24.4.2 仰角、俯角问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（华东师大版）

数 学 九年级上册 HS 1 2 3 第24章 解直角三角形 4 24.4 解直角三角形 课时2 仰角、俯角问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 解与仰角有关的直角三角形 1.【2022广西贵港中考】如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的 高度，在点处测得树顶的仰角为 ，在点处测得树顶 的仰 角为 ，且，，三点在同一直线上，若 ，则这 棵树 的高度是( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 【解析】设.， .在 中， ，.在 中， ，，.经检验, 是原方程的根， 这棵树的高度是 ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 2.【2024山东东营期末】如图，在处利用测角仪测得某建筑物 的顶端点的仰角为 ，点的仰角为 ，点 到建筑物的距离 米，则 _____________米. 【解析】 在中，， ， 米，则米.在 中， ， 米， 米，故答案 为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 3.【2023广西百色质检】如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆 ，测得杆 顶端点的仰角是 ，向前走6米到达点，测得杆顶端点和杆底端点 的仰角 分别是 和 ,则该电线杆 的高度是__________米.（结果保留根号） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 【解析】 如图,延长交直线于点，设 米.在 中， ，则 米. , .在 中， 米. 米， ，解得,则 米.在 中， , 米, 米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 思路分析 延长交直线于点，设米.在和 中，根据三角函数 用含的代数式表示出和，根据即可列出方程求得 的值，再 在中利用三角函数求得的长，从而求出 的长. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 知识点2 解与俯角有关的直角三角形 4.如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量 无人机飞行的高度 ，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥 两端，的俯角分别为 和 ，且 ， ，在同一水平线上，已知桥 米，则无人机的飞行高 度 为( ) B A.15米 B.米 C.米 D. 米 【解析】 ， ， ， ， ， ， ， 米．故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 5.【2024山西吕梁期末】无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操 纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输等方面发挥着重要作用.在如图 所示的某次测量中，无人机在小山上方的处，测得小山两端， 的俯角分别是 和 ，此时无人机距直线的垂直距离是200米，则小山两端， 之间的 直线距离是_______________米.（结果保留根号） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 【解析】 如图，作于，则 米.由 题意得 ， ， ， ， （米）， 关键点拨 理解俯角的定义，并根据题意在图中找到对应的角度，再根据锐角三角函数求得 题目中要求的量. （米）， 米，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 6.【2024四川眉山期末】眉山东坡印象水街游人如织，交通十分拥挤.为了缓解这 种交通状况，政府决定对水街的部分路段进行拓宽改造.如图，在水街拓宽工程中， 要伐掉一棵树，现在某工人站在离点3米远的处，从点测得树的顶端 点的 仰角为 ，树的底部点的俯角为 . （1）求大树的高度.（保留根号） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 【解】由题意可知 ，米， . ， （米）. 在中， ， ， 米. 答：大树的高度为 米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 （2）在地面上事先划定以为圆心，半径与 等长的圆形区域为危险区，距离大 树点8米远有一配电箱，配电箱是否处在危险区内？ 【解】 ，， 配电箱不在危险区内. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 提升 1.［较难］如图，， 为两栋建筑物，两建筑物底部之间的水平 地面上有一点，从建筑物的顶点测得点的俯角为 ，从建 筑物的顶点测得点的俯角为 ，测得建筑物的顶点 的俯 角为 .若已知建筑物的高度为20米，则两建筑物顶点， 之间 B A.29米 B.35米 C.37米 D.44米 的距离为（结果精确到1米，参考数据：， ） ( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 19 【解析】如图所示.， ， ，米， 是等腰 直角三角形，米.过A作 于 ， ， ， ， ， ， （米）.在中， ， ， 是等腰直角三角形， 米，即两建筑物顶点A，C之间的距离约为35米.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 关键点拨 过点作的垂线段，构造含有 边的直角三角形是解题关键 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 2.【2023广东佛山质检，中】在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球 筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径约为，某同学站在 处， 先仰望篮球筐直径的一端处，测得仰角为 ，再调整视线，测得篮球筐直径的 另一端处的仰角为 .若该同学的目高为，则篮球筐距地面的高度 大约是___.（结果精确到,参考数据：， ， ， ） 3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 【解析】 如图,由题意可得四边形是矩形，四边形 是矩 形，，.设 ， .在中，， .在 中，， .联立方程，可得 解得 ，故答案为3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 思路分析 过点作于点，过点作于点.由题意得 米， ， ，则.再由四边形 是矩 形，得出.设米.将的正切值用含 的式子 表示出来，求出，进而可求得，即 的高度. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 3. 【2024山西大同期末，较难】如图，某无人机爱好者 在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 点处时， 无人机测得操控者的俯角为 ，测得小区楼房顶端点 处的俯角为 .已知操控者和小区楼房 之间的距离为45 米，无人机的高度为米.（假定点，，， 都 （1）求小区楼房 的高度； 在同一平面内.参考数据：， .计算结果保留根 号） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 【解】如图（1），过点作，垂足为，过点 作 ，垂足为 . 易知四边形为矩形，， ， 无人机测得操控者的俯角为 ，测得小区楼 房顶端点处的俯角为 ， ， ， ， ，.设米， 米， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 ，解得.经检验， 为原方程 的解，米， （米）. 答：小区楼房的高度为 米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 （2）在（1）的条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 的方向，以5米/秒的 速度继续向右匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开操控者的视线？ 【解】 如图（2），当无人机飞行到图中 点处时， 操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点 ， 过点作，垂足为 . 米， （米）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 28 ， . ， ， 米， 米. 无人机的速度为5米/秒， 到无人机刚好离开操控者的视线所需的时间为 秒. 答：经过 秒时，无人机刚好离开操控者的视线. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 29 4.【2023广东深圳龙华区期末，较难】如图，是一座高为 的办公 大楼，快递小哥在上的处操作无人机进行快递业务.这时在另一座楼房的 处 有人要寄快递，已知与在同一水平线上，从看的仰角为 ，从看 的俯 角为 . （1）请求出与之间的距离 ； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 30 【解】由已知得， ， ， .设 .在 中，， .在 中， ， ，，解得 ， . 答：与之间的距离为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 31 （2）已知处信号发射器的信号只能覆盖周围范围，若无人机以 的 速度从处出发沿着方向飞到 处取快递，请问当无人机飞行多长时间后会接收 不到信号？（结果保留根号） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 32 【解】 如图,过点作于点，设无人机飞到 处时会接 收不到信号，连结，则.在 中， ， ， ， .在 中，根据勾股定理，得 ， ， . 答：当无人机飞行 后会接收不到信号. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 33 $$