2.4.2圆的一般方程（3知识点+8题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

2.4.2圆的一般方程 明确学习目标 课标要求 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 重点难点 1.掌握圆的一般方程及其特点； 2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 圆的一般方程 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 3.理解 (1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 4.一般方程与标准方程的转化 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得 。 5.求圆的一般方程 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到圆的方程． 知识点2 点和圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 知识点3 轨迹与轨迹方程 1.轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2.轨迹”与“轨迹方程”的区别 (1)“轨迹”是点在运动变化中形成的图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征，比如直线、圆等． (2)“轨迹方程”是点的坐标满足的关系式．，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3.坐标法求轨迹方程的步骤 (1)建系：建立适当的平面直角坐标系； (2)设元：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； (3)列式：列出关于的方程； (4)化简：把方程化为最简形式； 4.求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 2提升学科能力 题型一 二元二次方程与圆的关系 例1．下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆，且圆的半径为1时， B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示圆且圆的半径为 D．当时，方程表示圆心为的圆 2．已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 3．判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由． (1)； (2)； (3)． 题型二 根据圆的一般方程条件求参数范围 例2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．若方程表示的曲线为一个圆，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．已知方程表示圆的方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知方程表示一个圆，则的取值范围为 ，该圆的半径的最大值为 ． 题型三 求圆的一般方程 例3．已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 跟踪训练3 1．以，为直径两端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 3．已知. (1)求点到直线的距离； (2)求的外接圆的方程. 题型四 由一般方程确定圆心和半径 例4．圆的圆心和半径长分别为（　　） A．，16 B．，4 C．，4 D．，16 跟踪训练4 1．圆 的圆心和半径分别为（    ） A．，2 B．， C．，2 D． 2．圆的圆心坐标及半径分别为（    ） A．，5 B．， C．， D．，5 3．将圆平分的直线是（    ） A． B． C． D． 题型五 点与圆的位置关系 例5．若点在圆的外部，则a的取值范围是 . 跟踪训练5 1．已知点在圆的外部，则k的取值范围是 . 2．若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若点在圆外，则实数的取值范围为 . 题型六 圆过定点问题 例6．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 跟踪训练6 1．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 2．对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 3．已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 题型七 与圆有关的轨迹方程 例7．已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练7 1．已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为 . 2．设动圆与轴相切且与圆:相外切,则动圆圆心的轨迹方程为 . 3．已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 题型八 圆的实际应用题 例8．如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米. (1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程; (2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）． 跟踪训练8 1．某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      2．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 3质量检测评价 一、单选题 1．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 3．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 4．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（    ）． A．8 B． C．4 D．6 二、多选题 7．圆（　　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 8．已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 9．（多选）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（    ） A．边的垂直平分线的方程是 B．三角形的面积为1 C．三角形外接圆的方程为 D．三角形外接圆的圆心坐标 三、填空题 10．已知圆的面积为，则实数的值为 . 11．当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 12．设圆的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是 . 四、解答题 13．已知 的三个顶点为，，，求外接圆的方程． 14．已知动点M到的距离与到的距离之比是，求M的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状． 15．已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4.2圆的一般方程 明确学习目标 课标要求 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小. 3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 重点难点 1.掌握圆的一般方程及其特点； 2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 圆的一般方程 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 3.理解 (1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 4.一般方程与标准方程的转化 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得 。 5.求圆的一般方程 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到圆的方程． 知识点2 点和圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 知识点3 轨迹与轨迹方程 1.轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 2.轨迹”与“轨迹方程”的区别 (1)“轨迹”是点在运动变化中形成的图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征，比如直线、圆等． (2)“轨迹方程”是点的坐标满足的关系式．，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围． 3.坐标法求轨迹方程的步骤 (1)建系：建立适当的平面直角坐标系； (2)设元：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； (3)列式：列出关于的方程； (4)化简：把方程化为最简形式； 4.求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 2提升学科能力 题型一 二元二次方程与圆的关系 例1．下列方程能表示圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一般二元二次方程表示成圆的充要条件逐一判断每个选项即可得解. 【详解】对于A，，方程表示的图形是一个点； 对于B，，，方程不表示圆； 对于C，，，当时，方程不表示圆； 对于D，，，方程表示圆； 综上，以上方程能表示圆的是D选项中的方程． 故选：D． 跟踪训练1 1．已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆，且圆的半径为1时， B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示圆且圆的半径为 D．当时，方程表示圆心为的圆 【答案】ACD 【分析】若方程表示圆，把一般方程化为标准方程，根据方程成立的条件，验证各选项. 【详解】由题意，方程，可化为， 若方程表示圆，则圆的圆心坐标为，半径， 中，当时，可得，所以正确； 中，当时，此时半径为，所以错误； 中，当时，表示的圆的半径为，所以正确； 中，当时，此时半径大于0，表示圆心为的圆，所以正确； 故选：ACD． 2．已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 【答案】BCD 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，方程，可化为， 可圆的圆心坐标为， A中，当时，此时半径为，所以A错误； B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确； C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确； D中，当时，可得，方程表示的圆半径为， 又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确． 故选：BCD. 3．判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是圆心坐标为，半径为5的圆的方程 (2)是圆心坐标为，半径为的圆的方程 (3)不是圆的方程，理由见解析 【分析】（1）将方程配方成圆的标准方程的形式，可知其表示的是以为圆心，半径为5的圆； （2）将方程两边除以4，化简可得其表示的是圆心坐标为，半径为的圆； （3）通过配方可知方程无解，即其表示的不是圆的方程. 【详解】（1）原方程可以化为， 即，是圆的方程； 圆心坐标为，半径为5． （2）方程两边除以4，得． 将左边配方，得，是圆的方程； 即圆心坐标为，半径为． （3）因为原方程可以化为，即， 又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程． 题型二 根据圆的一般方程条件求参数范围 例2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列出不等式求解即得. 【详解】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B 跟踪训练2 1．若方程表示的曲线为一个圆，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】因为方程表示的曲线为一个圆， 所以， 即，解得或． 故选：B. 2．已知方程表示圆的方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：因为方程表示圆的方程， 所以，解得， 故选：A 3．已知方程表示一个圆，则的取值范围为 ，该圆的半径的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】 将圆的一般方程化为标准方程，得到，求出的取值范围，并根据求出半径的最大值. 【详解】 该方程可化为圆的标准方程． 由，得． 因为， 所以该圆的半径的最大值为． 故答案为：，2 题型三 求圆的一般方程 例3．已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 【答案】 【分析】设的外接圆方程为，然后将三个点的坐标代入求解即可. 【详解】设的外接圆方程为，则 ，解得， 所以三角形外接圆的方程为. 故答案为： 跟踪训练3 1．以，为直径两端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中点坐标公式求出圆心坐标，两点间距离公式求出圆的直径，得解. 【详解】，， 的中点坐标为， 以为直径的圆的圆心为，又， 圆的半径为1， 以为直径的圆的方程为即. 故选：A. 2．已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案； 方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程. 【详解】方法一：设所求圆的标准方程为， 由题意得:， 解得： 故所求圆的方程为， 即. 方法二：线段的中点坐标为，即， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心， 联立， 得交点坐标， 又点到点的距离，即半径为， 所以圆的方程为， 即. 故答案为： 3．已知. (1)求点到直线的距离； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的两点式求得直线的方程为，由点到直线距离公式即可求出结果； （2）设的外接圆的方程为，代入坐标联立解方程组即可求得结果. 【详解】（1）直线的方程为， 化简可得， 所以点到直线的距离. （2）设的外接圆的方程为， 将的坐标代入，得 ，即 解得； 故所求圆的方程为. 题型四 由一般方程确定圆心和半径 例4．圆的圆心和半径长分别为（　　） A．，16 B．，4 C．，4 D．，16 【答案】C 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，进而可得圆心和半径. 【详解】由得， 故圆心为，半径长为4. 故选：C. 跟踪训练4 1．圆 的圆心和半径分别为（    ） A．，2 B．， C．，2 D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可. 【详解】由可得，， 所以圆心为，半径为， 故选:B. 2．圆的圆心坐标及半径分别为（    ） A．，5 B．， C．， D．，5 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此求得圆心和半径. 【详解】依题意，圆转化为标准方程得， 所以圆心为，半径为. 故选：B 3．将圆平分的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知所求的直线过圆心，所以先求出圆的圆心，然后将圆心坐标代入各直线方程验证即可. 【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可， 由，得， 所以圆心坐标为， 对于A，因为，所以直线不过圆心，所以A错误， 对于B，因为，所以直线不过圆心，所以B错误， 对于C，因为，所以直线过圆心，所以C正确， 对于D，因为，所以直线不过圆心，所以D错误， 故选：C 题型五 点与圆的位置关系 例5．若点在圆的外部，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用表示圆的条件及点和圆的位置关系列式求解. 【详解】依题意，方程表示圆，则，解得； 由点在圆的外部，得，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为： 跟踪训练5 1．已知点在圆的外部，则k的取值范围是 . 【答案】 【分析】 根据二元二次方程表示圆的条件以及点在圆外，列出不等式求解，即得答案. 【详解】由题意圆满足， 点在圆的外部， 得， 即的取值范围是 故答案为： 2．若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外即可求解. 【详解】圆，即圆，则，解得． 过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得． 故． 故选：C 3．若点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解. 【详解】圆的标准方程为， 由于点在圆外， 所以，解得， 故答案为： 题型六 圆过定点问题 例6．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 跟踪训练6 1．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 2．对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 【答案】、 【分析】将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标. 【详解】由由得，故，解得或. 故填：、. 【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题. 3．已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是 . 【答案】 【分析】将已知圆的方程整理得到，联立，即可求出结果. 【详解】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆. 由，解得 即定点坐标为. 故答案为 【点睛】本题主要考查圆恒过定点的问题，熟记圆的方程即可，属于常考题型. 题型七 与圆有关的轨迹方程 例7．已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 跟踪训练7 1．已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】将圆方程化成标准方程可得出圆心坐标为，再根据表示圆的条件消去参数即可得圆心的轨迹方程. 【详解】因为方程表示圆， 即表示圆,所以， 解得, 易知圆心坐标为，且， 设圆心坐标为，则有， 消去，得即为所求圆心的轨迹方程. 故答案为： 2．设动圆与轴相切且与圆:相外切,则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】或 【详解】设，即轨迹方程为或 3．已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【答案】 【分析】根据圆的定义可以求解，或直接设，由求解. 【详解】方法一：设点， ，，，， 由题意可知：， ，， 整理得：， 三点不共线， ，，应去除. 直角顶点的轨迹方程为：. 方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心， 为半径的圆上(不能和B、C重合)， 故A的轨迹方程为. 题型八 圆的实际应用题 例8．如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米. (1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程; (2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）． 【答案】(1) (2)3.11米． 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为，进而待定系数法求解即可； （2）点的横坐标代入这个圆的方程并解方程即可得答案. 【详解】（1）解：建立如图所示的坐标系， 设该圆拱所在圆的方程为， 由于圆心在轴上，所以，那么方程即为. 因为都在圆上， 所以它们的坐标都是这个圆的方程的解， 于是有方程组，解得                                              所以，这个圆的方程是． （2）解：由题知点的横坐标为. 所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得， 所以， 因为的纵坐标，故应取正值， 所以，（米）．          所以，支柱的高度约为3.11米. 跟踪训练8 1．某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      【答案】5.39m 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为，，． 设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得． 故圆拱所在的圆的方程是． 将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.39m． 2．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 【答案】(1)答案见解析 (2)米 【分析】 （1）以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点在圆上，求出的等式，解之即可； （2）将的方程代入圆的方程，求出值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度. 【详解】（1）解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为 易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得， 则该圆弧所在圆的一般方程为. （2）解：令代入圆的方程得，得或（舍）， 由于隧道的总高度为米，且（米）， 因此，车辆通过隧道的限制高度为米. 3质量检测评价 一、单选题 1．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可求解. 【详解】的标准方程为，故所求分别为，. 故选：A. 2．方程表示的曲线是以为圆心，为半径的圆，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆的标准方程，再转化为一般方程，从而求得. 【详解】以为圆心，为半径的圆的标准方程为， 即，所以. 故选：D 3．方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 4．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 5．若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果. 【详解】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 6．若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（    ）． A．8 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可知：直线：过圆心，进而可得，再利用基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：圆：的圆心为， 若直线：平分圆：的面积， 则直线：过圆心， 可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A. 二、多选题 7．圆（　　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABD 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由圆的性质求解. 【详解】可化为，即该圆圆心为，半径为. 由圆的性质可知该圆关于点对称，故AB正确； 因为圆心不在直线上，所以该圆不关于直线对称，故C错误； 因为圆心在直线上，所以该圆关于直线对称，故D正确； 故选：ABD 8．已知圆的方程为，则下列结论中正确的是（    ） A．实数k的取值范围是 B．实数k的取值范围是 C．当圆的周长最大时，圆心坐标是 D．圆的最大面积是π 【答案】ACD 【分析】根据题意，将圆的一般式方程化为标准式方程，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】将圆的方程为化为标准式为， 由，解得，故A正确，B错误； 当时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大， 此时半径为，圆心坐标为，则圆的面积为，故CD正确； 故选：ACD 9．（多选）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（    ） A．边的垂直平分线的方程是 B．三角形的面积为1 C．三角形外接圆的方程为 D．三角形外接圆的圆心坐标 【答案】ABC 【分析】利用直线垂直的性质与中点坐标公式求出的垂直平分线的方程，从而判断A，利用点线距离公式与两点距离公式求得三角形，从而判断B，利用待定系数法求得三角形外接圆的一般方程，从而判断CD． 【详解】对于A，因为，，， 所以，的中点为， 所以边的垂直平分线的方程为，即，故A正确； 对于B，， 边所在直线方程为，即， 则顶点到边的距离为， 所以三角形的面积为，故B正确； 对于CD，不妨设三角形外接圆的方程为， 所以，解得， 所以三角形外接圆的方程为， 化为标准方程得， 所以三角形外接圆的圆心坐标为，故C正确，D错误. 故选：ABC． 三、填空题 10．已知圆的面积为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解. 【详解】设圆的半径为r，则由题意， 故，将圆一般式化为标准式得， 则， 故答案为：2. 11．当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 12．设圆的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】设，P（x0，y0），利用中点坐标公式得出，然后结合点在圆上即可求解. 【详解】圆可化为， 则，设，P（x0，y0），所以 整理得,即， 将点代入圆的方程得， 即为. 故答案为：. 四、解答题 13．已知 的三个顶点为，，，求外接圆的方程． 【答案】 【分析】根据圆的一般式列方程求解. 【详解】设所求圆的方程为, 因为点，，在所求的圆上， 所以，解得， 故所求圆的方程是． 14．已知动点M到的距离与到的距离之比是，求M的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状． 【答案】，轨迹曲线是圆心为且半径为2的圆． 【分析】根据题意，列出关系式，求得动点的轨迹方程，再化为圆的标准方程，即可得到答案. 【详解】设M的坐标为，根据已知条件知， 由两点之间的距离公式可知，上式可用坐标表示为， 整理得，即动点的轨迹方程为， 又由动点的轨迹方程可化为， 所以可知轨迹曲线是圆心为且半径为2的圆． 15．已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【答案】(1)； (2)定点坐标为，证明见解析. 【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解； （2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论 【详解】（1）当，，故，， 所以此时圆的标准方程为. （2）设点是圆上任意一点， 因为是圆的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，，等式恒成立，定点为， 所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$