专题06 三角函数、三角恒等变换与解三角形（十大考点）--【中职专用】山东省十年（2015-2024）春季高考数学真题分类汇编

专题06 三角函数、三角恒等变换与解三角形 考点01 三角函数的定义及其应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）已知，是第二象限角，是第三象限角，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. （2021年山东省春季高考数学真题）“角是第一象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．（2020年山东省春季高考数学真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考点02 三角函数求值及其应用 1. （2023年山东省春季高考数学真题）已知角 的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，若，则_______． 2. （2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. （2022年山东省春季高考数学真题）已知，且是第二象限角，则等于（ ） A. B. C. D. 4．（2020年山东省春季高考数学真题）已知，若，则 . 5. （2019年山东省春季高考数学真题）弧度制与角度制的换算：= . 6．（2018年山东省春季高考数学真题）若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是（   ） A． B． C． D． 7．（2018年山东省春季高考数学真题）已知，若，则等于 ． 8.（2017年山东省春季高考数学真题）已知角终边落在直线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 9．（2016年山东省春季高考数学真题）若角的终边经过点，则角的终边与圆的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 10．（2016年山东省春季高考数学真题）已知，则________； 11．（2015年山东省春季高考数学真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 考点03 三角函数的图象与性质 1. （2023年山东省春季高考数学真题）已知，，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 2. （2021年山东省春季高考数学真题）函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数为偶函数 B. 该函数的最大值为1 C. 该函数的最小正周期为 D. 的值为 3. （2021年山东省春季高考数学真题）函数的最大值是_________. 4．（2016年山东省春季高考数学真题）函数在一个周期内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 考点04 两角和差公式 1. （2024年山东省春季高考数学真题）已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. （2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 考点05 二倍角公式及其应用 1. （2021年山东省春季高考数学真题）角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则等于（ ） A. B. C. D. 2. （2019年山东省春季高考数学真题）已知sinα= ，则cos2α的值是（ ） A. B. C. D. 考点06 三角函数求值域 1.（2017年山东省春季高考数学真题）函数的最小值是（ ） A. B. C.5 D.6 考点07 三角函数小题综合（含伸缩平移变换） 1.（2024年山东省春季高考数学真题） 与有交点，两个相邻交点的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移为，，则_________ 2．（2018年山东省春季高考数学真题）若由函数的图象变换得到的图象，则可以通过以下两个步骤完成:第一步，把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得图象沿轴（   ） A．向右移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．同左平移个单位 考点08 解三角形小题综合 1. （2022年山东省春季高考数学真题）在中，已知，，，则_________. 2．（2020年山东省春季高考数学真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（    ） A．3 B． C．3或 D．-3或 3. （2019年山东省春季高考数学真题）已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=6，sinA=2cosBsinC，向量m = , 向量n=(－cosA，sinB)，且m∥n，则ABC的面积是（ ） A. 18 B. 9 C. 3 D. 4.（2017年山东省春季高考数学真题）在中，，，，则等于________. 5．（2015年山东省春季高考数学真题）在△中，，，，等于 ． 考点09 三角函数解答题综合 1. （2022年山东省春季高考数学真题）已知函数的图象过点. （1）求函数的最大值； （2）若，且，求的值. 2．（2020年山东省春季高考数学真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 3 0 -3 0 根据表中数据，求： （1）实数，，的值； （2）该函数在区间上的最大值和最小值. 3.（2019年山东省春季高考数学真题）已知函数f(x) =Asin(ωx+ψ)，其中A>O，|ψ|< ,此函数的部分图像如图所示，求： (1)函数f(x)的解析式； (2)当f(x)≥1时，求实数x的取值范围． 4.（2017年山东省春季高考数学真题）已知函数. （1）求该函数的最小正周期； （2）求该函数的单调递减区间； （3）用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 5．（2015年山东省春季高考数学真题）已知函数，，，函数的部分图象如下图，求 （1）函数的最小正周期及的值： （2）函数的单调递增区间． 考点10 解三角形解答题综合 1. （2024年山东省春季高考数学真题）三角形ABC中D为BC上一点， （1）求 （2）若，求 2. （2023年山东省春季高考数学真题）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角B的大小； （2）若函数，利用“五点法”作出该函数在一个周期上的简图． 3. （2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于0.01，求的最小值. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知，点A在上，，以点A为圆心，半径为的圆与相交于点B，C，且. （1）求的大小； （2）若D为的中点，求线段的长.（精确到0.01） 5．（2018年山东省春季高考数学真题）如下图所示，在中，，在上，且.求线段的长. 6．（2016年山东省春季高考数学真题）如图所示，要测量河两岸P，Q两点之间的距离，在与点P同侧的岸边选取了A，B两点（A，B，P，Q四点在同一平面内），并测得，，，，，试求P，Q两点之间的距离． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角函数、三角恒等变换与解三角形 考点01 三角函数的定义及其应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）已知，是第二象限角，是第三象限角，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角所在的象限判断三角函数的符号易得答案. 【详解】因为是第二象限角，是第三象限角， 所以， 所以. 故选：C. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）若，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数值的符号判定所在象限角即可. 【详解】根据题意有， 所以可能为第二或第三象限角或在x轴负半轴上， 又因为， 所以可能为第二或第四象限角， 所以为第二象限角. 故选:B. 3. （2021年山东省春季高考数学真题）“角是第一象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合充要条件的定义即可求解. 【详解】是第一、二象限或终边在y轴正半轴的角； 故角是第一象限角是的充分不必要条件． 故选：A. 4．（2020年山东省春季高考数学真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，，， 则角是第四象限角， 故选：D. 考点02 三角函数求值及其应用 1. （2023年山东省春季高考数学真题）已知角 的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，求出，再根据根据诱导公式即可求解. 【详解】因为角 的终边过点， 所以； 又因为，角 的终边在第二象限内， 且，， 则 故答案为：. 2. （2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义可得结果. 【详解】解：由奇函数的定义可得， ， 即 则 得 解得. 故选：C 3. （2022年山东省春季高考数学真题）已知，且是第二象限角，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，根据诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关系可求解. 【详解】由，可得， 所以，解得， 又因为是第二象限角， 所以. 故选：C 4．（2020年山东省春季高考数学真题）已知，若，则 . 【答案】 【分析】根据反三角函数的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 5. （2019年山东省春季高考数学真题）弧度制与角度制的换算：= . 【答案】 6．（2018年山东省春季高考数学真题）若坐标原点到直线的距离等于，则角的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：先根据点到直线距离公式得角关系式，再解三角方程得结果. 详解：因为坐标原点到直线的距离为，所以所以，即，选A. 点睛：由 求最值，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足. 7．（2018年山东省春季高考数学真题）已知，若，则等于 ． 【答案】 【详解】分析：根据平方关系得，再根据范围取负值. 详解：因为，所以 因为，所以 点睛：三角函数求值的三种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 8.（2017年山东省春季高考数学真题）已知角终边落在直线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义． 【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求cosα，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式可求cos（π+2α）的值． 【解答】解：若角α的终边落在直线y=﹣3x上， （1）当角α的终边在第二象限时，不妨取x=﹣1，则y=3，r==， 所以cosα=，可得cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=； （2）当角α的终边在第四象限时，不妨取x=1，则y=﹣3，r==， 所以sinα=，cosα=，可得cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=， 故选：B． 9．（2016年山东省春季高考数学真题）若角的终边经过点，则角的终边与圆的交点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 10．（2016年山东省春季高考数学真题）已知，则________； 【答案】2 11．（2015年山东省春季高考数学真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解 【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是 故选：A 考点03 三角函数的图象与性质 1. （2023年山东省春季高考数学真题）已知，，则实数a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的取值范围，再求解不等式即可求解a的取值范围. 【详解】因为，所以， 则由得，， 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 2. （2021年山东省春季高考数学真题）函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 该函数为偶函数 B. 该函数的最大值为1 C. 该函数的最小正周期为 D. 的值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图像与性质分析即可. 【详解】A选项，通过图像可以看出为非奇非偶函数，A错误； B选项，通过图像可以看出的最小值为，则其最大值为，B错误； C选项，通过图像可知，得，故C正确； D选项，因为，则，故， 将代入，得，即 所以，即， 又，所以，故D错误. 故选：C. 3. （2021年山东省春季高考数学真题）函数的最大值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的最大值代入求解即可. 【详解】因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故答案为：. 4．（2016年山东省春季高考数学真题）函数在一个周期内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 考点04 两角和差公式 1. （2024年山东省春季高考数学真题）已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和正切公式易得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. （2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模长公式结合三角函数的两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】 . 故选：A. 考点05 二倍角公式及其应用 1. （2021年山东省春季高考数学真题）角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义和正弦的二倍角公式可求解. 【详解】由任意角的三角函数定义可知： ，， . 故选：C. 2. （2019年山东省春季高考数学真题）已知sinα= ，则cos2α的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 考点06 三角函数求值域 1.（2017年山东省春季高考数学真题）函数的最小值是（ ） A. B. C.5 D.6 【考点】HW：三角函数的最值． 【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y的最小值． 【解答】解：∵函数y=cos2x﹣4cosx+1=（cox﹣2）2﹣3，且cosx∈[﹣1，1]，故当cosx=1时，函数y取得最小值为﹣2， 故选：B． 考点07 三角函数小题综合（含伸缩平移变换） 1.（2024年山东省春季高考数学真题） 与有交点，两个相邻交点的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移为，，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式将式子进行化简，再根据函数图像的变化求出相应的解析式即可求值. 【详解】因为， 设函数过点，代入中为： ，， 则或， 又因为与相交且相邻两交点之间的最短距离为， 即， 所以， 解得， 所以， 现将的值缩小为原来的，值不变 可得函数的图像； 再将图像向左平移， 得到的图像， 又，即， 解得， 所以， 则. 故答案为：. 2．（2018年山东省春季高考数学真题）若由函数的图象变换得到的图象，则可以通过以下两个步骤完成:第一步，把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得图象沿轴（   ） A．向右移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．同左平移个单位 【答案】A 【分析】根据横坐标变化可得第一步结束后的解析式，根据图象平移“左正右负”以及平移量为可确定结果. 【详解】第一步结束后，可得函数， 则要得到的图象，需将向右平移个单位. 故选：A. 考点08 解三角形小题综合 1. （2022年山东省春季高考数学真题）在中，已知，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解BC的值. 【详解】因为，，， 所以在中，由正弦定理可得, 即， 所以. 故答案为:. 2．（2020年山东省春季高考数学真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（    ） A．3 B． C．3或 D．-3或 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案； 【详解】，， ， ， ，， ， ， 故选：A. 3. （2019年山东省春季高考数学真题）已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=6，sinA=2cosBsinC，向量m = , 向量n=(－cosA，sinB)，且m∥n，则ABC的面积是（ ） A. 18 B. 9 C. 3 D. 【答案】C 4.（2017年山东省春季高考数学真题）在中，，，，则等于________. 【考点】HR：余弦定理． 【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解． 【解答】解：∵∠B=2∠A， ∴sin∠B=2sin∠Acos∠A， 又∵a=2，b=3， ∴由正弦定理可得：， ∵sin∠A≠0， ∴cos∠A=． 故答案为：． 5．（2015年山东省春季高考数学真题）在△中，，，，等于 ． 【答案】 【分析】由和角正弦公式求函数值，再应用正弦定理求即可. 【详解】， 由正弦定理可知，， ∴. 故答案为： 考点09 三角函数解答题综合 1. （2022年山东省春季高考数学真题）已知函数的图象过点. （1）求函数的最大值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由的图象过点求得，再利用二倍角公式与两角差的正弦公式化简，进而利用正弦函数的性质即可得解. （2）由题意可，可求得，又因为，即可求解的值. 【小问1详解】 因为的图象过点. 所以，解得， 则， 所以函数的最大值为2. 【小问2详解】 因为，即， 所以或， 解得或， 又因为，所以. 2．（2020年山东省春季高考数学真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 3 0 -3 0 根据表中数据，求： （1）实数，，的值； （2）该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是. 【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解，，的值即可. （2）首先根据（1）知：，根据题意得到，从而得到函数的最值. 【详解】（1）由表可知，则， 因为，，所以，解得，即， 因为函数图象过点，则，即， 所以，，解得，， 又因为，所以. （2）由（1）可知. 因为，所以， 因此，当时，即时，， 当时，即时，. 所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是. 3.（2019年山东省春季高考数学真题）已知函数f(x) =Asin(ωx+ψ)，其中A>O，|ψ|< ,此函数的部分图像如图所示，求： (1)函数f(x)的解析式； (2)当f(x)≥1时，求实数x的取值范围． 解：(1)由图象可知，函数 最小值是 , 的最大值是2， 所以 . 因为 是最小正周期的 所以函数 的最小正周期 . 故 , 解得 可得函数, 又因为函数 图像经过点 所以 即 因此 , 解得 , 又因为 , 所以, 所以该函数的解析式为 (2)因为 , 所以 即 所以 , 即 . 故当 时 ，实数 的取值范围是 注： 的取值范围写为 亦可. 4.（2017年山东省春季高考数学真题）已知函数. （1）求该函数的最小正周期； （2）求该函数的单调递减区间； （3）用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 解：（1）∵， ∴函数的最小正周期. （2）∵令，，解得：， ∴函数的单调递减区间为：. （3）列表： 0 0 3 0 0 描点、连线如图所示： 5．（2015年山东省春季高考数学真题）已知函数，，，函数的部分图象如下图，求 （1）函数的最小正周期及的值： （2）函数的单调递增区间． 【答案】（1）最小正周期；；（2），． 【分析】（1）根据解析式可直接求出最小正周期，代入点可求出； （2）令可解出单调递增区间. 【详解】（1）函数的最小正周期， 因为函数的图象过点，因此，即，又因为，因此． （2）因为函数的单调递增区间是，． 因此，解得， 因此函数的单调递增区间是， 考点10 解三角形解答题综合 1. （2024年山东省春季高考数学真题）三角形ABC中D为BC上一点， （1）求 （2）若，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将代入即可求解； （2）由同角的基本关系求出，再利用三角形内角的关系和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知：， 即， 解得 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为， 所以， 则， 由余弦定理，得： ， 所以. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角B的大小； （2）若函数，利用“五点法”作出该函数在一个周期上的简图． 【答案】（1） （2）图象见解析 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可求解. （2）根据五点作图法即可求解. 【小问1详解】 在中，， 则. 因为， 所以或. 因为， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知，． 列表如下： x 0 0 3 0 0 描点作图，得函数在上的图像如图所示： . 3. （2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于0.01，求的最小值. 【答案】（1）3，， （2）10 【解析】 【分析】（1）由题意，根据中位线定理可知，所有的新三角形都是正三角形，后面三角形的边长是前面三角形边长的，据此可求解； （2）由（1）可知，，，，构成以首项，公比的等比数列，从而可得，令，解不等式可求解. 【小问1详解】 因为分别是的中点， 所以为正三角形，且边长， 同理可得，； 【小问2详解】 由（1）知，，，，构成以首项，公比的等比数列， 所以的边长， 因为的边长小于0.01， 所以，即， 又因为，则，故的最小值为10. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知，点A在上，，以点A为圆心，半径为的圆与相交于点B，C，且. （1）求的大小； （2）若D为的中点，求线段的长.（精确到0.01） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)过点A作垂直于于，由已知可求，在中可求解； (2)在中利用余弦定理可求解. 【小问1详解】 (如上图)过点A作垂直于于， 因为，且， 故 又， ； 【小问2详解】 由(1)知， , 为的中点,, 由余弦定理可知, 解得. 5．（2018年山东省春季高考数学真题）如下图所示，在中，，在上，且.求线段的长. 【答案】 【详解】分析：先根据余弦定理得AC，AB,再根据余弦定理求角B,由角平分线性质定理得PB，最后根据余弦定理求AP. 详解： 由余弦定理可知 ， 由余弦定理可知 由正弦定理可知 所以 因此 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 6．（2016年山东省春季高考数学真题）如图所示，要测量河两岸P，Q两点之间的距离，在与点P同侧的岸边选取了A，B两点（A，B，P，Q四点在同一平面内），并测得，，，，，试求P，Q两点之间的距离． 解：连接AB，又，，，则，则 ，又，∴， ， 在中，由正弦定理得， ，即， 在中，由余弦定理得，，，P，Q两点之间的距离为米． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$