第13讲 直角三角形 （1个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第13讲 直角三角形 （1个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【例1】（2023秋•金东区期中）在中，，若，则的度数是 　　． 【变式1】（2022秋•嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为，则该直角三角形的另一个锐角是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•海曙区校级月考）直角三角形中，若其中一个锐角为，则另一个锐角为 　　． 【变式3】（2023秋•汉阳区校级期末）如图为脊柱侧弯测量示意图，角的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一．一次体检中，若测得某人角，则图中与相等的角的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】（2022秋•青田县校级月考）如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，求的度数． 【变式5】（2022秋•长兴县月考）在中，，，求的度数． 经典题型汇编 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，把长方形沿对角线折叠，点C和点是对应点，若，则 ．    3．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长． 题型二、含30度角的直角三角形 4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图是由个顶角为的等腰三角形拼成的图形，若要求阴影部分的面积，则只需要知道（    ） A．和的面积差 B．和的面积差 C．和的面积差 D．和的面积差 5．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，．将沿BO对折至，M为BC上的动点，则A'M的最小值为 ． 6．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，是边上的高线， (1)试说明是什么三角形，并说明理由； (2)若，，求的长 题型三、斜边的中线等于斜边的一半 7．（2024·浙江杭州·一模）如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·浙江温州·期中）在中，，点D是斜边的中点，若，则 ． 9．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知． (1)求证：是等腰三角形． (2)当，时，求的面积． 题型四、锐角互余的三角形是直角三角形 10．在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 11．在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为 度． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图1，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度； (2)连接，求的度数； (3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，是等腰底边边上的中线，，，则度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，中，，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知平分，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23八年级上·浙江台州·期末）作，使，，，小亮的作法如下：①作；②在射线上截取；③以点为圆心，以6为半径画弧交射线于点．连接．如图，给出了小亮前两步所画的图形．则所作的符合条件的（    ） A．是不存在的 B．有一个 C．有两个 D．有三个及以上 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角互补，两直线平行 B．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 C．全等的图形都可以通过平移得到 D．直角三角形两锐角互余 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（　 　） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，于点，的垂直平分线分别交，于点，若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 9．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，，平分交于点E，点P为线段上一点，与度数之比为k、若为直角三角形，且，则k的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．1或 10．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以点，为圆心、大于为半径画圆弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点、，连结、．在下列结论中：①；②；③；④，一定正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知直角三角形的斜边，则斜边上的中线 ．    12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个三角形的底角为 ． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，为的中点，，点在上，且，则的大小为 ． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是的平分线，是边的中线．若，，则 ． 15．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F，若中有两个角相等，则 ． 16．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒个单位沿射线运动． （1）当运动时间是 秒时，是直角三角形． （2）当运动时间的取值范围是 秒时，是钝角三角形． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心D能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋． (1)证明：； (2)当由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心D向下滑动的距离是多少? 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，于点，，连接． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由． 20．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）［背景］除了高线、角平分线、中线这三条三角形中的主要特殊线段，三角形中还有很多线段值得我们研究．“等腰分割线”的定义如下：把一个三角形分成两个等腰三角形的线段称为这个三角形的等腰分割线． ［问题］如图，在中，，D是上一点（C，D不重合），且，点E是的中点，连结．    (1)求证：是的等腰分割线． (2)若是的等腰分割线，写出和存在的数量关系． 21．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．    (1)求证：是直角三角形． (2)如图（2），若，，求的大小． (3)若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系． 22．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，是边上的中线，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的边上的中线，，求证：是直角三角形．将下面证明的过程补充完整． 证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（ ）． ∵， ∴． ∴（ ）， 同理，， ∵（ ）， ∴， ∴是直角三角形（ ）．    24．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图1，一款液压橱柜支撑杆可以将柜门停在任意角度，取物更方便．图2为示意图，为柜壁，为柜门，点A，B为支撑杆摆臂固定点，点P为滚轮，均为支撑杆摆臂，且．为使滚轮受力均匀，保障其使用寿命，安装时只需保证即可． (1)求证：平分； (2)因空间受限，在摆臂夹角（）任意角度下，柜门展开角（）均不能大于，则安装支撑杆时，长度至少为何值才能实现？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 直角三角形 （1个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 【例1】（2023秋•金东区期中）在中，，若，则的度数是 　　． 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再代入的度数可得的度数． 【解答】解：在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余． 【变式1】（2022秋•嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为，则该直角三角形的另一个锐角是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形性质：两锐角互余直接求解即可得到答案． 【解答】解：直角三角形中两锐角互余， 若一个直角三角形其中一个锐角为，则该直角三角形的另一个锐角是． 故选：． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形中两锐角互余是解决问题的关键． 【变式2】（2023秋•海曙区校级月考）直角三角形中，若其中一个锐角为，则另一个锐角为 　　． 【分析】根据直角三角形中的两个锐角互余即可求解． 【解答】解：因为直角三角形中一个锐角是， 所以另一个锐角是． 故答案为：． 【点评】考查了直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余的性质． 【变式3】（2023秋•汉阳区校级期末）如图为脊柱侧弯测量示意图，角的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一．一次体检中，若测得某人角，则图中与相等的角的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，再利用对顶角相等可得，即可解答． 【解答】解：，， ， ， ，， ， ， 图中与相等的角有：，，，，共有4个， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【变式4】（2022秋•青田县校级月考）如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，求的度数． 【分析】根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质求出，进而求出． 【解答】解：，是的角平分线， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【变式5】（2022秋•长兴县月考）在中，，，求的度数． 【分析】根据三角形的内角和定理和直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：在中，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理和直角三角形的性质，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键． 经典题型汇编 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，掌握该定理即可解题． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是， 它的另一个锐角是， 故选：A． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，把长方形沿对角线折叠，点C和点是对应点，若，则 ．    【答案】/63度 【分析】本题考查折叠的性质，根据折痕是角平分线以及长方形的一个内角为90度，进行计算即可． 【详解】解：∵长方形沿对角线折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由． (3)如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定与性质、直角三角形的分类讨论． （1）利用等腰三角形性质证明即可； （2）利用同角的余角相等证明，再证明即可； （3）分类讨论或即可． 【详解】（1）证明：是边上的中线 又 是等腰直角三角形； （2）是等腰三角形，理由： 是边上的中线 是等腰直角三角形 ，即 是等腰三角形； （3）解：①当时， 在和中 设，则 ，解得，即； ②当时， 作，同理可证 设，则 ，解得     综上所述，的长为或． 题型二、含30度角的直角三角形 4．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图是由个顶角为的等腰三角形拼成的图形，若要求阴影部分的面积，则只需要知道（    ） A．和的面积差 B．和的面积差 C．和的面积差 D．和的面积差 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，设每个顶角为的等腰三角形的腰长为，则腰上的高为，计算阴影部分面积可由的腰长减去的腰长乘的高即可求解，掌握等腰三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：设每个顶角为的等腰三角形的腰长为， 则腰上的高为， ∴每个三角形的面积为， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， ， 是的， ∴只需知与的面积差， 故选：． 5．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，．将沿BO对折至，M为BC上的动点，则A'M的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识．由折叠的性质可得，可证得是等边三角形，从而得到，根据题意得：当时，最短，过M作于H，取的中点N，连接，根据直角三角形的性质可得，，从而得到，进而得到，，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵O为AD的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意得：当时，最短， 过M作于H，取的中点N，连接，如图， 在中，N是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 6．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，是边上的高线， (1)试说明是什么三角形，并说明理由； (2)若，，求的长 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)6 【分析】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握直角三角形两锐角互余和含30度的直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键． （1）证明，再根据三角形内角和定理求得，即可得出结论； （2）利用含30度的直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵是边上的高线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型三、斜边的中线等于斜边的一半 7．（2024·浙江杭州·一模）如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到垂直平分线段，得到，结合直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：为的高，且， 垂直平分线段， ， 为的高，即， ， ， ， ， 故选：A． 8．（22-23八年级上·浙江温州·期中）在中，，点D是斜边的中点，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】解：在中，点D是斜边的中点，， ∴， 故答案为：6． 9．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在等边三角形中，D是上的一点，E是延长线上一点，连接、，已知． (1)求证：是等腰三角形． (2)当，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质，即可证明结论； （2）设，则，得，根据三角形内角和定理可得，过D作于H，根据等腰直角三角形的性质即可得的长，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 题型四、锐角互余的三角形是直角三角形 10．在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键． 11．在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为 度． 【答案】/15度 【分析】设较小的锐角是x度，则另一角是度．再根据直角三角形的两个角互余列方程求解即可． 【详解】解：设较小的锐角是x度，则另一角是度． 则，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握直角三角形的两锐角互余是解答本题的关键． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图1，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度； (2)连接，求的度数； (3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）证△，即可得出； （2）过O分别作于M点，作于N点，证，得出．得出平分，即可得出结论； （3）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，则，证出．证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：过O分别作于M点，作于N点，如图1所示： 在四边形中，， ∴． 在与中， ， ∴ ∴． ∵， ∴平分， ∴； （3）解：的值不发生改变，等于．理由如下： 连接，如图2所示： ∵，D为的中点， ∴ ∴， ∴． ∵， 即， ∴． 在和中， ， ∴△ ∴， ∴ 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线的定义，直角三角形两锐角互余，先由垂线定义求得，再在中求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，是等腰底边边上的中线，，，则度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，直角三角形两锐角互余，平行线性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．首先根据题意得到，，然后求出，然后求出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】∵是等腰底边边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，中，，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】 本题考查等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题关键是作辅助线．连接，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：连接，    ∵，点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点，， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知平分，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角直角三角形的性质，直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．根据角平分线的性质得出，，根据含30度角直角三角形的性质，得出，最后得出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵点M是的中点， ∴． 故选：D． 5．（22-23八年级上·浙江台州·期末）作，使，，，小亮的作法如下：①作；②在射线上截取；③以点为圆心，以6为半径画弧交射线于点．连接．如图，给出了小亮前两步所画的图形．则所作的符合条件的（    ） A．是不存在的 B．有一个 C．有两个 D．有三个及以上 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形角所对直角边等于斜边一半，根据以B点为圆心，6为半径画圆弧即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵以点为圆心，以6为半径画弧交射线于点如图所示交于两点， 故选：C． 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角互补，两直线平行 B．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 C．全等的图形都可以通过平移得到 D．直角三角形两锐角互余 【答案】D 【分析】此题主要考查了真假命题，根据平行线的判定、全等三角形的性质、直角三角形的性质逐项判断即可，熟练掌握平行线的判定、全等三角形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】、同位角相等，两直线平行，原说法不是真命题，不符合题意； 、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法不是真命题，不符合题意； 、全等的图形不一定通过平移得到，但平移后的两个图形全等，原说法不是真命题，不符合题意； 、直角三角形两锐角互余，原说法是真命题，符合题意； 故选：． 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，于点于点D，点F是的中点，连接设，则（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键． 由垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，于是得到结论． 【详解】于点于点 ∵点F是的中点， ， 故选：D． 8．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，于点，的垂直平分线分别交，于点，若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质，连接，由线段垂直平分线的性质可得，由含角的直角三角形的性质得出，从而得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 垂直平分，连接， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：B． 9．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，，平分交于点E，点P为线段上一点，与度数之比为k、若为直角三角形，且，则k的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．1或 【答案】B 【分析】本题综合考查了平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是由判断出的取值范围，得到为直角．设，则，根据题意求得，根据，结合等腰三角形等角对等边及三角形外角的性质易知，推出，求出x的值，即可得出结果． 【详解】解析：设，则． ∵平分． ∴． ∵． ∴， ∵， 结合等腰三角形等角对等边及三角形外角的性质易知．即， ∴． ∵为直角三角形， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：B． 10．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，分别以点，为圆心、大于为半径画圆弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点、，连结、．在下列结论中：①；②；③；④，一定正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，， ， ，故①④正确， 无法判断，，故②③错误． 故选：B． 二、填空题 11．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知直角三角形的斜边，则斜边上的中线 ．    【答案】5 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵直角的斜边， ∴斜边上的中线， 故答案为：5． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质的运用．分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数． 【详解】解：有两种情况； （1）如图，当是锐角三角形时，于， 则， 已知， ， ， ； （2）如图，当是钝角三角形时，于， 则， 已知， ， ， ， ， 故答案为：或． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，为的中点，，点在上，且，则的大小为 ． 【答案】75°/75度 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 【详解】解：，是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，是的平分线，是边的中线．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定．先求出，则，根据含角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定可得，，则，由是边的中线得，根据即可求解． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ，，， ， ， 是边的中线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，D是上一点，将沿翻折后得到，边交于点F，若中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得（不存在）； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或. 16．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒个单位沿射线运动． （1）当运动时间是 秒时，是直角三角形． （2）当运动时间的取值范围是 秒时，是钝角三角形． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，三角形的分类； （1）过作于，，交于，根据含度角的直角三角形的性质求得的长即可求解； （2）根据（1）的结论，结合图形，即可求解． 【详解】解：如图，过作于，，交于， 则，， ， ，， ， ，， ∴当运动时间为或时，是直角三角形． 故答案为：或． （2）由（1）可得，； 当运动时间的取值范围是或秒时，是钝角三角形． 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心D能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋． (1)证明：； (2)当由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心D向下滑动的距离是多少? 【答案】(1)见解析 (2)发射中心D向下滑动的距离是． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质． （1）连接，由等腰三角形的性质得到是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质即可证明； （2）分别求得和的长即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，平分， ∴是线段的垂直平分线， ∵点D在上， ∴； （2）解：∵，是等边三角形， ∴， ∵是直角三角形，且，， ∴， ∴， ∴． 答：发射中心D向下滑动的距离是． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)36度 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂直的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论． （2）根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   是边上的高线， ， 是边上的中线， ， ， ， 点为的中点， ． （2）解：连接，    则， 点为的中点， ， ，， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ． 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，于点，，连接． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． （1）先求得的度数，进而求得，根据等腰三角形的性质得出，理由三角形内角和定理求得，根据同角的余角相等即可求得； （2）根据，且点F是的中点，得到，，证得后即可证得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 在Rt△FDC中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： ∵，且点F是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 20．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）［背景］除了高线、角平分线、中线这三条三角形中的主要特殊线段，三角形中还有很多线段值得我们研究．“等腰分割线”的定义如下：把一个三角形分成两个等腰三角形的线段称为这个三角形的等腰分割线． ［问题］如图，在中，，D是上一点（C，D不重合），且，点E是的中点，连结．    (1)求证：是的等腰分割线． (2)若是的等腰分割线，写出和存在的数量关系． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，理解新定义是解本题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）先证明，再根据是的等腰分割线，分或，再结合三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，E是中点 ∴， ∴是的等腰分割线 （2）∵， ∴， ∴ ∵是的等腰分割线， ∴是等腰三角形 ∴或， 当时，    当时 ， ∴， ∵， ∴． 21．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图（1），是的边上的中线，将沿直线翻折得到，连接，．    (1)求证：是直角三角形． (2)如图（2），若，，求的大小． (3)若是直角三角形，是等边三角形，探究与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或，证明见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得，，利用中点求出，进而得，然后根据三角形内角和得出结论； （2）根据含的直角三角形的性质，及中线性质，证为等边三角形，在证，根据折叠得； （3）根据三个角都有可能为直角，分类讨论，利用折叠性质和等边三角形性质得结论． 【详解】（1）沿直线翻折得到， ， 是的边上的中线， ， ， ， ， 是直角三角形． （2），， ， ， 是的边上的中线， ， ， 为等边三角形， 沿直线翻折得到， ，， ， （3）①当时， 是的边上的中线， ， ②如图，当时   ， 是等边三角形， 沿直线翻折得到， ， ， ， ， 是的边上的中线， ， ； ③如图当时，   ， 是等边三角形， 沿直线翻折得到， ， ， 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质及等边三角形的判定与性质；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 22．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，是边上的中线，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等边对等角可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：，是边上的中线， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，是边上的中线， ， ． 23．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是的边上的中线，，求证：是直角三角形．将下面证明的过程补充完整． 证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（ ）． ∵， ∴． ∴（ ）， 同理，， ∵（ ）， ∴， ∴是直角三角形（ ）．    【答案】；中线的定义；；等边对等角；三角形内角和等于；有两个角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、中线的定义以及直角三角形的判定等知识点，利用中线的定义，可得出，结合，可得出，根据等边对等角可得出，，利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出，再利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”，即可得证．根据各角之间的关系，找出是解题的关键． 【详解】证明：∵是边上的中线（已知）， ∴（中线的定义）． ∵， ∴． ∴（等边对等角）， 同理，， ∵（三角形内角和等于）， ∴， ∴是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）． 故答案为：；中线的定义；；等边对等角；三角形内角和等于；有两个角互余的三角形是直角三角形． 24．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图1，一款液压橱柜支撑杆可以将柜门停在任意角度，取物更方便．图2为示意图，为柜壁，为柜门，点A，B为支撑杆摆臂固定点，点P为滚轮，均为支撑杆摆臂，且．为使滚轮受力均匀，保障其使用寿命，安装时只需保证即可． (1)求证：平分； (2)因空间受限，在摆臂夹角（）任意角度下，柜门展开角（）均不能大于，则安装支撑杆时，长度至少为何值才能实现？ 【答案】(1)见解析 (2)长度至少为才能实现 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握相关性质，是解题的关键． （1）证明，即可； （2）求出时，且时，的长度即可． 【详解】（1）解：由题意，在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）由题意，当时，的度数最大， ∵柜门展开角不能大于， ∴最大为， 当，时，如图： 由（1）知平分， ∴， ∴， ∴长度至少为才能实现． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$