2.2 直线的方程 -2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2 直线方程 知识点一 点斜式 【解题思路】 直线的点斜式方程的步骤 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 【例1】（2024江苏淮安·阶段练习）写出下列直线的点斜式方程． （1）经过点，且其倾斜角与直线相等； （2）经过点，且与轴平行； （3）经过点，且与轴垂直． (4)经过点，斜率为3； (5)经过点，倾斜角是； (6)经过点，倾斜角是． 【变式】 （23-24新疆）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(2，5)，斜率是4； (2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1,－1)，与x轴平行． (4)P（2，3），； (5)P（-2，-1），； (6)P（-5，-1），． （7）经过点，斜率是； （8）经过点，倾斜角是； （9）经过点，倾斜角是； （10）经过点倾斜角是． 知识点二 斜截式 【解题思路】 求直线的斜截式方程的思路 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【例2】（2024湖北）写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角为，在轴上的截距是． 【变式】 1．（2024四川眉山·阶段练习）已知直线l经过点A.且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的斜截式方程为 . 2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 3．（2023高二下·山东潍坊·阶段练习）写出下列直线的斜截式方程： (1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2； (2)直线过点（3，1）且在y轴上截距是-1. (3)斜率为2，在y轴上的截距是5； (4)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (5)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 知识点三 两点式 【解题思路】 两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【例3】（2023江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)；(2)A(2, 1), B(0, －3)；(3)A(0, 5), B(4, 0). 【变式】 1．（2024吉林长春·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，；(2)，．（3），；    （4），． 知识点四 截距式 【解题思路】 截距式求直线方程 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用 【例4-1】（2023湖北）直线的截距式方程是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例4-3】（23-24高二上·吉林·期末）（多选）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高二上·北京顺义·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二上·黑龙江·期中）（多选）若直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 4．（2023-2024山西）（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为 . （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是 . 5（2024福建）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程. 知识点五 直线的一般式 【例5】根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式. ①斜率是，经过点； ②经过点，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，； ④经过两点 【变式】 1．（23-24高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是，经过点； (2)法向量，经过点； (3)经过点，平行于x轴； (4)在x轴和y轴上的截距分别是，； (5)经过两点． (6)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (7)经过两点，； (8)经过点，平行于x轴； (9)在x轴，y轴上的截距分别为，． 2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）. (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 知识点六 直线图像 【例6-1】（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【例6-2】（23-24湖南）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A．B．C．D． 【变式】 1．（22-23高二·江苏·课后作业）直线可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24江西抚州）已知，，则直线通过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3．（23-24高二上·安徽六安）直线不过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023江西南昌·阶段练习）两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C． D． 知识点七 直线与坐标轴围城的面积 【例7】（2023-2024陕西）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点. (1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程； (2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程. 【变式】 1．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2023山东德州·阶段练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 知识点八 含参直线过定点 【解题思路】 含参直线过定点的解题思路：提出参数---令参数的系数为0 【例8-1】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【例8-2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【变式】 1．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 . 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）（多选）已知直线：，其中，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则 C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 4．（23-24高二上·河南商丘·期中）（多选）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（    ） A． B． C．1 D．3 【题组一 点斜式】 1.（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 2（22-23 陕西延安 ）若光线沿倾斜角为的直线射向轴上的点，经轴反射，则反射直线的点斜式方程是（    ） A． B． C． D． 3（2023上海浦东新·期中）已知、、三点，则经过点且与平行的直线的点斜式方程为 4（2024上海浦东新 ）在中，，则边上的高所在的直线的点斜式方程为 . 【题组二 斜截式】 1（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 2（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【题组三 两点式】 1．（22-23高二·全国·课后作业）一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（    ） A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 2．（22-23高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 4．（21-22高二·全国·课后作业）过点，直线的两点式方程为 ． 5．（2024云南）已知直线过两直线和的交点，且过点，则直线的两点式方程为 ． 【题组四 截距式】 1（2024浙江·期中）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 2（2024北京）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 3（2024安徽）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 4（2024高二上·全国·专题练习）（多选）下列说法中错误的是（　　） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 5（2024上海）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程. 【题组五 一般式】 1（2023高二·全国·专题练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点； (2)经过点两点； (3)在x轴，y轴上的截距分别为； (4)经过点，且平行于x轴． (5)求过点，斜率是3的直线方程. (6)求经过点，且在轴上截距为2的直线方程. 2（23-23高二·全国·课后作业）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴，y轴上的截距分别为，； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 【题组六 直线的图像】 1．（2023陕西安康·期末）直线通过第一、二、四象限，则有（    ） A． B． C． D． 2（2024四川雅安·期中）若直线经过第一、二、四象限，则系数、、满足条件为（　　） A．、、同号 B．， C．， D．， 3（2024湖南株洲 ）直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4（2024山西运城·期中）已知则直线不过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5（2023·全国·单元测试）若直线不经过第二象限，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题组七 直线与坐标轴围城的面积】 1．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2023四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3（2024高三·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（    ） A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条 4（22-23高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 5（22-23高二上·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 6（2024内蒙古呼和浩特 ）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 7（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【题组八 含参直线过定点】 1．（22-23高二·全国·课后作业）已知直线的方程是，则由点斜式知该直线经过的定点、斜率分别为（    ） A．（－1，2），－1 B．（2，－1），－1 C．（－1，－2），－1 D．（－2，－1），1 2．（2024高三·全国·专题练习）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江西新余·阶段练习（多选））已知直线：，：，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．恒过点 D．当时，倾斜角是 7．（2024高二上·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 8．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）直线所过定点的坐标为 . 9（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 直线方程 知识点一 点斜式 【解题思路】 直线的点斜式方程的步骤 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 【例1】（2024江苏淮安·阶段练习）写出下列直线的点斜式方程． （1）经过点，且其倾斜角与直线相等； （2）经过点，且与轴平行； （3）经过点，且与轴垂直． (4)经过点，斜率为3； (5)经过点，倾斜角是； (6)经过点，倾斜角是． 【答案】（1）；（2）；（3）.(4)(5)(6) 【解析】（1）设直线的倾斜角为，则，因为所求直线的倾斜角与直线相等，所以，又经过点，所以点斜式方程. （2）因为与轴平行，所以，又经过点，所以点斜式方程. （3）因为与轴垂直．所以斜率不存在，又经过点，所以直线方程为. （4）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得，直线的点斜式方程为； （5）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为 （6）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为 【变式】 （23-24新疆）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(2，5)，斜率是4； (2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1,－1)，与x轴平行． (4)P（2，3），； (5)P（-2，-1），； (6)P（-5，-1），． （7）经过点，斜率是； （8）经过点，倾斜角是； （9）经过点，倾斜角是； （10）经过点倾斜角是． 【答案】(1)y－5＝4(x－2)(2)y－3＝x－2(3)y+1＝0(4)(5)(6) （7）；（8）；（9）；（10）； 【解析】（1）∵经过点A(2，5)，斜率是4，∴所求直线方程为y－5＝4(x－2). （2）∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2. （3）∵经过点C(－1,－1)，与x轴平行，∴斜率为0，∴方程为y+1＝0. （4）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为. （5）直线倾斜角，则直线斜率，直线l经过点，直线l的点斜式方程为. （6）直线倾斜角，直线斜率不存在，直线l经过点，直线l的方程为. （7）因为直线经过点，斜率是，所以直线的点斜式方程为； （8）因为直线经过点，倾斜角是，所以斜率为 所以直线的点斜式方程为； （9）经过点，倾斜角是，所以斜率为所以直线的点斜式方程为； （10）经过点，倾斜角是，所以斜率为所以直线的点斜式方程为； 知识点二 斜截式 【解题思路】 求直线的斜截式方程的思路 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【例2】（2024湖北）写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角为，在轴上的截距是． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1） （2）因为，所以． （3）因为，所以． 【变式】 1．（2024四川眉山·阶段练习）已知直线l经过点A.且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线l的斜截式方程为 . 【答案】 【解析】由知此直线的斜率为，设直线的倾斜角为，可得，所以，设直线l的倾斜角为，则，斜率为，根据点斜式可得：， 整理可得：.故答案为：. 2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 【答案】 【解析】设直线l的倾斜角为，则，则， 所以直线，故答案为：. 3．（2023高二下·山东潍坊·阶段练习）写出下列直线的斜截式方程： (1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2； (2)直线过点（3，1）且在y轴上截距是-1. (3)斜率为2，在y轴上的截距是5； (4)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (5)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【答案】(1)(2)(3)y＝2x＋5(4)y＝－x－2(5)y＝x＋3或y＝x－3 【解析】（1）斜率，截距，； （2）等价于直线过两点，直线方程为 ，即； 综上，（1），（2）. （3）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5. （4）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－， 故所求直线的斜截式方程为y＝－x－2. （5）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝． 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线的斜截式方程为y＝x＋3或y＝x－3. 知识点三 两点式 【解题思路】 两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【例3】（2023江苏·课后作业）已知直线分别经过下面两点，用两点式方程求直线的方程： (1)A(3, 1), B(2, －3)；(2)A(2, 1), B(0, －3)；(3)A(0, 5), B(4, 0). 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）直线的两点式方程为. （2） 直线的两点式方程为. （3） （3）直线的两点式方程为. 【变式】 1．（2024吉林长春·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为所求直线过点和点，根据直线的两点式方程可得：所求直线方程为.故选B. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线经过点，所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 3．（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，；(2)，．（3），；    （4），． 【答案】(1)；(2).（3）；（4）； 【解析】（1）因为直线过点，，所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，，所以该直线的两点式方程为 （3）因为直线的两点式方程为：，因为，， 所以直线的两点式方程：； （4）因为，，所以直线的两点式方程：； 知识点四 截距式 【解题思路】 截距式求直线方程 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用 【例4-1】（2023湖北）直线的截距式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，即，所以直线的截距式方程为．故选：B. 【例4-2】（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上，所以，解得，所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确.故选：C. 【例4-3】（23-24高二上·吉林·期末）（多选）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确； 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则解得或 若则直线l的方程为，即；故C正确； 若则直线l的方程为，即．故D正确； 故选：ACD. 【变式】 1．（23-24高二上·北京顺义·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】当直线过原点时，方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为，综上所求直线方程为或.故选：C. 2．（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当直线过原点时，方程为，符合题意， 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为，综上，所求直线的方程为或.故选：D. 3．（23-24高二上·黑龙江·期中）（多选）若直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】BD 【解析】依题意，，则直线中当得，当得， 则直线在x轴和y轴上的截距分别为和， 因此，解得或． 故选：BD. 4．（2023-2024山西）（1）经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为 . （2）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是 . 【答案】 或 或 【解析】（1）设直线方程为，因为直线过点， 所以，整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． （2）由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为－2， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5， 则所求直线方程为或 故答案为：（1）或；（2）或. 5（2024福建）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程. 【答案】(1)一般式6x﹣8y﹣13=0，可得截距式： (2)一般式方程7x﹣y﹣11=0，化为截距式方程 【解析】（1）∵，∴△ABC中平行于BC边的中位线的斜率， 又线段AB的中点为， ∴△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程为，化为一般式6x﹣8y﹣13=0， 可得截距式：. （2）BC边的中点为D（2，3）， ∴BC边的中线所在直线的方程为y﹣3=7（x﹣2）， 化为一般式方程7x﹣y﹣11=0，化为截距式方程. 知识点五 直线的一般式 【例5】根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式. ①斜率是，经过点； ②经过点，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，； ④经过两点 【答案】答案见解析 【解析】（1）由l的一般式方程得斜截式方程为：，截距式方程为：， 由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2. （2）①由点斜式得，化为一般式为：. ②由斜截式得，化为一般式为：. ③由截距式得，化为一般式为：. ④由两点式得,化为一般式为：. 【变式】 1．（23-24高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是，经过点； (2)法向量，经过点； (3)经过点，平行于x轴； (4)在x轴和y轴上的截距分别是，； (5)经过两点． (6)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (7)经过两点，； (8)经过点，平行于x轴； (9)在x轴，y轴上的截距分别为，． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (6)；(7)；(8)；(9). 【解析】（1）由点斜式方程，得，即． （2）由点法式方程，得，即． （3）由斜截式方程，得，即． （4）由截距式方程，得，即． （5）由两点式方程，得，即． （6）直线的斜率为，其倾斜角为，因此所求直线的倾斜角为，斜率为， 所以所求直线的方程为，即. （7）直线的斜率，所以直线的方程为，即. （8）经过点，平行于x轴的直线斜率为0，所以经过点，平行于x轴的直线方程为. （9）在x轴，y轴上的截距分别为，的直线方程为，即. 2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知的三个顶点是，，，求下列直线的方程（用一般式表示）. (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由已知，得的中点的坐标为，又因为AB上的中线过， 所以直线的方程为，即. （2）边所在直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为， 即. （3）由已知，得直线AC的斜率为，的中点的坐标为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线斜率为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为，即. 知识点六 直线图像 【例6-1】（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】直线即，经过第一、二、四象限，则，得，故选：B 【例6-2】（23-24湖南）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 【变式】 1．（22-23高二·江苏·课后作业）直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以A C错；当时，，故B对；故选：B 2．（23-24江西抚州）已知，，则直线通过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【解析】直线化为． ∵，，∴，，∴直线通过第一、二、四象限．故选：B． 3．（23-24高二上·安徽六安）直线不过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，可得，直线的方程为，该直线不过第二象限，合乎题意； 若，可得，直线的斜截式方程为， 若直线不过第二象限，则，解得.综上所述，.故选：C. 4．（2023江西南昌·阶段练习）两直线与的图象可能是图中的哪一个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，直线与直线斜率的符号相同，故只有B选项合乎题意.故选：B. 知识点七 直线与坐标轴围城的面积 【例7】（2023-2024陕西）过点作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点. (1)求的最小值，及此时直线l的截距式方程； (2)求的最小值，及此时直线l的截距式方程. 【答案】(1)8， (2)4， 【解析】（1）根据题意可设直线l的方程为，则，， 因为直线l过点，所以， 又（当且仅当，即，时取等号）， 所以，即， 所以的最小值为8，此时直线l的截距式方程为. （2）由（1）可知， 所以，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为4，此时，，直线l的截距式方程为. 【变式】 1．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）直线的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为，倾斜角分别为， 而，，又由二倍角公式， 所以有，整理得，解得或（舍去）， 所以设直线的方程为， 则直线与坐标轴分别交于， 所以由题意直线与坐标轴所围成的三角形的面积为， 解得，所以设直线的方程为， 当时，它可以变形为. 故选：C. 2．（2023山东德州·阶段练习）直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值可以为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】很显然，直线与轴和轴既不平行也不垂直， 当时，，当时，， 所以直线与轴和轴的交点分别为和， 因为直线与坐标轴所围成的三角形的面积为3， 所以有，解得：或. 故选：D 3．（23-24高二上·湖南·阶段练习）已知直线l过点，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B. （1）求面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）； （2）求的最小值及取得最小值时l的直线方程. 【答案】（1）( 或)；（2）最小值24；直线方程（或）. 【解析】（1）设l的方程为，由直线过点知，即，由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立， 又知，所以时等号成立， 此时l直线的方程为， 即面积最小时直线l的方程为. （2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为，所以得，，所以，得，等号成立时有k，得， 此时直线的方程为，即. 故的最小值是24，取最小值时直线l的方程是. 知识点八 含参直线过定点 【解题思路】 含参直线过定点的解题思路：提出参数---令参数的系数为0 【例8-1】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为 . 【答案】 【解析】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 【例8-2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【答案】 【解析】如下图，由题意， 直线方程可化为，    由解得，则直线过定点， 又，则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或，又当直线的斜率存在时，，所以或， 则直线的倾斜角为或，又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是.故答案为：. 【变式】 1．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 . 【答案】（－1，－1） 【解析】方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由得所以定点坐标是（－1，－1）. 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）直线恒过定点 . 【答案】 【解析】由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点． 故答案为：． 3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）（多选）已知直线：，其中，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若直线与直线平行，则 C．当时，直线的倾斜角为 D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【解析】由已知，直线：，则直线过定点，A正确； 若直线与直线平行，则，得，或，B错误； 当时，直线：，则，所以倾斜角为，C正确； 当时，直线：，其在轴上的截距分别为，不相等，D错误.故选：AC. 4．（23-24高二上·河南商丘·期中）（多选）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AD 【解析】因为，即直线过定点，斜率为， 因为，， 如图所示， 所以或，解得：或，故选：AD. 【题组一 点斜式】 1.（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点且斜率为的直线的点斜式方程为，故选： 2（22-23 陕西延安 ）若光线沿倾斜角为的直线射向轴上的点，经轴反射，则反射直线的点斜式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】光线沿倾斜角为的直线射向轴上经轴反射，则反射直线的倾斜角为, 反射光线斜率为,且反射光线过点, 这反射光线所在直线方程为点斜式方程是.故选:B. 3（2023上海浦东新·期中）已知、、三点，则经过点且与平行的直线的点斜式方程为 【答案】 【解析】直线的斜率为，所以直线的点斜式方程为. 故答案为： 4（2024上海浦东新 ）在中，，则边上的高所在的直线的点斜式方程为 . 【答案】 【解析】边上的高所在直线过点，斜率为，由点斜式写出边上的高所在直线方程为，故答案为：． 【题组二 斜截式】 1（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）因为直线斜率为，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：. （3）因为直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，所以直线过点，， 根据两点可求直线斜率，所以直线的斜截式方程为. 2（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为. （2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率. 所以该直线的斜截式方程为. 【题组三 两点式】 1．（22-23高二·全国·课后作业）一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（    ） A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 【答案】B 【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式． 由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式． 故选：B 2．（22-23高二·全国·课后作业）有关直线方程的两点式，有如下说法： ①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程也可写成； ③过点，的直线可以表示成. 其中正确说法的个数为(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】①正确，从两点式方程的形式看，只要，，就可以用两点式来求解直线的方程；②正确，方程与的形式有异，但实质相同，均表示过点和的直线；③显然正确.故选：D. 3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【解析】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 4．（21-22高二·全国·课后作业）过点，直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】过点，直线的两点式方程为 故答案为： 5．（2024云南）已知直线过两直线和的交点，且过点，则直线的两点式方程为 ． 【答案】 【解析】联立解得交点坐标为， 由和得直线的两点式方程为.故答案为：. 【题组四 截距式】 1（2024浙江·期中）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程化为，即为截距式方程．故选：A． 2（2024北京）已知直线过点，且与，轴的正半轴分别交于，两点．若的面积为12（为坐标原点），则直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的方程为，则的面积为①． 因为直线过点，所以②．联立①②，解得，，故直线的方程为， 故选：A． 3（2024安徽）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三顶点坐标为， 又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：， 则直线的两点式方程为：，故截距式方程为. 故选：A． 4（2024高二上·全国·专题练习）（多选）下列说法中错误的是（　　） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 【答案】ABC 【解析】对于A，直线方程的截距式为，其中， 故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，A错误； 对于B，，，都不是直线的截距式方程，B错误； 对于C，直线方程的斜截式，不能化为截距式方程，C错误； 对于D，在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为，D正确． 故选：ABC. 5（2024上海）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求： (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程. 【答案】(1)一般式6x﹣8y﹣13=0，可得截距式： (2)一般式方程7x﹣y﹣11=0，化为截距式方程 【解析】（1）∵，∴△ABC中平行于BC边的中位线的斜率， 又线段AB的中点为， ∴△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程为，化为一般式6x﹣8y﹣13=0， 可得截距式：. （2）BC边的中点为D（2，3）， ∴BC边的中线所在直线的方程为y﹣3=7（x﹣2）， 化为一般式方程7x﹣y﹣11=0，化为截距式方程. 【题组五 一般式】 1（2023高二·全国·专题练习）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点； (2)经过点两点； (3)在x轴，y轴上的截距分别为； (4)经过点，且平行于x轴． (5)求过点，斜率是3的直线方程. (6)求经过点，且在轴上截距为2的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解析】（1）由点斜式得直线方程为，即. （2）由两点式得直线方程为，即. （3）由截距式得直线方程为，即. （4）因为平行于x轴，所以直线的斜率为0， 又因为直线过点，所以直线方程为： （5）由点斜式得直线方程为，即. （6）由题意可知该直线斜率存在， 又因为直线在y轴上截距为2，所以可设直线方程为， 又因为该直线过点，则，解得， 所以直线方程为. 2（23-23高二·全国·课后作业）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴，y轴上的截距分别为，； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）由点斜式，得直线方程为，即. （2）由两点式，得直线方程为，即. （3）由截距式，得直线方程为，即. （4）平行于x轴，所以，直线的斜率为0，又因为直线过点B(4,2)，所以，直线方程为： 【题组六 直线的图像】 1．（2023陕西安康·期末）直线通过第一、二、四象限，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线通过第一、二、四象限，则有故选：C 2（2024四川雅安·期中）若直线经过第一、二、四象限，则系数、、满足条件为（　　） A．、、同号 B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】如下图所示： 由于直线经过第一、二、四象限，则斜率，可得， 在轴上的截距，可得，在轴上的截距，可得. 故选D. 3（2024湖南株洲 ）直线的方程为： ，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若直线斜率不存在，即不经过第二象限， 若直线斜率存在，即，所以， 综上实数的取值范围为，选C. 4（2024山西运城·期中）已知则直线不过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】直线方程即：，其斜率，直线在轴的截距，据此可知直线不经过第二象限. 本题选择B选项. 5（2023·全国·单元测试）若直线不经过第二象限，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知直线 ，转化为y=（3-2t）x-6，可知直线恒过（0，-6）故3-2t，解得 故选D . 【题组七 直线与坐标轴围城的面积】 1．（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C 2．（2023四川凉山·开学考试）经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】由题意，直线斜率一定存在，设所求方程为，即. 由，得或. 故所求直线方程为或. 故选：D 3（2024高三·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（    ） A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条 【答案】A 【解析】由题意，直线与轴、轴交点分别为，， ∴，作出其图象如图所示， 由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解. 故选：A 4（22-23高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【解析】（1）作，则.    由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 5（22-23高二上·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)面积的最小值是6，此时直线l的方程为 【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 6（2024内蒙古呼和浩特 ）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析，定点； (2)存在，且直线方程为. 【解析】（1）证明：将直线方程变形为， 由，可得， 因此，直线恒过定点. （2）解：设点A的坐标为，若，则， 则、，直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 此时直线与轴的交点为，则，，， 此时的周长为. 所以，存在直线满足题意. 7（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)12 (2) 【解析】（1）由整理得，， 令，解得，即直线经过定点. 不妨设直线的方程为，则有（*） 由（*）和基本不等式可得，，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，的最小值为12； （2）因，由（1）得，， 则，当且仅当时，等号成立， 故当时，取得最小值. 【题组八 含参直线过定点】 1．（22-23高二·全国·课后作业）已知直线的方程是，则由点斜式知该直线经过的定点、斜率分别为（    ） A．（－1，2），－1 B．（2，－1），－1 C．（－1，－2），－1 D．（－2，－1），1 【答案】C 【解析】由，得，所以直线的斜率为－1，过定点（－1，－2）． 故选：C. 2．（2024高三·全国·专题练习）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【解析】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线恒过定点，如图. 又因为，，所以直线的斜率k的范围为. 故选：C. 4．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设点，直线：，当点到的距离最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵直线：， ∴可将直线方程变形为， 由，解得， 由此可得直线恒过点， 当时，点到的距离最大时， ，则由，得. 故选：A. 5．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线， 变形可得，由，解得， 可得直线恒过定点，    则， 又直线的斜率为， 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为. 故选：A. 6．（23-24高二上·江西新余·阶段练习（多选））已知直线：，：，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．恒过点 D．当时，倾斜角是 【答案】AC 【解析】直线：，：， 对于A，当不相交时，，解得，此时，因此，A正确； 对于B，当时，，解得，B错误； 对于C，直线：，由，得，恒过点，C正确； 对于D，当时，直线：，倾斜角是，D错误. 故选：AC 7．（2024高二上·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 【答案】 【解析】由题意，在 令，解得， 不论m，n取什么值，直线必过一定点. 故答案为： 8．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）直线所过定点的坐标为 . 【答案】 【解析】由得， 联立方程得解得即定点坐标为. 故答案为： 9（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】直线即， 由题意，解得，即直线恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$