第2章对称图形——圆 培优题突破练习★★★【11个考点40题专练】【冲刺满分】 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第2章对称图形——圆 培优题突破练习★★★【11个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学九年级上册 一．垂径定理 二．圆周角定理 三．点与圆的位置关系 四．三角形的外接圆与外心 五．直线与圆的位置关系 六．切线的性质 七．切线的判定 八．切线的判定与性质 九．三角形的内切圆与内心 一十．正多边形和圆 一十一．扇形面积的计算 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 一．垂径定理 1．（2021秋•江油市期末）如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为圆上一动点，于，当点在圆的运动过程中，线段的长度的最小值为 　　． 二．圆周角定理 2．（2024•十堰模拟）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于　　 A．8 B．12 C．16 D．18 3．（2021•临沂三模）如图，的半径是5，点是圆周上一定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 4．（2020秋•鹿城区校级期中）如图，分别以，为直径的两个半圆，其中是半圆的一条弦，是中点，是半圆中点．若，，且，则长为　　 A． B． C． D． 5．（2020•碑林区校级四模）如图，四边形内接于，，，，则的值为　　 A．3 B． C． D．不能确定 6．（2021秋•斗门区期末）如图，点为边长是的等边边左侧一动点，不与点，重合的动点在运动过程中始终保持不变，则四边形的面积的最大值是 　　． 7．（2024•衡阳模拟）如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于，过作，交于，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的度数； （3）若，，求的长． 三．点与圆的位置关系 8．（2022•防城港模拟）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为　　 A． B． C．4 D． 9．（2023•大庆模拟）在矩形中，，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的取值范围是 　　． 10．（2021•剑阁县模拟）在菱形中，，，以为圆心，2为半径作，交对角线于点，点为上一动点，连接，点为中点，连接，取中点，连接，则的最大值为　　． 四．三角形的外接圆与外心 11．（2020•洪山区校级自主招生）如图，是圆的内接正三角形，弦过的中点，且，若，则的长为　　 A．1 B． C． D．2 12．（2022•习水县模拟）如图，已知是的内接三角形，的半径为2，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点．若，则弦的长为　　 A． B． C． D． 13．（2021•永嘉县校级模拟）如图，，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为　　 A． B． C． D．1 14．（2023秋•新吴区期中）如图，内接于，，，点为弧上一动点，直线于，当点由点沿弧运动到点时，点经过的路线长为　　 A． B．27 C． D． 15．（2022•邢台模拟）如图，内接于，过点作于点，交于点，延长交延长线于点，，连接、．与相交于点，，，将圆心绕着点旋转得到点，若点恰好落某一边上时，则的长度为　　． 16．（2022秋•龙岩期中）如图，，一直角三角尺的两个顶点、分别在，上移动，若，则点到距离的最大值为　　． 17．（2023•西湖区一模）如图，为锐角的外接圆，点在上，交于点，且满足，连结，设． （1）则　　．（用含的代数式表示） （2）若，，则　　． 18．（2022•锡山区校级二模）如图，将两块三角板和三角板放置在矩形中，直角顶点重合，点、在边上，． （1）若点到的距离为，则点到的距离为 　　； （2）若，则外接圆的半径为 　　． 19．（2021秋•椒江区校级期中）如图所示，正三角形的边长为4，，，交于点，则的外接圆半径长为 　　． 20．（2021秋•镇海区期末）如图，在中，在边上，圆为锐角的外接圆，连结并延长交于点． （1）若，请用含的代数式表示； （2）如图2，作，垂足为，与交于点，已知． ①求证：； ②若，，求的值． 21．（2021•商河县校级模拟）如图，的平分线交的外接圆于点，交于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求外接圆的半径； （3）若，，求的长． 五．直线与圆的位置关系 22．（2024•东台市一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 六．切线的性质 23．（2023•润州区二模）如图，的半径为1，是的直径，是弦，是劣弧上一点，将沿折叠，使得点的对应点是点，且弧与相切于点，设线段的长度为，弦的长度为，则　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•新余期末）已知点，的半径为3，切于点，点为上的动点，当点的坐标为 　　时，是等腰三角形． 25．（2022秋•自贡期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，，与直线相切于点，点是线段上一动点，则的最小值为 　　． 26．（2021•商河县二模）如图，钝角中，，，是边上一点，以为圆心，为半径作，交边于点，交边于点，过作的切线交边于点． （1）求证：． （2）连接，若，且，求的半径长． 七．切线的判定 27．（2018•黄石）如图，已知、、、、是上五点，的直径，，为的中点，延长到点，使，连接． （1）求线段的长； （2）求证：直线是的切线． 28．（2021秋•大余县期末）如图，点、、都在半径为4的上，过点作交的延长线于点，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）求弦的长． 八．切线的判定与性质 29．（2018•竹溪县模拟）如图，在中，，点在上，以为半径的交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，，求线段的长． 30．（2018•肥城市一模）如图，平行四边形中，以为圆心，为半径的圆交于，交于，延长交圆于． （1）若与相切，试判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若，求． 九．三角形的内切圆与内心 31．如图所示，半径为的圆内切于正，为边上一点，为边上一点，且直线与圆相切于点，的内切圆与相切于点．若圆的半径为，则的值为　　 A． B． C． D． 32．（2022春•江汉区校级月考）如图，在四边形中，，，是四边形的内切圆，，分别切于，两点，若，，则的长是　　 A． B． C． D． 33．（2021秋•鄞州区校级月考）如图，若等边的内切圆的半径是2，则的边长是　　 A． B．4 C． D． 34．（2023秋•大丰区校级月考）在中，，，，直线经过的内心，过点作，垂足为，连接，则的最小值是　　． 35．（2022•郎溪县校级自主招生）如图，在中，，，，以为对称轴，做的轴对称图形，点的对称点恰好与的内切圆圆心重合，则，与圆周围成的阴影部分的面积为 　　． 36．（2020•浙江自主招生）如图，在中，是内心，点，都在大边上，已知，． （1）求证：是的外心； （2）若，，求的大小． 一十．正多边形和圆 37．（2020秋•柯桥区期中）如图，、、、、是上的5等分点，连接、、、、，得到一个五角星图形和五边形．有下列3个结论：①，②，③．其中正确的结论是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 38．（2022秋•滨江区校级期中）如图，正方形内接于圆，，点在圆上且满足，，则点到的距离为 　　． 一十一．扇形面积的计算 39．（2024•咸丰县模拟）如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 40．（2023春•双流区期末）如图，正方形的边长为，点是边上的一动点，连接，将绕点顺时针方旋转后得到，连接．则点在整个运动过程中，线段所扫过的图形面积为 　　． 第2章对称图形——圆 培优题突破练习★★★【11个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学九年级上册 【解析版】 一．垂径定理 二．圆周角定理 三．点与圆的位置关系 四．三角形的外接圆与外心 五．直线与圆的位置关系 六．切线的性质 七．切线的判定 八．切线的判定与性质 九．三角形的内切圆与内心 一十．正多边形和圆 一十一．扇形面积的计算 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 一．垂径定理 1．（2021秋•江油市期末）如图，以为圆心，半径为2的圆与轴交于、两点，与轴交于，两点，点为圆上一动点，于，当点在圆的运动过程中，线段的长度的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】作于，连接．因为，推出点在以为直径的上推出当点在的延长线上时，的长最小，最小值，想办法求出、即可解决问题； 【解答】解：作于，连接． ， ， 在中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 点在以为直径的上， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值． 故答案为：． 【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 二．圆周角定理 2．（2024•十堰模拟）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为，且，的直径为20，则的长等于　　 A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】 【分析】连接，根据题意可证得，再根据角平分线的性质，得，过作，则，得四边形为矩形，设，在中，由勾股定理得，从而求得的值，由勾股定理得出的长． 【解答】解：连接，过作，垂足为， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，． ， 设，则， 的直径为20， ， ， 在中，由勾股定理得． 即， 解得，． 大于0，故舍去， ， ，， ，由垂径定理知，为的中点， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握． 3．（2021•临沂三模）如图，的半径是5，点是圆周上一定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【分析】如图，设交于，连接，，过点作于，连接．解直角三角形求出，，根据求解即可． 【解答】解：如图，设交于，连接，，过点作于，连接． ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．（2020秋•鹿城区校级期中）如图，分别以，为直径的两个半圆，其中是半圆的一条弦，是中点，是半圆中点．若，，且，则长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，，，．是中点，推垂直平分，是半圆中点，推垂直平分，、、、在同一条直线上，是的中点，是中点，推是的中位线，在中，根据勾股定理得长． 【解答】解：连接，，，． 是中点， 垂直平分， 是的中点． 为的直径， ． 是半圆中点， 垂直平分， 、、、在同一条直线上，，， ． ． 设，， ． 是的中点，是中点， 是的中位线， ． 为直径， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ． ， ． ． 故选：． 【点评】本题考查圆的垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，掌握这三定理的熟练应用，证明、、、在同一条直线上是关键． 5．（2020•碑林区校级四模）如图，四边形内接于，，，，则的值为　　 A．3 B． C． D．不能确定 【分析】如图，过点作于，交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，，推出，求出即可解决问题． 【解答】解：如图，过点作于，交的延长线于． ， ， ， ，， ， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 6．（2021秋•斗门区期末）如图，点为边长是的等边边左侧一动点，不与点，重合的动点在运动过程中始终保持不变，则四边形的面积的最大值是 　　． 【答案】． 【分析】根据旋转的性质得到，，推出点，点，点三点共线，得到是等边三角形，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：是等边三角形， ，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 直径为8． 如图，作四边形的外接圆，将绕点逆时针旋转，得到， ，， 四边形是圆内接四边形， ， ， 点，点，点三点共线， ，， 是等边三角形， 四边形的面积， 当最大时，四边形的面积最大， 当为的直径时，的值最大， 即， 四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的有关知识，圆的外接圆与外心，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 7．（2024•衡阳模拟）如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于，过作，交于，连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的度数； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【分析】（1）易证，，从而可知，即； （2）延长交于点，易证，由于，所以，所以； （3）易证，由于，所以，由圆周角定理可知，从而可证明，利用三角形相似的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 即， （2）解：延长交于点， 是的外角， ， ， ， ， ； （3）解：是中点 ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识． 三．点与圆的位置关系 8．（2022•防城港模拟）如图，在矩形中，，，点在上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为　　 A． B． C．4 D． 【答案】 【分析】如图，在的上方，作，使得，，连接，过点作于，于．证明点的运动轨迹是以为圆心，为半径的，推出当点落在线段上时，的值最小，想办法求出，，可得结论． 【解答】解：如图，在的上方，作，使得，，连接，过点作于，于． ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的， 当点落在线段上时，的值最小， 四边形是矩形， ， ，， ， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 的最小值， 故选：． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，矩形的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 9．（2023•大庆模拟）在矩形中，，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】连接，取的中点，连接，可知为的中位线，则可得，进而可知点在以为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形中，根据进而得出答案． 【解答】解：连接，取的中点，连接，， 为的中点， 为的中位线， ， 点在以为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形中，， 的取值范围为， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点的运动轨迹是解本题的关键． 10．（2021•剑阁县模拟）在菱形中，，，以为圆心，2为半径作，交对角线于点，点为上一动点，连接，点为中点，连接，取中点，连接，则的最大值为　　． 【答案】． 【分析】如图，连接，，，取的中点，连接．想办法求出，即可． 【解答】解：如图，连接，，，取的中点，连接． ，， ， ，， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 四．三角形的外接圆与外心 11．（2020•洪山区校级自主招生）如图，是圆的内接正三角形，弦过的中点，且，若，则的长为　　 A．1 B． C． D．2 【答案】 【分析】设与交于点，由于，且是中点，易得是的中位线，即；易知是等腰三角形，可过作的垂线，交于，交于；然后证，根据相交弦定理得，而、的长易知，，由此可得到关于的方程，即可求得的长． 【解答】解：方法一：如图．过作于，交于， ， ． 根据圆和等边三角形的性质知：必过点． ，是的中点， 是的中位线， ； 是等边三角形，， ； ，由垂径定理得：， ． 弦、相交于点， ，即； 解得（负值舍去）． 方法二：如图，连接，， ， ，是的中点， 是的中位线， ； 是等边三角形，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形外接圆与外心，等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得、的数量关系是解答此题的关键． 12．（2022•习水县模拟）如图，已知是的内接三角形，的半径为2，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点．若，则弦的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】取折叠后的弧所在圆圆心为，则与设等圆，是公共的圆周角，所以可以证得，过作于，则为的中点，在中，利用勾股定理，可以求出和的长度，由于是中点，可以证明，然后根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图1，设折叠后的所在圆的圆心为，连接，， ， 连接，， 同理，， ， 与是等圆， ， 设的半径为， 过作于， ，， ，， ， ， ， 如图2，过作于， ， 可设，则， 为的中点， ， ， ，， ， 在中，， ， ， （负值舍去）， ． 故选：． 【点评】本题是一道圆的综合题，考查了圆中的折叠变换，注意等圆中的公共角，公共弦，公共弧，这些都是相等的，利用这些等量关系，比如此题中的，是解决此类题的突破口． 13．（2021•永嘉县校级模拟）如图，，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为　　 A． B． C． D．1 【答案】 【分析】如图，连接．首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，此时的值最小． 【解答】解：如图，连接． ， ， ， ， 点在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，此时的值最小．此时与交点为． 所对圆周角为， ， △是等腰三角形，， ， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． 14．（2023秋•新吴区期中）如图，内接于，，，点为弧上一动点，直线于，当点由点沿弧运动到点时，点经过的路线长为　　 A． B．27 C． D． 【答案】 【分析】当点在以为直径的圆上当点在点时，此时和重合；当沿运动到点和点重合时，连接，则点经过的路径是以为直径的圆上弦所对的优弧的长，进而求解． 【解答】解：作圆的直径，连接，取的中点，连接，如图所示： 为的直径， ， ， ， ， ， ，为的中点． ， 故当点在以为直径的圆上当点在点时，此时和重合； 当沿运动到点和点重合时，连接， 由圆周角定理得：，，， 故点经过的路径是以为直径的圆上弦所对的优弧的长， 由弧长公式得：， 故选：． 【点评】本题考查了轨迹、圆周角定理、解直角三角形直角三角形斜边上的中线性质以及长公式等知识，求出点的轨迹是解题的关键． 15．（2022•邢台模拟）如图，内接于，过点作于点，交于点，延长交延长线于点，，连接、．与相交于点，，，将圆心绕着点旋转得到点，若点恰好落某一边上时，则的长度为　或　． 【分析】延长交于，连接，，根据全等三角形的性质得到，推出垂直平分，根据平行线分线段成比例得到，根据勾股定理得到，过作于交于，根据菱形的性质得到，再根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：延长交于，连接，， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 令，则，，， ， 当在上时，， ， 过作于交于， 则四边形是菱形， ，， ， ． 故答案为：或． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．（2022秋•龙岩期中）如图，，一直角三角尺的两个顶点、分别在，上移动，若，则点到距离的最大值为　　． 【分析】作的外接圆，过点作与，延长于，连接、．当点在圆周上运动到点，即点与重合时，点到距离最大，依此列式计算即可求解． 【解答】解：如图，作的外接圆，过点作与，延长于，连接、． 当点在圆周上运动到点，即点与重合时，点到距离最大． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了线段最大值，熟练运用三角形外接圆知识是解题的关键． 17．（2023•西湖区一模）如图，为锐角的外接圆，点在上，交于点，且满足，连结，设． （1）则　　．（用含的代数式表示） （2）若，，则　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据已知条件得到，于是得到； （2）连接，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形到现在即可得到结论． 【解答】解：（1），． ， ， ； （2）连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ，， ， ， ， 在与中， ， ． ， ，， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 18．（2022•锡山区校级二模）如图，将两块三角板和三角板放置在矩形中，直角顶点重合，点、在边上，． （1）若点到的距离为，则点到的距离为 　　； （2）若，则外接圆的半径为 　　． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据题意可得，，，过点作于点，延长交于点，证明，可得，，然后根据勾股定理即可解决问题； （2）根据题意证明，可得，由，设，可得，设，可得，根据可得，然后利用勾股定理可得，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）两块三角板和三角板放置在矩形中， ，，， 如图，过点作于点，延长交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． ， ， ， 则点到的距离为， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：，， 设， ， 设， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， 外接圆的半径为． 故答案为：． 【点评】本题属于圆的综合题，是中考填空题的压轴题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，三角形外接圆与外心，矩形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 19．（2021秋•椒江区校级期中）如图所示，正三角形的边长为4，，，交于点，则的外接圆半径长为 　　． 【答案】． 【分析】由正三角形的性质和已知条件得出，，，得出，，由证明，得出，证出、、、四点共圆，作于，则，由含角的直角三角形的性质得出，求出、，由三角函数求出，得出，由圆周角定理得出，为的外接圆的直径，即可得出结果． 【解答】解：作于，如图所示： 正三角形的边长为4，，， ，，， ， 在和中， ， ， ， 、、、四点共圆， 作于，则， ，， ， ， ， ， 为的外接圆的直径， 的外接圆半径长为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆、正三角形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度． 20．（2021秋•镇海区期末）如图，在中，在边上，圆为锐角的外接圆，连结并延长交于点． （1）若，请用含的代数式表示； （2）如图2，作，垂足为，与交于点，已知． ①求证：； ②若，，求的值． 【答案】（1）； （2）①证明过程见解答； ②6． 【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题； （2）①结合（1）利用三角形内角和定理即可解决问题； ②作，，证明四边形为矩形，再根据线段的和差即可解决问题． 【解答】（1）解：如图，连结， ， 又， ； （2）①证明：， ， 设， 由（1）得：， ， ， ， ； ②解：如图，作于点，于点， 由①得：，， ， ， ，， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 21．（2021•商河县校级模拟）如图，的平分线交的外接圆于点，交于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求外接圆的半径； （3）若，，求的长． 【分析】（1）通过证明得到； （2）连接，如图，证明为等腰直角三角形得到，从而得到外接圆的半径； （3）证明，然后利用相似比求的长． 【解答】（1）证明：平分，平分， ，， ， ； （2）解：连接，如图， ， 为直径， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 外接圆的半径为； （3）解：，， ， ，即， ． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质． 五．直线与圆的位置关系 22．（2024•东台市一模）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 【分析】（1）连接，，根据已知条件证得即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）相切，理由如下： 连接，， 为的直径， ． ． ， ． ， ． ． ， ． ． 与相切． （2）由（1）知， 在中，由勾股定理　得 ． ， ． ． 【点评】本题考查了切线的判定，连接，证得是解题关键． 六．切线的性质 23．（2023•润州区二模）如图，的半径为1，是的直径，是弦，是劣弧上一点，将沿折叠，使得点的对应点是点，且弧与相切于点，设线段的长度为，弦的长度为，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设弧的圆心为，连接交于，连接，，由弧与相切于点，得到，由翻折得，根据垂径定理以及勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，设弧的圆心为，连接交于，连接，， 由折叠得，，的半径为1， ， ， ， 弧与相切于点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理和勾股定理，切线的性质，作辅助线是解题的关键． 24．（2023秋•新余期末）已知点，的半径为3，切于点，点为上的动点，当点的坐标为 　，，，　时，是等腰三角形． 【答案】或或，． 【分析】根据题意画出图形分三种情况讨论：当点在轴上，，，当点是切点时，，进而可以解决问题． 【解答】解：如图，当的坐标为或或，时，是等腰三角形．理由如下： 连接， ，的半径为3， ，， ， 切于点， ， ， ， ， ， ； 当时，连接交轴于点， 切于点， 切于点， ， ， 是等边三角形， ， ，， ，； ，， ， ， ， ． 综上所述：当的坐标为或或，时，是等腰三角形． 故答案为：或或，． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到是等边三角形． 25．（2022秋•自贡期末）在平面直角坐标系中，已知，，，，，与直线相切于点，点是线段上一动点，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】过点作轴于点，延长至点使，过点作，在上截取，过点作于点，交轴于点，过点作于点，交轴于点，找出的最小值为；利用正方形的性质，和等腰直角三角形的性质求得点坐标，过点作轴于点，交于点，则四边形为矩形，利用相似三角形的判定与性质求得的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得线段的长度，则结论可求． 【解答】解：，， ． 过点作轴于点，延长至点使，过点作，在上截取，过点作于点，交轴于点，过点作于点，交轴于点，如图， 则，四边形为平行四边形， ，， ，此时的值最小． 过点作轴于点，则， ，， ，． 为等腰直角三角形， 与直线相切于点， ， 为的中点， ， ， 过点作轴于点，交于点，则四边形为矩形， ，． ． ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ． ． ，，， ． ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了图形的坐标与性质，圆的切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形 大排档与性质，矩形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 26．（2021•商河县二模）如图，钝角中，，，是边上一点，以为圆心，为半径作，交边于点，交边于点，过作的切线交边于点． （1）求证：． （2）连接，若，且，求的半径长． 【分析】（1）连接，如图，先证明，再利用切线的性质得，从而得到； （2）连接，如图，设的半径长为，利用圆周角定理得到，则，，再证明，，接着用表示出，，， 从而得到，然后解方程即可． 【解答】（1）证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， 为切线， ， ； （2）解：连接，如图，设的半径长为， 为直径， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， 而， ，解得， 即的半径长为． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和垂径定理． 七．切线的判定 27．（2018•黄石）如图，已知、、、、是上五点，的直径，，为的中点，延长到点，使，连接． （1）求线段的长； （2）求证：直线是的切线． 【分析】（1）连接，如图，利用圆内接四边形的性质得，再根据圆周角定理得到，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算的长； （2）连接，如图，根据圆周角定理得到，而为的中点，则，再根据等腰三角形的判定方法，利用得到为等腰直角三角形，所以，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】（1）解：连接，如图， ， ， 为直径， ， 在中，， ； （2）证明：连接，如图， 为直径， ， 为的中点， ， ， 而， 为等腰直角三角形， ， ， 直线是的切线． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理． 28．（2021秋•大余县期末）如图，点、、都在半径为4的上，过点作交的延长线于点，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）求弦的长． 【分析】（1）根据圆周角的性质求得，然后证明四边形为平行四边形，从而证得，根据三角形的内角和定理证得，即，从而证得是的切线； （2）根据平行线的性质得出，，然后通过直角三角函数即可求得，根据垂径定理从而求得的长． 【解答】（1）证明：连接，交于， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； （2）解：由（1）知，． ， ， ， 在直角中，，， ， ． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，切线的判定，平行线的性质，解直角三角形等，连接构建直角三角形是解题的关键． 八．切线的判定与性质 29．（2018•竹溪县模拟）如图，在中，，点在上，以为半径的交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，，求线段的长． 【分析】（1）连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得，则，再利用等量代换计算出，则，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）作于，如图，则，利用的正弦可计算出，则，，所以，然后利用的余弦计算出，从而得到的长． 【解答】（1）证明：连接，如图， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线是的切线； （2）解：作于，如图，则， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 线段的长为． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质． 30．（2018•肥城市一模）如图，平行四边形中，以为圆心，为半径的圆交于，交于，延长交圆于． （1）若与相切，试判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若，求． 【分析】（1）连接，由角的等量关系可以证出，然后证明得到， （2）由（1）知，根据角间的等量关系，解出，继而求出的值． 【解答】解：（1）结论：与相切．理由如下： 连接． 点、在圆上， ． 四边形是平行四边形， ． ，． ， ． ． 在和中， ， ． ． 与相切， ． ． ． 与相切． （2），四边形是平行四边形， ，，．（5分） ， ． ． ． ． ．（6分） 【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形判定和平行四边形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 九．三角形的内切圆与内心 31．如图所示，半径为的圆内切于正，为边上一点，为边上一点，且直线与圆相切于点，的内切圆与相切于点．若圆的半径为，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设、、分别与相切于点、、，、分别与相切于、，连接、、、、、、，利用等边三角形的性质、切线长定理、解直角三角形等即可求得答案． 【解答】解：如图1，设、、分别与相切于点、、，、分别与相切于、，连接、、、、、、， 则，，，，，，，， ， 平分， 同理，平分， 、、三点共线， 是等边三角形， ， ， ，， ， ①， 在中，，， ，， ， ②， ②①得：， 如图2，过点作，交的延长线于， 则， ，， ，， 在中，， ， ． 故选：． 【点评】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质，三角形内切圆的性质，切线长定理，解直角三角形及其应用，解题关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 32．（2022春•江汉区校级月考）如图，在四边形中，，，是四边形的内切圆，，分别切于，两点，若，，则的长是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作于点，连接、，根据切线长定理可得，平分，，所以垂直平分，令、相交于点，则，设圆半径为，则，，，根据勾股定理可求出，再利用面积公式求出即可求得． 【解答】解：连接，与相交于点，作于点，连接，设与圆的切点为，如图， ，，， 四边形是矩形， ，， 点、、是切点， ，，平分， 是等腰三角形，是的垂直平分线， ， 设圆半径为，则，， ，， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线长定理，充分利用切线长定理求解相关线段长度是解题关键． 33．（2021秋•鄞州区校级月考）如图，若等边的内切圆的半径是2，则的边长是　　 A． B．4 C． D． 【答案】 【分析】连接，，，解直角三角形求得，进而得出结果． 【解答】解：如图， 连接，，设切于，连接， 是等边三角形， ， 是的内切圆， ，， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 34．（2023秋•大丰区校级月考）在中，，，，直线经过的内心，过点作，垂足为，连接，则的最小值是　　． 【答案】． 【分析】连接、、、，根据勾股定理得到，设正方形的边长为，则，，依题意得求得，连接，过点作于点，当点运动到线段上时，取得最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解： 与三边的切点分别为、、，连接、、、， 是内切圆，，，， ，，， 则四边形是正方形，， 设正方形的边长为， 则，， 依题意得：， 解得， ， ，即， 点在以为直径的上， 连接，过点作于点，当点运动到线段上时，取得最小值， ，，的半径为， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 35．（2022•郎溪县校级自主招生）如图，在中，，，，以为对称轴，做的轴对称图形，点的对称点恰好与的内切圆圆心重合，则，与圆周围成的阴影部分的面积为 　　． 【答案】． 【分析】设的内切圆与三边相切于点，，，连接，，，得四边形为正方形，设正方形的边长为，然后利用含30度角的直角三角形和切线长定理可以求出，再利用扇形面积公式即可解决问题． 【解答】解：如图，设的内切圆与三边相切于点，，，连接，，， 得四边形为正方形， 设正方形的边长为， 在中，， ，， ，， ，， ， ， 解得， 由翻折可知：， ，与圆周围成的阴影部分的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，含30度角的直角三角形，扇形面积的计算，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 36．（2020•浙江自主招生）如图，在中，是内心，点，都在大边上，已知，． （1）求证：是的外心； （2）若，，求的大小． 【分析】（1）连接、、、、，证，推出，即可； （2）根据三角形的内角和定理求出，，再根据三角形的内角和定理求出即可． 【解答】解：（1）证明：连接、、、、， 是的内心， ， 在和中 ， ， 同理， ， 是的外心． （2）是的外心， ， 在等腰三角形， ， 同理， ， ， 答：的度数是． 【点评】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 一十．正多边形和圆 37．（2020秋•柯桥区期中）如图，、、、、是上的5等分点，连接、、、、，得到一个五角星图形和五边形．有下列3个结论：①，②，③．其中正确的结论是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】 【分析】根据圆的性质得到，故①正确；由、、、、是上的5等分点，得到的度数求得根据圆周角定理得到；连接求得，于是得到，故②正确；连接，，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：、、、、是上的5等分点， ， ，故①正确； 、、、、是上的5等分点， 的度数， ， ， ； 连接 、、、、是上的5等分点， ， ， ， ，故②正确； 连接，， ， ， ，， ， ③错误！则， ， ， ， ， ，③错误． 故选：． 【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 38．（2022秋•滨江区校级期中）如图，正方形内接于圆，，点在圆上且满足，，则点到的距离为 　或　． 【答案】或． 【分析】分两种情况讨论，当点在上方时，设与相交于点，连接，过点作，交延长的延长线于，过点作于，由勾股定理可求，的长，由“”可证，可得，，可求，当点在上方时，同理可求的值． 【解答】解：如图，当点在上方时，设与相交于点，连接，过点作，交延长的延长线于，过点作于， 四边形是正方形， ，， 又， ， 又，， ， ，， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 当点在的下方时， 同理可求， 故答案为：或． 【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 一十一．扇形面积的计算 39．（2024•咸丰县模拟）如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，如图，利用折叠性质得由弧、线段和所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，，则，，从而得到，，然后根据扇形面积公式，利用由弧、线段和所围成的图形的面积，能进而求出答案． 【解答】解：连接，如图， 扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为， ， ， ， ，， 由弧、线段和所围成的图形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠的性质，注意：圆心角是，半径为的扇形的面积． 40．（2023春•双流区期末）如图，正方形的边长为，点是边上的一动点，连接，将绕点顺时针方旋转后得到，连接．则点在整个运动过程中，线段所扫过的图形面积为 　　． 【答案】． 【分析】根据题意画出点在上移动的过程，线段所扫过的面积就是的面积，根据正方形的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，得出线段所扫过的图形面积，再根据等边三角形，等腰直角三角形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，当点在点时，相应的点落在点，当点移动到点时，相应的点，扫过的面积就是的面积， 由题意可知，、都是等边三角形， ，， 四边形是正方形，是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， 即是等腰直角三角形， 线段所扫过的图形面积 ， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质，掌握正方形、等边三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$