精品解析：黑龙江省大庆市第四中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

大庆四中2023～2024学年第二学期高二年级第三次检测 数学学科试题 考试时间：120分钟分值：100分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知全集，集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 以下说法错误的是（ ） A. 用样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强 B. 经验回归方程一定经过点 C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 D. 用决定系数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好 5. 从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ） A. B. C. 事件与事件相互独立 D. 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 函数的导函数的图象关于直线对称 D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则______. 13. 若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______. 14. 设若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前n项和为，满足，_____________． 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”） （1）求的通项公式； （2）设，求的前n项和． 16. 我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持、某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣. （1）请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 合计 （2）从兴趣小组100人中任选1人，表示事件“选到的人是男生”，表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求； （3）按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量表示2人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值； （2）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数； （3）复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，，． 18. 2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 （1）计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆四中2023～2024学年第二学期高二年级第三次检测 数学学科试题 考试时间：120分钟分值：100分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知全集，集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集、补集的定义进行计算得出结果. 【详解】由或得， 又， 所以. 故选：B. 2. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的包含关系直接判断即可. 【详解】， 因为， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，故. 故选：D. 4. 以下说法错误的是（ ） A. 用样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强 B. 经验回归方程一定经过点 C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好 D. 用决定系数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归分析的相关性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，用样本相关系数来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大， 则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确； 对于B，经验回归方程一定经过点，故B正确； 对于C，用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小， 则相应模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D，用决定系数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：D. 5. 从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出从袋子中取出一个红球的概率，进而得到，利用二项分布的方差公式进行求解. 【详解】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为， 因为是有放回的取球，所以， 所以 故选：D 6. 已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论甲盒中随机取出一个球的颜色，根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】若甲盒中随机取出一个球为白球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有5个白球，3个红球，2个黑球，再取出一个非白球的概率为； 若甲盒中随机取出一个球为红球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，4个红球，2个黑球，再取出一个非红球的概率为； 若甲盒中随机取出一个球为黑球的概率为，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，3个红球，3个黑球，再取出一个非黑球的概率为； 故. 故选：D. 7. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的，， 故对任意的，，故函数的定义域为， 因为 ，所以，，函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以，函数在上为增函数， 由，可得， 所以，， 所以，，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以，函数在、上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得，此时，； 当时，则， 所以，函数在上单调递减，在、上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项. 【详解】A.，当时，等号成立，故A正确； B.，当时，等号成立，故B正确； C.，故C正确； D.，当时等号成立，故D正确 . 故选：ABCD 10. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ） A. B. C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义及条件概率的概率公式计算可得. 【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，， 则基本事件总数为，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种情况， 满足事件的有，，，，，，，，， ，，共种，其概率，故A错误； 满足事件的有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个，故； 满足事件的有，，共个，所以，故B正确； 满足事件的有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个，故， 满足事件的有，，， ，，， ，，，共个，所以， 所以事件与事件相互独立，故C正确； 满足事件的有，，，，，，，共种， 所以，则，故D正确. 故选：BCD 11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的图象关于点成中心对称图形 C. 函数的导函数的图象关于直线对称 D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D. 【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误； 对于B，令，， 即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确； 对于C，由选项B知，，即， 两边求导得，即， 因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称， 由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称， 因此，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得且，直接计算即可求解. 【详解】设函数的最小正周期为，则. 因为是定义在上的偶函数，所以， 所以. 故答案为： 13. 若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围. 【详解】直线与的图象有两个公共点， 故有两个不同的解， 故和共有两个不同的解， 因为，故有且只有一个实数解. 若，则，故无解，而只有一个解， 故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍； 若，因为只有一个解，故需有一解， 故，故. 故答案为：. 14. 设若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得，将转化为关于的代数式，利用换元法，根据的范围结合二次函数的性质即可求解. 【详解】解：∵时，， ∴在上的图象与上的图象关于对称， 不妨设，如图： 可得，. ∴. ∴ ，. 令， 则原式化为，其对称轴为，开口向上， ∴在上单调递增.∴. ∴的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前n项和为，满足，_____________． 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”） （1）求的通项公式； （2）设，求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算可得，进而即得； （2）利用分组求和法即得. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为 若选择条件①，则由， 得，解得， ； 若选择条件②，则由， 得，解得， ； 若选择条件③，则由， 得，解得， ； 【小问2详解】 由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有， 则， 的前n项和 16. 我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持、某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣. （1）请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 合计 （2）从兴趣小组100人中任选1人，表示事件“选到的人是男生”，表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求； （3）按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量表示2人中女生的人数，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 ，认为对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣与学生的性别有关联 （2） （3）的分布列为 0 1 2 ，【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）根据条件概率概率公式计算可得； （3）依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 调查的男生人数为（人），调查的女生人数为（人）， 所以列联表如下所示： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 零假设为：对“夸父一号”卫星相关知识感兴趣与学生的性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得， 所以根据小概率值的独立检验，推断不成立， 即认为对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣与学生的性别有关联，此时推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 依题意，， 所求概率为，或者. 【小问3详解】 按比例分配的分层随机抽样的方法抽取的男生数为人，女生人数为人， 所以的可能取值为，，， 所以， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 17. 某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值； （2）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数； （3）复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值． 附：若随机变量X服从正态分布，则：，，． 【答案】（1） （2）人 （3）Y的分布列为： Y 0 5 10 15 20 25 P 均值为【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解； (2)由可知即可求解； (3)根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，进而求得均值. 【小问1详解】 样本平均数的估计值为． 【小问2详解】 因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，， 则， 所以， 所以估计初试成绩不低于88分的人数为人． 【小问3详解】 Y的取值分别为0，5，10，15，20，25， 则， ， ， ， ， ， 故Y的分布列为： Y 0 5 10 15 20 25 P 所以数学期望为． 18. 2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 （1）计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？ 参考公式：，，， 参考数据：． 【答案】（1），可以认为两者的相关性很强 （2） （3）当时，恰有一次中奖的概率最大 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的公式计算并判断； （2）根据公式求出，得解； （3）根据题意可得，判断的单调性可得，即，由二项分布得，利用导数求出最大值. 【小问1详解】 因为， 所以 ， ， ， 所以 ， 由此可以认为两者的相关性很强． 【小问2详解】 由（1）知，． 所以=． 因为，所以回归方程为． 【小问3详解】 记， ， ，即． ，令， 则，得，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值．由，解得或（舍去）， 当时，恰有一次中奖的概率最大． 【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是根据题意列出的表达式，并判断单调性求出的范围，利用二项分布求出，借助导数求出最大值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为； （2）证明：[方法一]：等价转化 由得，即． 由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， ①令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以． 又由，可得， 所以．② 由①②得． [方法二]【最优解】：变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 令，则有，不妨设． 由（1）知，先证． 要证： ． 令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． [方法三]：比值代换 证明同证法2．以下证明． 不妨设，则， 由得，， 要证，只需证，两边取对数得， 即， 即证． 记，则. 记，则， 所以，在区间内单调递减．，则， 所以在区间内单调递减． 由得，所以， 即． [方法四]：构造函数法 由已知得，令， 不妨设，所以． 由（Ⅰ）知，，只需证． 证明同证法2． 再证明．令． 令，则． 所以，在区间内单调递增． 因为，所以，即 又因为，所以， 即． 因为，所以，即． 综上，有结论得证． 【解析】 【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性. (2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论. 【详解】(1)的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， (2)略 【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能. 方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略. 方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可. 方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $