第2章对称图形-圆复习导学案2024-2025学年苏科版九年级数学上册

2024年秋九年级数学上册导学案(2-17) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：第2章对称图形-圆复习 学习目标： 1、理解、掌握圆的有关性质、点和圆、直线和圆的位置关系，切线的判定和性质。 2、探索、总结、归纳与圆有关的各种问题，进行知识梳理，构建圆的知识体系。 3、渗透数形结合和分类的数学思想，并逐步学会用数学的眼光认识世界、解决问题，学会有条理 的表达、推理。 学习重点：与圆有关的知识梳理。 学习难点：解决与圆有关的各种问题。 1、 基础训练： 1、 如图，AB是☉O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A,B重合)，CH⊥AB，垂足为H， 点M是BC的中点，若☉O的半径是3，则MH长的最大值是 (　 ) A、3 B、4 C、5 D、6 2、如图，AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为 （ ） A、68° B、88° C、90° D、112° 3、如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3,4），P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB， 且PA、PB 与x轴分别交于AB两点，若点AB关于原点O对称，则AB长的最小值为（ ） A、3 B、4 C、6 D、8 4、直线AB与⊙O相切于点B，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点 （点D与点B、C不重合），若∠A＝40°，则∠BDC的度数是 （　　 ） A、25°或155°　　B、50°或155° C、25°或130°　　D、50°或130° 5、已知在半径为2的☉O中，弦AC=2，弦AD=，则∠COD的度数为 。 6、如图，OA,OB是☉O的半径,点C在☉O上,∠AOB=30°,∠OBC=40°,则∠OAC=　　　　°。 7、 如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6， BC=4， P是△ABCABC内部的一个动点，且满足 ∠PAB=∠PBC，则线段CP的。场的最小值是 。 8、 如图，我国古代数学家赵爽的贤徒是由4个全等直角三角形和1个小正方形拼成了一个大的正方形， 在Rt△ABC的内切圆半径为3，小正方形的面积是49，这大正方形的面积为 。 9、如图，扇形折扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm， 贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为 cm2。 10、如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边为1， 则这个圆锥的底面半径为 。 二、知识梳理： 1、知识网络： 2、知识要点回顾： （1）圆的概念：在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。 （2）圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 （3）弦、弧、圆心角的关系定理及其推论： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量都分别相等； （4）垂径定理及其推论： 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过 圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的 另一条弧；在同圆或者等圆中， 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 （5）弧的度数等于它所对圆心角的度数； （6）圆周角和圆心角的关系： 定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。 半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 （7） 确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆。 （8） 直线与圆的位置关系 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d， 那么： 直线l与⊙O相交d r； 直线l与⊙O相切d＝r； 直线l与⊙O相离d r。 （9）切线长的性质定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 （10）几个重要公式： 弧长公式： ； 扇形面积公式：；， 扇形圆心角公式： 圆锥侧面积公式：。 三、问题研讨： 例1、选一选、填一填 （1）如图1，点A,B,C,D均在☉O上,直径AB=4,点C是的中点,点D关于AB的对称点为E， 若∠DCE=100°，则弦CE的长是 (　 　) A、 B、2 C、 D、1 （2）如图，矩形ABCG（AB<BC）与矩形CDEF全等。点B、C、D在同一直线上，∠APE的顶点 P在线段BD上移动，使∠APE等于直角的点P个数是 （ ） A、0 B、1 C、2 D、3 （3）10个大小相同的正六边形按如图3所示的方式紧密的排地在同一平面内，A、B、 C、D、E、O 均是正六边形的顶点，则下列三角形中，外心是点O的是 （ ） A、△AED B、△ABD C、△BCD D、△ACD （4）在△ABC中,已知∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=1.如图4所示,将△ABC绕点A按逆时针方向 旋转90°后得到△AB'C',则图中阴影部分的面积为 (　 ) A、 B、 C、 D、 图1 图2 图3 图4 例2、 如图，AB 是⊙O的直径，C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD 交CF于点G，连接CD，AD，BF。 （1）求证：△BFG △CDG；（2）若AD=BE=2，求BF的长。 例3、 如图，AB 是⊙O的直径，AC是弦，D为的中点，CD与AB交于点E，F是AB延长线上的一点， CF=EF。（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG，若CF=4，BF=2， 求AG的长。 例4、 如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的边OA，OC分别都在X轴、y轴上， 且OA=8， OC=4，连接AC，将矩形OABC折叠，使点A与点C重合。折痕ED交BC于点D， 交OA与点E，连接AD。 （1） 求点D的坐标和直线AD的函数表达式； （2） 如图2，⊙M的圆心M始终在直线AC上（点A除外）。且⊙M始终与X轴相切。 ①求证，AD与⊙M相切；②圆心M在AC上运动，在运动过程中，⊙M能否与Y轴相切？若能相切，求出此时圆心M坐标，若不能相切，请说明理由。 例5、 如图1，某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面直径ED与母线AD长之比是1:2。制作这种外包装需要如图2所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC，将扇形AEF围成圆锥侧面时， AE。AF恰好重合。 （1） 求这种加工材料的顶角∠BAC的度数； （2） 若圆锥底面圆的直径ED为5cm。求加工材料剩余部分（图2中涂色部分）的面积（结果保留）。 例6、在扇形AOB中，半径OA=6,点P在OA上，连接PB,将△OBP沿PB折叠得到△O'BP。 (1)如图①,若∠O=75°，且BO'与所在的圆相切于点B。 ①求∠APO'的度数；②求AP的长； (2) 如图②，BO'与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长。 四、拓展提高： ★1、（1）如图1，P为圆外一点，PB交圆于点A，B，PD交圆于点C，D，,度数分别 是75°，15°，①求∠P的度数；②如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．”来概括出圆外角的性质： 圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数 。 （2）如图2，AB,CD为⊙O内两条弦，相交于点P，,度数分别是75°，15°， ①求∠P的度数； ②请你定义“圆内角”，:圆的两条弦在圆内相交所成的角叫圆内角， 并概括圆内角的性质：圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数 。 （3）如图3，PA，PB为⊙O内两条弦，切线CD与⊙O切与点A，求证：∠BAD=∠P； （4）如图4，点P是⊙O外一点，用尺规作图，过点P求作⊙O的切线PA，PB。 2、 如图，已知∠MON=90°,OT是∠MON的平分线,A是射线OM上一点，OA=8 cm.动点P从点A出发, 以1 cm/s的速度沿AO水平向左做匀速运动,与此同时,动点Q从点O出发,也以1 cm/s的速度沿ON 竖直向上做匀速运动.连接PQ,交OT于点B.经过O,P,Q三点作圆,交OT于点C,连接PC,QC.设运动 时间为t(s),其中0<t<8。 (1)求OP+OQ的值； (2)是否存在实数t,使得线段OB的长度最大?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由； (3)求四边形OPCQ的面积。 4、 强化训练： 1、已知⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC与点D，∠BOD=48°，则∠BAC的度数为 （ ） A、48° B、132° C、48°或132° D、24°或156° 2、如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF.交于点P。 AE=2，BF=EG，DG>AE，则DP的长最小值为 （ ） A、 B、 C、 D、 3、如图，正方形ABCD的边长为2,O为对角线的交点,点E,F分别为BC,AD的中点.以C为圆心, 2为半径作弧再分别以E,F为圆心,1为半径作弧,,则图中阴影部分的面积为(　 　) A、π-1 B、π-3 C、π-2 D、4-π 4、如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°， 则图中阴影部分的面积是 （　 　） A、　　 B、　 　C、　　 D、 5、如图，量角器的直径与直角三角形ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的度数是 °。 6、如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆于C、D两点，AC＝CD＝DB， 分别以点C、D为圆心，CD为半径作半圆，若AB＝6cm，则图中阴影部分的面积为 。 7、P是非圆上的一点，若点P到圆O上点的最小距离是4cm，最大距离为9cm，则圆O的半径为 。 8、已知⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=130°，则∠BAC的度数为 。 9、如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A， 设D是边BC上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 。 10、如图，P是圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，切点为A，B，C是圆O上任意一点 （不与A、B重合）。若∠APB=50°，则∠ACB的度数为 。 11、在半径为的圆O中，弦AB⊥CD。垂足为P。AB=CD=4，则S△ACP为 。 12、如图，⊙O的半径为3cm，B是⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以 厘米/秒的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到A点后停止。当点P的运动时间为 秒时， 直线BP与⊙O相切。 第9题 第10题 第12题 13、 如图，在☉O中，AC为☉O的直径，AB为☉O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线， 交AB于点M，交☉O于点N，分别连接EB，CN. (1)EM与BE的数量关系是　　　　；  (2)求证：= ； (3)若AM=，MB=1，求阴影部分图形的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $$