专题07 等差数列、等比数列及数列求和（四大考点）--【中职专用】山东省十年（2015-2024）春季高考数学真题分类汇编

专题07 等差数列、等比数列及数列求和 考点01 等差数列的通项公式及前n项和 1. （2024年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，______ 【答案】 【解析】 【分析】根据数列是等差数列先求公差易得答案. 【详解】因为等差数列,, 所以, 所以. 故答案为:. 2. （2022年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，已知，，则该数列的公差是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式求解. 【详解】在等差数列中，,即, 又因为,代入解得. 故选：. 3.（2021年山东省春季高考数学真题） 在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质列式求解即可. 【详解】设该等差数列为，其公差为. 由已知得,即, 即. 解得. 所以甲所分小米的斤数是8. 故选：C. 4. （2019年山东省春季高考数学真题）若等差数列{an}的前7项和为70，则a1+a7等于（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 5.（2017年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，，是4和49的等比中项，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【考点】等差数列的性质；84：等差数列的通项公式． 【分析】根据题意，由等比数列的性质可得（a3）2=4×49，结合解a3＜0可得a3的值，进而由等差数列的性质a5=2a3﹣a1，计算即可得答案． 【解答】解：根据题意，a3是4与49的等比中项， 则（a3）2=4×49，解可得a3=±14， 又由a3＜0，则a3=﹣14， 又由a1=﹣5， 则a5=2a3﹣a1=﹣23， 故选：B． 考点02 等比数列的通项公式及前n项和 1. （2023年山东省春季高考数学真题）若成等比数列，则实数x的值是（ ）． A. B. C. 6或－6 D. 8或－8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的定义即可求解. 【详解】若成等比数列， 则， 解得. 故选：A. 2．（2020年山东省春季高考数学真题）在等比数列中，，，则等于（    ） A．256 B．-256 C．512 D．-512 【答案】A 【分析】求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，所以， 所以， 故选：A. 3．（2016年山东省春季高考数学真题）已知数列是等比数列，其中，，则该数列的公比（ ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 4．（2015年山东省春季高考数学真题）在等比数列中，，，则等于（    ） A． B．5 C． D．9 【答案】D 【分析】由等比数列的项求公比，进而求即可. 【详解】由题设，， ∴． 故选：D 考点03 递推数列求值及其应用 1．（2018年山东省春季高考数学真题）在数列中， ，，则等于 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：由递推关系依次得. 详解：因为，所以, 选C. 点睛：数列递推关系式也是数列一种表示方法，可以按顺序求出所求的项. 考点04 数列解答题综合 1. （2024年山东省春季高考数学真题）在等比数列中，公比， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求出，即可求出； （2）先由求出数列的通项公式，再由通项公式判断数列为等比数列，带入前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 因为为等比数列，， 所以，可得， 解得或（舍） ， 所以. 【小问2详解】 因为， ，， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列. 又因为， 所以. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，从A到B修筑一段公路需要50车的石料，石料厂S到A的距离是1000米.现用一辆车依次把石料从S运送到施工路段，第1车石料卸在A处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在，的位置.运送第1车石料该车往返的路程记作米，第2车往返的路程记作米，，第50车往返的路程记作米.求： （1）该车运送第20车石料往返的路程； （2）该车所有往返的路程之和. 【答案】（1）3900米 （2）222500米 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可知数列为等差数列，求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可求解； （2）利用等差数列的前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 把记为数列，则该车运送第20车石料往返的路程是， 因为在数列中，从第2项起，每一项与前一项的差都等于， 所以数列为等差数列，其中，公差， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，该车所有往返的路程之和是等差数列的前50项和， 因为，， 所以. 答：该车所有往返的路程之和是222500米. 3. （2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于0.01，求的最小值. 【答案】（1）3，， （2）10 【解析】 【分析】（1）由题意，根据中位线定理可知，所有的新三角形都是正三角形，后面三角形的边长是前面三角形边长的，据此可求解； （2）由（1）可知，，，，构成以首项，公比的等比数列，从而可得，令，解不等式可求解. 【小问1详解】 因为分别是的中点， 所以为正三角形，且边长， 同理可得，； 【小问2详解】 由（1）知，，，，构成以首项，公比的等比数列， 所以的边长， 因为的边长小于0.01， 所以，即， 又因为，则，故的最小值为10. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）在数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前90项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义结合等比数列的通项公式即可求解. （2）根据对数的运算结合等差数列的定义与前项和公式即可求解. 【小问1详解】 ， ， 数列是以1为首项，为公比的等比数列， . 【小问2详解】 ， 则，， 数列是以0为首项，为公差的等差数列， . 5．（2020年山东省春季高考数学真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 【答案】140里. 【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前项和公式，列式求解. 【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为，第1天走的路程数为首项，公差为， 则，. 因为，， 所以，解得， 则， 所以该男子第5天走140里. 6．（2019年山东省春季高考数学真题）某城市2018年底人口总数为50万，绿化面积为35万平方米. 假定今后每年人口总数比上—年增加1.5万，每年新增绿化面积是上一年年底绿化面积的5%，并且每年均损失0.1万平方米的绿化面积（不考虑其他因素）. (l)到哪—年年底，该城市人口总数达到60万（精确到1年）? (2)假如在人口总数达到60万并保持平稳、不增不减的情况下，到哪—年年底，该城市人均绿化面积达到0.9平方米（精确到1年）? 解：（1）由题意知，自2018年起，每年人口总数构成等差数列{an}， 其中首项a1=50,公差d=1.5 通项公式为 an=a1+(n1)d=50+(n－1)×1.5 设第n项an=60,即50+(n－1)×1.5=60 解得n≈7.7 因为n∈N，所以n=8, 2018+8－1=2025 答：到2025年底，该城市人口总数达到60万 （2）由题意知，自2018年起，每年的绿化面积构成数列{bn}， 其中b1是2018年底的绿化面积，b1=35, b2是2019年底的绿化面积, b2=35(1+5%)－0.1=35×1.05－0.1, b3是2020年底的绿化面积, b3=(35×1.05－0.1)(1+5%)－0.1=35×1.052－0.1×1.05－0.1 …………,以此类推 则bk是(2018+k-1)年年底的绿化面积, bk=35×1.05k-1－0.1×1.05k-2－0.1×1.05k-3……－0.1×1.05－0.1 =35×1.05k-1- 又因为bk=60×0.9 所以35×1.05k-1-=60×0.9 解得 k≈10.3 因为k∈N，所以k=11, 2018+11－1=2028 答：到2028年底，该城市人均绿化面积达到0.9平方米. 7．（2018年山东省春季高考数学真题）已知在等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】（1）（2） 【分析】(1)根据条件列关于首项与公比的方程组，解得首项与公比后代入等比数列通项公式即可，(2)利用分组求和法，根据等差数列以及等比数列求和公式即得结果. 【详解】(1)由等比数列的定义可知，公比, 解得, 由得, 因此，所求等比数列的通项公式为 , (2)由上题可知，, 因为是等差数列，所以设, 的前项和公式, 的前项和公式, 所以. 8.（2017年山东省春季高考数学真题）某职业学校的王亮同学到一家商贸公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了交纳保险费的两种方案： ①一次性交纳50万元，可享受9折优惠； ②按照航行天数交纳：第一天交纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是前一天的2倍，共需交纳20天. 请通过计算，帮助王亮同学判断哪种方案交纳的保费较低. 解：若按方案①续费，需续费万元； 若按方案②续费，则每天的续费额组成等比数列，其中，，， ∴共需缴费万元， ∴方案①缴纳的保费较低. 27．（2016年山东省春季高考数学真题）已知数列的前n项和，求 （1）第二项； （2）通项公式． 解：（1）因为，所以， ，，所以． （2），①-②． 9．（2015年山东省春季高考数学真题）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员． 【答案】18 【分析】根据已知条件，利用等差数列的前n项和公式求第一排的演员数量即可. 【详解】由题意，各排人数组成等差数列， 设第一排人数是，公差，前5项和， 由知：，解得． ∴第一排应安排18名演员. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 等差数列、等比数列及数列求和 考点01 等差数列的通项公式及前n项和 1. （2024年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，______ 2. （2022年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，已知，，则该数列的公差是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.（2021年山东省春季高考数学真题） 在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. （2019年山东省春季高考数学真题）若等差数列{an}的前7项和为70，则a1+a7等于（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5.（2017年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，，是4和49的等比中项，且，则等于（ ） A. B. C. D. 考点02 等比数列的通项公式及前n项和 1. （2023年山东省春季高考数学真题）若成等比数列，则实数x的值是（ ）． A. B. C. 6或－6 D. 8或－8 2．（2020年山东省春季高考数学真题）在等比数列中，，，则等于（    ） A．256 B．-256 C．512 D．-512 3．（2016年山东省春季高考数学真题）已知数列是等比数列，其中，，则该数列的公比（ ） A． B．2 C．4 D．8 4．（2015年山东省春季高考数学真题）在等比数列中，，，则等于（    ） A． B．5 C． D．9 考点03 递推数列求值及其应用 1．（2018年山东省春季高考数学真题）在数列中， ，，则等于 A． B． C． D． 考点04 数列解答题综合 1. （2024年山东省春季高考数学真题）在等比数列中，公比， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，从A到B修筑一段公路需要50车的石料，石料厂S到A的距离是1000米.现用一辆车依次把石料从S运送到施工路段，第1车石料卸在A处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在，的位置.运送第1车石料该车往返的路程记作米，第2车往返的路程记作米，，第50车往返的路程记作米.求： （1）该车运送第20车石料往返的路程； （2）该车所有往返的路程之和. 3. （2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于0.01，求的最小值. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）在数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前90项和. 5．（2020年山东省春季高考数学真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 6．（2019年山东省春季高考数学真题）某城市2018年底人口总数为50万，绿化面积为35万平方米. 假定今后每年人口总数比上—年增加1.5万，每年新增绿化面积是上一年年底绿化面积的5%，并且每年均损失0.1万平方米的绿化面积（不考虑其他因素）. (l)到哪—年年底，该城市人口总数达到60万（精确到1年）? (2)假如在人口总数达到60万并保持平稳、不增不减的情况下，到哪—年年底，该城市人均绿化面积达到0.9平方米（精确到1年）? 7．（2018年山东省春季高考数学真题）已知在等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 8.（2017年山东省春季高考数学真题）某职业学校的王亮同学到一家商贸公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了交纳保险费的两种方案： ①一次性交纳50万元，可享受9折优惠； ②按照航行天数交纳：第一天交纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是前一天的2倍，共需交纳20天. 请通过计算，帮助王亮同学判断哪种方案交纳的保费较低. 27．（2016年山东省春季高考数学真题）已知数列的前n项和，求 （1）第二项； （2）通项公式． 9．（2015年山东省春季高考数学真题）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，而且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$