专题九 立体几何【中职专用】河南十年（2015-2024）对口高考数学真题分类汇编

专题九 立体几何 1、（2024年河南对口高考）一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________ 2、（2024年河南对口高考）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 3、（2023年河南对口高考）已知圆柱的底面半径为4，高为2，则圆柱的全面积为______． 4、（2023年河南对口高考）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 5、（2022年河南对口高考）在空间中，以下说法正确的是（ ） A.若，，则 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 6、（2022年河南对口高考）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥体积为__________. 7、（2022年河南对口高考）如图1所示，是圆的一条直径，垂直于圆所在的平面，是圆上不同于、的任意一点，求证：平面平面. 8、（2021年河南对口高考）圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 . 9、（2021年河南对口高考）如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，，求证：. 10、（2020年河南对口）若长方体的长、宽、高分别为，，，则其对角线长为 ． 11、（2020年河南对口高考）已知直四棱柱中，底面中，，，，且. 求证：. 12、（2019年河南对口高考）三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 13、（2019年河南对口高考）已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1，则它的体积为 . 14、（2019年河南对口高考）已知矩形，点为平面外一点，,且. 求证：. 15、（2018年河南对口高考）下列命题中，错误的是（ ） A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 平行于同一平面的两个平面平行 C. 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 16、（2018年河南对口高考）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱 形，，底面，，，分别是，的中点. （1）证明：∥平面； （2）求三棱锥的体积. 17、（2018年河南对口）若圆锥的底面面积为，母线长为2，则该圆锥的体积为 . 18、（2017年河南对口高考）将一个球的体积扩大到原来的2倍，则它的半径为原来的_______倍. 19、（2017年河南对口高考）如图，正方体的棱长为1. （1）求所成的角； （2）求三棱锥的体积. 20、（2017年河南对口）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 21、（2016年河南对口高考）将正方形沿对角线折成直二面角后， . 22、（2016年河南对口高考）在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是（ ） A. 平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能 23、（2016年河南对口高考）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中（如下图所示），求证：直线. 24、（2015年河南对口高考）垂直于同一个平面的两个平面（ ） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．前三种情况都有可能 25、（2015年河南对口）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ） A． B．2 C． D． 26、（2015年河南对口高考）正方体中与所成角的正弦值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题九 立体几何 1、（2024年河南对口高考）一个圆柱的侧面积为，高为8，则该圆柱体的体积为_________ 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式求出底面的半径，应用圆柱的体积公式求出结果. 【解析】设圆柱底面的圆的半径为,母线为, 则由题意可得,又,所以, 所以, 故答案为： 2、（2024年河南对口高考）如图所示的长方体中，底面ABCD为正方形，M、N分别为的中点，连接，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】通过三角形的中位线和正方体的特征证明平面，即可证明； 【解析】证明：连接，，如图， 因为，是正方形的对角线，所以， 又分别是中点， 所以，， 又平面，平面，所以 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以. 3、（2023年河南对口高考）已知圆柱的底面半径为4，高为2，则圆柱的全面积为______． 【答案】 【分析】根据题意求出圆柱的底面积和侧面积，进而求解答案. 【解析】根据圆柱的底面半径为4，高为2， 则圆柱的底面面积， 则圆柱的侧面积， 故圆柱的全面积. 故答案为:. 4、（2023年河南对口高考）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，、分别是、的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析. 【解析】证明：取中点，连， 因为是中点，所以， 因为在中，且， 因为是中点，所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面. 5、（2022年河南对口高考）在空间中，以下说法正确的是（ ） A.若，，则 B.平行于同一平面的两条直线平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】A选项，若，，则与不一定垂直，A不正确； B选项，平行于同一平面的两条直线不一定平行，B不正确； C选项，过直线外一点不一定有且只有一条直线与已知直线垂直；C不正确； D选项，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D正确，故选：D. 6、（2022年河南对口高考）圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥体积为__________. 【答案】 【解析】设轴截面的边长为，由三角形的面积公式可得：，， 即圆锥的底面直径为12，则半径为6，圆锥的高为：， 所以圆锥的体积为；， 故答案为：. 7、（2022年河南对口高考）如图1所示，是圆的一条直径，垂直于圆所在的平面，是圆上不同于、的任意一点，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】证明：∵是圆的一条直径，是圆上不同于、的任意一点， ∴是直角，即， 又垂直于圆所在的平面，∴ 从而平面， 故平面平面. 8、（2021年河南对口高考）圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为 . 【答案】 【解析】由题知圆柱的底面半径为1，高为2，所以，， 故答案为：. 9、（2021年河南对口高考）如图，已知直三棱柱中，侧面是边长为4的正方形，，，求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在直三棱柱中，， ∵，∴， ∵，，，所以三边符合勾股定理， ，因为，，∴，得证. 10、（2020年河南对口）若长方体的长、宽、高分别为，，，则其对角线长为 ． 【答案】 【解析】根据长方体的体对角线长可知，该长方体的对角线长为：， 故答案为：， 11、（2020年河南对口高考）已知直四棱柱中，底面中，，，，且. 求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在底面中，，，∴， 又∵，，所以，故， ∵四棱柱为直棱柱，所以， 又∵，，∴， ∵，∴. 12、（2019年河南对口高考）三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2，侧棱垂直于底面，E,F分别为，的中点，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】取中点M，连接EM，FM，则FM∥， 则即为直线与所成角，，，，，所以， 故选：C. 13、（2019年河南对口高考）已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1，则它的体积为 . 【答案】 【解析】正三棱锥的顶点在底面的投影为底面三角形的中心，底面三角形的高为：， 三角形的重心分中线为2：1的关系，所以底面三角形重心到顶点的距离为， 所以三棱锥的高为：， 又因为底面三角形的面积为：， 所以该正三棱锥的体积为：， 故答案为：. 14、（2019年河南对口高考）已知矩形，点为平面外一点，,且. 求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在矩形中， ∵，，，， ∴， ∵，∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴. 15、（2018年河南对口高考）下列命题中，错误的是（ ） A. 平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B. 平行于同一平面的两个平面平行 C. 若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D. 若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 【答案】C 【解析】若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线不一定互相平行，所以C选项错误， 故选：C. 16、（2018年河南对口高考）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱 形，，底面，，，分别是，的中点. （1）证明：∥平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）证明：∵，分别是，的中点，∴， ∵，，所以∥平面. （2）∵是的中点， ∴点P到底面ABCD的高是点E到底面ABCD的高的2倍， ，， 所以. 17、（2018年河南对口）若圆锥的底面面积为，母线长为2，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】圆锥的底面面积为，则底面半径r=1， 由勾股定理可得：， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. 18、（2017年河南对口高考）将一个球的体积扩大到原来的2倍，则它的半径为原来的_______倍. 【答案】 【解析】设原来球的半径为，现在球的半径为， 由得， 故答案为：. 19、（2017年河南对口高考）如图，正方体的棱长为1. （1）求所成的角； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1）∵，所以即为所成的角， 因为，所以. （2）. 20、（2017年河南对口）如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】见解析 【解析】证明：（1）连接交于点，连接， ∵底面是菱形，∴为的中点， ∵点为的中点，∴， ∵平面，且平面， ∴平面. （2）∵底面是菱形，∴， ∵平面，∴， ∵，∴平面，平面， ∴. 21、（2016年河南对口高考）将正方形沿对角线折成直二面角后， . 【答案】 【解析】设正方形对角线的焦点为O，边长为2， 根据直二面角的性质知，折起后DB=2， 又因为DA=DB=2，所以为等边三角形，故. 故答案为：. 22、（2016年河南对口高考）在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是（ ） A. 平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能 【答案】D 【解析】在空间中垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能平行，也可能异面， 故选：D. 23、（2016年河南对口高考）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中（如下图所示），求证：直线. 【答案】证明见解析 【解析】证明：在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， ∵，，，， ∴. 24、（2015年河南对口高考）垂直于同一个平面的两个平面（ ） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．前三种情况都有可能 【答案】D 【解析】垂直于同一个平面的两个平面有可能互相垂直，也有可能互相平行，也有可能相交， 故选：D. 25、（2015年河南对口）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为的扇形，则该圆锥的高是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设此圆的底面半径为，高为，母线为， ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形， ∴，又，解得， 因此，此圆锥的高， 故选：C． 26、（2015年河南对口高考）正方体中与所成角的正弦值为 . 【答案】 【解析】在正方体中，为与所成角， 设正方体的边长为1，因为，，， 所以， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$