专题08 立体几何（六大考点）--【中职专用】山东省十年（2015-2024）春季高考数学真题分类汇编

专题08 立体几何 考点01 立体几何中点线面的位置关系及其判断 1. （2023年山东省春季高考数学真题）“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与直线得位置关系和异面直线的概念即可求解. 【详解】若“直线a，b没有公共点”，则“或a，b互为异面直线”； 若“直线a，b互为异面直线”，则一定能得到“直线a，b没有公共点”． 所以“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2020年山东省春季高考数学真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义，垂直关系的转化，判断选项. 【详解】A.，与相交，所以与异面，故A错误； B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误； C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误； D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确. 故选：D 3. （2019年山东省春季高考数学真题）如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线EF与GH的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 重合 ( E F G H ) 【答案】B 4．（2018年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知正方体， 分别是上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①；    ②平面平面； ③；    ④平面平面. 其中，正确结论的序号是 ． 【答案】③④ 【详解】分析：取E,F特殊位置可否定①②，根据线面垂直关系可得③④正确. 详解：当E=D1，F=A1时平面平面，所以①②错； 因为，在内，所以； 因为平面，所以平面平面.因此③④正确. 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 5.（2017年山东省春季高考数学真题）下列说法正确的是（ ） A.经过三点有且只有一个平面 B.经过两条直线有且只有一个平面 C.经过平面外一点有且只有一个平面与己知平面垂直 D.经过平面外一点有且只有一条直线与己知平面垂直 【考点】LJ：平面的基本性质及推论． 【分析】在A中，经过共线的三点有无数个平面；在B中，两条异面直线不能确定一个平面；在C中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 【解答】在A中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故A错误； 在B中，两条相交线能确定一个平面，两条平行线能确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，故B错误； 在C中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直，故C错误； 在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故D正确． 故选：D． 6．（2016年山东省春季高考数学真题）已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 7．（2015年山东省春季高考数学真题）已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（    ） A．假设，，那么 B．假设，，，那么 C．假设，，那么 D．假设，，，，那么 【答案】C 【分析】根据线面垂直的性质定理，可判断A；根据面面平行的性质定理，可判断B、C；根据面面平行的判定定理，可判定D 【详解】选项A：假设，，那么或在内，故选项A错误； 选项B：假设，，，那么或与异面，故选项B错误； 选项D：假设，，，，且、相交才能判定，故选项C错误； 选项C：依照两平面平行的性质可知C正确． 故选：C 考点02 斜二测作图及应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，则在平面直角坐标系中，最长的线段是（ ） A. OC B. OB C. AC D. BC 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原三角形易得答案. 【详解】有斜二测画法图像知道原三角形是直角三角形， 是直角三角形的斜边，故是最长的线段. 故选：D. 考点03 三视图 1. （2023年山东省春季高考数学真题）几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状是（ ）． A. 棱柱 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图易推出几何体即可. 【详解】对A：棱柱的俯视图为多边形，故A错误； 对B：圆柱的侧视图和主视图为矩形，故B错误； 对C：棱锥的俯视图为多边形，故C错误； 对D：圆锥的侧视图和主视图为三角形，俯视图为圆形，故D正确. 故选：D. 2. （2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，上下两个正四棱柱的底面边长之比是，则该组合体三视图中的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图中的俯视图的概念判断即可. 【详解】由题意可知上下两个正四棱柱的底面边长之比是， 又因为小正四棱柱在大正四棱柱的右上部. 所以俯视图中，小正方形在大正方形的右上角，只有选项A符合， 故选:A. 考点04 立体几何中的体积、表面积、侧面积及其应用 1. （2023年山东省春季高考数学真题）圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的体积等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆柱的体积公式即可得解. 【详解】依题意，得该圆柱的体积为. 故答案为：. 2. （2022年山东省春季高考数学真题）若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则四棱锥的高等于___________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】设正四棱锥的高为h，根据锥体和柱体的体积公式，列式可求解. 【详解】设正四棱锥的高为h，由题知， ， 解得. 故答案为： 3. （2021年山东省春季高考数学真题）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则该正四棱锥的表面积等于_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正四棱锥的特点计算底面正方形和侧面等腰三角形的面积即可. 【详解】正四棱锥底面为正方形，底面积为， 侧面为四个等腰三角形，腰为2，底为1， 则侧面三角形的斜高为， 则侧面的面积为：， 该正四棱锥的表面积为. 故答案为：. 4．（2020年山东省春季高考数学真题）已知球的直径为2，则该球的体积是 . 【答案】 【分析】根据公式即可求解. 【详解】解：球的体积为：, 故答案为： 5．（2019年山东省春季高考数学真题）已知圆锥的高与底面圆半径相等，若底面圆的面积为1，则该圆锥的侧面积是 ． 【答案】 6．（2018年山东省春季高考数学真题）已知矩形，，把这个矩形分别以所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为，则与的比值等于 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：根据圆柱侧面积公式分别求，再求比值得结果. 详解：设，所以， 选B. 点睛：旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用，多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 7.（2017年山东省春季高考数学真题）若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于________. 【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2π，则圆锥侧面积S=πrl，由此能求出结果． 【解答】解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2πr ∴圆锥侧面积： S==πrl =π×1×3=3π． 故答案为：3π． 8．（2016年山东省春季高考数学真题）若表面积为6的正方体内接于球，则该球的表面积为________； 【答案】 9．（2015年山东省春季高考数学真题）直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，那么直棱柱的侧面积是 ． 【答案】 【分析】直棱柱的四个侧面都是长为，宽为的矩形，依此计算侧面积即可. 【详解】直棱柱的四个侧面都是长为，宽为的矩形，该直棱柱的侧面积为四个矩形面积之和， 所以直棱柱的侧面积是. 故答案为：. 考点05 立体几何小题中的综合问题 1. （2024年山东省春季高考数学真题）正三棱锥的棱长都是2，是的中点，则下列结论：①；②与异面；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是；其中正确的结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正三棱锥的性质，结合平行直线、异面直线、线面角的定义和锥体的体积公式逐一判断即可. 详解】 取的中点分别为，连接交于点, 如图所示与不平行，故①不正确， 因为与既不平行又不相交，所以异面，故②正确； 因为正三棱锥，是底面中线的交点， 所以平面，所以是与平面的线面角， 因为正三棱锥的棱长是，是正三角形， 所以，，， 在中，，， 所以， 所以，故③错误； 因为， , 所以正三棱锥的体积，故④正确. 故选：D. 2.（2021年山东省春季高考数学真题） 如图所示，在正方体中，点分别是的中点，若为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征，结合直线与平面、直线与直线的位置关系，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】A选项，当点与点重合时，与异面，所以A错误. B选项，在正方体中， 是正方体的体对角线，， ，且与都在平面内，平面， 平面，.所以B正确. C选项，当点与点重合时，， 又平面，平面，与平面不平行， 与平面不平行，即此时与平面不平行，所以C错误. D选项，当点与点重合时，与夹角为， 则与不垂直，又平面， 不垂直平面，所以D错误. 故选：B. 考点06 立体几何解答题综合 1. （2024年山东省春季高考数学真题）长方体中，E、F分别是和的中点 （1）证明EF⊥BD （2）求与BC所成角的大小（精确到1°） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质和正方形对角线垂直易证答案； （2）找到异面直线所成角，再根据三角函数定义易得答案. 【小问1详解】 连接， 因为分别是和的中点， 因为是的中位线，所以， 因为正方形，所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以与所成角为， 因为是直角三角形， 因为， 所以， 所以. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，在三棱锥中，平面平面，且D，E，F分别是SC，AC，BC的中点，的边长都是2，． （1）求证：平面平面； （2）求直线SC与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理依次证得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得证； （2）取AB的中点G，连接SG，CG，由平面平面，可得平面，则有是直线SC与平面所成的角，在中可求解. 【小问1详解】 如图所示，在中，因为D，F分别是SC，BC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 如图所示，取AB的中点G，连接SG，CG. 因为的边长都是2，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因此CG是SC在平面内的射影，则是直线SC与平面所成的角. 因为平面，所以， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 所以直线SC与平面所成角的正弦值是. 3. （2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，在正方体中，是棱上的点，求证： （1）平面； （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线线平行推出线面平行. （2）根据线面垂直推出线线垂直. 【小问1详解】 证明：因为是正方体， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 则. 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 证明：连接. 因为是正方体， 所以四边形为正方形，所以. 又因为是棱上的点，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）在四棱锥中，已知底面ABCD是正方形，平面，，如图所示． （1）求证：； （2）若E、F分别是AB，SC是中点，求直线EF与AD所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，即可证明线线垂直； （2）将两直线平移到同一平面，进而求解. 【小问1详解】 已知底面ABCD是正方形，则有， 平面，平面，则有， 平面，平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以； 【小问2详解】 取SD中点G，连接GF和AG， 因为G，F是SD和SD的中点，所以, 已知底面ABCD是正方形，且E是AB的中点， 所以， 则， 所以四边形AEFG为平行四边形，则, 所以直线EF与AD所成角为， 因为平面，平面，所以， 又因为，G为SD中点， 所以在直角三角形中，， 所以为等边三角形， 所以. 5．（2020年山东省春季高考数学真题）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示. （1）若点，分别是，的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）要证明线面平行，可转化为证明面面平行； （2）根据面面垂直的性质定理，可知平面，再结合线面角的定义，可得得到直线与平面所成角的正弦值. 【详解】证明：（1）连接， 设点为的中点，连接，， 在中，又因为点为中点， 所以. 同理可证得， 又因为，分别为正方形的边，的中点， 故，所以. 又因为，所以平面平面. 又因为平面，所以平面. （2）因为为正方形，，分别是，的中点， 所以四边形为矩形，则. 又因为二面角为直二面角，平面平面，平面， 所以平面， 则为直线在平面内的射影， 因为为直线与平面所成的角. 不妨设正方形边长为，则， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，， ， 即为直线与平面所成角的正弦值. 6.（2019年山东省春季高考数学真题）已知三棱锥S-ABC，平面SAC⊥ABC，且SA⊥AC，AB⊥BC． （1）求证：BC⊥平面SAB; （2）若SB=2，SB与平面ABC所成角是30°的角，求点S到平面ABC的距离． (1)证明：因为平面 平面 , 平面 平面 , 且 , 所以 平面 , 又因为 平面 . 所以 . 又因为 . 所以 平面 (2)解：由(1)知 平面 , 的长度 所以点 到平面 的距离即为线段 , 并且可知 在平面 内的射影为 . 与平面 所成角，即 所以 即为 在 中，∠ SAB =90°，∠SBA =30°，SB =2, 所以 . 所以点 到平面 的距离是1. 7．（2018年山东省春季高考数学真题）如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，平面，且，. (1)求证: 面； (2)求棱锥的体积. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）取中点，根据平面几何知识得四边形为矩形，即得，再根据线面平行判定定理得结论，. （2）先证垂直平面，再根据等体积法以及锥体体积公式得结果. 【详解】（1） 取中点，连接，平面， ，四边形为矩形，平面， ，，则四边形ABNH为矩形， 四边形为平行四边形， 平面，平面， 平面. （2）因为四边形是矩形，所以， 又因为平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 由题意可得：, 因为，， 所以棱锥的体积为：. 8.（2017年山东省春季高考数学真题）已知直三棱柱的所有棱长都相等，、分别是棱，的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值. 证明：（1）取的中点，连结，， ∵，，分别是，，的中点， ∴，，又，， ∴平面平面，又平面，∴平面. （2）解：∵，平面. ∴平面，∴是与平面所成的角， 设三棱柱的棱长为1，则，，∴. 9．（2016年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知四边形ABCD是圆柱的轴截面，M是下底面圆周上不与点A，B重合的点． （1）求证：平面平面DAM； （2）若是等腰三角形，求该圆柱与三棱锥体积的比值． 解：（1）∵M是下底面圆周上不与点A，B重合的点，∴A，M，B在一个平面上， 又∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴边AB过圆心，平面AMB，， 根据定理以直径为斜边的三角形为直角三角形，所以， ∵DA，平面DAM，且，∴平面DAM， 又∴平面DMB，∴平面平面DAM． （2）设底面圆的半径为x，圆柱的高为h， 又∵是等腰直角三角形，所以两个直角边长为， 所以，所以， 所以． 10．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，． （1）求与所成角的余弦值； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】(1)由题意可得 即为SA 与 BC所成的角，根据余弦定理计算即可； (2)结合面面垂直的性质和线面垂直的性质即可证明. 【详解】【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质 【解】（1）因为，因此即为与所成的角，在中，， 又在正方形中，因此， 因此与所成角的余弦值是． （2）因为平面平面，平面平面，在正方形中，， 因此平面，又因为平面，因此． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 立体几何 考点01 立体几何中点线面的位置关系及其判断 1. （2023年山东省春季高考数学真题）“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．（2020年山东省春季高考数学真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3. （2019年山东省春季高考数学真题）如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线EF与GH的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 重合 ( E F G H ) 4．（2018年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知正方体， 分别是上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①；    ②平面平面； ③；    ④平面平面. 其中，正确结论的序号是 ． 5.（2017年山东省春季高考数学真题）下列说法正确的是（ ） A.经过三点有且只有一个平面 B.经过两条直线有且只有一个平面 C.经过平面外一点有且只有一个平面与己知平面垂直 D.经过平面外一点有且只有一条直线与己知平面垂直 6．（2016年山东省春季高考数学真题）已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．（2015年山东省春季高考数学真题）已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（    ） A．假设，，那么 B．假设，，，那么 C．假设，，那么 D．假设，，，，那么 考点02 斜二测作图及应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，则在平面直角坐标系中，最长的线段是（ ） A. OC B. OB C. AC D. BC 考点03 三视图 1. （2023年山东省春季高考数学真题）几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状是（ ）． A. 棱柱 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 圆锥 2. （2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，上下两个正四棱柱的底面边长之比是，则该组合体三视图中的俯视图是（ ） A. B. C. D. 考点04 立体几何中的体积、表面积、侧面积及其应用 1. （2023年山东省春季高考数学真题）圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的体积等于_________． 2. （2022年山东省春季高考数学真题）若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则四棱锥的高等于___________. 3. （2021年山东省春季高考数学真题）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则该正四棱锥的表面积等于_________. 4．（2020年山东省春季高考数学真题）已知球的直径为2，则该球的体积是 . 5．（2019年山东省春季高考数学真题）已知圆锥的高与底面圆半径相等，若底面圆的面积为1，则该圆锥的侧面积是 ． 6．（2018年山东省春季高考数学真题）已知矩形，，把这个矩形分别以所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为，则与的比值等于 A． B． C． D． 7.（2017年山东省春季高考数学真题）若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于________. 8．（2016年山东省春季高考数学真题）若表面积为6的正方体内接于球，则该球的表面积为________； 9．（2015年山东省春季高考数学真题）直棱柱的底面是边长为的菱形，侧棱长为，那么直棱柱的侧面积是 ． 考点05 立体几何小题中的综合问题 1. （2024年山东省春季高考数学真题）正三棱锥的棱长都是2，是的中点，则下列结论：①；②与异面；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是；其中正确的结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 2.（2021年山东省春季高考数学真题） 如图所示，在正方体中，点分别是的中点，若为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 考点06 立体几何解答题综合 1. （2024年山东省春季高考数学真题）长方体中，E、F分别是和的中点 （1）证明EF⊥BD （2）求与BC所成角的大小（精确到1°） 2. （2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，在三棱锥中，平面平面，且D，E，F分别是SC，AC，BC的中点，的边长都是2，． （1）求证：平面平面； （2）求直线SC与平面所成角的正弦值． 3. （2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，在正方体中，是棱上的点，求证： （1）平面； （2）. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）在四棱锥中，已知底面ABCD是正方形，平面，，如图所示． （1）求证：； （2）若E、F分别是AB，SC是中点，求直线EF与AD所成角的大小． 5．（2020年山东省春季高考数学真题）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，使二面角为直二面角，如图所示. （1）若点，分别是，的中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 6.（2019年山东省春季高考数学真题）已知三棱锥S-ABC，平面SAC⊥ABC，且SA⊥AC，AB⊥BC． （1）求证：BC⊥平面SAB; （2）若SB=2，SB与平面ABC所成角是30°的角，求点S到平面ABC的距离． 7．（2018年山东省春季高考数学真题）如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，平面，且，. (1)求证: 面； (2)求棱锥的体积. 8.（2017年山东省春季高考数学真题）已知直三棱柱的所有棱长都相等，、分别是棱，的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值. 9．（2016年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知四边形ABCD是圆柱的轴截面，M是下底面圆周上不与点A，B重合的点． （1）求证：平面平面DAM； （2）若是等腰三角形，求该圆柱与三棱锥体积的比值． 10．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，，． （1）求与所成角的余弦值； （2）求证：． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$