第2章 对称图形 —圆 中档题拓展 讲义 -2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第2章对称图形——圆 中档题拓展训练★★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学九年级上册 一．垂径定理 二．垂径定理的应用 三．圆心角、弧、弦的关系 四．圆周角定理 五．点与圆的位置关系 六．三角形的外接圆与外心 七．切线的性质 八．切线的判定与性质 九．三角形的内切圆与内心 一十．正多边形和圆 一十一．弧长的计算 一十二．扇形面积的计算 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 一．垂径定理 1．（2024•柯桥区二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为　　 A． B． C． D． 2．（2024•罗湖区校级模拟）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接．若，，则的半径长为 　　． 二．垂径定理的应用 3．（2024•雁塔区校级模拟）要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点，，再作弦的垂直平分线交于点，交圆弧于点，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，，则轮子的半径为　　 A． B． C． D． 三．圆心角、弧、弦的关系 4．（2024春•廉江市校级月考）如图，是的直径，，则等于　　 A． B． C． D． 四．圆周角定理 5．（2024•湖州一模）如图，是的直径，，是上的两点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•浦北县期末）如图，在中，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 7．（2024•汉川市模拟）如图，是的弦，交于点，点是上一点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2024•西和县二模）如图，是的直径，点、在上，若，则　　度． 9．（2024•南京模拟）正方形内接于，是的中点，连接、，则　 　． 五．点与圆的位置关系 10．（2024•梅州模拟）在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 　　． 六．三角形的外接圆与外心 11．（2024•武汉模拟）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为20，现用一个半径为的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则的最小值是　　 A． B． C． D． 12．（2024•崆峒区校级三模）如图，内接于，连接、，，则的度数是　　 A． B． C． D． 七．切线的性质 13．（2024•福建模拟）如图，内接于，，是的两条切线，若，则等于　　 A． B． C． D． 14．（2024•兴庆区校级一模）如图，在中，，是边上一点，以点为圆心的半圆分别与边、相切于点、，连接．已知，，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 15．（2024•广州模拟）如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、，若．，则的半径长为　　 A．1.5 B． C． D． 16．（2024•鹤山市一模）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，，则等于　　 A．6 B．4 C． D．3 17．（2024•包头模拟）如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为，则的长度为 　　（结果保留． 18．（2024春•白云区校级月考）如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为 　　． 19．（2024•东平县二模）如图，在中，，，，为边上的一点，以为半径的半圆交于点、交于点，过点作半圆的切线交边于点，且，则的半径为 　　． 20．（2024•阜阳二模）已知直线是的切线，点是切点，点是上一点，过点作于点，与交于点，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，延长交于点，连接，若，，求的长． 21．（2024•大武口区一模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，与边交于点，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22．（2024•剑河县校级模拟）如图，是的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是的切线，交的延长线于点，连接． （1）写出图中一对相等的角：　　； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 23．（2024•河南一模）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观 察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 24．（2024•河东区校级三模）已知四边形内接于，为的直径，，连接． （Ⅰ）如图①，若为弧的中点，求，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点，求的长． 八．切线的判定与性质 25．如图，已知是的直径，点，在上，且．点是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点．的平分线交射线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26．（2024•永安市二模）如图，在中，，点在边上，且，过点作交的延长线于点，以点为圆心，的长为半径作交于点． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为5，，求线段的长． 27．（2024•天山区校级四模）如图所示，以的边为直径作，点在上，是的弦，，过点作于点，交于点，过作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求阴影部分的面积． 28．（2024•澄海区一模）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长及的面积． 29．（2024•寿光市三模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 九．三角形的内切圆与内心 30．（2024•碑林区校级模拟）如图，中，，，，点为内心，连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则　　 A． B．1 C． D． 31．（2024•江汉区二模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是　　 A． B． C． D． 32．（2024•新城区模拟）如图，在中，，是的内切圆，，，是切点，连接，．交于，两点．点是上的一点，连接，，则的度数是 　　． 一十．正多边形和圆 33．（2024•深圳模拟）两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则点的坐标是 　　． 一十一．弧长的计算 34．（2024•内蒙古）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是，点，，在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 　　米．取3.14，计算结果精确到 35．（2024•河南二模）如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，再以点为圆心，以的长为半径作，交半圆于点，交于点，则图中阴影部分的周长为 　　． 一十二．扇形面积的计算 36．（2024•微山县二模）如图，是的直径，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，．若，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D．27 37．（2024•松原模拟）如图，在矩形中，，平分交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若点为的中点，则图中阴影部分的面积为 　　． 38．（2024•朝阳区校级模拟）如图，在扇形中，点在上，，，于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为 　　． 39．（2024春•海淀区期末）如图，在中，，分别以边，，为直径画圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则　　（填“”，“ ”或“” ． 40．（2024•泰山区校级二模）如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、．若，，则阴影部分的面积为 　　． 第2章对称图形——圆 中档题拓展训练★★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学九年级上册 一．垂径定理 二．垂径定理的应用 三．圆心角、弧、弦的关系 四．圆周角定理 五．点与圆的位置关系 六．三角形的外接圆与外心 七．切线的性质 八．切线的判定与性质 九．三角形的内切圆与内心 一十．正多边形和圆 一十一．弧长的计算 一十二．扇形面积的计算 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． · 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 一．垂径定理 1．（2024•柯桥区二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【解答】解：如图，，过圆心，连接，， ， ，纸条的宽为，，， ， ，， 设 ， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出的长． 2．（2024•罗湖区校级模拟）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接．若，，则的半径长为 　10　． 【答案】10． 【分析】设，利用勾股定理根结合方程求解． 【解答】解：是的直径，弦， ， 设，则有， 解得． 故答案为：10． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 二．垂径定理的应用 3．（2024•雁塔区校级模拟）要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点，，再作弦的垂直平分线交于点，交圆弧于点，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，，则轮子的半径为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由垂径定理，可得出的长；连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【解答】解：设圆心为，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三．圆心角、弧、弦的关系 4．（2024春•廉江市校级月考）如图，是的直径，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理求出，再根据平角的定义求出的度数即可． 【解答】解：是的直径，， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角的一半是解题的关键． 四．圆周角定理 5．（2024•湖州一模）如图，是的直径，，是上的两点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数，继而求得的度数，又由圆周角定理，即可求得答案． 【解答】解：连接， 是的直径， ， ， ； ． 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 6．（2023秋•浦北县期末）如图，在中，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角之间的关系得出，根据圆周角定理得出，求出答案即可． 【解答】解：连接， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理和弧，弦，圆心角之间的关系，能熟记知识点是解此题的关键． 7．（2024•汉川市模拟）如图，是的弦，交于点，点是上一点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂径定理，推出，可得，由同弧所对的圆周角等于圆心角的两倍解题即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查圆的性质，其中涉及垂径定理、圆周角定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8．（2024•西和县二模）如图，是的直径，点、在上，若，则　66　度． 【答案】66． 【分析】由圆周角定理得到，求出，即可得到． 【解答】解：连接， 是的直径， ， ， ， ． 故答案为：66． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到，． 9．（2024•南京模拟）正方形内接于，是的中点，连接、，则　22.5　． 【分析】先根据正方形的性质得出的度数，再由是的中点即可得出的度数，进而可得出结论． 【解答】解：连接、、，如图所示． 四边形是园内接正方形， ． 是的中点， ， ． 故答案为：22.5． 【点评】本题考查的是圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系．熟知正方形的性质是解答此题的关键． 五．点与圆的位置关系 10．（2024•梅州模拟）在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 　2　． 【答案】2． 【分析】取的中点，连接，，由角的和差关系可知，得点在以为直径的圆上运动，则当点在线段上时，有最小值，根据三角形的三边关系，从而解决问题． 【解答】解：如图，取的中点，连接，， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 在中，， 当点在线段上时，有最小值， 点是的中点，， ， 在中，，， ， 的最小值． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，三角形的三边关系，勾股定理等知识，确定点的运动路径是解题的关键． 六．三角形的外接圆与外心 11．（2024•武汉模拟）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为20，现用一个半径为的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先根据已知条件可得，，，大正方形的 边长为，再分析内接于圆时，最小，利用三角形全等得到，再根据的余弦列出比例式代入数据计算即可． 【解答】解：大正方形的面积为20， 大正方形的边长即直角三角形斜边长为， ， ，， ，即， ， 解得或（舍去）， ，， 根据题意，用一个半径为的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，如图所示，最小． 内接于圆，则，，， ， 圆心在上， 取的中点，连接， 在和中， ， ， ， ， ，即， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了三角形外接圆与外心、垂径定理、勾股定理的证明，熟练掌握垂径定理是关键． 12．（2024•崆峒区校级三模）如图，内接于，连接、，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用圆周角定理得到，再利用得到，然后解方程即可． 【解答】解：， 而， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．也考查了圆周角定理． 七．切线的性质 13．（2024•福建模拟）如图，内接于，，是的两条切线，若，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先连接，，由切线的性质得到，由圆周角定理，求得的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可求得答案． 【解答】解：连接，， ，是的两条切线， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解决问题的关键． 14．（2024•兴庆区校级一模）如图，在中，，是边上一点，以点为圆心的半圆分别与边、相切于点、，连接．已知，，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得，再根据，从而可得四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，最后证明，从而利用相似三角形的性质可求出，再根据阴影部分的面积的面积正方形的面积（扇形的面积扇形的面积）进行计算即可解答． 【解答】解：如图：连接， 以点为圆心的半圆分别与边、相切于点、， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 解得：， 阴影部分的面积的面积正方形的面积（扇形的面积扇形的面积） ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．（2024•广州模拟）如图，、是的切线，、为切点，是上一点，连接、，若．，则的半径长为　　 A．1.5 B． C． D． 【答案】 【分析】连接、、，由切线的性质得，而，可求得，，所以，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接、、， 、是的切线，、为切点， ，， ， ， ， ， ， ， 的半径长为， 故选：． 【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、切线长定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．（2024•鹤山市一模）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，若，，则等于　　 A．6 B．4 C． D．3 【答案】 【分析】连接，证明，结合，，可得，，，，据此可得答案． 【解答】解：如图，连接， 切于点， ， ，， ，， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．（2024•包头模拟）如图，在矩形中，，，扇形的圆心在边上，点在边上，与边相切，切点为，则的长度为 　　（结果保留． 【答案】． 【分析】连接，由矩形的性质得，，由切线的性质证明，进而证明四边形是正方形，则，求得，由，得，则，即可根据弧长公式求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接，则， 四边形是矩形，，， ，，， 与边相切，切点为， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查矩形的性质、切线的性质、正方形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．（2024春•白云区校级月考）如图，在中，，，为的中点，分别与，相切于，两点，则的半径长为 　　． 【答案】． 【分析】连接，，，根据切线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得，，根据等腰三角形的性质可得、的长，从而可得的长． 【解答】解：连接，，， 、与相切于、两点， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即的半径长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（2024•东平县二模）如图，在中，，，，为边上的一点，以为半径的半圆交于点、交于点，过点作半圆的切线交边于点，且，则的半径为 　　． 【答案】． 【分析】连接，，易得，为等边三角形，设圆的半径为，由勾股定理可得：，列出方程进行求解即可． 【解答】解：，，， ，， ， 连接，，则：， ， 是切线， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 设的半径为，则：， 由勾股定理，得：， ， 解得：； 故答案为：． 【点评】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，关键是切线性质的应用． 20．（2024•阜阳二模）已知直线是的切线，点是切点，点是上一点，过点作于点，与交于点，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，延长交于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，然后根据直角三角形的性质可求出； （2）连接，，得．证明是等边三角形，是等边三角形，利用角三角形的性质即可求出． 【解答】解：（1）如图1，连接． 直线是的切线， ， ． ， ，， ， ． 在中，． （2）如图2，连接，，则． 由（1）知， ． ，， ． ， ， 是等边三角形， ． ， 是等边三角形， ，， ． 在中，，， ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质及判定、角三角形的性质． 21．（2024•大武口区一模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，与边交于点，过点作于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则可证明，加上，从而得到，然后证明得到结论； （2）利用勾股定理计算出，设，则，证明，利用相似比计算出，则，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【解答】（1）证明：连接，如图， 为切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； （2）在中，， 设，则， ， ， ，即，解得， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了相似三角形的判定与性质． 22．（2024•剑河县校级模拟）如图，是的直径，是弦，点是弧的中点，与交于点，是的切线，交的延长线于点，连接． （1）写出图中一对相等的角：　（答案不唯一）　； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 【答案】（1）；（答案不唯一） （2）见解答； （3）3． 【分析】（1）利用圆周角定理可判断； （2）连接、，如图，先根据切线的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，再证明，然后利用得到，所以； （3）设的半径为，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【解答】（1）解：与都对， ； 故答案为：；（答案不唯一） （2）证明：连接、，如图， 是的切线， ， ， 即， 点是弧的中点，是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设的半径为，则， 在中，，，， ， 解得， 即的半径为3． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理． 23．（2024•河南一模）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观 察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，与交于点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【分析】（1）连接，根据切线的性质的，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到； （2）根据直角三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（2024•河东区校级三模）已知四边形内接于，为的直径，，连接． （Ⅰ）如图①，若为弧的中点，求，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若，为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点，求的长． 【答案】（Ⅰ）；； （Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）连接，根据圆内接四边形的性质得，再根据可得出的度数；根据为弧的中点可得，由此可得的度数； （Ⅱ）连接，相交于点，证明得四边形为矩形，则，然后在△中由勾股定理求出即可得出的长． 【解答】解：（Ⅰ）连接，如图①所示： 四边形内接于，， ， 为的直径， ， ； 为弧的中点， 弧弧， ， ； （Ⅱ）连接，相交于点，如图②所示： 与相切于点， ，即， 为的直径， ， 为弧的中点，为的半径， ，， ， 四边形为矩形， ， 在△中，，， 由勾股定理得：， ． 【点评】此题主要考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，矩形的判定和性质是解决问题的关键． 八．切线的判定与性质 25．如图，已知是的直径，点，在上，且．点是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点．的平分线交射线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解答； （2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质，圆周角定理得出，再根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得出，进而得到，由切线的判定方法即可得出结论； （2）根据相似三角形的判定和性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出，，再根据相似三角形的性质即可求出答案． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即， 是半径， 是的切线； （2）解：是的直径， ，即， ， 又， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ， 在中，，， ，， ，， ， ， ． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质和判断方法，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键． 26．（2024•永安市二模）如图，在中，，点在边上，且，过点作交的延长线于点，以点为圆心，的长为半径作交于点． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为5，，求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）过点作，垂足为．根据，结合，得到，结合，得，证明即可证明是的切线． （2）的半径为5，，由题意得，．根据勾股定理计算，再证明即可． 【解答】解：（1）过点作，垂足为． ，，， ， ， ， ，， ， 即为的半径， 是的切线． （2）的半径为5，， 由题意得，． 在中，由勾股定理可得． ，， ， ． 【点评】本题考查了切线的证明，三角形相似，熟练掌握切线的证明是解题的关键． 27．（2024•天山区校级四模）如图所示，以的边为直径作，点在上，是的弦，，过点作于点，交于点，过作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）． 【分析】（1）连接，根据可得，从而证明，再根据可得，即可得出结论； （2）根据为直径可知，然后进一步利用进行等量代换，从而得出，据此进一步即可证明结论； （3）连接，根据圆周角定理得出，即可求得，根据圆周角定理得出，解直角三角形求得，然后根据三角形相似和等腰三角形的性质即可求得的值，再进一步求解即可． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， 是的半径， ， 是的切线． （2）为直径， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）连接， 为直径， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ， ． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定和性质以及三角形相似的判定和性质，锐角三角函数的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 28．（2024•澄海区一模）如图，内接于，是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长及的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，由圆周角定理得，进而得到，从而得出结论； （2）由，得到，求得，设，得到，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， 是的直径， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ，， ， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 的半径为6，， ， 的面积． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的面积的计算，平行线分线段成比例定理，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 29．（2024•寿光市三模）如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）的长是． 【分析】（1）连接，则，由，得，而，所以，即可证明是的切线； （2）连接，由勾股定理得，求得，所以，，求得，由，得． 【解答】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：连接， 是的直径， ， ， ， ，且，， ， 解得， ，， ， ， ， 的长是． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 九．三角形的内切圆与内心 30．（2024•碑林区校级模拟）如图，中，，，，点为内心，连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则　　 A． B．1 C． D． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形内心的定义进行计算即可． 【解答】解：如图，过点作于点， 过内心， 是的平分线， 即， ， ， ， ， ， 在中，，， ，， 在中，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质，掌握三角形内心的定义，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质是正确解答的关键． 31．（2024•江汉区二模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题干条件一一分析即可，另外再看选项时候选项很容易判断，所以着重证其他选项即可． 【解答】解：与、、分别相切于点、、， ， ， ， ，故选项不符合题意 根据切线长定理，设，，．根据题意，得 ，解得， 即．故选项不符合题意； 过点作于，则， ， ， 解得， ， 连接， 与，，分别相切于点，，， ， ， ， ． 故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形内切圆，熟练掌握切线的性质、勾股定理、圆周角定理等知识点是解题关键． 32．（2024•新城区模拟）如图，在中，，是的内切圆，，，是切点，连接，．交于，两点．点是上的一点，连接，，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】先根据三角形内心的性质得，，进而求出，即可求出，然后根据圆周角定理得出答案． 【解答】解：是的内切圆， ，是的角平分线， ，． ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 一十．正多边形和圆 33．（2024•深圳模拟）两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则点的坐标是 　，　． 【答案】，． 【分析】根据正六边形的性质和解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：如图，设正六边形的中心为，连接，过作于， 则，， ， ，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 一十一．弧长的计算 34．（2024•内蒙古）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图，与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心，所对的圆心角都是，点，，在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 　28.7　米．取3.14，计算结果精确到 【答案】28.7． 【分析】利用弧长公式构建关系式，可得结论． 【解答】解：由题意， （米． 米． 故答案为：28.7． 【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式． 35．（2024•河南二模）如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，再以点为圆心，以的长为半径作，交半圆于点，交于点，则图中阴影部分的周长为 　　． 【答案】． 【分析】根据题意可知，得出是等边三角形，则，然后根据弧长公式可以解答本题． 【解答】解：连接，，如图所示， 由题意可知， 是等边三角形， ， ， ， 阴影部分的周长为：， 故答案为：． 【点评】本题考查弧长的计算、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 一十二．扇形面积的计算 36．（2024•微山县二模）如图，是的直径，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于，，作直线交于点，．若，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D．27 【答案】 【分析】连接、、、，根据线段垂直平分线的性质求出，，结合圆的性质推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，同理，则，解直角三角形求得，，即可得到，再根据求解即可． 【解答】解：如图，连接、、、， 由题意可知是的垂直平分线， ，． ， ， 是等边三角形， ， 同理， ， ， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 37．（2024•松原模拟）如图，在矩形中，，平分交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若点为的中点，则图中阴影部分的面积为 　　． 【答案】． 【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出，的长以及的度数，进而利用图中阴影部分的面积，求出答案． 【解答】解：在矩形中，，平分交于点， ，， ， ，， 点是的中点， ， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出的长以及的度数是解题关键． 38．（2024•朝阳区校级模拟）如图，在扇形中，点在上，，，于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为 　　． 【答案】． 【分析】连接，作于，根据等腰直角三角形的性质得出，，进而得出，即可得到，解直角三角形求得、、，然后根据计算即可求得． 【解答】解：连接，作于， ，， ，， ，于点， ，， ，， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了运用切割法求图形的面积．解决本题的关键是把所求的面积转化为容易算出的面积的和或差的形式． 39．（2024春•海淀区期末）如图，在中，，分别以边，，为直径画圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则　　（填“”，“ ”或“” ． 【答案】． 【分析】根据题给图形可知：，，在中，继而即可得出答案． 【解答】解：在中， ， ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积，勾股定理，根据题意得出阴影部分的面积与直角三角形三条边的关系是解答此题的关键． 40．（2024•泰山区校级二模）如图，在菱形中，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、．若，，则阴影部分的面积为 　　． 【答案】， 【分析】连接，根据菱形的性质求出和，求出长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可． 【解答】解：连接， 四边形是菱形， ， ，为的中点， ，是等边三角形，， ， ， 由勾股定理得：， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出、和扇形的面积是解此题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$