专题09 解析几何（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线）（十大考点）-【中职专用】山东省十年（2015-2024）春季高考数学真题分类汇编

专题09 解析几何（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线） 考点01 直线方程及应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）已知直线l与直线垂直，则直线l的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）已知直线l在y轴上的截距是，且与直线平行，则直线l的方程是（ ）． A. B. C. D. 3. （2023年山东省春季高考数学真题）已知点，若直线过线段AB的中点，则实数m＝_______． 4. （2022年山东省春季高考数学真题）已知直线过点，且倾斜角为，则该直线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. （2021年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知直线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6．（2020年山东省春季高考数学真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． ( x y O 2 3 P )7. （2019年山东省春季高考数学真题）如图所示，直线l⊥OP，则直线l的方程是（ ） A. 3x－2y=0 B. 3x+2y－12=0 C. 2x－3y+5=0 D. 2x+3y－13=0 8．（2018年山东省春季高考数学真题）关于直线，下列说法正确的是 A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量 C．直线经过点 D．向量是直线的一个法向量 9．（2018年山东省春季高考数学真题）若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是（   ） A． B． C． D． 10.（2017年山东省春季高考数学真题）过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程是（ ） A. B. C. D. 11．（2016年山东省春季高考数学真题）过点与圆相切的直线方程是（ ） A． B． C． D． 12．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 考点02 圆的方程及应用 1.（2024年山东省春季高考数学真题） 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 2.（2022年山东省春季高考数学真题） 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 3. （2021年山东省春季高考数学真题）已知过原点的圆，其圆心坐标为，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4．（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5. （2019年山东省春季高考数学真题）已知O为坐标原点，点M在x轴的正半轴上，若直线MA与圆x2+y2=2相切于点A，且|AO|=|AM|，则点M的横坐标是（ ） A. 2 B. C. 2 D. 4 6．（2018年山东省春季高考数学真题）的圆心在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.（2017年山东省春季高考数学真题）已知圆和关于直线对称，若圆的方程是，则的方程是（ ） A. B. C. D. 考点03椭圆的方程及应用 1. （2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程是（ ）． A. B. C. D. 2．（2020年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 3.（2017年山东省春季高考数学真题）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长等于________. 4．（2015年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于 ． 考点04 双曲线方程及应用 1. （2023年山东省春季高考数学真题）已知双曲线的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，过右焦点F且垂直于x轴的直线，与双曲线在第一象限交于点P，双曲线的右顶点A是OF的中点，若，则该双曲线的实轴长等于（ ）． A. B. C. D. 2．（2016年山东省春季高考数学真题）关于x，y的方程和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 考点05 抛物线方程及应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，若，则焦点F到准线的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 2. 故选：B． 2. （2022年山东省春季高考数学真题）抛物线的焦点坐标是_________. 3. （2021年山东省春季高考数学真题）抛物线上一点到对称轴的距离为4，到准线的距离5，则（ ） A. 2或4 B. 4或6 C. 6或8 D. 2或8 4. （2019年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点M（-2，4），则其标准方程是（ ） A. y2=-8x B. y2=－8x 或x2=y C. x2=y D. y2=8x 或x2=－y 5．（2018年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的焦点为，准线为，该抛物线上的点到轴的距离为5，且，则焦点到准线的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2016年山东省春季高考数学真题）如果抛物线上的点M到y轴的距离是3，那么点M到该抛物线焦点F的距离是________； 5 考点06 椭圆中的离心率及其应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）椭圆的离心率是_________ 2. （2021年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的长轴长与短轴长比是3∶2，则该椭圆的离心率为______． 3．（2018年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是，若点在椭圆上，则椭圆的离心率等于 ． 考点07 双曲线中的离心率及其应用 1. （2022年山东省春季高考数学真题）已知双曲线的左右焦点分别是，，是坐标原点，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 2．（2020年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于 . 3.（2017年山东省春季高考数学真题）已知，为双曲线的两个顶点，以，为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若的面积为，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 4．（2015年山东省春季高考数学真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．3 考点08 曲线方程及其应用 1．（2018年山东省春季高考数学真题）关于的方程，表示的图形不可能是 A． B． C． D． 2．（2015年山东省春季高考数学真题）关于，的方程，给出以下命题； ①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当时，方程表示椭圆． 其中，真命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点09 解析几何小题综合 1. （2019年山东省春季高考数学真题）已知O为坐标原点，双曲线的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|+|BF|=8|OF|，则该双曲线的渐近线方程是 . 2．（2016年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的焦点分别是，，点M在椭圆上，如果，那么点M到x轴的距离是（ ） A． B． C． D．1 考点10 解析几何解答题综合 1. （2024年山东省春季高考数学真题）双曲线（a>0，b>0），圆D:，双曲线与圆交于M（3，4），双曲线的一条渐近线为 （1）求双曲线的方程 （2）点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于A、B两点，且，求l的方程 2. （2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知圆的圆心是点C，抛物线的焦点F在该圆上． （1）求p的值； （2）若过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程． 3. （2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知椭圆的右顶点是，左右焦点分别是，，且，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：交椭圆于点，，以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，求实数的值. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知双曲线的左顶点与椭圆的左焦点重合，双曲线与椭圆在第一象限相交与点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交与点，线段的中点在双曲线的渐近线上，求直线的方程. 5．（2020年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示. （1）求抛物线的标准方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程. 6．（2019年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知椭圆 的两个焦点分别是F1，F2，短轴的两个端点分别是B1、B2，四边形F1B1F2B2为正方形，且椭圆经过点P. ( O F 1 F 2 M ) ( y x B 2 B 1 )(l)求椭圆的标准方程； (2)与椭圆有公共焦点的双曲线，其离心率 ， 且与椭圆在第一象限交于点M， 求线段MF1、MF2的长度． 7．（2018年山东省春季高考数学真题）双曲线的左、右焦点分别是，抛物线的焦点与点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示. (1)求双曲线及抛物线的标准方程； (2)设直线与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于两点，交双曲线于点，若点是线段的中点，求直线的方程. 8.（2017年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率是，如图所示. （1）求椭圆的标准方程. （2）抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点，过点作抛物线的切线，与椭圆的另一个交点为，求线段的长. 9．（2016年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是，，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2． （1）求该双曲线的标准方程、离心率及渐近线方程； （2）若直线l经过双曲线的右焦点，并与双曲线交于M，N两点，向量是直线l的法向量，点P是双曲线左支上的一个动点，求面积得最小值． 10．（2015年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是． （1）求抛物线的标准方程； （2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 解析几何（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线） 考点01 直线方程及应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）已知直线l与直线垂直，则直线l的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求斜截式直线方程的斜率，再根据两直线垂直易得答案. 【详解】因为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率是. 故选：D. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）已知直线l在y轴上的截距是，且与直线平行，则直线l的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行可设直线l的方程是，再将点代入即可求解. 【详解】因为线l与直线平行，所以可设直线l的方程是， 将点代入可得，， 解得， 则直线l的方程是． 故选：B． 3. （2023年山东省春季高考数学真题）已知点，若直线过线段AB的中点，则实数m＝_______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用线段中点坐标公式求出线段AB的中点，再代入直线方程中即可求解. 【详解】依题意，线段AB的中点为，将其代入为： ，解得． 故答案为：2. 4. （2022年山东省春季高考数学真题）已知直线过点，且倾斜角为，则该直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线斜率的定义，可得斜率，再根据直线的点斜式方程可求解. 【详解】因为倾斜角为，所以直线的斜率为. 将点,斜率代入直线的点斜式方程为, 整理为. 故选：. 5. （2021年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知直线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可知直线l过点，即可求解直线l的斜率，再由直线，可求解直线的斜率，再由直线过点即可求解直线的方程. 【详解】根据图象可知，直线l过点， 所以， 因为直线， 所以， 又因为直线过点， 所以由点斜式方程有， 整理可得. 故选：C. 6．（2020年山东省春季高考数学真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 7. （2019年山东省春季高考数学真题）如图所示，直线l⊥OP，则直线l的方程是（ ） ( x y O 2 3 P )A. 3x－2y=0 B. 3x+2y－12=0 C. 2x－3y+5=0 D. 2x+3y－13=0 【答案】D 8．（2018年山东省春季高考数学真题）关于直线，下列说法正确的是 A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量 C．直线经过点 D．向量是直线的一个法向量 【答案】B 【详解】分析：先根据方程得斜率，再根据斜率得倾斜角以及方法向量. 详解：因为直线，所以斜率倾斜角为，一个方向向量为，因此也是直线的一个方向向量， 选B. 点睛：直线斜率,倾斜角为，一个方向向量为. 9．（2018年山东省春季高考数学真题）若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：先根据点到直线距离公式得角关系式，再解三角方程得结果. 详解：因为坐标原点到直线的距离为，所以所以，即，选A. 点睛：由 求最值，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足. 10.（2017年山东省春季高考数学真题）过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【考点】IB：直线的点斜式方程． 【分析】求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可． 【解答】解：由， 解得：， 由方向向量得： 直线的斜率k=﹣3， 故直线方程是：y+2=﹣3（x﹣1）， 整理得：3x+y﹣1=0， 故选：A． 11．（2016年山东省春季高考数学真题）过点与圆相切的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 12．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°， 所以斜率， 所以直线与轴的交点为， 所以直线的点斜式方程可得：， 即． 故选：D 考点02 圆的方程及应用 1.（2024年山东省春季高考数学真题） 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程易得答案. 【详解】因为， 故圆心坐标是. 故选：C. 2.（2022年山东省春季高考数学真题） 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可求解. 【详解】解：将圆的一般方程化为标准方程. 故圆心坐标为，半径. 故选：B. 3. （2021年山东省春季高考数学真题）已知过原点的圆，其圆心坐标为，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由圆上的点和圆心坐标求出圆的半径，然后写出圆的标准方程. 【详解】已知圆心坐标为，且过原点， 可得. 则圆的标准方程为. 故选：A. 4．（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程. 【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：. 故选：B. 5. （2019年山东省春季高考数学真题）已知O为坐标原点，点M在x轴的正半轴上，若直线MA与圆x2+y2=2相切于点A，且|AO|=|AM|，则点M的横坐标是（ ） A. 2 B. C. 2 D. 4 【答案】A 6．（2018年山东省春季高考数学真题）的圆心在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】分析：先根据圆方程得圆心坐标，再根据坐标确定象限. 详解：因为的圆心为(-1,1)，所以圆心在第二象限, 选B. 点睛:圆的标准方程中圆心和半径；圆的一般方程中圆心和半径. 7.（2017年山东省春季高考数学真题）已知圆和关于直线对称，若圆的方程是，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【考点】J1：圆的标准方程． 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆C1的圆心关于y=﹣x的对称点，再由圆的标准方程得答案． 【解答】解：由圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，得圆心坐标为（﹣5，0），半径为2， 设点（﹣5，0）关于y=﹣x的对称点为（x0，y0）， 则，解得． ∴圆C2的圆心坐标为（0，5）， 则圆C2的方程是x2+（y﹣5）2=4． 故选：D． 考点03椭圆的方程及应用 1. （2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像和椭圆的定义分析即可. 【详解】由图像可知，椭圆的焦点在x轴上， 顶点为, 所以， 则其标准方程为． 故选：C． 2．（2020年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据椭圆中的关系即可求解. 【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8， 所以，，可得，， 所以，可得， 所以该椭圆的短轴长， 故选：B. 3.（2017年山东省春季高考数学真题）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长等于________. 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=12，|QF1|+|QF2|=2a=12即可求得△PQF2的周长． 【解答】解：椭圆+=1的焦点在y轴上，则a=6，b=4，设△PQF2的周长为l， 则l=|PF2|+|QF2|+|PQ|， =（|PF1|+|PF2|）+（|QF1|+|QF2|） =2a+2a， =4a=24． ∴△PQF2的周长24， 故答案为：24． 4．（2015年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于 ． 【答案】 【分析】由于是圆，可得，通过圆心和半径计算，即得解 【详解】由于是圆， 即：圆 其中圆心为，半径为4 那么椭圆的长轴长为8，即，，， 那么短轴长为 故答案为： 考点04 双曲线方程及应用 1. （2023年山东省春季高考数学真题）已知双曲线的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，过右焦点F且垂直于x轴的直线，与双曲线在第一象限交于点P，双曲线的右顶点A是OF的中点，若，则该双曲线的实轴长等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的性质在图中作出直角三角形，根据勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，因为双曲线的右顶点A是OF的中点，所以，则； 在直角三角形中，易知， 则由勾股定理可得，，解得，则实轴长为． 故选：D． 2．（2016年山东省春季高考数学真题）关于x，y的方程和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 考点05 抛物线方程及应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的焦点为F，过F作垂直于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，若，则焦点F到准线的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点M与点N的坐标，即可求解p的值，即可求解焦点F到准线的距离. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 过F作垂直于x轴的直线与抛物线交于M、N两点， 所以点M与点N的横坐标为， 将代入抛物线方程可得， 所以可设， 因为，所以， 所以焦点F到准线的距离是2. 故选：B． 2. （2022年山东省春季高考数学真题）抛物线的焦点坐标是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可直接求得. 【详解】由抛物线的方程可知，抛物线的焦点在轴正半轴上， 并且,因此， 于是，抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 3. （2021年山东省春季高考数学真题）抛物线上一点到对称轴的距离为4，到准线的距离5，则（ ） A. 2或4 B. 4或6 C. 6或8 D. 2或8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意，得到点的坐标，再抛物线的定义求参数. 【详解】由抛物线的标准方程可知， 抛物线的焦点在轴的正半轴上，对称轴为轴，准线为． ∵点到对称轴的距离为4，∴，代入方程得， 而，点到准线的距离5， ∴，解得或． 故选：D. 4. （2019年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，若该抛物线经过点M（-2，4），则其标准方程是（ ） A. y2=-8x B. y2=－8x 或x2=y C. x2=y D. y2=8x 或x2=－y 【答案】B 5．（2018年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的焦点为，准线为，该抛物线上的点到轴的距离为5，且，则焦点到准线的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据条件及抛物线的焦半径公式得到关于的方程，解之即可求得焦点到准线的距离. 【详解】因为抛物线，所以焦点到准线的距离为，且焦点在轴上， 因为，点到轴的距离为5，则， 所以由焦半径公式得，即，故， 因此焦点到准线的距离是. 故选：C. 6．（2016年山东省春季高考数学真题）如果抛物线上的点M到y轴的距离是3，那么点M到该抛物线焦点F的距离是________； 【答案】5 考点06 椭圆中的离心率及其应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）椭圆的离心率是_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求出易得答案. 【详解】因为， 所以，， 所以， 所以. 故答案为：. 2. （2021年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的长轴长与短轴长比是3∶2，则该椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的性质即可求解. 【详解】已知椭圆的长轴长与短轴长比是， 则有， 则， 则该椭圆的离心率为. 故答案为：. 3．（2018年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点的坐标是，若点在椭圆上，则椭圆的离心率等于 ． 【答案】 【详解】分析：根据椭圆几何条件得b=4,c=3,解得a,以及离心率. 详解：因为b=4,c=3，所以a=5,e=. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 考点07 双曲线中的离心率及其应用 1. （2022年山东省春季高考数学真题）已知双曲线的左右焦点分别是，，是坐标原点，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为，则直线的方程为.联立方程可得，又因为，代入化简可得，即可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，又， 则直线的方程为， 由，可得， 由，及， 得， 化简得，则. 故选：A. 2．（2020年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于 . 【答案】 【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： 抛物线方程为： 在抛物线上，所以 在双曲线上， ，又， 故答案为： 3.（2017年山东省春季高考数学真题）已知，为双曲线的两个顶点，以，为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若的面积为，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A1（﹣a，0）到直线渐近线的距离d，根据三角形的面积公式，即可求得△A1MN的面积，即可求得a和b的关系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率． 【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±x，设以A1A2为直径的圆与双曲线的渐近线y=x交于M，N两点， 则A1（﹣a，0）到直线y=x的距离d==， △A1MN的面积S=×2a×==，整理得：b=c， 则a2=b2﹣c2=c2，即a=c， 双曲线的离心率e==， 故选B． 4．（2015年山东省春季高考数学真题）已知是双曲线（，）的左焦点，点在双曲线上，直线与轴垂直，且，那么双曲线的离心率是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】易得的坐标为，设点坐标为，求得，由可得， 然后由a，b，c的关系求得，最后求得离心率即可. 【详解】的坐标为，设点坐标为， 易得，解得， 因为直线与轴垂直，且， 所以可得，则，即， 所以，离心率为． 故选：A. 考点08 曲线方程及其应用 1．（2018年山东省春季高考数学真题）关于的方程，表示的图形不可能是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：先化方程为标准方程形式，再根据标准方程几何条件确定可能图像. 详解：因为，所以 所以当时，表示A; 当时，表示B; 当时，表示C; 选D. 点睛：对于，有当时，为圆；当时，为椭圆；当时，为双曲线. 2．（2015年山东省春季高考数学真题）关于，的方程，给出以下命题； ①当时，方程表示双曲线；②当时，方程表示抛物线；③当时，方程表示椭圆；④当时，方程表示等轴双曲线；⑤当时，方程表示椭圆． 其中，真命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据曲线方程，讨论m的取值确定对应曲线的类别即可. 【详解】当时，方程表示双曲线； 当时，方程表示两条垂直于轴的直线； 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，方程表示圆； 当时，方程表示焦点在轴上的椭圆． ∴①③⑤正确. 故答案为：B 考点09 解析几何小题综合 1. （2019年山东省春季高考数学真题）已知O为坐标原点，双曲线的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|+|BF|=8|OF|，则该双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 2．（2016年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的焦点分别是，，点M在椭圆上，如果，那么点M到x轴的距离是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 考点10 解析几何解答题综合 1. （2024年山东省春季高考数学真题）双曲线（a>0，b>0），圆D:，双曲线与圆交于M（3，4），双曲线的一条渐近线为 （1）求双曲线的方程 （2）点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于A、B两点，且，求l的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线渐近线和一个点易得答案； （2）根据向量关系找到根的关系，联立方程组利用韦达定理易得答案. 【小问1详解】 因为， 所以设双曲线的方程为，因为双曲线与圆交于， 所以， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 设， 因为， 所以圆：，所以，设直线的方程为， 所以， 因为， 联立方程， 根的判别式为 所以， 所以， 所以. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知圆的圆心是点C，抛物线的焦点F在该圆上． （1）求p的值； （2）若过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程． 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【分析】（1）设抛物线的焦点为，将点代入圆的方程中即可求解. （2）分别讨论直线l斜率存在和斜率不存在两种情况，根据的面积为求出结果. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点在圆上， 所以，解得或； 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，抛物线的标准方程是，焦点为. 由得，圆的标准方程是， 则圆心为，半径为. ①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为， 联立方程组，解得或， 不妨设,所以， 因为圆心到直线的距离是，此时的面积为, 而的面积应为，所以直线l的方程不满足条件. ②若直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为， 当时，直线l与抛物线只有一个交点，不符合题意； 当时，设， 联立方程组，消去y化简得. 易知，所以， 则， 因为圆心到直线的距离是，且的面积为， 所以，化简得，解得， 所以直线l的方程为， 综上所述，直线l的方程为或. 3. （2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知椭圆的右顶点是，左右焦点分别是，，且，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：交椭圆于点，，以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质可知，，据此可求a、c，进而可求得b，据此可得椭圆方程； （2）设，，，由平行四边形，则，化简为；联立椭圆方程和直线方程，根据韦达定理和判别式，可得，，故点P坐标为；因为点在椭圆上，代入椭圆方程可求解. 【小问1详解】 解：因为，， 所以，， 解得，， 所以， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，，，设，，. 由题意可知，即， 可得，化简得①， 联立方程组，消去x可得. 因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，解得， 由韦达定理得，， 又由直线方程可知， 则， 代入①，可得， 因为P在椭圆上，所以满足椭圆方程， 化简得，解得或(满足)， 所以m的值为或. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知双曲线的左顶点与椭圆的左焦点重合，双曲线与椭圆在第一象限相交与点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交与点，线段的中点在双曲线的渐近线上，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）先由椭圆方程求得，从而得到，再将点代入双曲线方程求得，从而得解； （2）分类讨论直线斜率为或不为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求得线段的中点坐标，代入双曲线的渐近线方程求得值，从而得解. 【小问1详解】 因为椭圆的左焦点为， 又双曲线的左顶点与椭圆的左焦点重合， 所以， 点代入双曲线方程可得，即，解得， 故双曲线标准方程为； 【小问2详解】 当直线斜率为时，易知的中点坐标为， 刚好落在双曲线的渐近线上，又直线过点， 所以直线的方程为； 当直线斜率不为时，设直线方程：，， 联立，消去，得， 即， 则， . 所以， 则的中点坐标为， 因为双曲线渐近线方程， 所以，解得， 故直线的方程为：，即或. 综上，直线的方程为或或. 5．（2020年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示. （1）求抛物线的标准方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程. 【详解】解：（1）由椭圆可知，， 所以，，则， 因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为， 所以，即. 所以抛物线的标准方程为. （2）由椭圆可知，， 若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求. 所以直线的斜率存在，设为，直线过点， 则直线的方程为， 设点，， 联立方程组， 消去，得.① 因为直线与抛物线有两个交点， 所以，即， 解得，且. 由①可知， 所以， 则， 因为，且， 所以， 解得或， 因为，且， 所以不符合题意，舍去， 所以直线的方程为， 即. 6．（2019年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知椭圆 的两个焦点分别是F1，F2，短轴的两个端点分别是B1、B2，四边形F1B1F2B2为正方形，且椭圆经过点P. ( O F 1 F 2 M ) ( y x B 2 B 1 )(l)求椭圆的标准方程； (2)与椭圆有公共焦点的双曲线，其离心率 ， 且与椭圆在第一象限交于点M， 求线段MF1、MF2的长度． 解：(1)因为四边形为正方形，所以 所以 , 因为 , 所以 , 因此椭圆的方程可化为 , 因为椭圆经过点 所以 解得 , 故 , 所以椭圆的标准方程是 (2)由(1)可知 , 设双曲线的实半轴长为 , 因为 , 且双曲线与椭圆有公共的焦点，故 , 即 , 解得 , 由椭圆和双曲线的定义可知 解得 所以线段 的长度分别是 注：线段 的长度分别写为" 1 . 8 9 , 0 . 9 4 亦可. 7．（2018年山东省春季高考数学真题）双曲线的左、右焦点分别是，抛物线的焦点与点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示. (1)求双曲线及抛物线的标准方程； (2)设直线与双曲线的过一、三象限的渐近线平行，且交抛物线于两点，交双曲线于点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1），（2） 【详解】分析：(1)先根据M坐标求p,得焦点坐标，再将M坐标代入双曲线方程，联立方程组解得a,b，(2)先求渐近线方程，设直线方程，分别与抛物线方程、双曲线方程联立方程组，利用韦达定理以及中点坐标公式列方程，解得直线的方程. 详解： (1) 代入得 解得 因为焦点为 所以，双曲线的焦点在轴上 将代入 所以或 (舍去) 所以 所以她物线的标准方程为 曲线的标准方程为 (2)渐近线 设直线， 别消去得 将代入得 ，解得或，经验证，不合题意，故舍去. 所以 点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 8.（2017年山东省春季高考数学真题）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率是，如图所示. （1）求椭圆的标准方程. （2）抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点，过点作抛物线的切线，与椭圆的另一个交点为，求线段的长. 解：（1）根据题意，得，∴， 又，∴，∴， 故椭圆的标准方程为：. （2）抛物线的准线方程为，由，解得 由位于第二象限，则，过点作抛物线的切线的方程为： 即直线： 由整理得， 当，解得：，不符合题意， 当，由直线与抛物线相切，则，∴，解得或， 当时，直线的方程：， 则，整理得：，直线与椭圆只有一个交点，不符合题意， 当时，直线的方程为 由，整理得：， 解得：，，则，， 由以上可知点，，∴， 综上可知：线段长度为 9．（2016年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是，，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2． （1）求该双曲线的标准方程、离心率及渐近线方程； （2）若直线l经过双曲线的右焦点，并与双曲线交于M，N两点，向量是直线l的法向量，点P是双曲线左支上的一个动点，求面积得最小值． 解：（1）根据题意设双曲线的标准方程 为，∵，，双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2，∴，，，即，则该双曲线的标准方程为，离心率，渐近线方程为； （2）∵向量是直线l的法向量，∴直线的斜率，又直线l经过双曲线的右焦点，即直线l的方程为，设，，又双曲线的方程为，即，，，则，要使面积的最小值，即点P到直线l的距离最小，则点P坐标为，∴，则． 10．（2015年山东省春季高考数学真题）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是． （1）求抛物线的标准方程； （2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据抛物线的定义，结合到焦点、轴的距离求，写出抛物线方程. （2）直线的斜率不存在易得与不垂直与题设矛盾，设直线方程联立抛物线方程，应用韦达定理求，，进而求，由题设向量垂直的坐标表示有求直线方程即可. 【详解】（1）由已知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1， ∴点到准线的距离是1，又到轴的距离是， ∴，解得，则抛物线方程是． （2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立， ∴直线的斜率存在．设直线为，整理得， 设，，联立直线与抛物线的方程得， 消去，并整理得，于是，， ∴， 又，因此，即， ∴，解得或． 当时，直线的方程是，不满足，舍去． 当时，直线的方程是，即， ∴直线的方程是． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$