专题1.1 集合（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题1.1 集合 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 5 考点一：集合的基本概念 5 考点二：集合间的基本关系 5 考点三：集合的基本运算 6 考点四：利用集合的运算求参数 6 【考纲要求】 1. 理解集合的概念，会判断元素与集合的关系，掌握集合的表示方法； 2. 掌握集合间的关系，会判断集合与集合之间的关系； 3. 掌握交集、并集、补集的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 4.理解符号，，的含义. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 【知识导图】 【知识清单】 1.集合的概念 一些能够确定的对象的整体构成一个集合． (1)集合中元素的三大性质：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系 ①属于：如果元素a是集合A的元素，记作a∈A. ②不属于：如果元素a不是集合A的元素，记作a∉A． (3)集合的分类 ①集合按元素个数进行分类：含有有限个元素的集合叫作有限集，含有无限个元素的集合叫作无限集，将不含任何元素的集合叫做空集，记作∅. 注意：“∅”与{0}不是同一个集合，因此. (4)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*/N+ Z Q R (5)集合的表示法 ①列举法：将集合中的元素一一列举出来，如{a,b,c}； ②描述法：如，适用于元素较多的集合或元素不能被一一列举的集合； ③Venn图法． 注意：实用数集有固定的符号，如实数集R. 2.集合之间的关系 1.子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫作集合B的子集， 记作A⊆B或B. (1)真子集：如果A⊆B，且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫作集合B的真子集， 记作AB或BA. (2)相等：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等，记作A=B. 2.子集、真子集、相等的关系 （1）若A⊆B，则AB或A=B. (2)若A⊆B且B⊆A，则A=B，反之，亦然. 注意： (1)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. (4)传递性：A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 并集 交集 补集 符号表示 A∪B A∩B Venn图示 集合表示 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 运算性质 A∪A＝A， A∪∅＝A， A∪B＝B∪A， 如果，那么. A∩A＝A， A∩∅＝∅， A∩B＝B∩A， 如果,那么. ， ， , 注意：是指从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合. 【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【变式探究】下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2024年职教高考数学难题 D．所有无理数 例2．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【变式探究】(1) 下列关系中，正确的是__. ①；②；③|﹣20|∉N*；④；⑤﹣5∉Z；⑥0∈N. 例3．已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． [归纳提升]　解决此类问题的方法是：根据元素的确定性进行分类讨论，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性． 【变式探究】若，则a的值为______. 考点二：集合间的基本关系 例4. 若集合，实数的值为 【变式探究】若集合，，且，则______． 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 例5. 设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【变式探究】已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6.已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 [归纳提升]　解决此类问题的方法是：根据集合中元素的个数确定其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 【变式探究】已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 考点三：集合的基本运算 例7. 设集合，，则（    ） A． B． C． D． 例8. 设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 例9. 已知集合，，则 ___________. 【注意】当集合是点集时，其元素一定要写出形式. 【变式探究】 1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．集合，，则=（   ） A． B． C． D． 3. 已知集合，则_________． 考点四：利用集合的运算求参数 例1　集合，集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若，求实数的取值范围. 【方法规律】 ①认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． ②注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． ③注意空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解． 【变式探究】已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：集合的基本概念 4 考点二：集合间的基本关系 6 考点三：集合的基本运算 9 考点四：利用集合的运算求参数 10 【考纲要求】 1. 理解集合的概念，会判断元素与集合的关系，掌握集合的表示方法； 2. 掌握集合间的关系，会判断集合与集合之间的关系； 3. 掌握交集、并集、补集的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 4.理解符号，，的含义. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 【知识导图】 【知识清单】 1.集合的概念 一些能够确定的对象的整体构成一个集合． (1)集合中元素的三大性质：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系 ①属于：如果元素a是集合A的元素，记作a∈A. ②不属于：如果元素a不是集合A的元素，记作a∉A． (3)集合的分类 ①集合按元素个数进行分类：含有有限个元素的集合叫作有限集，含有无限个元素的集合叫作无限集，将不含任何元素的集合叫做空集，记作∅. 注意：“∅”与{0}不是同一个集合，因此. (4)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*/N+ Z Q R (5)集合的表示法 ①列举法：将集合中的元素一一列举出来，如{a,b,c}； ②描述法：如，适用于元素较多的集合或元素不能被一一列举的集合； ③Venn图法． 注意：实用数集有固定的符号，如实数集R. 2.集合之间的关系 1.子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫作集合B的子集， 记作A⊆B或B. (1)真子集：如果A⊆B，且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫作集合B的真子集， 记作AB或BA. (2)相等：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合相等，记作A=B. 2.子集、真子集、相等的关系 （1）若A⊆B，则AB或A=B. (2)若A⊆B且B⊆A，则A=B，反之，亦然. 注意： (1)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (3)任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A. (4)传递性：A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 并集 交集 补集 符号表示 A∪B A∩B Venn图示 集合表示 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 运算性质 A∪A＝A， A∪∅＝A， A∪B＝B∪A， 如果，那么. A∩A＝A， A∩∅＝∅， A∩B＝B∩A， 如果,那么. ， ， , 注意：是指从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合. 【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合； 对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合； 对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合； 对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 【变式探究】下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2024年职教高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合； 对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合； 对于C，2024年职教高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合； 对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合， 故选：C 例2．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系逐个判断即可. 【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 【变式探究】(1) 下列关系中，正确的是__. ①；②；③|﹣20|∉N*；④；⑤﹣5∉Z；⑥0∈N. 【答案】①②⑥ 【分析】根据元素与集合的关系进行判断即可. 【详解】①，正确；②，正确； ③因为|﹣20|＝20∈N*，则|﹣20|∉N*，错误； ④因为；则，错误； ⑤﹣5∉Z，错误；⑥0∈N.正确； 所以正确的是①②⑥. 故答案为：①②⑥. 例3．已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可. 【详解】∵，∴或， 若，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，集合，满足题意，故成立， 若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去， 综上所述，． 故选：B． [归纳提升]　解决此类问题的方法是：根据元素的确定性进行分类讨论，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性． 【变式探究】若，则a的值为______. 【答案】 【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答. 【详解】因为，则当，即，此时，矛盾， 若，解得，此时，，符合题意，即， 而，即， 所以a的值为. 故答案为： 考点二：集合间的基本关系 例4. 若集合，实数的值为 【答案】 【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案． 【详解】令,,，,,， ,,，，， 若，则，则,,，,,，满足要求； 若，则，而中元素，矛盾； 若，则，则,,，,,，满足要求； 故实数的值为. 故答案为： 【变式探究】若集合，，且，则______． 【答案】0 【分析】利用两个集合相等结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】因为集合，所以解得或， 当时不满足集合元素互异性的要求舍去， 当时，， 故答案为：0 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 例5. 设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 【变式探究】已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合包含关系可直接构造不等式组求得结果. 【详解】，，， 且，解得：，即的取值范围为. 故选：D. 例6.已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答. 【详解】解不等式，得，因此， 所以集合的子集个数为. 故选：C. [归纳提升]　解决此类问题的方法是：根据集合中元素的个数确定其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 【变式探究】已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由题意可知集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，从而可求出集合的个数. 【详解】因为 所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集， 所以集合的个数为， 故选：C. 考点三：集合的基本运算 例7. 设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 例8. 设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 例9. 已知集合，，则 ___________； 【答案】 【分析】解方程组求出交集中的元素，再根据列举法可得答案. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 【注意】当集合是点集时，其元素一定要写出形式. 【变式探究】 1. 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的定义计算即可. 【详解】由题意得. 故选：C 2．集合，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集与补集的定义求解即可. 【详解】因为集合，所以，所以. 故选：B. 3. 已知集合，则_________． 【答案】 【分析】求直线的交点可得. 【详解】由，解得，所以． 故答案为：. 考点四：利用集合的运算求参数 例1　集合，集合， (1)若，求实数的取值范围. (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论是否为空集，当时，根据子集关系列式，解不等式可得结果； （2）先求时，实数的取值范围，再求其补集即可得解. 【详解】（1）①当时，， 此时,解得， ②当时，为使，需满足，解得， 综上所述：实数的取值范围为. （2）先求时，实数的取值范围，再求其补集， 当时，由（1）知， 当时，为使，需满足或， 解得， 综上知，当或时，， 所以若，则实数的取值范围是. 【方法规律】 ①认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． ②注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． ③注意空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解． 【变式探究】已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，然后对是否为空集进行分类讨论可求； （2）当时，结合是否为空集进行分类讨论可求的范围，然后结合补集思想可求满足条件的的范围． 【详解】（1）解：因为， 所以， 当时，，即， 当时，，解得， 综上，的取值范围为； （2）解：当时， 当时，，即， 当时，或， 解得，， 综上，时，或， 故当时，实数的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$