专题04 排列组合、二项式定理及概率统计（八大考点）--【中职专用】山东省十年（2015-2024）春季高考数学真题分类汇编

专题04 排列组合、二项式定理及概率统计 考点01 排列组合 1. （2024年山东省春季高考数学真题）某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（ ） A. 6 B. 18 C. 36 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合的优先考虑法和捆绑法易得答案. 【详解】先排甲乙二人，所以有种情况， 所以不同的安排的方法的个数为种. 故选：B. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）某职业学校在“职教宣传周”期间，把2件教师作品和编号为1~5的5件学生作品摆成一排进行展览，若将教师作品摆放在两端，1号学生作品摆放在正中间，则所有不同摆放方法的种数是（ ）． A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】1号学生作品摆放在正中间，有1种摆法， 2件教师作品摆放在两端有种摆法， 剩下4件学生作品有种摆法， 由分步计数原理可知，共有种摆法. 故选：B. 3. （2022年山东省春季高考数学真题）有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7，现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组合成一个两位数，则所有不同两位数的个数是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】由排列数公式和分步计数原理计算即可. 【详解】从三张卡片中任取两张按顺序并排放在桌面上有种不同的放法， 排放在十位数上的卡片又有种不同的数字， 排放在个位数上的卡片也有种不同的数字， 由分步计数原理得所有不同两位数的个数为. 故选:D. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）某运动员队准备参加米接力赛，队中共有5名运动员，其中甲运动员不能跑第一棒，教练从这5人中安排4人分别跑第一至第四棒，则所有不同安排方法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有无甲运动员进行分类计算，再将两种情况相加即可. 【详解】安排四人进行接力赛，可根据有无甲运动员分为两类. 第一类甲不参加接力赛，则安排方法有种. 第二类甲参加接力赛，则安排方法有种. 则所有不同安排有96种. 故选：C. 5．（2020年山东省春季高考数学真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（    ） A．12 B．120 C．1440 D．17280 【答案】C 【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法. 【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况， 再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况. 所以共有种不同安排方法. 故选：C 6. （2019年山东省春季高考数学真题）现把甲、乙等6位同学排成一排，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同排法的种树是（ ） A. 360 B. 336 C. 312 D. 240 【答案】B 7．（2018年山东省春季高考数学真题）景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是 A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【详解】分析：根据乘法原理得不同走法的种数. 详解：先确定从那一面上，有两种选择，再选择上山与下山道路，可得不同走法的种数是 因此选C. 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 8.（2017年山东省春季高考数学真题）文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（ ） A.72 B.120 C.144 D.288 【考点】D8：排列、组合的实际应用． 【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分3种情况讨论： ①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单， ②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目， 有C21C43=8种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能， 则以排出8×24=192个不同节目单， ③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目， 有C22C42=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A22=2种情况，排好后有3个空位， 在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A32=6种情况， 此时有6×2×6=72种可能， 就可以排出72个不同节目单， 则一共可以排出24+192+72=288个不同节目单， 故选：D． 9．（2016年山东省春季高考数学真题）某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生，若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛，要求既有男生又有女生，则不同的选法种数为（ ） A．60 B．31 C．30 D．10 【答案】C 10．（2015年山东省春季高考数学真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（    ） A．10 B．20 C．60 D．100 【答案】A 【分析】根据组合的定义计算即可. 【详解】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了） 故选：A 考点02 二项式定理 1.（2024年山东省春季高考数学真题） 的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 160 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式的展开式通项，即可求得常数项. 【详解】的展开式通项为， 取常数项时，，故. 故选：B. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，第4项的系数与第4项的二项式系数的和等于（ ）． A. B. C. 75 D. 255 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项公式即可求解. 【详解】由题意得，展开的第四项为 ， 则第4项的系数是， 第4项的二项式系数是， 则第4项的系数与第4项的二项式系数的和为 ． 故选：A. 3. （2022年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出的二项展开式的通项，再由二项式系数的性质判断二项式系数最大的项，再求解即可. 【详解】的二项展开式的通项为，共有项， 其中第项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大项是. 故选：B. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）在的展开式中，若第2项与第5项的二项式系数相等，则第4项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两项二项式系数相等求得，再利用二项式定理求得其第4项，从而得解. 【详解】因为在的展开式中，第2项与第5项的二项式系数相等， 所以，解得， 所以的展开式中第4项为，即系数为. 故选：B 5．（2020年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果. 【详解】第项的二项式系数为， 故选：A. 6. （2019年山东省春季高考数学真题）在（1+x）n的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是（ ） A. 15x3 B. 20x3 C. 15x2 D. 20x2 【答案】C 7．（2018年山东省春季高考数学真题）在的展开式中，所有项的系数之和等于 A．32 B．-32 C．1 D．-1 【答案】D 【详解】分析：令x=y=1，则得所有项的系数之和. 详解：令x=y=1，则得所有项的系数之和为， 选D. 点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可. 8.（2017年山东省春季高考数学真题）若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A.20 B. C.15 D. 【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【解答】解：∵二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n=6， 则展开式中的通项公式为 Tr+1=C6r•（﹣1）r•x． 令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为 C62•（﹣1）2=15， 故选：C． 9．（2016年山东省春季高考数学真题）已知的二项展开式有7项，则展开式中二项式系数最大的项的系数是（ ） A． B． C．160 D．560 【答案】B 10．（2015年山东省春季高考数学真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（    ） A．0 B． C． D．32 【答案】D 【分析】根据的二项展开式系数之和为求解即可 【详解】的二项展开式中所有项的二项式系数之和为 故选：D 考点03 概率的求解 1. （2024年山东省春季高考数学真题）某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻），则至少有2名学生相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列的间接法和插空法易得答案. 【详解】教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻）站在一排照相共有种， 教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻）至少有2名学生相邻 站在一排照相共有种， 所以至少有2名学生相邻的概率. 故选：D. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）某小区有三个快递投放点，小明在网上购买的甲、乙两种商品分别被快递员随机寄存到这三个投放点，则甲、乙两种商品都被寄存在投放点的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的基本公式求概率即可. 【详解】甲乙两种商品被快递员随机寄存到三个快递投放点，共有个基本事件，随机事件“甲、乙两种商品都被寄存在投放点”的基本事件个数为，所以概率. 故答案为： 3. （2022年山东省春季高考数学真题）某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用古典概型的概率计算公式直接计算即可. 【详解】乙两名同学从这三项活动中任选一项,一共有种选法, 其中恰好都选择舞蹈的选法有1种,所以恰好都选择舞蹈的概率是. 故选：. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）在幼儿园“体验分享，快乐成长”的活动中，有三位小朋友都把自己的一件玩具交给老师，老师再把这三件玩具随机发给他们，每人一件，则这三位小朋友都没有拿到自己玩具的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求概率即可. 【详解】三件玩具发给三位小朋友，这件事的基本事件的个数共有（个）， 其中都没有拿到自己的玩具的这件事的基本事件个数两个， 所以概率为. 故选：B. 5．（2020年山东省春季高考数学真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果. 【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法， 其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以. 故选：B 6. （2019年山东省春季高考数学真题）箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取得黑色卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 7．（2018年山东省春季高考数学真题）某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：先求三辆车皆不相邻的概率，再根据对立事件概率关系求结果. 详解：因为三辆车皆不相邻的情况有，所以三辆车皆不相邻的概率为, 因此至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是 选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 8.（2017年山东省春季高考数学真题）某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选出3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是________. 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】先求出基本事件总数n=，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m==4，由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率． 【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名， 基本事件总数n=， 其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m==4， ∴其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是： p===． 故答案为：． 9．（2016年山东省春季高考数学真题）若有7名同学排成一排照相，恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 10．（2015年山东省春季高考数学真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可. 【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2， ∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为． 故选：D 考点04 数字特征及其应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）一组数9，13，12，13，10平均数为，每个数都减，方差为_____ 【答案】人教版：2.64，高教版：3.3. 【解析】 【分析】先求出这组数的，然后再减去，最后由这组新数求解平均数和方差即可. 【详解】， 所以每个数都减为， 所以这组数的平均数为， 解法一（针对人教版）： . 故答案为：2.64. 解法二（针对高教版）： . 故答案为：3.3. 2. （2021年山东省春季高考数学真题）某同学6次技能测试的成绩分别是85，91，88，87，90，87，为了精确评价该同学技能发挥的稳定性，通过数据分析得到该组数据的标准差是_________. 【答案】（高教版）；（人教版） 【解析】 【分析】由标准差的计算公式即可求解. 【详解】因为平均数. 解法一（对应高教版）方差， 故标准差. 故答案为：. 解法二（对应人教版）方差， 故标准差. 故答案为：2. 3.（2017年山东省春季高考数学真题）从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在相同条件下经过多轮测试测试，成绩分析如表1-1所示，根据表中数据判断，最佳人选为（ ） 表1-1 成绩分析表 甲 乙 丙 丁 平均成绩 96 96 85 85 标准差 4 2 4 2 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【考点】BC：极差、方差与标准差． 【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可． 【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙， 由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加． 故选：B． 考点05 频率分布直方图及其应用 1. （2023年山东省春季高考数学真题）某企业生产一批内径为25.40 mm的钢管，内径尺寸等级根据其样本在范围内的频率P划分，规定：为优，为良，为合格，为不合格．若样本频率分布直方图如图所示，则这批钢管的内径尺寸等级是（ ）． A. 优 B. 良 C. 合格 D. 不合格 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本频率分布直方图，计算样本在范围内的频率即可判断. 【详解】由样本频率分布直方图可知，样本在范围内的频率为 ， 所以这批钢管的内径尺寸等级是良． 故选：B 2．（2018年山东省春季高考数学真题）在一批棉花中随机抽测了500根棉花纤维的长度(精确到)作为样本，并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，样本中棉花纤维的长度大于的频数是 ． 【答案】 【详解】分析：根据频率分布直方图得长度大于的频率，再根据频数等于总数与频率的乘积得结果. 详解：因为长度大于的频率为，所以长度大于的频数是. 点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比. 考点06 抽样方法及其应用 1. （2022年山东省春季高考数学真题）某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是700，210，140，为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取300人进行体检，则抽取操作岗位的人数是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由分层抽样的方法进行计算即可. 【详解】某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是700，210，140， 现采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取300人进行体检， 则抽取操作岗位的人数是人. 故答案为：. 2．（2020年山东省春季高考数学真题）某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是 . 【答案】469 【分析】先求得编号间隔为16以及样本容量，再由样本中所有数据编号为求解. 【详解】间隔为021-005=16， 则样本容量为， 样本中所有数据编号为， 所以样本中的最后一个个体的编号为， 故答案为：469 3. （2019年山东省春季高考数学真题）某公司A，B，C三种不同型号产品的库存数量之比为2:3:1，为检验产品的质量，现采用分层抽样的方法从库存产品中抽取一个样本，若在抽取的产品中，恰有A型号产品18件，则该样本容量是__ __. 【答案】54 4．（2016年山东省春季高考数学真题）某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有350名．若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.32．现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出________名； 【答案】33 5．（2015年山东省春季高考数学真题）打算从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采纳系统抽样方式，为此将他们一一编号为1~500，并对编号进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第五个号码段中抽出的号码应是 ． 【答案】42 【分析】由题设，根据等距抽样的特点确定第五个号码段中抽出的号码即可. 【详解】从500名学生中抽取50名，那么每两相邻号码之间的距离是10， 第一个号码是2，那么第五个号码段中抽取的号码应是. 故答案为：42 考点07 数据统计及其应用 1．（2016年山东省春季高考数学真题）下表中数据是我国各种能源消费量占当年能源消费总量的百分率，由表可知，从2011年到2014年，消费量占比增长率最大的能源是（ ） 原油（%） 天然气（%） 原煤（%） 核能（%） 水力发电（%） 再生能源（%） 2011年 17.7 4.5 70.4 0.7 6 0.7 2014年 17.5 5.6 66 1 8.1 1.8 A．天然气 B．核能 C．水力发电 D．再生能源 【答案】D 考点08 新定义-除余问题 1. （2024年山东省春季高考数学真题）如果a，b除以m（）所得的余数相同，则称整数a，b关于模m同余，记作，若，则m可能的取值是（ ） A. 2 B. 11 C. 22 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】根据差的结果的约数特点易得答案. 【详解】因为，所以， 所以为的约数，又， 所以或. 故选：B. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 排列组合、二项式定理及概率统计 考点01 排列组合 1. （2024年山东省春季高考数学真题）某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（ ） A. 6 B. 18 C. 36 D. 90 2. （2023年山东省春季高考数学真题）某职业学校在“职教宣传周”期间，把2件教师作品和编号为1~5的5件学生作品摆成一排进行展览，若将教师作品摆放在两端，1号学生作品摆放在正中间，则所有不同摆放方法的种数是（ ）． A. 24 B. 48 C. 72 D. 96 3. （2022年山东省春季高考数学真题）有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7，现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组合成一个两位数，则所有不同两位数的个数是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 4. （2021年山东省春季高考数学真题）某运动员队准备参加米接力赛，队中共有5名运动员，其中甲运动员不能跑第一棒，教练从这5人中安排4人分别跑第一至第四棒，则所有不同安排方法的种数是（ ） A. B. C. D. 5．（2020年山东省春季高考数学真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（    ） A．12 B．120 C．1440 D．17280 6. （2019年山东省春季高考数学真题）现把甲、乙等6位同学排成一排，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同排法的种树是（ ） A. 360 B. 336 C. 312 D. 240 7．（2018年山东省春季高考数学真题）景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是 A．6 B．10 C．12 D．20 8.（2017年山东省春季高考数学真题）文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（ ） A.72 B.120 C.144 D.288 9．（2016年山东省春季高考数学真题）某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生，若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛，要求既有男生又有女生，则不同的选法种数为（ ） A．60 B．31 C．30 D．10 10．（2015年山东省春季高考数学真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（    ） A．10 B．20 C．60 D．100 考点02 二项式定理 1.（2024年山东省春季高考数学真题） 的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 20 D. 160 2. （2023年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，第4项的系数与第4项的二项式系数的和等于（ ）． A. B. C. 75 D. 255 3. （2022年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（ ） A. B. C. D. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）在的展开式中，若第2项与第5项的二项式系数相等，则第4项的系数是（ ） A. B. C. D. 5．（2020年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ） A． B． C． D． 6. （2019年山东省春季高考数学真题）在（1+x）n的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是（ ） A. 15x3 B. 20x3 C. 15x2 D. 20x2 7．（2018年山东省春季高考数学真题）在的展开式中，所有项的系数之和等于 A．32 B．-32 C．1 D．-1 8.（2017年山东省春季高考数学真题）若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A.20 B. C.15 D. 9．（2016年山东省春季高考数学真题）已知的二项展开式有7项，则展开式中二项式系数最大的项的系数是（ ） A． B． C．160 D．560 10．（2015年山东省春季高考数学真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（    ） A．0 B． C． D．32 考点03 概率的求解 1. （2024年山东省春季高考数学真题）某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻），则至少有2名学生相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 2. （2023年山东省春季高考数学真题）某小区有三个快递投放点，小明在网上购买的甲、乙两种商品分别被快递员随机寄存到这三个投放点，则甲、乙两种商品都被寄存在投放点的概率是________． 3. （2022年山东省春季高考数学真题）某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是（ ） A. B. C. D. 4. （2021年山东省春季高考数学真题）在幼儿园“体验分享，快乐成长”的活动中，有三位小朋友都把自己的一件玩具交给老师，老师再把这三件玩具随机发给他们，每人一件，则这三位小朋友都没有拿到自己玩具的概率是（ ） A. B. C. D. 5．（2020年山东省春季高考数学真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（    ） A． B． C． D． 6. （2019年山东省春季高考数学真题）箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取得黑色卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 7．（2018年山东省春季高考数学真题）某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是 A． B． C． D． 8.（2017年山东省春季高考数学真题）某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选出3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是________. 9．（2016年山东省春季高考数学真题）若有7名同学排成一排照相，恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（ ） A． B． C． D． 10．（2015年山东省春季高考数学真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（    ） A． B． C． D． 考点04 数字特征及其应用 1. （2024年山东省春季高考数学真题）一组数9，13，12，13，10平均数为，每个数都减，方差为_____ 2. （2021年山东省春季高考数学真题）某同学6次技能测试的成绩分别是85，91，88，87，90，87，为了精确评价该同学技能发挥的稳定性，通过数据分析得到该组数据的标准差是_________. 3.（2017年山东省春季高考数学真题）从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在相同条件下经过多轮测试测试，成绩分析如表1-1所示，根据表中数据判断，最佳人选为（ ） 表1-1 成绩分析表 甲 乙 丙 丁 平均成绩 96 96 85 85 标准差 4 2 4 2 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 考点05 频率分布直方图及其应用 1. （2023年山东省春季高考数学真题）某企业生产一批内径为25.40 mm的钢管，内径尺寸等级根据其样本在范围内的频率P划分，规定：为优，为良，为合格，为不合格．若样本频率分布直方图如图所示，则这批钢管的内径尺寸等级是（ ）． A. 优 B. 良 C. 合格 D. 不合格 2．（2018年山东省春季高考数学真题）在一批棉花中随机抽测了500根棉花纤维的长度(精确到)作为样本，并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，样本中棉花纤维的长度大于的频数是 ． 考点06 抽样方法及其应用 1. （2022年山东省春季高考数学真题）某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是700，210，140，为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取300人进行体检，则抽取操作岗位的人数是_________. 2．（2020年山东省春季高考数学真题）某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是 . 3. （2019年山东省春季高考数学真题）某公司A，B，C三种不同型号产品的库存数量之比为2:3:1，为检验产品的质量，现采用分层抽样的方法从库存产品中抽取一个样本，若在抽取的产品中，恰有A型号产品18件，则该样本容量是__ __. 4．（2016年山东省春季高考数学真题）某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有350名．若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.32．现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出________名； 5．（2015年山东省春季高考数学真题）打算从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采纳系统抽样方式，为此将他们一一编号为1~500，并对编号进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第五个号码段中抽出的号码应是 ． 考点07 数据统计及其应用 1．（2016年山东省春季高考数学真题）下表中数据是我国各种能源消费量占当年能源消费总量的百分率，由表可知，从2011年到2014年，消费量占比增长率最大的能源是（ ） 原油（%） 天然气（%） 原煤（%） 核能（%） 水力发电（%） 再生能源（%） 2011年 17.7 4.5 70.4 0.7 6 0.7 2014年 17.5 5.6 66 1 8.1 1.8 A．天然气 B．核能 C．水力发电 D．再生能源 考点08 新定义-除余问题 1. （2024年山东省春季高考数学真题）如果a，b除以m（）所得的余数相同，则称整数a，b关于模m同余，记作，若，则m可能的取值是（ ） A. 2 B. 11 C. 22 D. 31 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$