第03讲 空间向量基本定理（2个知识点+3种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第03讲 空间向量基本定理（2个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量． (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 知识点2：空间向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 题型1 空间向量基本定理的理解 【例题1】（2023高二上·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·北京·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D．. 【变式2】（多选）（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【变式3】（多选）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 题型2 空间向量基本定理的应用 【例题2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在四面体中，.点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·北京房山·期末）在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ． 【变式3】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 题型3 应用空间向量的基底表示解决平行和垂直问题 【例题3】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，N是的中点，设，，． (1)用、、表示向量，并求的长； (2)求证：平面． 【变式1】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，分别为的中点． (1)求证：; (2)求与所成角的余弦值 【变式2】（2023高二·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别是的中点．设．求证．      【变式3】（21-22高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且. (1)求证：； (2)求EF与CG所成角的余弦值.    一、单选题 1．（23-24高二下·湖南·阶段练习）平行六面体中，为的中点，设，，，用表示，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）若为空间的一个基底，则下列各项中能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·浙江杭州·期末）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若 ，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·贵州黔东南·期末）直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·全国·期中）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 11．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·课前预习）空间向量基本定理：如果、与是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量，存在唯一一组实数λ、μ与ν，使得 ． 13．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 . 14．（23-24高二上·上海·课后作业）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 四、解答题 15．（21-22高二上·全国·课后作业）已知四面体OABC，，．求证：． 16．（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 17．（22-23高二上·湖北武汉·期中）（1）如图，在三棱锥中，．求证：． （2）平行六面体中，，，，，，，求对角线的长． 18．（21-22高二·全国·课后作业）已知是空间的一组基， 且，，，. (1)能否构成空间的一组基底？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由． (2)判断，，，四点是否共面，并说明理由． 19．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量基本定理（2个知识点+3种题型+过关检测） 知识点1：空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量． (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 知识点2：空间向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 题型1 空间向量基本定理的理解 【例题1】（2023高二上·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断． 【详解】因为，， 又， 显然A，B，C三个选项中的向量都与共面， 而D选项中多了个，无论如何，是无法用线性表示的． 故选：D． 【变式1】（23-24高二上·北京·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D．. 【答案】C 【分析】推导出共面，故不能构成空间的一个基底，C正确，ABD选项向量均不共面，可构成空间的一个基底. 【详解】是空间的一个基底，故不共面， A选项，显然不共面，故可构成空间的一个基底，A错误； B选项，设， 则，无解， 故不共面，故可构成空间的一个基底，B错误； C选项，设， 则，解得， 故共面，故不能构成空间的一个基底，C正确； D选项，设，无解，故可构成空间的一个基底，D错误. 故选：C 【变式2】（多选）（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【答案】ABC 【分析】利用向量基底的意义，逐项判断得解. 【详解】对于A，三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面，A正确； 对于B，任取非零向量，非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则，，则，，因此共线，B正确； 对于C，假定共面，则存在实数，使得， 即，而不共面，于是，显然此方程组无解， 即假定是错的，因此不共面，是空间的一个基底，C正确； 对于D，由，得共面， 不能作为空间的一个基底，D错误. 故选：ABC 【变式3】（多选）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由可判断A；由可判断B；设，由共面定理可判断C；设，由共面定理可判断D. 【详解】对于A，， ∴，，共面，不能构成基底，A错误； 对于B，， ∴，，共面，不能构成基底，B错误； 对于C，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，C正确； 对于D，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，D正确. 故选：CD 题型2 空间向量基本定理的应用 【例题2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图，在四面体中，.点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理进行计算 【详解】因为，为中点， 故. 故选：D 【变式1】（23-24高二上·北京房山·期末）在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】取的中点，连接，，    因为是的中点，， 所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ． 【答案】 【分析】取中点N，连接，，利用空间向量的线性运算即可得解. 【详解】取中点N，连接， 又 ，. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【答案】(1)， (2)，，． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可． 【详解】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 题型3 应用空间向量的基底表示解决平行和垂直问题 【例题3】（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，N是的中点，设，，． (1)用、、表示向量，并求的长； (2)求证：平面． 【答案】(1), (2)证明见解析 【分析】（1）在三角形,三角形,正方形等闭合路径中进行向量转化，将向量用、、表示，再平方将向量实数化求出向量的模即的长. （2）先用基向量法求，可证得，结合正方形中,可证得平面. 【详解】（1）因为是的中点，底面是正方形， 所以 ， 又，，， 且，， 所以 ， 所以，即的长为． （2）因为 ， 所以，即. 又在正方体中，， 且，平面 所以平面. 【变式1】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正方体的棱长为1，分别为的中点． (1)求证：; (2)求与所成角的余弦值 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据向量的加减法证明即可； （2）根据向量数量积的定义求即可. 【详解】（1）证明：令， 分别是的中点， ， 而， 所以有，且不过同一点，   所以，即. （2）分别是的中点， ， 正方体的棱长为1，， ，， ， ， ，         设的夹角为， 则有 ， 即与所成角的余弦值为 【变式2】（2023高二·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别是的中点．设．求证．      【答案】证明见解析 【分析】先将 用表示，由数量积为0证明. 【详解】证明：    因为空间四边形的每条边和对角线长都等于， 所以,都为等边三角形，所以， ， 故. 【变式3】（21-22高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且. (1)求证：； (2)求EF与CG所成角的余弦值.    【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据空间向量证明垂直关系即可证明结果； （2）根据空间向量求线线夹角的方法求解． 【详解】（1）证明：以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图，   则根据题意可得： ，，， ， ，， ，即， ； （2）由（1）知，， ， 又与所成角的范围为， EF与CG所成角的余弦值为 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南·阶段练习）平行六面体中，为的中点，设，，，用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行六面体的结构特征，由空间向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】平行六面体中，    有 故选：A． 2．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解. 【详解】， 又，所以， 所以. 故选：B 3．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）若为空间的一个基底，则下列各项中能作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义和共面向量定理判断即可． 【详解】因为，所以是共面向量， 则不能作为基底，故A错误； 因为，所以是共面向量， 则不能作为基底，故B错误； 设，可得，此方程组无解， 所以是不共面的向量，则能作为基底，故C正确； 因为，所以是共面向量， 则不能作为基底，故D错误． 故选：C． 4．（22-23高二下·浙江杭州·期末）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于D项，易知，则D项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，即C正确. 故选：C 5．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 6．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若 ，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算，结合给定的基底求解即得. 【详解】在平行六面体中， . 故选：D 7．（22-23高二上·贵州黔东南·期末）直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要表示出，只需要用给出的基底表示即可，结合图形及空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】. 故选：B 8．（23-24高一下·浙江宁波·期末）若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得. 【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二上·全国·期中）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理逐一判断. 【详解】由空间向量基本定理知：仅当不共面时，才能作为基底，即，A错； 若是空间的一个基底，则不共面， 若共面，则，， 显然无解，即不共面，故也是空间的一个基底，B对； 若，，在空间中不一定平行，C错； 若所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，即不一定共面，D错. 故选：ACD. 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BC 【分析】根据投影向量的定义结合空间向量的坐标运算求解可判断A；根据空间向量基本定理可判断B；根据四点共面的结论可判断C；根据空间向量基本定理分析可判断D. 【详解】对于A，在上的投影向量为 ，故A错误； 对于B，如图，是四面体的底面的重心，延长交与点， 则点是的中点，所以 ，故B正确；    对于C，若，则， 所以四点共面，故C正确； 对于D，设在基底下的坐标为， 则， 因为在单位正交基底下的坐标为，所以，解得， 则在基底下的坐标为，故D错误. 故选：BC. 11．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于选项B：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故B正确； 对于选项C：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故C正确； 对于选项D：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·课前预习）空间向量基本定理：如果、与是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量，存在唯一一组实数λ、μ与ν，使得 ． 【答案】 13．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知是空间的一个单位正交基底，，若，则 . 【答案】4 【分析】变形得到，从而得到方程组，求出答案. 【详解】， 又，所以， 故. 故答案为：4 14．（23-24高二上·上海·课后作业）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 【答案】 【分析】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，从而得到答案. 【详解】∵，， ∴ ， 又， ∴，，，故. 故答案为：. 四、解答题 15．（21-22高二上·全国·课后作业）已知四面体OABC，，．求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用向量的运算，计算出，从而证明 【详解】 因为, 所以, 因为，， 所以， 所以，即. 16．（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 17．（22-23高二上·湖北武汉·期中）（1）如图，在三棱锥中，．求证：． （2）平行六面体中，，，，，，，求对角线的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）选择为基底，用向量表示出已知条件，整理即可得到，即； （2）选择为基底，根据平行六面体对角线的几何意义，可得.然后可求出，开方即可得到对角线的长． 【详解】（1）证明：选择为基底. ∵，∴，∴ 同理由，得 ∴，∴ ∴ （2）平行六面体中，， 选择为基底，则 ∵，，， ∴ ∴ 则对角线的长为．· 18．（21-22高二·全国·课后作业）已知是空间的一组基， 且，，，. (1)能否构成空间的一组基底？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由． (2)判断，，，四点是否共面，并说明理由． 【答案】(1)能， (2)，，，四点不共面，理由见解析 【分析】（1）若共面，由共面向量定理，设 得方程组无解，故能构成空间的一组基底， 由方程组 反解，代入，即可用基底表示向量； （2）根据共面向量定理，结合第（1）问验证系数和不等于，不满足条件，得到四点不共面. 【详解】（1）假设向量，，共面，则存在实数，，使， 即， 所以，方程组无解， 所以向量，，不共面，因此可以构成空间的一组基底， 令，，， 所以，得， 所以 ； （2），，，四点不共面．理由如下： 假设，，，四点共面， 则存在实数，，，使，且． 由（1）知，但， 故，，，四点不共面． 19．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由平面利用共面定理可得再将转化为用来表示，再利用空间向量的基本定理即可求解. （3）由点平面，可知四点共面，再利用共面定理的推论即可求解. 【详解】（1）且， 在正四棱锥中， 可得， 即， 又平面所以存在实数使得， 即， 又且不共面， 解的. （2）由（2）可知 又且， 可得 又点平面，即四点共面 所以解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$