第一章 空间向量与立体几何 章末总结及测试-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 章末总结及测试 考点一 空间向量概念的辨析 1．（2024湖北）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 2．（2024·湖北武汉·期末）在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高二上·重庆万州·阶段练习）以下四个命题中正确的是（    ） A．向量，，若，则 B．若空间向量、、，满足，，则 C．对于空间向量、、，满足，，则 D．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面 4．（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）（多选）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 考点二 空间向量的基本定理 1．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）已知四棱锥的底面是平行四边形，为棱上的点，且，用表示向量为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 4．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 考点三 共线共面问题 1．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）给出下列四个命题： ①若存在实数，使，则 与共面； ②若 与共面， 则存在实数， 使 ③若存在实数，使 ，则点共面； ④若点共面， 则存在实数， 使 其中（    ）是真命题． A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）（多选）下列说法错误的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 考点四 空间向量的数量积 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 4．（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点五 空间向量的坐标运用 1．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量与向量共线 C．向量关于轴对称的向量为 D．向量关于平面对称的向量为 2 ．（22-23高二上·广东深圳·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C． D．向量共面 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）（多选）已知向量，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 4．（23-24高二上·四川宜宾·期末）（多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量 考点六 空间向量在立体几何中的应用 1．（23-24 河北廊坊·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的大小为. ①求二面角的余弦值； ②求点F到平面的距离. 2．（23-24 天津东丽·期末）三棱台中，若平面，，，，M，N分别是，中点. (1)求证：平面； (2)求面与面夹角的正弦值； (3)求点C到平面的距离. 3．（22-23高二下·福建漳州·期中）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 1． 单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）以下四个命题中，说法正确的是（    ） A．若任意向量、共线，则必存在唯一实数λ使得成立 B．若向量组、、是空间的一个基，则，，也是空间的一个基 C．所有的平行向量都相等 D．是直角三角形的充要条件是 6．（2024·四川雅安 ）设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 7．（2024·河南许昌 ）如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，下列判断中正确的个数为（       ） ①直线； ②平面； ③平面ADM. A．0 B．1 C．2 D．3 8．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则说法不正确的是（    ） A．平面 B． C．到平面的距离为 D．直线与所成角的余弦值为 2． 多选题 9．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．在正方体中， 10．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·福建莆田·期末）是棱长为2的正方体表面上一点，则（    ） A．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．设是的中点，若，则线段长度的最大值为 D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 3． 填空题 12．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则= 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间直角坐标系中的三点、、，则点A到直线BC的距离为 ． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 4． 解答题 15．（23-24高二下·河南新乡·期末）如图，在平面四边形中，为的中点，，将沿对折至，使得. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 16．（23-24高二下·海南海口·期末）如图，在三棱锥中，，，，点，分别是，的中点，底面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（23-24高二下·天津·期末）如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且. (1)求证：平面DEC； (2)求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值； (3)求点D到平面BEF的距离. 18．（2024·新疆·三模）已知底面是平行四边形，平面，，，，且. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（2024·江西新余）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.    (1)若为的中点，证明：平面平面； (2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 章末总结及测试 考点一 空间向量概念的辨析 1．（2024湖北）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解析】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误； 和大小一样、方向相同， 则，故②正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确； 向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误. 综上所述，②③正确. 故选：B． 2．（2024·湖北武汉·期末）在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 3．（23-24高二上·重庆万州·阶段练习）以下四个命题中正确的是（    ） A．向量，，若，则 B．若空间向量、、，满足，，则 C．对于空间向量、、，满足，，则 D．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面 【答案】C 【解析】当为零向量时，满足，但是与不垂直，故A错； 当为零向量时，与不一定共线，故B错； 相等向量具有传递性，故C正确； 因为，所以不共面，故D错. 故选：C. 4．（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）（多选）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【答案】ABD 【解析】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移， 而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的， 故相等向量的起点和终点不必相同， 对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误； 向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误； 由相反向量的定义可知C正确. 故选：ABD 考点二 空间向量的基本定理 1．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）已知四棱锥的底面是平行四边形，为棱上的点，且，用表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意.故选：A 2．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）如图，为的中点，以为基底，，则实数组等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为的中点，，， 故选:A. 3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：，所以.故选：A 4．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】结合图形可知： 是的中点，,, ， 是的中点，, , 即, ，，.故选：C. 考点三 共线共面问题 1．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）给出下列四个命题： ①若存在实数，使，则 与共面； ②若 与共面， 则存在实数， 使 ③若存在实数，使 ，则点共面； ④若点共面， 则存在实数， 使 其中（    ）是真命题． A．②④ B．①③ C．①② D．③④ 【答案】B 【解析】①：由共面向量定理知，故①正确； ②：共线，则不与共线， 则不存在实数x，y，使，故②错误； ③：共面向量定理知，故③正确； ④：共线，不与共线， 则不存在实数x，y，使，故④错误． 故选：B 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数使得，且， 显然选项A，C不成立； 对于选项B，由可得， 不合题意，即B错误； 对于D，化简可得， 满足，可得D正确； 故选：D 3．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知是三个不共面的向量，，且四点共面，则实数的值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为， 且四点共面， 由空间共面向量定理可知，存在实数满足， 即， 所以，解得，所以的值为. 故选：D. 4．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）（多选）下列说法错误的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若共线，则 D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面 【答案】BCD 【解析】对于A，，A正确； 对于B，当时，不存在，B错误； 对于C，共线，可以在同一条直线上，C错误； 对于D，当时，四点不共面，D错误.故选：BCD 考点四 空间向量的数量积 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由正三棱柱可得，， 而， 故 . 故选：A. 2．（23-24高二下·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 4．（2024高二·全国·专题练习）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D 考点五 空间向量的坐标运用 1．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量与向量共线 C．向量关于轴对称的向量为 D．向量关于平面对称的向量为 【答案】ABC 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，与共线，故B正确； 对于，设的起点为坐标原点，则该向量的终点为， 点关于轴对称的点的坐标为， 向量关于轴对称的向量为，故C正确； 对于，设的起点为坐标原点， 该向量的终点为， 关于平面对称的点的坐标为， 向量关于平面对称的向量为，故D错误. 故选：ABC. 2 ．（22-23高二上·广东深圳·期末）（多选）已知向量，，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C． D．向量共面 【答案】ABD 【解析】对于A，，，，A正确； 对于B，， 在上的投影向量为，B正确； 对于C，，与不垂直，C错误； 对于D，，共面，D正确. 故选：ABD. 3．（23-24高二下·浙江·阶段练习）（多选）已知向量，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】ABC选项，由题意得，故且，AC正确，B错误； D选项，在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ACD 4．（23-24高二上·四川宜宾·期末）（多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量 【答案】ACD 【解析】向量 若，则，，所以，A选项正确； 若，，，不满足则，B选项错误； 若，，则，C选项正确； 若，，则向量在向量上的投影向量: ，D选项正确. 故选：ACD 考点六 空间向量在立体几何中的应用 1．（23-24 河北廊坊·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的大小为. ①求二面角的余弦值； ②求点F到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2)①；② 【解析】（1）如图： 取中点，连接，. 因为为中点，所以且， 又四边形为菱形，且为中点，所以且， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）如图： 连接，，交于点， 因为四边形为菱形，所以，且为，的中点， 又因为，所以，，平面，且， 所以平面，易得为直线与平面所成的角的平面角， 则，又，，， 所以，，，， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，， ，，，. 所以，，，. ①设平面的法向量为 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以二面角的余弦值为：. ②点平面的距离为：. 2．（23-24 天津东丽·期末）三棱台中，若平面，，，，M，N分别是，中点. (1)求证：平面； (2)求面与面夹角的正弦值； (3)求点C到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）三棱台中，面分别是中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面； （2） 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则． ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设面与面夹角为， 则， 面与面夹角的正弦值； （3）由（2）可知平面的法向量为，而， 所以， 即点到平面的距离是． 3．（22-23高二下·福建漳州·期中）如图1，在正方形中，，为的中点，过点作的垂线，与分别交于点，把四边形ABFD沿BF折起，使得AO平面BCF，点A，D分别到达点的位置，连接，如图2. (1)设，是线段（不含端点）上一动点，问：是否存在点，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)存在， (2)． 【解析】（1）存在点，且当时，. 由题意，知两两垂直，所以以点O为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为 所以可求得 所以所以. 因为点在线段上，所以可设. 因为，所以点， 所以， 假设存在点，使得，则， 所以，解得，即所以， 所以存在点，且当时，. （2） 由（1）得 所以，，，=. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面的法向量为，则， 取，得，则是平面的一个法向量. 设平面与平面所成的角为， 则=， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 1． 单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，若，，则用基底表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，如图， 因为是的中点，所以 . 故选：B 2．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四面体中，对空间内任一点，满足，则下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，因四点共面,由空间向量基本定理可知，需使，解得.故选：B. 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 4．（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 5．（24-25高二上·上海·随堂练习）以下四个命题中，说法正确的是（    ） A．若任意向量、共线，则必存在唯一实数λ使得成立 B．若向量组、、是空间的一个基，则，，也是空间的一个基 C．所有的平行向量都相等 D．是直角三角形的充要条件是 【答案】B 【解析】对于A，A中应该强调，故A错误； 对于B，向量组、、是空间的一个基底， 所以、、三个向量不共面，所以，，也不共面， 所以向量组，，也可以做空间的一个基底，故B正确； 对于C，平行向量包括两种情况，一种是零向量与任意向量平行， 一种是方向相同或相反的向量是平行向量， 所以平行向量不一定相等，故C错误； 对于D，若是直角三角形， 则中有一个角为直角，即或或. 反过来，若，则为直角，则是直角三角形， 所以是是直角三角形的充分不必要条件，故D错误； 故选：B. 6．（2024·四川雅安 ）设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心， 所以， 因为D是PG上的一点，且， 所以， 因为， 所以 , 因为， 所以， 所以为， 故选：B 7．（2024·河南许昌 ）如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，下列判断中正确的个数为（       ） ①直线； ②平面； ③平面ADM. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】设长方体棱长为 ， 以D为坐标原点，分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则 故 , , 故直线不成立，①不正确； 在长方体中，平面，②正确， 因为， 设平面ADM的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ，则， 而，故， 故平面ADM.不成立，故③错误， 故选：B 8．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则说法不正确的是（    ） A．平面 B． C．到平面的距离为 D．直线与所成角的余弦值为 【答案】A 【解析】如图：以中点为原点，建立空间直角坐标系. 则：，，，，，，，. 所以，，，，. 设平面的法向量为：，则： ，取. 对A：因为，所以平面不成立，故A错误； 对B：因为，所以成立，故B正确； 对C：点到平面的距离为：，故C正确； 对D：设直线与所成的角为，则，故D正确. 故选：A 2． 多选题 9．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．在正方体中， 【答案】BD 【解析】对于A，若，但，的方向不确定，A错误； 对于B，若，两边平方得， 则，B正确； 对于C，，则，即得， 故，， 故， 而，故与的夹角为，C错误； 对于D，在正方体中，， 故四边形为平行四边形，故， 故，D正确， 故选：BD 10．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】选项A，由题意，得，故A错误； 选项B，， 所以， 所以，故B正确； 选项C，，故C正确； 选项D，由， 因为，所以，D错误. 故选：BC. 11．（23-24高二下·福建莆田·期末）是棱长为2的正方体表面上一点，则（    ） A．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．设是的中点，若，则线段长度的最大值为 D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】对于选项A，如图1，连接，因为，易知平面即平面， 过作于，因为面，面， 所以，又，面，所以面， 又的面积为定值，而随着的变化而变化，所以三棱锥的体积不为定值，所以选项A错误， 对于选项B，如图2，建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2， 则，设，， 又，， 设与所成的角为， 则， 当时，，此时， 当时，令，， 又，得到，所以，得到， 故，所以选项B正确， 对于选项C，如图3，取的中点， 连接， 易知，所以与确定唯一平面， 由正方体性质知与相交，所以， 连接，易知，又，，面， 所以面，又面，所以，同理可得， 又，所以面， 因为，所以，故面，又是正方体表面上一点，故在正六边形的边上运动， 由对称性知，当与重合时，线段长度最大，最大值为，所以选项C正确， 对于选项D，因为直线与平面所成的角为， 若点在平面内，如图4，过，连接，则为直线与平面所成的角， 由题知，则，显然只有与重合符合题意， 同理可知若点在平面内，与重合符合题意， 又因为面，得直线与所成的角为， 若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为， 若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为， 若点在平面时，作面，连接，如图4所示， 因为，所以，又，所以， 得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一的圆，此时轨迹长为， 所以点的轨迹长度为，故选项D正确， 故选：BCD. 3． 填空题 12．（23-24高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则= 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 故. 故答案为：. 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间直角坐标系中的三点、、，则点A到直线BC的距离为 ． 【答案】/ 【解析】依题意，， 所以点A到直线BC的距离. 故答案为： 14．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故答案为：. 4． 解答题 15．（23-24高二下·河南新乡·期末）如图，在平面四边形中，为的中点，，将沿对折至，使得. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）由题设，易知 即. 又，即. 平面. 平面. （2）（方法一）如图，以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的法向量为，则 取，则，得. 易得平面的一个法向量为， 由图可知二面角为钝角，则二面角的余弦值为. 故二面角的正切值为. （方法二）如图，过点作，垂足为，连接. 由平面，面，则， 又平面，则平面， 又平面，则，则为二面角的平面角. 由由勾股定理可得 ， . 二面角与二面角互补， 二面角的正切值为. 16．（23-24高二下·海南海口·期末）如图，在三棱锥中，，，，点，分别是，的中点，底面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）因为点，分别是，的中点， 所以，又平面，平面，所以平面； （2）连接，因为，点是的中点，所以， 又底面，底面，所以，， 如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，，又， 所以，，， 所以，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．（23-24高二下·天津·期末）如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且. (1)求证：平面DEC； (2)求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值； (3)求点D到平面BEF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1） 由已知，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD， 由平面ABCD，所以，又， ，平面， 所以平面， 以D为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 已知， 则，所以， 易知平面的一个法向量为， 得，又平面， 所以 平面. （2）由上坐标系可知，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则有，， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则. （3）由（2）得平面的一个法向量为， 又，所以点D到平面的距离. 18．（2024·新疆·三模）已知底面是平行四边形，平面，，，，且. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或. 【解析】（1）证明：在中，，，， 则，可得， 所以，所以. 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 是平行四边形，平面，，，，且. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是， 以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得，， 设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角的大小为， 故， 整理得，解得或，所以或. 19．（2024·江西新余）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.    (1)若为的中点，证明：平面平面； (2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）取中点为，由条件可得为梯形的中位线，则， 又，则， 且，平面，平面， 根据线面垂直的判定定理，得平面， 平面，. 由，则，又，为梯形的两腰，则与相交， 平面， 又平面，所以平面平面. （2）取的中点为Q，由，， 则，， 因此△为等边三角形，. 由（1）知平面，，，两两垂直， 如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，    由，，则， ，，，， 由， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 由 取，得，，得. 设平面的一个法向量为， 由 取，得，， 即平面的一个法向量为. 记平面与平面夹角的大小为， 所以，化简得，即，所以实数的值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$