第14讲 全等三角形（2个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第14讲 全等三角形（2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 【例1】（2021秋•无为市期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•金安区校级月考）下列各组图形中，是全等形的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022秋•相山区校级期末）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则　　． 【变式3】（2022秋•贵池区期末）如图，在网格中，　　． 知识点2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【例2】（2023秋•合肥期末）已知，其中，则　　． 【变式1】（2022秋•南谯区期末）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•蜀山区期末）如图，，，，，、交于点，则的度数是 　　． 【变式3】（2022秋•池州期末）如图，已知，点在上，与交于点，，，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 【变式4】（2023秋•全椒县期末）如图，，点在边上，与交于点，已知，，，． （1）求的度数． （2）求与的周长和． 经典题型汇编 题型一．全等图形 1．（2023秋•太和县期中）下列各组图形，是全等图形的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•淮南期中）如图所示的方格中，　　度． 3．将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种． 题型二、全等三角形的概念 4．（20-21八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列关于全等三角形的说法中，正确的有（    ） ①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等三角形；④全等三角形的周长相等、面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（全国·课后作业）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 ．记两个三角形全等时，通常把表示 的字母写在对应位置上． 6．（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在中，线段的端点位于平面直角坐标系的网格点上，点C的坐标为． （1）请在平面直角坐标系中，画出，使得与全等；（画出所有可能，点C，不重合） （2）直接写出点的坐标． 题型三、全等三角形的性质 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知，其中，则 ． 8．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．    (1)若，，求； (2)若，求． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，两个三角形全等，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列命题中，是假命题的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．全等三角形的面积相等 4．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，，若，，则（    ）． A．3 B．4 C．5 D．8 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）若如图所示的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，， 且 和 在同一直线上，如图，若，则（    ） A．9 B．11 C．12 D．14 8．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，，点，，，共线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，，点D在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，，，点E在线段上，过点B作，且与交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（21-22八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠COD的度数为 ． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图， ，，交于点F，则的度数是 °． 13．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为 ．    14．（21-22八年级上·安徽六安·期中）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于 E、 作于F，  当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 三、解答题 15．（21-22八年级上·安徽淮北·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，且．证明： (1)点C，O，D在同一直线上； (2)． 16．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，，，，求证：． 17．（20-21八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC△DAE． (1)求证：BC=DE+CE； (2)当△ABC满足什么条件时，BCDE？请说明理由． 18．（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，在轴上有一点，动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动，移动了秒．    (1)求、两点的坐标． (2)当为何值时，，并求此时点的坐标． 19．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，．    (1)求的度数． (2)求与的周长和． 20．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，且点不与点重合． (1)当为何值时，才能使与全等？ (2)在（1）的情况下，猜想与有什么位置关系，并证明你的结论． 21．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，点，，在同一条直线上.    (1)求证：； (2)当，时，求线段的长. 22．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知，点E在AB上，AC与BD交于点F，，，，． (1)求AE的长度； (2)求的度数. 23．（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线与直线交于点E，且 ． (1)求证 (2)若，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 全等三角形（2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 【例1】（2021秋•无为市期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用全等图形的性质得出，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由题意可得：， 则， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 【变式1】（2023秋•金安区校级月考）下列各组图形中，是全等形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等图形的定义判断即可．能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【解答】解：、两个图形大小不相等，故选项不符合题意； 、两个图形大小相等，形状相同，故选项符合题意； 、两个图形大小不相等，故选项不符合题意； 、两个图形形状不同，故选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了全等图形，解题的关键是掌握大小相等，形状相同的图形是全等图形． 【变式2】（2022秋•相山区校级期末）如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则　　． 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：如图， 在与中， ， ， ． ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式3】（2022秋•贵池区期末）如图，在网格中，　　． 【分析】由题意得，，，，用可证明，根据全等三角形的性质和外角和内角之间的关系即可得． 【解答】解：由题意得，，，， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角与内角的关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 知识点2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【例2】（2023秋•合肥期末）已知，其中，则　6　． 【分析】由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【解答】解：， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 【变式1】（2022秋•南谯区期末）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的性质可求得，由直角三角形的性质可得，进而可求解的度数． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解的度数是解题的关键． 【变式2】（2023秋•蜀山区期末）如图，，，，，、交于点，则的度数是 　50　． 【分析】由全等三角形的性质推出，，求出，得到，求出，得到，求出，由邻补角的性质得到． 【解答】解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：50． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出，，求出的度数． 【变式3】（2022秋•池州期末）如图，已知，点在上，与交于点，，，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）， ， ； （2）， ，， ． 【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析． 【变式4】（2023秋•全椒县期末）如图，，点在边上，与交于点，已知，，，． （1）求的度数． （2）求与的周长和． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， 即的度数为； （2）， ，， 与的周长和． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、角的和与差的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 经典题型汇编 题型一．全等图形 1．（2023秋•太和县期中）下列各组图形，是全等图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据定义，图形结合分析即可． 【解答】解：、不是全等图形，不符合题意； 、不是全等图形，不符合题意； 、不是全等图形，不符合题意； 、是全等图形，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查全等图形的定义“形状、大小完全相同的两个图形”，掌握全等图形的定义是解题的关键． 2．（2023秋•淮南期中）如图所示的方格中，　　度． 【分析】标注字母，然后根据网格结构可得与所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出，再根据所在的三角形是等腰直角三角形可得，然后进行计算即可得解． 【解答】解：如图，根据网格结构可知， 在与中，， ， ， ， 又，， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：135． 【点评】本题主要考查了全等图形，根据网格结构的特点找出全等三角形以及等腰直角三角形是解题的关键． 3．将的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种． 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形． 【解答】解：如图所示，（答案不唯一） 【点评】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形． 题型二、全等三角形的概念 4．（20-21八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列关于全等三角形的说法中，正确的有（    ） ①全等三角形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③面积相等的两个三角形是全等三角形；④全等三角形的周长相等、面积相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据全等三角形的概念、性质定理和判定定理判断即可． 【详解】解：①全等三角形的形状相同、大小相等，故①正确； ②全等三角形的对应边相等、对应角相等，故②正确； ③面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故③错误； ④全等三角形的周长相等、面积相等，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的概念和判定定理是解题的关键． 5．（全国·课后作业）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 ．记两个三角形全等时，通常把表示 的字母写在对应位置上． 【答案】 对应顶点 对应边 对应角 对应顶点 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空． 【详解】解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 故答案为：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点． 【点睛】此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容． 6．（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在中，线段的端点位于平面直角坐标系的网格点上，点C的坐标为． （1）请在平面直角坐标系中，画出，使得与全等；（画出所有可能，点C，不重合） （2）直接写出点的坐标． 【答案】（1）作图见解析；（2）（-2，5），（-2，-1），（7，-1）． 【分析】（1）借助平面直角坐标系和全等三角形的性质即可得出所有的； （2）根据所画的点即可写出它的坐标． 【详解】解：（1）如下图所示； （2）点的坐标为：（-2，5），（-2，-1），（7，-1）． 【点睛】本题考查作全等图形，坐标与图形．注意有三种结果，不要漏掉． 题型三、全等三角形的性质 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，理解性质“全等三角形对应边相等．”是解题关键． 【详解】解：， ， 故答案：． 8．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵， ， 在中，，， ． 故选：D 9．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，A、D、E三点在同一条直线上，且．    (1)若，，求； (2)若，求． 【答案】(1)2 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等和对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，即可得到答案； （2）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，则，由平角的定义及等量代换即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ； （2）∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，两个三角形全等，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵两个三角形全等，左图中a与c的夹角为，右图中a与c的夹角为， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键．全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：， 和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故B，C，D正确，不符合题意； 而与不是对应边，故A不正确，符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列命题中，是假命题的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．同旁内角互补 D．全等三角形的面积相等 【答案】C 【分析】本题主要考查真假命题，利用对顶角的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及确定直线的条件即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两点确定一条直线， 该命题是真命题，故本选项不符合题意； B、对顶角相等，该命题是真命题，故本选项不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，故本选项符合题意； D、全等三角形的面积相等，该命题是真命题，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，，若，，则（    ）． A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出的对应边是解题的关键．根据全等三角形对应边相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴∴， 又， ∴． 故选：A． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，由题意得对应角相等，利用三角形内角和定理得，结合即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）若如图所示的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．直接根据全等三角形的性质即可得． 【详解】解：∵的两边的边长为和， ∴由全等三角形的性质可知，， 故选：D． 7．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，， 且 和 在同一直线上，如图，若，则（    ） A．9 B．11 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，进而根据线段的和差即可求解；熟记全等三角形的对应边相等是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ∵和在同一直线上，， ∴， 故选：B． 8．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，，点，，，共线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形外角性质，全等三角形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据三角形外角性质得：，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：，， ， 点，，，共线， 是的外角， 又， ， 故选：C． 9．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，，点D在边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“全等三角形的对应角相等，对应边相等”可得，，由此可得，，根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理时解题的关键． 【详解】∵， ，且， ， 即． 又， ． 故选：D 10．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图，，，点E在线段上，过点B作，且与交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，邻补角，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，得出 ，根据邻补角即可求解． 【详解】，， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题 11．（21-22八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠COD的度数为 ． 【答案】83° 【分析】根据三角形内角和定理先确定∠ADO，然后根据全等图形的性质得到∠B=∠C，从而根据三角形的外角定理求解即可． 【详解】解：在△ABD中，∠A＝53°，∠B＝22°， ∴∠ADO=180°-53°-22°=105°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠C=∠B=22°， ∵∠ADO=∠COD+∠C， ∴∠COD=105°-22°=83°， 故答案为：83°． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理以及外角定理，掌握并熟练运用三角形的基本性质是解题关键． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图， ，，交于点F，则的度数是 °． 【答案】50 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，求出，得到，求出，得到，求出，由邻补角的性质得到． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：50． 13．（23-24八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】由全等三角形的性质可求得，进而得出，由直角三角形的性质即可求解的度数． 【详解】解：， ， ，即， 在中， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质得到是解题的关键． 14．（21-22八年级上·安徽六安·期中）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于 E、 作于F，  当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 【答案】或或6 【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，P在上，Q在上，则，， ，， ， ， ，， ， ， ， 即， ； ②如图2，P在上，Q在上，则，， 由①知：， ， ； 因为此时，所以此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3， ， ； ④当Q到A点停止，P在上时，，时，解得． ⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在； 综上，点P运动或或6秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等． 故答案为：或或6． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键． 三、解答题 15．（21-22八年级上·安徽淮北·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，且．证明： (1)点C，O，D在同一直线上； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）由全等三角形的性质可知∠AOC＝∠BOD，由题意可知∠AOD+∠DOB＝180°，故此可求得∠AOD+∠AOC＝180°，从而可证明点C，O，D在同一直线上； （2）由全等三角形的性质可知∠A＝∠B，由平行线的判定定理可证明AC∥BD． 【详解】（1）证明：∵≌， ∴． ∵点，，在同一直线上， ∵∠AOD+∠DOB＝180°， ∴∠AOD+∠AOC＝180°，， ∴点，，在同一直线上； （2）证明：∵≌， ∴∠A＝∠B， ∴ 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的性质、平行线的判定定理是解题的关键． 16．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由利用平行线的性质可以得到，而，，由此可以证明，最后利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】∵， ∴， 而， ∴， 而， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，首先利用平行线的性质构造全等三角形的条件，然后利用全等三角形的性质解决问题． 17．（20-21八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC△DAE． (1)求证：BC=DE+CE； (2)当△ABC满足什么条件时，BCDE？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当△ABC满足∠ACB为直角时，BCDE． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，再求出答案即可； （2）根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可． 【详解】（1）证明：∵△ABC△DAE， ∴AE=BC，AC=DE， 又∵AE=AC+CE， ∴BC=DE+CE； （2）解：∵BCDE， ∴∠BCE=∠E， 又∵△ABC△DAE， ∴∠ACB=∠E， ∴∠ACB=∠BCE， 又∵∠ACB+∠BCE=180°， ∴∠ACB=90°， 即当△ABC满足∠ACB为直角时，BCDE． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 18．（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，直线：与轴、轴分别交于、两点，在轴上有一点，动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动，移动了秒．    (1)求、两点的坐标． (2)当为何值时，，并求此时点的坐标． 【答案】(1)，； (2)当时，，此时的坐标是；或时，，此时的坐标是． 【分析】（1）由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； （2）若，则，分情况求出t值，并得到M点坐标． 【详解】（1）解：，当时，． 当时，，解得． 所以，； （2）解：因为，所以． 当时，，所以， 当时，．所以， 即当时，，此时的坐标是；或时，，此时的坐标是． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，三角形面积计算，全等三角形的性质等，正确分类讨论是解题的关键． 19．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，点D在边上，与交于点P，已知，，，．    (1)求的度数． (2)求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出、，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （2）解：∵， ∴，， ∴与的周长和为 ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解本题的关键． 20．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，，，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，且点不与点重合． (1)当为何值时，才能使与全等？ (2)在（1）的情况下，猜想与有什么位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)当时，与全等； (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质． （1）本题要分情况讨论：①，②，利用全等三角形的性质即可求解； （2）由，推出，求得，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ①当时， ∴； ②当时， ∴，此时P与C点重合，不合题意． 综上所述，当时，与全等； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 21．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，点，，在同一条直线上.    (1)求证：； (2)当，时，求线段的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形全等的性质得到，再根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据三角形全等的性质得到，，根据即可求出最后结果． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握三角形全等的性质是解答本题的关键． 22．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知，点E在AB上，AC与BD交于点F，，，，． (1)求AE的长度； (2)求的度数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， （2）∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等即可． 23．（22-23八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线：（常数，）与x轴、y轴分别交于C，D两点，直线与直线交于点E，且 ． (1)求证 (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用全等三角形的性质，得到，再根据对顶角相等，得到，进而得到，即可证明结论； （2）利用直线：，求出A、B两点坐标，得到，，再利用全等三角形的性质，得到，，进而得到C、D 两点坐标，从而求出直线：，联立方程组，求出点E坐标，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：，， 直线：， 令，得；令，得，解得， ，， ，， ， ，， ，， ，解得：， 直线：， 联立方程组，解得：， 点E的坐标为， 的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一次函数与坐标轴交点，待定系数法求一次函数解析式，两直线交点与二元一次方程组的解等知识，熟练掌握一次函数性质和全等三角形的性质是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$