之对应，故C选项错误． 当t∈（0，1）时，函数为增函数，故D选项正确． 故选：BD． 14．函数y＝x3+x在（﹣∞，+∞）上的图象是 　上升　（填“上升”或“下降”）的． 【答案】上升． 【分析】利用两个增函数的和仍然是一个增函数可得． 【解答】解：∵y＝x3在（﹣∞，+∞）上单调递增， y＝x在（﹣∞，+∞）上单调递增， ∴y＝x3+x在（﹣∞，+∞）上单调递增， 故图像是上升的． 故答案为：上升． 15．设函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈R都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则f（﹣3）与f（﹣π）的大小关系是　f（﹣3）＞f（﹣π）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先确定函数是增函数，再利用单调性的定义，即可得到结论． 【解答】解：∵函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈R都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0， ∴函数f（x）是增函数 ∵﹣3＞﹣π ∴f（﹣3）＞f（﹣π） 故答案为：f（﹣3）＞f（﹣π）． 16．函数的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是　（﹣∞，0）∪（，2]　． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题考查的是利用函数的单调性求函数的值域． 【解答】解：因为函数在区间（﹣∞，1）和区间[2，5）上单调递减， 当x∈（﹣∞，1）时y∈（﹣∞，0），当x∈[2，5）时y∈（﹣∞，0）∪（，2]． 故答案为：（﹣∞，0）∪（，2]． 17．已知函数f（x）＝（a≠0）在区间[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是　（0，2]　． 【答案】见试题解答内容 【分析】由复合函数的单调性，可得函数f（x）在区间[0，1]上是减函数，可得a＞0且2﹣ax≥0在区间[0，1]上恒成立，由此构造关于a的不等式组，可得答案． 【解答】解：若函数f（x）＝（a≠0）在区间[0，1]上是减函数， 则2﹣ax≥0在区间[0，1]上恒成立，且a＞0 即 解得0＜a≤2 即实数a的取值范围是（0，2] 故答案为：（0，2]． 18．f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，且f（2﹣a）﹣f（a﹣3）＜0．求a的范围　2＜a＜　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据已知中的f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，我们可以将不等式f（2﹣a）﹣f（a﹣3）＜0转化为一个关于a的不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围． 【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数 ∴f（2﹣a）﹣f（a﹣3）＜0可化为 f（2﹣a）＜f（a﹣3） 即 解得：2＜a＜ 故答案为：2＜a＜ 19．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，且f（x﹣2）＜f（1﹣x），则x的取值范围为　1≤x＜　． 【答案】见试题解答内容 【分析】由函数为增函数，则由其定义，f（x﹣2）＜f（1﹣x），可推知x﹣2＜1﹣x，但要注意在区间[﹣1，1]上． 【解答】解：∵（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，且f（x﹣2）＜f（1﹣x） ∴ 解得：1≤x＜ 故答案为：1≤x＜ 20．若函数f（x）＝|2x+a|在区间[3，+∞）上是增函数，则a的取值范围是　[﹣6，+∞）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】写出f（x）分段函数形式的解析式，得出f（x）的单调增区间，从而得出a的范围． 【解答】解：f（x）＝， ∴f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在[﹣，+∞）上单调递增， ∵函数f（x）＝|2x+a|在区间[3，+∞）上是增函数， ∴﹣≤3，解得a≥﹣6． 故答案为[﹣6，+∞）． 21．已知二次函数f（x）满足f（x）＞3﹣6x的解集为（1，3），且f（0）＝0． （1）求f（x）的解析式； （2）当x∈[t，t+2]（t∈R）时，求函数f（x）的最大值g（t）（用t表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由已知结合f（0）＝0及二次不等式与二次方程的关系即可求解； （2）先讨论对称轴与已知区间的位置关系确定取得最大值的情况即可求解． 【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）， 因为二次函数f（x）满足f（x）＞3﹣6x的解集为（1，3），且f（0）＝0， 所以f（x）＝3﹣6x的根为1和3，且f（0）＝0， 所以ax2+（b+6）x+c﹣3＝0的两根为1和3且f（0）＝c＝0， 所以﹣，＝1+3＝4， 所以a＝﹣1，b＝﹣2，f（x）＝﹣x2﹣2x； （2）因为f（x）＝﹣x2﹣2x的开口向下，对称轴x＝﹣1， 若t≤﹣3，则当x＝t+2时，函数取得最大值g（t）＝f（t+2）＝﹣t2﹣6t﹣8， 若t≥﹣1时，则当x＝t时，函数取得最大值g（t）＝f（t）＝﹣t2﹣2t， 若﹣3＜t＜﹣1，则当x＝﹣1时，函数取得最大值g（t）＝f（﹣1）＝1， 故g（t）＝． 22．已知，x∈（﹣2，2）． （1）用定义判断并证明函数f（x）在（﹣2，2）上的单调性； （2）若f（a+2）＞f（2a﹣1），求实数a的取值范围． 【答案】（1）f（x）在（﹣2，2）上为增函数，证明见解析； （3）（﹣，0）． 【分析】（1）根据题意，设﹣2＜x1＜x2＜2，由作差法分析可得结论； （2）根据题意，由函数的定义域和单调性可得﹣2＜2a﹣1＜a+2＜2，解可得a的取值范围，即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，f（x）在（﹣2，2）上为增函数， 证明：设﹣2＜x1＜x2＜2， 则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝， 又由﹣2＜x1＜x2＜2，则4﹣x1x2＞0，x1﹣x2＜0， 故f（x1）﹣f（x2）＜0， 则f（x）在（﹣2，2）上为增函数， （2）若f（a+2）＞f（2a﹣1），则有﹣2＜2a﹣1＜a+2＜2， 解可得：﹣＜a＜0， 故a的取值范围为（﹣，0）． 23．作出函数f（x）＝的图象，并指出函数的单调区间． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据分段函数画出图象即可，并由图象得到函数的单调区间． 【解答】解：函数的图象如图所示： 由图象可知，函数f（x）在（﹣∞，1]和（1，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增． 24．已知函数f（x）＝． （1）求f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）令分母不等于0解出x的范围； （2）在（1，+∞）上任取两个数x1＜x2，化简f（x1）﹣f（x2），判断其符号，得出结论． 【解答】解：（1）函数的定义域为{x|x≠±1}． （2）在（1，+∞）上任取两个数x1＜x2， ∴f（x1）﹣f（x2）＝＝＝， ∵1＜x1＜x2∴x2﹣x1＞0，， ∴＞0， 即f（x1）﹣f（x2）＞0 ∴f（x1）＞f（x2） ∴函数在（1，+∞）上是减函数． 25．已知函数． （1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数； （2）若f（x）在上的值域是，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用函数单调性的定义，设x2＞x1＞0，再将f（x1）﹣f（x2）作差后化积，证明即可； （2）由（1）知f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，从而在[，2]上单调递增，由f（2）＝2可求得a的值． 【解答】证明：（1）证明：设x2＞x1＞0，则x2﹣x1＞0，x1x2＞0， ∵＝， ∴f（x2）＞f（x1）， ∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的． （2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的， ∴f（x）在上单调递增， ∴， ∴． 26．已知奇函数f（x）＝． （1）求实数m的值，并画出y＝f（x）的图象； （2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，试确定a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出x＜0时，函数的解析式，即可求得m的值； （2）分段作出函数的图象，即可得到y＝f（x）的图象； （3）根据图象，利用函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，建立不等式，即可求a的取值范围． 【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x ∵函数是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝x2+2x（x＜0） ∴m＝2； （2）函数图象如图所示： （3）由图象可知，﹣1＜a﹣2≤1，∴1＜a≤3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$