第三章 函数（A卷·考点梳理卷）-【中职专用】2024-2025学年高一数学同步单元测试AB卷（人教版2021·基础模块上册）

第三章 函数 考点一 函数求值问题 1 考点二 求函数定义域 1 考点三 函数的三要素 2 考点四 函数图象问题 2 考点五 求函数解析式 2 考点六 分段函数 3 考点七 判断函数的单调性 3 考点八 利用函数的单调性求参数 3 考点九 判断函数的奇偶性 4 考点十 利用函数的奇偶性求解析式 4 考点十一 函数性质的综合运用 5 考点十二 一次函数的图象和性质 5 考点十三 一次函数与不等式 (组)之间的关系 6 考点十四 二次函数的图象和性质 6 考点十五 利用二次函数的性质求参数 6 考点十六 求二次函数解析式 7 考点十七 利用函数解决实际问题 7 考点一 函数求值问题 1．已知函数， 求： (1)的值： (2)求的值； (3)求的值； 考点二 求函数定义域 2．函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 考点三 函数的三要素 4．下列函数中，与函数表示的是同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 5. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 考点四 函数图象问题 6. 下列各图形中是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 7. 函数的图象与直线是常数)的交点的个数（ ） A．有且只有一个 B．至少有一个 C．至多有一个 D．有一个或两个 考点五 求函数解析式 8. 已知 ，求的解析式. 9. 已知 ，求的解析式. 考点六 分段函数 10. 已知函数，若，则实数等于（ ） A． B． C． D． 11. 设 ，则 . 考点七 判断函数的单调性 12. 判断函数在上的单调性. 13. 证明函数在 上是减函数. 考点八 利用函数的单调性求参数 14. 已知函数在上是增函数，且 ，求实数的取值范围. 15. 已知函数在上是减函数，且，求实数的取值范围. 考点九 判断函数的奇偶性 16. 判断下列函数的奇偶性： ； ； ； ； 17. 判断下列函数的奇偶性： ； ； . 考点十 利用函数的奇偶性求解析式 18. 已知函数是奇函数，且当时，，求当时的解析式. 19. 已知函数是偶函数，且当时，，求当时的解析式. 考点十一 函数性质的综合运用 20. 已知函数是偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 21. 已知函数是偶函数，且在区间上是减函数，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 22. 若奇函数在上的图象如图所示，则该函数在上的图象可能是（ ） 图A．B．C． D． 23.在下列函数图象中，表示奇函数且在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 考点十二 一次函数的图象和性质 24. 已知一次函数 (1)当，满足什么条件时，随的增大而增大? (2)当，满足什么条件时，函数的图象与轴的交点在轴下方? (3)当，满足什么条件时，函数的图象经过原点? 25. 已知一次函数的图象不经过第一象限，且为整数，求的值. 考点十三 一次函数与不等式 (组)之间的关系 26. 如图，函数的图象与轴、轴分别相交于点和点 ，则关于的不等式 的解集为（ ） 27. 已知直线与轴和轴的交点分别是和，那么关于的不等式 的解集是 . 考点十四 二次函数的图象和性质 28. 已知二次函数，求： (1)抛物线的顶点坐标、对称轴以及该函数的单调区间； (2)当取哪些值时，？当取哪些值时，？当取哪些值时，？ 29. 关于函数，下列叙述中错误的是（ ） A．函数的最大值是 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数的图象经过点(2，0) 考点十五 利用二次函数的性质求参数 30. 已知二次函数 在区间是增函数，求实数的取值范围. 31. 已知二次函数在区间上是减函数，求实数的取值范围. 考点十六 求二次函数解析式 32. 求下列二次函数解析式. (1)图象以为顶点，且经过点； (2)图象的最高点是，且图象与轴的一个交点的横坐标为； (3)二次函数的图象经过两点， ，且最大值是. 33. 已知二次函数的图象在轴上的截距是，对任意实数，都有 成立，且，求的解析式. 考点十七 利用函数解决实际问题 34. 某种商品每件定价80元，每天可以售出30件；如果每件定价120元，则每天可售出20件.如果售出件数是定价的一次函数，求售出件数关于定价的解析式. 35. 某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式.居民当月用电量不超过100度的部分，按基础电价收费；超过100 度不超过 150 度的部分，按0.8元/度收费；超过150度的部分按1.2元/度收费.该市居民当月用电量(度)与应付电费(元)的函数图象如图所示. (1)求该市居民用电的基础电价是多少元/度? (2)某居民8月份的用电量为210度，求应付电费多少元? (3)当时，求与的函数关系式(为自变量) . 36. 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查发现，这种商品单价每降低0.1元，销售量可增加约10件，将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 考点一 函数求值问题 1 考点二 求函数定义域 2 考点三 函数的三要素 2 考点四 函数图象问题 3 考点五 求函数解析式 4 考点六 分段函数 4 考点七 判断函数的单调性 4 考点八 利用函数的单调性求参数 5 考点九 判断函数的奇偶性 5 考点十 利用函数的奇偶性求解析式 6 考点十一 函数性质的综合运用 7 考点十二 一次函数的图象和性质 8 考点十三 一次函数与不等式 (组)之间的关系 9 考点十四 二次函数的图象和性质 9 考点十五 利用二次函数的性质求参数 10 考点十六 求二次函数解析式 11 考点十七 利用函数解决实际问题 12 考点一 函数求值问题 1．已知函数， 求： (1)的值： (2)求的值； (3)求的值； 【答案】见解析 【分析】求函数值主要利用代入法求解，而对于类似的函数求值问题要先求内层，再求外层，层层求解. 【详解】； ； 考点二 求函数定义域 2．函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的定义域，求函数定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，若偶次根式 “”在分母位置上，则需满足 【详解】由题意得，，即，解得或 故选：D 3．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使该函数有意义，需满足，即 故选：A 考点三 函数的三要素 4．下列函数中，与函数表示的是同一个函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查构成函数的要素，两个函数的定义域和对应法则均相同时才表示同一个函数，对应法则相同指的是对应法则等价，形式并不一定完全一样. 【详解】函数与函数 R)虽然对应法则相同，但是定义域不同，故A错误； 函数 与函数 不仅对应法则相同，而且定义域也相同，故B正确； 函数与函数 的定义域都是实数集R，但是当时，它的对应法则与函数不同，故C错误； 函数与函数虽然对应法则相同，但是定义域不相同，故D错误. 故选：B 5. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A中，，，定义域和对应法则均相同，二者表示同一函数； 选项 B、C、D定义域不同，不是同一函数. 故选：A 考点四 函数图象问题 6. 下列各图形中是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的定义，按照某种确定的对应法则，使对于集合中的任意一个实数，都有唯一确定的实数值与它相对应，那么就称这种对应法则为集合上的一个函数. 函数定义中变量与的对应关系可以是“一对一”或者“多对一”，但不能是“一对多”. 【解析】在坐标系内画一条平行于轴的直线，对于选项A、B、C的三个图形，可以发现该直线和图形有两个交点，说明对于同一个值，值不是唯一的，因此这些图形不是函数的图象；而D选项只有一个交点，说明对于同一个值，值是唯一的，符合函数的定义，因此该图形是函数的图象. 故选：D 7. 函数的图象与直线是常数)的交点的个数（ ） A．有且只有一个 B．至少有一个 C．至多有一个 D．有一个或两个 【答案】C 【解析】当是函数定义域内的一个数值时，应满足“一对一”，即直线与函数的图象有唯一的交点；当不是函数定义域内的一个数值时，则无交点，因此，至多有一个交点. 故选：C 考点五 求函数解析式 8. 已知 ，求的解析式. 【答案】 【分析】本题主要考查求函数的解析式，采用换元法求解，令，则，然后代入求解. 【解析】令，则将其代入得， ，即 9. 已知 ，求的解析式. 【答案】 【解析】令，则，将其代入 得， ，即 考点六 分段函数 10. 已知函数，若，则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分段函数，应根据自变量的不同取值范围来确定相应的解析式求值. 【解析】因为，所以 ，所以 故选C. 11. 设 ，则 . 【答案】0 【解析】因为，所以 考点七 判断函数的单调性 12. 判断函数在上的单调性. 【答案】 【分析】本题主要考查利用定义判断函数单调性的方法：取值，求值，判断，结论. 首先要在给定的区间上取值，然后根据定义进行求值；判断的正负号时，一定要运用配方、通分、因式分解等方法将其化简到最简形式. 【解析】设且， 则 ， 则，所以函数在区间上是增函数. 13. 证明函数在 上是减函数. 【答案】见解析 【解析】证明：设，且， 则， 则 ， 因为，于是，所以 所以函数在区间上是减函数. 考点八 利用函数的单调性求参数 14. 已知函数在上是增函数，且 ，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】本题主要考查利用函数的单调性求参数的取值范围，根据增函数的概念，自变量和函数值的单调性是一致的，由此得到不等式 . 解决此类问题应灵活转化为解不等式，注意结合定义域求解. 【解析】由题意得，即， 解得 或. 所以实数的取值范围是. 15. 已知函数在上是减函数，且，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】由题意得 ，化简得 ，即 解得. 所以实数的取值范围是 考点九 判断函数的奇偶性 16. 判断下列函数的奇偶性： ； ； ； ； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查判断函数奇偶性的步骤：①定义域；②求；③判断；④结论. 首先要求出定义域，若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，再进行下一步的求解. 【解析】(1)由题意得，因为对定义域内的任意一个， 都有，所以该函数为偶函数； (2)由题意得，其定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数； (3)由题意得，因为对定义域内的任意一个， 都有 ，所以该函数为奇函数； (4)由题意得，因为对定义域内的任意一个， 都有，且，所以该函数既是奇函数又是偶函数； (5)由题意得，因为对定义域内的任意一个， 都有，而，即且， 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数. 17. 判断下列函数的奇偶性： ； ； . 【答案】见解析 【解析】(1)由题意得，因为对定义域内的任意一个， 都有，即，所以该函数是奇函数； (2)由题意得，因为对定义域内的任意一个， 都有 ，即，所以该函数是偶函数； (3)由题意得，因为对定义域内的任意一个， 都有 ，而， 即且，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数. 考点十 利用函数的奇偶性求解析式 18. 已知函数是奇函数，且当时，，求当时的解析式. 【答案】. 【分析】本题主要考查利用函数的奇偶性求解析式，求当时的解析式，应先变形为，然后充分利用当时的解析式，再结合函数奇偶性的概念进行变形求解. 【解析】当时，， 因为当时，，所以 又因为是奇函数，所以，即. 所以当时，. 19. 已知函数是偶函数，且当时，，求当时的解析式. 【答案】 【解析】当时，， 因为当时，，所以 又因为是偶函数所以，即. 所以当时，. 考点十一 函数性质的综合运用 20. 已知函数是偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解函数单调性和奇偶性的概念是求解本题的关键，可借助图象进行求解. 【解析】因为是偶函数，所以， 又因为在区间上是增函数，所以，即. 故选：C 21. 已知函数是偶函数，且在区间上是减函数，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是偶函数，所以，又因为在区间上是减函数， 且1，所以，即 故选：B 22. 若奇函数在上的图象如图所示，则该函数在上的图象可能是（ ） 图A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查奇函数的图象特征. 一个函数是偶函数的充要条件：它的图象是以轴为对称轴的轴对称图形； 一个函数是奇函数的充要条件：它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 【解析】奇函数的图象关于原点对称. 故选C. 23.在下列函数图象中，表示奇函数且在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】奇函数的图象关于原点成中心对称图形，且单调性保持不变，故排除选项B、D； 选项C在为减函数，亦排除. 故选A. 考点十二 一次函数的图象和性质 24. 已知一次函数 (1)当，满足什么条件时，随的增大而增大? (2)当，满足什么条件时，函数的图象与轴的交点在轴下方? (3)当，满足什么条件时，函数的图象经过原点? 【答案】见解析 【分析】一次函数的图象是经过两点的直线； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；因此，根据函数图象经过的象限，画出大致图象，结合图象可以确定其系数的符号，也可由系数的符号确定图象经过哪些象限以及函数的增减性. 【解析】(1) ∵随的增大而增大， ，解得， ∴当，为任意实数时，随的增大而增大. (2)∵函数的图象与轴的交点在轴下方， 且，即且， ∴当且时，函数的图象与轴的交点在轴下方. (3)∵函数的图象经过原点， ，解得 ， ∴当且时，函数的图象经过原点. 25. 已知一次函数的图象不经过第一象限，且为整数，求的值. 【答案】 【解析】因为一次函数的图象不经过第一象限，且为整数， 所以，解得. 考点十三 一次函数与不等式 (组)之间的关系 26. 如图，函数的图象与轴、轴分别相交于点和点 ，则关于的不等式 的解集为（ ） 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象解一元一次不等式，结合函数图象可得表示函数图象上的点要在的上方，再根据图象可得答案. 【解析】∵直线和轴的交点是 ∴不等式的解集是， 故选: A. 27. 已知直线与轴和轴的交点分别是和，那么关于的不等式 的解集是 . 【答案】 【分析】一次函数与不等式的关系： (1) 函数的函数值大于0时，自变量的取值范围就是不等式的解集； (2) 函数的函数值小于0时，自变量的取值范围就是不等式的解集. 【解析】由题意，的解集是 考点十四 二次函数的图象和性质 28. 已知二次函数，求： (1)抛物线的顶点坐标、对称轴以及该函数的单调区间； (2)当取哪些值时，？当取哪些值时，？当取哪些值时，？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，可借助图象进行求解. 【解析】(1)由题意得， ， 所以抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线， 因为该抛物线的开口向上，则其单调递减区间是 ，单调递增区间是； (2)令，得，解得，即该抛物线和轴相交于两个点和. 如图所示. 由该函数的图象可知，这两个点把轴分成3个区域： 当 时，；当 时，. 29. 关于函数，下列叙述中错误的是（ ） A．函数的最大值是 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数的图象经过点(2，0) 【答案】C 【解析】函数，最大值是1，A正确； 对称轴是直线，B正确； 单调递减区间是，C 错误； ，即点(2，0)在函数图象上，D正确. 故选：C 考点十五 利用二次函数的性质求参数 30. 已知二次函数 在区间是增函数，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】本题主要考查利用二次函数的单调性求参数的取值范围，应结合图象进行观察，该函数图象开口向上，在对称轴右侧单调递增，为保证函数在给定区间是增函数，其对称轴应位于直线的左侧，即 【解析】由题意得，该函数图象开口向上，且其对称轴为直线， 因为函数在区间是增函数，所以，解得 所以实数的取值范围为 31. 已知二次函数在区间上是减函数，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】由题意得，其对称轴为直线 因为函数在区间上是减函数，所以，解得 故实数的取值范围为. 考点十六 求二次函数解析式 32. 求下列二次函数解析式. (1)图象以为顶点，且经过点； (2)图象的最高点是，且图象与轴的一个交点的横坐标为； (3)二次函数的图象经过两点， ，且最大值是. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查求二次函数的解析式，需根据条件选择恰当的形式：一般式、顶点式、交点式. 【解析】(1)因为二次函数的图象以为顶点， 所以可设其解析式为， 又因为该函数图象经过点， 所以将代入上式，得，解得， 所以，即 (2)因为二次函数的图象的最高点是，所以其对称轴为直线， 又因为图象与轴的一个交点的横坐标为，即交点为， 所以该函数图象与轴的另一个交点为， 所以可设二次函数的解析式为， 将点的坐标代入上式得，，解得， 所以，即 . (3)因为二次函数的图象经过两点， ，所以其对称轴为直线, 又因为最大值是，所以其顶点为， 所以可设其解析式为 将代入上式得，，解得， 故 33. 已知二次函数的图象在轴上的截距是，对任意实数，都有 成立，且，求的解析式. 【答案】 【解析】因为，所以其对称轴方程为， 由题意可得 ，解得 所以 考点十七 利用函数解决实际问题 34. 某种商品每件定价80元，每天可以售出30件；如果每件定价120元，则每天可售出20件.如果售出件数是定价的一次函数，求售出件数关于定价的解析式. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查一次函数的应用，其模型为. 根据实际生活确定的取值范围，即当销量时，可以求得的最大值，特别地，Z. 【解析】因为售出件数是定价的一次函数，所以不妨设 由题意可得 ，解得 ，即， 令，得，所以，. 所以售出件数关于定价的解析式为 35. 某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式.居民当月用电量不超过100度的部分，按基础电价收费；超过100 度不超过 150 度的部分，按0.8元/度收费；超过150度的部分按1.2元/度收费.该市居民当月用电量(度)与应付电费(元)的函数图象如图所示. (1)求该市居民用电的基础电价是多少元/度? (2)某居民8月份的用电量为210度，求应付电费多少元? (3)当时，求与的函数关系式(为自变量) . 【答案】见解析 【分析】本题主要考查分段函数的应用，需先观察图象构建相应的函数模型，然后再数形结合求解不同区间的解析式. 【解析】(1)设该市居民用电的基础电价是元/度，则由题意可知， 应付电费与用电量之间的函数关系式是 又由图象可知，该函数经过点(100，50). 将代入上式得，，解得， 所以，即基础电价为0.5元/度. (2)由阶梯电价曲线可知，应将210度电分成三部分进行计价： 100度电应付电费为：(元)； 50度电应付电费为：(元)； 60度电应付电费为：(元). 因此，该居民8月份应付电费为(元). (3)由图象可知，当时，应付电费与用电量之间是一次函数关系， 不妨设其解析式为 由题意可知，元/度，则 因为该函数经过点，则将代入上式得， 解得，所以. 36. 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查发现，这种商品单价每降低0.1元，销售量可增加约10件，将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解决此类问题时，一般先构建二次函数模型，然后利用单调性、值域等方法求出最值，最后再还原为实际问题. 【解析】设每件商品降低元，该商品每天的利润为元. 则与的函数关系式为：，即 配方得， 当时，， 因为所以当这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大，最大利润为 225元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$