第2章对称图形——圆 基础题过关检测★【13个考点40题专练】【冲刺满分】 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第2章对称图形——圆 基础题过关检测★【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学九年级上册 一．垂径定理 二．垂径定理的应用 三．圆心角、弧、弦的关系 四．圆周角定理 五．圆内接四边形的性质 六．三角形的外接圆与外心 七．切线的性质 八．切线的判定 九．切线的判定与性质 一十．正多边形和圆 一十一．弧长的计算 一十二．扇形面积的计算 一十三．圆锥的计算 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． · 圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 一．垂径定理 1．（2024•民权县三模）如图，在中，直径，弦，交于点，连接．若，则的长为　　 A．5 B．4 C．8 D．6 2．（2024•楚雄市一模）如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为　　 A．5 B． C． D． 3．（2023秋•西城区校级期中）如图，在中，是直径，是弦，且于点，，，求的半径． 二．垂径定理的应用 4．（2024•复兴区校级模拟）如图，是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知，，，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点，都在圆形工件的圆周上，将直角边与圆形工件圆周的交点记为点，恰好发现，则该圆形工件的半径长为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•武胜县期末）于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长求半径的长． 三．圆心角、弧、弦的关系 6．（2023秋•沂源县期末）、是的弦，、分别交于点、，且．求证：． 四．圆周角定理 7．（2024•保德县三模）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为　　 A．3 B． C．5 D．4 8．（2024•夏邑县二模）如图，是的直径，弦，垂足为点，若，，则的半径为　　 A． B．4 C． D．5 9．（2024•吉林一模）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接，若，则的度数可能是　　 A． B． C． D． 10．如图，点，，在上，，连结，，则的度数为　　 A． B． C． D． 11．（2024•郸城县三模）如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 12．（2024•大冶市一模）如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为　　 A． B．2 C． D． 13．（2024•内蒙古一模）如图，为的直径，点，，在上，且，两点与点分别在的两侧．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 14．（2024•田阳区一模）如图，圆心角，则的度数是　　 A． B． C． D． 15．（2024•钦南区校级三模）如图，是半圆的直径，，点是上的一点，则　　度． 16．（2023秋•金湾区期末）如图，是的直径，，求的度数． 17．（2024•合水县一模）如图，是的直径，弦于点，点在上，， （1）求证：； （2）若，，求的直径． 五．圆内接四边形的性质 18．（2024春•龙华区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，，则 的度数是　　 A． B． C． D． 19．（2024•兴宁区校级模拟）如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数为 　　． 20．（2024•鼓楼区二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则　　． 21．（2024•青海）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 　　． 六．三角形的外接圆与外心 22．（2024•埇桥区校级三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为　　 A．4 B． C． D．8 23．（2024•五华区二模）如图，内接于，是的直径，，则的度数是　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•义乌市期末）如图是学校劳动社团的同学，利用数学知识绘制的社团会徽的草图，设计过程如下：作等腰内接于圆，过点作交于点，交圆于点，过点作于点，于点，连结，，测得，，则四边形的面积为 　　． 25．（2024•西城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是 　　． 七．切线的性质 26．（2024•临泉县校级三模）如图，已知为的直径，切于点，连接，点是上一点，连接，且交其延长线于点，、延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 八．切线的判定 27．（2024•新邵县二模）如图，在中，，在斜边上取一点，以为半径作，交于点，交于点，连接． （1）如图1，若，，求的半径． （2）如图2，若与交于点，连接，，且； ①求证：是的切线； ②若，，求的长． 九．切线的判定与性质 28．（2024•盱眙县校级一模）如图，是的直径，点在直径上与，不重合），，且，连接，与交于点，在上取一点，使得与相切． （1）求证：； （2）若是的中点，，求的长． 29．（2024•凉州区三模）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 一十．正多边形和圆 30．（2024•漳州三模）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长　　． 31．（2024•中山市二模）如图，正六边形内接于，其半径为6，则这个正六边形的边心距的长为 　　． 一十一．弧长的计算 32．一个扇形的半径为4，圆心角是，该扇形的弧长是 　　． 一十二．扇形面积的计算 33．（2022•南安市一模）如图：在平面直角坐标系中，已知经过坐标原点，与轴，轴分别交于、两点，点的坐标为，，与相交于点，且，求图中阴影部分的面积． 一十三．圆锥的计算 34．（2024春•崂山区校级月考）一个底面直径是2厘米，高是9厘米的圆锥体木块，分成形状大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加　　平方厘米． A．30 B．36 C．18 D．72 35．（2024•绵阳模拟）如图，一个母线长为6，底面圆半径为2的圆锥，展开后得到扇形，则扇形的面积是 　　． 36．（2024•文山州一模）如果某圆锥形纸帽的底面直径为，沿侧面剪开后所得扇形的半径为，则该圆锥纸帽的侧面积为 　　（结果保留 37．（2024•秦淮区二模）如图，是一圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的面积是 　　．（结果保留 38．（2024•柯桥区二模）已知圆锥的高为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为 　　． 39．（2024•靖江市二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 　　． 40．（2024•绥化）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 　　． 第2章对称图形——圆 基础题过关检测★【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学九年级上册 【解析版】 一．垂径定理 二．垂径定理的应用 三．圆心角、弧、弦的关系 四．圆周角定理 五．圆内接四边形的性质 六．三角形的外接圆与外心 七．切线的性质 八．切线的判定 九．切线的判定与性质 一十．正多边形和圆 一十一．弧长的计算 一十二．扇形面积的计算 一十三．圆锥的计算 · 知识点梳理 · 垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． · 垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． · 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． · 圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． · 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． · 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． · 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． · 切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． · 切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． · 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． · 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． · 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． · 圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 一．垂径定理 1．（2024•民权县三模）如图，在中，直径，弦，交于点，连接．若，则的长为　　 A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，再根据勾股定理及线段的和差求解即可． 【解答】解：为的直径，，， ， 直径， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键． 2．（2024•楚雄市一模）如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为　　 A．5 B． C． D． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，由勾股定理求出，由垂径定理得到，由勾股定理即可求出． 【解答】解：是的直径， ， ，， ， 于点， ， ． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出长，由垂径定理得到的长． 3．（2023秋•西城区校级期中）如图，在中，是直径，是弦，且于点，，，求的半径． 【答案】10． 【分析】根据垂径定理推论得到，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，连接， 是的直径，，， ， ， ， ， ，， ， ， 即的半径为10． 【点评】此题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理及推论是解题的关键． 二．垂径定理的应用 4．（2024•复兴区校级模拟）如图，是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知，，，李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点，都在圆形工件的圆周上，将直角边与圆形工件圆周的交点记为点，恰好发现，则该圆形工件的半径长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质得出，利用三角形外角的性质得出，利用圆周角定理得出是圆的直径，利用角的直角三角形的性质即可求得圆形工件的直径长为，据此求解即可． 【解答】解：，， ， ， ， 是圆的直径， ， 该圆形工件的半径长为：， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，角的直角三角形的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 5．（2023秋•武胜县期末）于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长求半径的长． 【答案】． 【分析】设半径的长为 ，则 ，由已知可得，，然后在中，由勾股定理得，即，由此解出即可． 【解答】解：设半径的长为 ， 则 ， 弓形高， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：． 答：半径的长为． 【点评】此题主要考查了弓形的概念，熟练掌握弓形的概念，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三．圆心角、弧、弦的关系 6．（2023秋•沂源县期末）、是的弦，、分别交于点、，且．求证：． 【分析】过点作于点，延长与交于．先由等腰三角形三线合一的性质得出，利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知；然后根据垂径定理可知；最后根据图形易证得结论． 【解答】证明：过点作于点，延长与交于． ，于点， ， ． 又于点， ， ， 即． 【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质．解答本题时，通过作辅助线构建等弧；来证明结论． 四．圆周角定理 7．（2024•保德县三模）如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为　　 A．3 B． C．5 D．4 【答案】 【分析】根据圆周角定理求出，，等量代换求出，进而求出，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 8．（2024•夏邑县二模）如图，是的直径，弦，垂足为点，若，，则的半径为　　 A． B．4 C． D．5 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，解直角三角形求解即可． 【解答】解：是的直径，弦， ，，， ， ， ， ， ， ， 即的半径为4， 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，熟练运用圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 9．（2024•吉林一模）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接，若，则的度数可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求得的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得的范围，继而得出答案． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， 点为上任意一点（点不与点重合）， ， ， ， 的度数可能是． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得的范围是解题的关键． 10．如图，点，，在上，，连结，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【解答】解：，， ． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． 11．（2024•郸城县三模）如图，是的直径，，是上的两点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用邻补角的定义计算出，然后根据圆周角定理得到的度数． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，熟记圆周角定理是解题的关． 12．（2024•大冶市一模）如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为　　 A． B．2 C． D． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理可得，证出为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案． 【解答】解：连接，如图所示： 是的直径，弦，， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 13．（2024•内蒙古一模）如图，为的直径，点，，在上，且，两点与点分别在的两侧．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周角定理及平角的定义求解即可． 【解答】解：如图，连接， ，，， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 14．（2024•田阳区一模）如图，圆心角，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】在优弧上取一点，连接、，根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可． 【解答】解：如图，在优弧上取一点，连接、， ， ， 、、、四点共圆， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，能根据圆周角定理得出是解此题的关键． 15．（2024•钦南区校级三模）如图，是半圆的直径，，点是上的一点，则　125　度． 【答案】125． 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余求出，然后利用圆内接四边形对角互补进行计算即可解答． 【解答】解：是半圆的直径， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 故答案为：125． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 16．（2023秋•金湾区期末）如图，是的直径，，求的度数． 【分析】连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数． 【解答】解：连接，如图， 是的直径， ， ， ． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 17．（2024•合水县一模）如图，是的直径，弦于点，点在上，， （1）求证：； （2）若，，求的直径． 【分析】（1）根据圆周角定理得，而，则，于是根据平行线的判定即可得到； （2）解：连接，如图，有（1）得，再根据垂径定理得到，则利用圆周角定理得，于是可判断为等边三角形，所以， 易得的直径为6． 【解答】（1）证明：， 而， ， ； （2）解：连接，如图， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 的直径为6． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 五．圆内接四边形的性质 18．（2024春•龙华区校级月考）如图，四边形是的内接四边形，，则 的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出，再利用圆周角定理解答． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题利用了圆周角定理，圆内接四边形的性质求解． 19．（2024•兴宁区校级模拟）如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角解答即可． 【解答】解：四边形内接于， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 20．（2024•鼓楼区二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则　15　． 【答案】15． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，进而求出． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， ， 故答案为：15． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 21．（2024•青海）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 六．三角形的外接圆与外心 22．（2024•埇桥区校级三模）如图，是的外接圆，．若，，则的半径为　　 A．4 B． C． D．8 【答案】 【分析】连接，根据直角所对的弦为直径，以及同弧所对的圆周角相等，得到为直径，，进而求出的长即可． 【解答】解：连接，则：， ， ， 为的直径， ，，， ， 的半径为； 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 23．（2024•五华区二模）如图，内接于，是的直径，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】首先连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数，继而求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数． 【解答】解：连接， 是的直径， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 24．（2023秋•义乌市期末）如图是学校劳动社团的同学，利用数学知识绘制的社团会徽的草图，设计过程如下：作等腰内接于圆，过点作交于点，交圆于点，过点作于点，于点，连结，，测得，，则四边形的面积为 　32　． 【答案】32． 【分析】连接，由等腰三角形的性质和可得平分，由，可得，进而得出，可得，，则，得出垂直平分，利用三角形相似求出，即可解答． 【解答】解：连接，连接，如图： 是等腰三角形，， 平分，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 点，点在的垂直平分线上， ， 是直径，， ，， ， ，即， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形的面积为． 故答案为：32． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，对角线互相垂直的四边形的面积，综合运用以上知识是解题关键． 25．（2024•西城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是 　，　． 【答案】，． 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则点为的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，所以，，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标． 【解答】解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， 点为的中点， 在中，， ， ， ，，， 点坐标为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质． 七．切线的性质 26．（2024•临泉县校级三模）如图，已知为的直径，切于点，连接，点是上一点，连接，且交其延长线于点，、延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）如图，连接，由切线的性质得，继而得到，根据直角三角形两锐角互余得，再根据，可推出，即可得证； （2）连接，，证明，根据等腰三角形的三线合一性质得，点为中点，根据三角形中位线得，最后在中，由勾股定理可得解． 【解答】（1）证明：如图，连接， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，， 为的直径，，， ，， ， ， ，， 点为中点， 点也为中点， ， 在中， ． 【点评】本题考查切线的性质，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰三角形的三线合一性质，过三角形一边的中点的直线与第三边平行必平分第三边，三角形中位线定理，勾股定理等知识点．掌握圆的基本性质是解题的关键． 八．切线的判定 27．（2024•新邵县二模）如图，在中，，在斜边上取一点，以为半径作，交于点，交于点，连接． （1）如图1，若，，求的半径． （2）如图2，若与交于点，连接，，且； ①求证：是的切线； ②若，，求的长． 【答案】（1）2； （2）①见解析；②5． 【分析】（1）由是直径，可得，则，，，计算求解，进而可求的半径． （2）①如图2，连接，，，则，，由，可得，即，可得，，是的垂直平分线，则，，进而结论得证；②如图2，记，的交点为，则四边形是矩形，，由是的垂直平分线，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【解答】解：（1）是直径， ， ， ， ， 的半径为2． （2）①证明：如图2，连接，，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是的垂直平分线， ， 由（1）知，， ， 又是半径， 是的切线； ②解：如图2，记，的交点为，则四边形是矩形， ， 是的垂直平分线， ， 由勾股定理得，， 的长为5． 【点评】本题考查了直径所对的圆周角为直角，平行线的判定与性质，余弦，切线的判定，垂直平分线的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，平行线的判定与性质，余弦，切线的判定，垂直平分线的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 九．切线的判定与性质 28．（2024•盱眙县校级一模）如图，是的直径，点在直径上与，不重合），，且，连接，与交于点，在上取一点，使得与相切． （1）求证：； （2）若是的中点，，求的长． 【答案】（1）证明见详解； （2）． 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答； （2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：连接， ， ， ， 是的半径，是的切线， ， ， ， ， ． （2）解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 29．（2024•凉州区三模）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）8． 【分析】（1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：设， 在中，，， ， 由勾股定理，得：， 解得：， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． 一十．正多边形和圆 30．（2024•漳州三模）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长　　． 【答案】． 【分析】根据正六边形的性质，可得，，根据等腰三角形的性质，可得的长，根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理，可得答案． 【解答】解：如图，连接，过点作于， 由正六边形，得， ， ， 由，得， 在中，， ， ， 即， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键，又利用了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形． 31．（2024•中山市二模）如图，正六边形内接于，其半径为6，则这个正六边形的边心距的长为 　　． 【答案】． 【分析】连接、，证出是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可． 【解答】解：如图所示，连接、， 多边形是正六边形， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出是解决问题的关键． 一十一．弧长的计算 32．一个扇形的半径为4，圆心角是，该扇形的弧长是 　　． 【答案】． 【分析】利用弧长公式求解即可． 【解答】解：由题意得，扇形的弧长． 故答案为：． 【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式． 一十二．扇形面积的计算 33．（2022•南安市一模）如图：在平面直角坐标系中，已知经过坐标原点，与轴，轴分别交于、两点，点的坐标为，，与相交于点，且，求图中阴影部分的面积． 【分析】从图中明确，然后依公式计算即可． 【解答】解：， 是直径， 连接， 根据同弧对的圆周角相等得， 由题意知，， ， 即圆的半径为2， 阴影部分的面积等于半圆的面积减去的面积， ． 【点评】本题考查了扇形的面积的计算，利用了：①同弧对的圆周角相等；②的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念；④圆、直角三角形的面积分式． 一十三．圆锥的计算 34．（2024春•崂山区校级月考）一个底面直径是2厘米，高是9厘米的圆锥体木块，分成形状大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加　　平方厘米． A．30 B．36 C．18 D．72 【答案】 【分析】根据表面积增加了两个等腰三角形的面积，进行求解即可． 【解答】解：表面积增加了（平方厘米）； 故选：． 【点评】本题考查圆锥的表面积，熟练掌握圆锥的表面积的求法是解题的关键． 35．（2024•绵阳模拟）如图，一个母线长为6，底面圆半径为2的圆锥，展开后得到扇形，则扇形的面积是 　　． 【答案】． 【分析】根据扇形面积公式计算可得． 【解答】解：扇形的面积是． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的计算和扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 36．（2024•文山州一模）如果某圆锥形纸帽的底面直径为，沿侧面剪开后所得扇形的半径为，则该圆锥纸帽的侧面积为 　　（结果保留 【答案】． 【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：圆锥的底面周长是：， 则圆锥纸帽的侧面积为：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答本题的关键是运用圆锥的侧面积底面周长母线长的公式． 37．（2024•秦淮区二模）如图，是一圆锥的主视图，若，，则该圆锥的侧面展开图的面积是 　　．（结果保留 【答案】． 【分析】根据扇形面积公式计算，得到答案． 【解答】解：由题意得：圆锥的底面直径为10， 则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图的面积为：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，解决本题的关键是理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 38．（2024•柯桥区二模）已知圆锥的高为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为 　　． 【答案】 【分析】由于高线，底面的半径，母线正好组成直角三角形，故母线长可由勾股定理求得，再由圆锥侧面积底面周长母线长计算． 【解答】解：高线长为，底面的半径是， 由勾股定理知：母线长为， 圆锥侧面积底面周长母线长， 故答案为：． 【点评】本题考查圆锥的侧面积表达公式应用，需注意应先算出母线长． 39．（2024•靖江市二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 　6　． 【答案】6． 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【解答】解：根据题意得， 解得，， 即该圆锥母线的长为． 故答案为：6． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 40．（2024•绥化）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 　　． 【答案】． 【分析】易得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径． 【解答】解：扇形的弧长， 故圆锥的底面半径为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$