（预习篇）第七讲 用ASA（角边角）或AAS（角角边）判定三角形全等（知识梳理+二大考点讲练+中等拔高分层真题练）-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第七讲 用“ASA（角边角）”或“AAS（角角边）”判定三角形全等 教学目标： 1.经历作图过程,理解基本事实:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,体会数学的逻辑性,培养抽象概括能力. 2.经历用“角角边”判定两三角形全等的证明过程,发展推理能力. 学习重点：会用“ASA”“AAS”判定三角形全等. 学习难点：选择恰当的方法判定两个三角形全等. 新知预习 1 知识总结 6 高频易错点拨 7 考点讲练1：用ASA，AAS证明三角形全等 8 考点讲练2：全等的性质和ASA，AAS的综合 11 中档题真题练 13 培优题真题练 19 新知预习 【复习回顾】 【思考】目前我们已经学习了证明三角形全等的条件有什么？ 1. “边边边”或“SSS” 三边分别相等的两个三角形全等 2. “边角边”或“SAS” 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 【新课导入】 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗? 通过前面的学习活动，我们探究了两个三角形满足三个条件的前三种情况，这节课我们继续探究第四种情况. 【推进新课】 【思考】已知一个三角形的两角和一条边，那么这两角与这一条边有几种位置关系？ 知识点1：三角形全等的判定“角边角” 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′ =AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）．把画好的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ 【画法】 ① 画A′B′=AB； ② 在A′B′的同旁画∠DA′B′ =∠A，∠EB′A′ =∠B，A′D，B′E相交于点C′ 结论：这两个三角形重合 【归纳】 三角形全等“角边角” 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （ASA） 典例精讲 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC上，AB=AC，∠B =∠C．求证 AD =AE． 分析：求证AD=AE 证明 △ACD≌△ABE ∠A=∠A（公共角） AB=AC（已知） ∠B=∠C（已知） 证明：在△ACD 和△ABE 中， ∴　△ACD ≌△ABE（ASA）∴　AD =AE． 【回顾导入】 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗? 带 1 去，因为两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 典例精讲 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．B C A D 证明：在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（ASA） 知识点2：三角形全等的判定“角角边” 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC =EF . 求证△ABC ≌△DEF. 证明：在△ABC 中， ∠A +∠B +∠C =180°， ∴∠C = 180°-∠A-∠B. 同理∠F =180°-∠D -∠E. 又 ∠A =∠D， ∠B =∠E， ∴∠C = ∠F . 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC ≌△DEF（ASA） 【归纳】 三角形全等“角角边” 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （AAS） 典例精讲 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证（1）△BDA≌△AEC； 证明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB=∠CEA=90°， ∴∠ABD+∠BAD=90°，∵∠BAC=90° ∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠ABD=∠CAE. 在△BDA和△AEC中， ∴△BDA≌△AEC.（AAS） （2）DE=BD+CE. 证明：∵△BDA≌△AEC， ∴BD=AE，AD=CE， ∴DE=AE+DA=BD+CE 【方法总结】 利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，关键在于运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转换. 小结：三角形全等的判定方法 知识总结 知识点01：角边角（ASA）的定义 角边角（ASA）是三角形全等判定条件之一，具体指如果两个三角形有两角和它们的夹边分别对应相等，则这两个三角形全等。这里的“角边角”指的是两个角和它们之间的那条夹边。 知识点02：角边角（ASA）的解析 两角对应相等：这是判定条件中的“角角”，即两个三角形的两组对应角分别相等。这两组对应角中，有一组是相邻的，即它们之间夹着一条边。 夹边对应相等：这是判定条件中的“边”，即两个三角形中，两组对应角之间的那条夹边也对应相等。 全等判定：当两个三角形满足上述两个条件时，即两角及它们的夹边对应相等，则可以根据角边角（ASA）定理判定这两个三角形全等。 知识点03：角边角（ASA）的应用 证明三角形全等：在解题过程中，如果遇到需要证明两个三角形全等的情况，且已知条件中包含两个角和它们的夹边对应相等，则可以直接应用角边角（ASA）定理进行证明。 求解几何问题：角边角（ASA）定理在求解几何问题中也具有广泛的应用。例如，在求解线段长度、角度大小等问题时，如果可以通过构造或已知条件得到两个三角形的角边角对应相等，则可以利用全等三角形的性质进行求解。 知识点04：角角边（AAS）的定义 角角边（AAS）全等判定定理是指：如果两个三角形中有两个角分别相等，并且这两个角所夹的一条边也相等，那么这两个三角形全等。这里的“AAS”分别代表两个相等的角（Angle-Angle）和一条夹边（Side）。 知识点05：角角边（AAS）的应用条件 两个相等的角：在两个三角形中，必须存在两个分别相等的角。这两个角可以是任意两个非相邻的角，但它们必须是对应角，即它们分别位于两个三角形的相同位置上。 夹边相等：除了两个相等的角之外，这两个角所夹的一条边也必须相等。这条夹边是连接两个相等角的边，它位于两个三角形的对应位置上。 知识点06：角角边（AAS）的判定过程 识别条件：首先，需要仔细观察两个三角形，看它们是否满足角角边的判定条件，即有两个相等的角和一条夹边相等。 应用定理：如果满足条件，则可以应用角角边全等判定定理，得出这两个三角形全等的结论。 书写证明：在证明过程中，需要清晰地写出每一步的推理过程，包括识别条件、应用定理和得出结论等。 知识点07：角角边（AAS）与其他判定方法的联系 在三角形全等的判定中，除了角角边（AAS）之外，还有边角边（SAS）、角边角（ASA）和边边边（SSS）等判定方法。这些方法各有特点，但都可以用来判定两个三角形是否全等。在实际应用中，需要根据题目给出的条件选择最合适的判定方法。 高频易错点拨 易错知识点01：对应角与对应边的混淆 易错点：学生在应用定理时，容易混淆对应角和对应边的关系，导致判断错误。 解析：在应用角边角定理时，必须明确哪两个角是对应角，以及它们之间的夹边是对应边。学生需要仔细审题，根据题目给出的条件，准确找出对应角和对应边。 易错知识点02：夹边识别不准确 易错点：学生可能错误地认为只要两个三角形中有两个角相等，并且任意一条边也相等，就可以应用角边角（ASA）定理。 解析：角边角定理中的夹边是指两个对应角之间的那条边，而不是三角形中的任意一条边。因此，在判断两个三角形是否全等时，必须确保两个对应角之间的夹边也对应相等。 易错知识点03：忽视隐含条件 易错点：在复杂的问题中，学生可能忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用定理。 解析：有些题目中可能包含一些隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等，这些条件在判定三角形全等时非常重要。学生需要仔细阅读题目，找出所有可能的条件，并综合运用这些条件来解决问题。 易错知识点04：证明过程中的逻辑错误 易错点：在证明三角形全等的过程中，学生可能会出现逻辑错误，如条件使用不当、推理不严密等。 解析：证明三角形全等需要严密的逻辑推理。学生需要确保每一步的推理都是基于已知条件和正确的几何定理。同时，还需要注意证明过程中的条件顺序和逻辑关系，避免出现逻辑错误。 易错知识点05：辅助线的添加不当 易错点：在解决一些复杂问题时，学生可能需要添加辅助线来构造新的三角形或揭示隐含条件。然而，如果辅助线添加不当，就可能导致证明失败。 解析：添加辅助线是解决复杂问题的一种有效方法。然而，在添加辅助线时，学生需要确保辅助线的位置和性质符合题目要求，并且有助于证明三角形全等。如果辅助线添加不当，就可能会引入新的未知量或破坏原有的条件关系，导致证明失败。 考点讲练1：用ASA，AAS证明三角形全等 【典例精讲】（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得DE的长为 (1)请你判断他们做法的正确性并说明理由； (2)河的宽度是多少米？ 【举一反三1】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在和中，点E在边上，，与交于点G． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【举一反三2】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B出发沿河岸画一条射线，在上截取，过D作，使E、A、C在同一条直线上，则长就是A、B之间的距离，请你说明道理． 【举一反三3】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 考点讲练2：全等的性质和ASA，AAS的综合 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，． (1)如图1，点在延长线上，且． ①若，求的长； ②判断和的关系，并证明； (2)如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长． 【举一反三1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，猜想线段之间的数量关系，请加以证明． 【举一反三2】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，是的平分线，，点P在上，，，M，N分别是垂足． (1)与全等吗？为什么？ (2)吗？为什么？ 【举一反三3】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 中档题真题练 1．（2024七下·顺德月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）． A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 2．（2024·新乐模拟）为测量一池塘两端A，B间的距离，甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B间的距离； 乙：如图2，先确定直线，过点B作射线，在射线上找可直接到达点A的点D，连接，作，交直线于点C，则测出的长即为A，B间的距离，则下列判断正确的是（　　） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 3．（2024七下·济南期中）如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024八下·宝安月考）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BM⊥AD，垂足为M，且AB=5，BM=2，AC=9，则∠ABC与∠C的关系为（　　） A．∠ABC=2∠C B．∠ABC= ∠C C． ∠ABC=∠C D．∠ABC=3∠C 5．（2024八下·南宁开学考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为　 　． 6．（2024八上·杭州月考）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则　 　． 7．（2023八上·江陵期末）如图，在 中， ， ，点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，则B点的坐标是　 　. 8．（2024八上·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，点D，E在的边上，，要推理得出，可以补充的一个条件是　 　．（不添加辅助线，写出一个即可） 9．（2024八上·重庆市期末）如图，在中，的角平分线交于点D． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程． 证明：∵的角平分线交于点D， ∴ ． ∵垂直平分， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴ ． ∴． 10．（2024八上·成武期末）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F， （1）如图1，求证：BE＝CD． （2）如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形． 11．（2024八下·腾冲开学考）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）求证：∠EBC＝∠ECB． 12．（2024·吴兴期末）如图1，为等腰直角三角形，∠=90°，动点从出发沿线段向终点运动，连结，以为直角边向右作等腰直角△，斜边与交于点，连结． （1）求证：△≌△； （2）如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系； （3）在（2）的条件下，若AB=2，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值. 13．（2024八下·冷水滩开学考）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． （1）【积累经验】 如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是　 　； （2）【类比迁移】 如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 培优题真题练 一、选择题 1．（2024八上·嘉兴期末）如图，的面积为平分于点P，连结，则的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（2024八上·瑞安期末）如图，在平行四边形中，延长到，使，连接交于点，交于点．下列结论①；②；③；④；⑤，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（2023八上·德惠月考）如图，已知的面积为13，平分，且于点，则的面积是（　　） A． B． C．6 D．7 二、填空题 5．（2024八上·遵义期末）如图，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在AB的延长线上，∠EDF＝120°，若BF＝9，BE＝2，则AC＝　 　． 6．（2023八上·鄂州期末）如图，等边的边长为12，点为上一点，于点，于点，连接．若．也是等边三角形，则的长　 　． 7．（2024八上·临江期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，．若，则　 　． 8．（2024八上·铁西期末）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为　 　． 三、解答题 9．（2023八上·禄劝期中）朵朵站在河边的A点处，观察河对面（正北方向）点B处的一颗大树，她想知道自己距离大树有多远，可身边没有测量工具，于是她运用本学期学到的知识设计了如下方案：她以相同的步子向正西方向走了50岁到达一电线杆点C处，接着继续向正西方向走了50步到达点D处，然后再向正南方向行走，当看到电线杆C，大树B与自己现在所处的位置E在同一直线上时停止，朵朵一共走了140步． （1）根据题意，画出朵朵测量方案的示意图； （2）如果朵朵一步大约，请计算朵朵A在点处时与点B处的这颗大树的距离，并说明理由． 10．（2023八上·武汉月考）如图是由小正方形组成的 6×6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C 三点都是格点， 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． （1）在图 1 中，画出△ABC 的中线 AM 和高线 BN； （2）在图 2 中，点 D 是 AC 上的一个格点，在边 AB 上取一点 E，使得线段 DE 平分△ABC 的面积； （3）在图 3 中，点 P 是线段 AB 上的任意一点，在线段 AC 上取一点 Q，使得 AQ＝AP． 11．（2024八上·遵义期末）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ACB≌△BED； （2）求两堵木墙之间的距离． 12．（2024八上·广水期末）在平面直角坐标系中，等腰中，，，，． （1）如图，若，求的面积； （2）如图，与轴交于点，与轴交于点，连接，，求证：； （3）如图，在的条件下，若以为直角顶点，为腰作等腰，连接，求证：． 13．（2024八上·寻乌期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）求四边形的面积． 14．（2024八上·常德期末） （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点．证明：． （2）组员小刘想，如果当直线绕点旋转到图2的位置时，具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第七讲 用“ASA（角边角）”或“AAS（角角边）”判定三角形全等 教学目标： 1.经历作图过程,理解基本事实:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,体会数学的逻辑性,培养抽象概括能力. 2.经历用“角角边”判定两三角形全等的证明过程,发展推理能力. 学习重点：会用“ASA”“AAS”判定三角形全等. 学习难点：选择恰当的方法判定两个三角形全等. 新知预习 1 知识总结 6 高频易错点拨 7 考点讲练1：用ASA，AAS证明三角形全等 8 考点讲练2：全等的性质和ASA，AAS的综合 13 中档题真题练 19 培优题真题练 34 新知预习 【复习回顾】 【思考】目前我们已经学习了证明三角形全等的条件有什么？ 1. “边边边”或“SSS” 三边分别相等的两个三角形全等 2. “边角边”或“SAS” 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 【新课导入】 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗? 通过前面的学习活动，我们探究了两个三角形满足三个条件的前三种情况，这节课我们继续探究第四种情况. 【推进新课】 【思考】已知一个三角形的两角和一条边，那么这两角与这一条边有几种位置关系？ 知识点1：三角形全等的判定“角边角” 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′ =AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）．把画好的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？ 【画法】 ① 画A′B′=AB； ② 在A′B′的同旁画∠DA′B′ =∠A，∠EB′A′ =∠B，A′D，B′E相交于点C′ 结论：这两个三角形重合 【归纳】 三角形全等“角边角” 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （ASA） 典例精讲 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC上，AB=AC，∠B =∠C．求证 AD =AE． 分析：求证AD=AE 证明 △ACD≌△ABE ∠A=∠A（公共角） AB=AC（已知） ∠B=∠C（已知） 证明：在△ACD 和△ABE 中， ∴　△ACD ≌△ABE（ASA）∴　AD =AE． 【回顾导入】 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其中理由吗? 带 1 去，因为两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 典例精讲 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．B C A D 证明：在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（ASA） 知识点2：三角形全等的判定“角角边” 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D，∠B =∠E，BC =EF . 求证△ABC ≌△DEF. 证明：在△ABC 中， ∠A +∠B +∠C =180°， ∴∠C = 180°-∠A-∠B. 同理∠F =180°-∠D -∠E. 又 ∠A =∠D， ∠B =∠E， ∴∠C = ∠F . 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC ≌△DEF（ASA） 【归纳】 三角形全等“角角边” 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （AAS） 典例精讲 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证（1）△BDA≌△AEC； 证明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB=∠CEA=90°， ∴∠ABD+∠BAD=90°，∵∠BAC=90° ∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠ABD=∠CAE. 在△BDA和△AEC中， ∴△BDA≌△AEC.（AAS） （2）DE=BD+CE. 证明：∵△BDA≌△AEC， ∴BD=AE，AD=CE， ∴DE=AE+DA=BD+CE 【方法总结】 利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，关键在于运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转换. 小结：三角形全等的判定方法 知识总结 知识点01：角边角（ASA）的定义 角边角（ASA）是三角形全等判定条件之一，具体指如果两个三角形有两角和它们的夹边分别对应相等，则这两个三角形全等。这里的“角边角”指的是两个角和它们之间的那条夹边。 知识点02：角边角（ASA）的解析 两角对应相等：这是判定条件中的“角角”，即两个三角形的两组对应角分别相等。这两组对应角中，有一组是相邻的，即它们之间夹着一条边。 夹边对应相等：这是判定条件中的“边”，即两个三角形中，两组对应角之间的那条夹边也对应相等。 全等判定：当两个三角形满足上述两个条件时，即两角及它们的夹边对应相等，则可以根据角边角（ASA）定理判定这两个三角形全等。 知识点03：角边角（ASA）的应用 证明三角形全等：在解题过程中，如果遇到需要证明两个三角形全等的情况，且已知条件中包含两个角和它们的夹边对应相等，则可以直接应用角边角（ASA）定理进行证明。 求解几何问题：角边角（ASA）定理在求解几何问题中也具有广泛的应用。例如，在求解线段长度、角度大小等问题时，如果可以通过构造或已知条件得到两个三角形的角边角对应相等，则可以利用全等三角形的性质进行求解。 知识点04：角角边（AAS）的定义 角角边（AAS）全等判定定理是指：如果两个三角形中有两个角分别相等，并且这两个角所夹的一条边也相等，那么这两个三角形全等。这里的“AAS”分别代表两个相等的角（Angle-Angle）和一条夹边（Side）。 知识点05：角角边（AAS）的应用条件 两个相等的角：在两个三角形中，必须存在两个分别相等的角。这两个角可以是任意两个非相邻的角，但它们必须是对应角，即它们分别位于两个三角形的相同位置上。 夹边相等：除了两个相等的角之外，这两个角所夹的一条边也必须相等。这条夹边是连接两个相等角的边，它位于两个三角形的对应位置上。 知识点06：角角边（AAS）的判定过程 识别条件：首先，需要仔细观察两个三角形，看它们是否满足角角边的判定条件，即有两个相等的角和一条夹边相等。 应用定理：如果满足条件，则可以应用角角边全等判定定理，得出这两个三角形全等的结论。 书写证明：在证明过程中，需要清晰地写出每一步的推理过程，包括识别条件、应用定理和得出结论等。 知识点07：角角边（AAS）与其他判定方法的联系 在三角形全等的判定中，除了角角边（AAS）之外，还有边角边（SAS）、角边角（ASA）和边边边（SSS）等判定方法。这些方法各有特点，但都可以用来判定两个三角形是否全等。在实际应用中，需要根据题目给出的条件选择最合适的判定方法。 高频易错点拨 易错知识点01：对应角与对应边的混淆 易错点：学生在应用定理时，容易混淆对应角和对应边的关系，导致判断错误。 解析：在应用角边角定理时，必须明确哪两个角是对应角，以及它们之间的夹边是对应边。学生需要仔细审题，根据题目给出的条件，准确找出对应角和对应边。 易错知识点02：夹边识别不准确 易错点：学生可能错误地认为只要两个三角形中有两个角相等，并且任意一条边也相等，就可以应用角边角（ASA）定理。 解析：角边角定理中的夹边是指两个对应角之间的那条边，而不是三角形中的任意一条边。因此，在判断两个三角形是否全等时，必须确保两个对应角之间的夹边也对应相等。 易错知识点03：忽视隐含条件 易错点：在复杂的问题中，学生可能忽视题目中的隐含条件，导致无法正确应用定理。 解析：有些题目中可能包含一些隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等，这些条件在判定三角形全等时非常重要。学生需要仔细阅读题目，找出所有可能的条件，并综合运用这些条件来解决问题。 易错知识点04：证明过程中的逻辑错误 易错点：在证明三角形全等的过程中，学生可能会出现逻辑错误，如条件使用不当、推理不严密等。 解析：证明三角形全等需要严密的逻辑推理。学生需要确保每一步的推理都是基于已知条件和正确的几何定理。同时，还需要注意证明过程中的条件顺序和逻辑关系，避免出现逻辑错误。 易错知识点05：辅助线的添加不当 易错点：在解决一些复杂问题时，学生可能需要添加辅助线来构造新的三角形或揭示隐含条件。然而，如果辅助线添加不当，就可能导致证明失败。 解析：添加辅助线是解决复杂问题的一种有效方法。然而，在添加辅助线时，学生需要确保辅助线的位置和性质符合题目要求，并且有助于证明三角形全等。如果辅助线添加不当，就可能会引入新的未知量或破坏原有的条件关系，导致证明失败。 考点讲练1：用ASA，AAS证明三角形全等 【典例精讲】（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得DE的长为 (1)请你判断他们做法的正确性并说明理由； (2)河的宽度是多少米？ 【答案】(1)他们的做法是正确的，理由见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）利用“角边角”证明，再根据全等三角形对应边相等即可解得； （2）根据全等三角形对应角相等可得即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意可知，， 在和中， ， ∴， ∴，即他们的做法是正确的． （2）解：由（1）可知，． ∴河的宽度是． 【举一反三1】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在和中，点E在边上，，与交于点G． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论； （2）由三角形内角和定理可得，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后三角形内角和以及角的和差即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三2】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B出发沿河岸画一条射线，在上截取，过D作，使E、A、C在同一条直线上，则长就是A、B之间的距离，请你说明道理． 【答案】理由见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． 根据可得，再利用证明三角形全等即可． 【规范解答】解：， ， 在和中， ， ， 故长就是A、B之间的距离． 【举一反三3】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线； （1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可； （2）先用证明，得出，再用证明，即可解答． 【规范解答】（1）解：选方法一来证明， 是的中线， 在和中 ， ， 在中， ， ， 即：， ， （2）解：延长到F使，连接，如图所示； 点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 考点讲练2：全等的性质和ASA，AAS的综合 【典例精讲】（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知中，，，动点，分别在边和射线上，连接，． (1)如图1，点在延长线上，且． ①若，求的长； ②判断和的关系，并证明； (2)如图2，，，点在边上，且，当的值最小时，求的长． 【答案】(1)①8；②且，证明见详解 (2)3 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）①利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由，即可获得答案；②延长，交与，由全等三角形的性质可得，结合，，易得，即可证明； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，易得，故当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，再证明，由全等三角形的性质可得，故，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：①∵，动点，分别在边和射线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②且，证明如下： 如下图，延长，交与， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如下图， 当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【举一反三1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，猜想线段之间的数量关系，请加以证明． 【答案】，证明见解析 【思路点拨】此题考查全等三角形的判定和性质，证明，则，，利用线段之间的关系即可得到答案． 【规范解答】证明：如图， ∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴ 【举一反三2】（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，是的平分线，，点P在上，，，M，N分别是垂足． (1)与全等吗？为什么？ (2)吗？为什么？ 【答案】(1)全等；理由见解析 (2)；理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了的是全等三角形的判定定理与性质定理．全等三角形的判定定理：． （1）根据“”即可证明； （2）根据可得，再根据等角的补角相等可得，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论． 【规范解答】（1）解：是的平分线， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）， ． ． ，， ， 又， ， ． 【举一反三3】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)17 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由（1）可知，即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：连接． ∵D在的中垂线上 ∴ ∵．平分 ∴ ∴   ∴ （2）∵平分 ∴ ∵ ∴   又∵． ∴ ∴ 由 (1) 可知    ∴的周长为： 中档题真题练 1．（2024七下·顺德月考）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）． A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【答案】D 【规范解答】解：∵∠BOD+∠COE=∠COE+∠OCE=90°， ∴∠BOD=∠OCE， 在△OBD与△COE中， ， ∴△OBD≌△COE， ∴CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m， ∴DE=OD-OE=0.4m， ∵B点距离地面1m， ∴AE=1+0.4=1.4m， ∴小丽距离地面的高度是1.4m . 故答案为：D. 【思路点拨】利用AAS证出△OBD≌△COE，得出CE=OD=1.8m，OE=BD=1.4m，从而得出DE=0.4m，AE=1+0.4=1.4m，即可得出小丽距离地面的高度是1.4m . 2．（2024·新乐模拟）为测量一池塘两端A，B间的距离，甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案． 甲：如图1，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B间的距离； 乙：如图2，先确定直线，过点B作射线，在射线上找可直接到达点A的点D，连接，作，交直线于点C，则测出的长即为A，B间的距离，则下列判断正确的是（　　） A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行 C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行 【答案】A 【规范解答】解：甲：由题意得，AB⊥BC，DE⊥CD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； ∴测出DE的长即为A，B间的距离； 乙同学的方案中，没有说明BE与AB是垂直的，则无法判断两个三角形全等，故乙同学的方案不可行 故答案为：A 【思路点拨】利用“ASA”证明△ABC≌△EDC，可得AB＝ED，即可测出DE的长即为A，B间的距离，从而得解。 3．（2024七下·济南期中）如图，已知，要说明，需从下列条件中选一个，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：A、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（ASA）；不符合题意； B、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS）；不符合题意； C、在△ABD和△ACD中，DB=DC，AD=AD，∠1=∠2，用边边角不能判断这两个三角形全等；符合题意； D、在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS）；不符合题意. 故答案为：C. 【思路点拨】根据全等三角形的判定“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等；③两角及夹边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”并结合各选项和图形即可判断求解. 4．（2024八下·宝安月考）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BM⊥AD，垂足为M，且AB=5，BM=2，AC=9，则∠ABC与∠C的关系为（　　） A．∠ABC=2∠C B．∠ABC= ∠C C． ∠ABC=∠C D．∠ABC=3∠C 【答案】D 【规范解答】证明：延长BM，交AC于E， ∵AD平分∠BAC，BM⊥AD， ∴∠BAM=∠EAM，∠AMB=∠AME 又∵AM=AM， ∴△ABM≌△AEM， ∴BM=ME，AE=AB，∠AEB=∠ABE， ∴BE=BM+ME=4，AE=AB=5， ∴CE=AC-AE=9-5=4， ∴CE=BE， ∴△BCE是等腰三角形， ∴∠EBC=∠C， 又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC. ∴∠ABE=2∠C， ∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C. 故答案为：D. 【思路点拨】延长BM到E，证明△ABF≌△AEM，利用线段长度推出△BCE是等腰三角形，再根据角度转换求出即可. 5．（2024八下·南宁开学考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为　 　． 【答案】3 【规范解答】解： BE⊥AD，CF⊥AD，∠BEA=∠AFC= 90°，∠BAE+∠ABE= 90°， ∠BAC=90°， ∠BAE+∠FAC= 90°，∠FAC=∠ABE， 在△ABE和△CAF中， ∠BEA=∠AFC，∠ABE=∠FAC，AB= AC， △ABE≌△CAF (AAS)， AF= BE，AE= CF， BE=4， CF= 1， AF= BE=4，AE= CF= 1，EF= AF- AE=4-1=3， 故答案为： 3. 【思路点拨】先证明△ABE≌△CAF (AAS)，再根据全等三角形的性质得AF= BE=4，AE= CF=1，进一步可求出EF的长. 6．（2024八上·杭州月考）如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则　 　． 【答案】 【规范解答】解：连接BG， ∵AD⊥BC，AB=AC， ∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，CD=BD=BC=6， ∵DE平分∠ADC， ∴∠EDG=∠EDC， ∵EF⊥AB， ∴∠AFG=90°， ∴∠FAG+∠AGF=90°即∠FAG+∠DGE=90°， ∵∠DAC+∠C=90°， ∴∠DGE=∠C， 在△DGE和△DCE中 ∴△DGE≌△DCE（AAS） ∴DG=CD=6； ∴AD=AG+DG=2+6=8， 在Rt△ABC中 ， ， ∴， 解之：， 在Rt△AFG中 故答案为：. 【思路点拨】连接BG，利用等腰三角形的性质可证得∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，同时求出BD，CD的长，利用角平分线的定义可证得∠EDG=∠EDC，利用垂直的定义和余角的性质可推出∠DGE=∠C，利用AAS证明△DGE≌△DCE，可求出DG的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出FG的长；然后在Rt△AFG中，利用勾股定理求出AF的长. 7．（2023八上·江陵期末）如图，在 中， ， ，点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，则B点的坐标是　 　. 【答案】(1，4) 【规范解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB(AAS)， ∴DC=BE，AD=CE， ∵点C的坐标为(−2，0)，点A的坐标为(−6，3)， ∴OC=2，AD=CE=3，OD=6， ∴CD=OD−OC=4，OE=CE−OC=3−2=1， ∴BE=4， ∴B点的坐标是(1，4)， 故答案为：(1，4). 【思路点拨】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，根据同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，从而利用AAS证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的对应边相等得出DC=BE，AD=CE，进而结合已知数据，即可求出B点的坐标. 8．（2024八上·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，点D，E在的边上，，要推理得出，可以补充的一个条件是　 　．（不添加辅助线，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【规范解答】解：∵∠B=∠C， ∴AB=AC， ∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE， 即∠BAE=∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ∴△ABE≌△ACD（ASA）， 故答案为：∠BAD=∠CAE. 【思路点拨】判定一般三角形全等的方法有：SAS、ASA、SSS、AAS.由已知∠B=∠C，可得AB=AC，要判定△ABE≌△ACD，添加条件∠BAD=∠CAE利用ASA判定其全等。 9．（2024八上·重庆市期末）如图，在中，的角平分线交于点D． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程． 证明：∵的角平分线交于点D， ∴ ▲ ． ∵垂直平分， ∴， ▲ ， ▲ ， ∴， ∴， ∴ ▲ ． ∴． 【答案】（1）解：所作图形如下： （2）解：∵的角平分线交于点D， ∴， ∵垂直平分， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． 【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的尺规作法求作即可； （2）根据角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质证明即可。 10．（2024八上·成武期末）已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F， （1）如图1，求证：BE＝CD． （2）如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形． 【答案】（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴AE＝AD， ∵AC＝AB， ∴AC-AD＝AB-AE， 即BE＝DC； （2）解：△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS） 【规范解答】解：（2）由（1）可得： △ABD≌△ACE（AAS）， BE=DC， ∴∠B=∠C，AD=AE， ∵∠BFE=∠CFD， ∴△BEF≌△CDF， ∴BF=CF，EF=DF， ∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS） . 【思路点拨】（1）根据垂直求出 ∠ADB＝∠AEC＝90°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可； （2）根据全等三角形的性质求出∠B=∠C，AD=AE，再求出△BEF≌△CDF，最后利用全等三角形的判定方法证明求解即可。 11．（2024八下·腾冲开学考）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）求证：∠EBC＝∠ECB． 【答案】（1）证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS） （2）证明：∵△ABE≌△DCE， ∴EB＝EC， ∴△EBC是等腰三角形， ∴∠EBC＝∠ECB． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定AAS证明即可. （2）由得到，进而得到是等腰三角形，即可. 12．（2024·吴兴期末）如图1，为等腰直角三角形，∠=90°，动点从出发沿线段向终点运动，连结，以为直角边向右作等腰直角△，斜边与交于点，连结． （1）求证：△≌△； （2）如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系； （3）在（2）的条件下，若AB=2，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值. 【答案】（1）证明：∵与均为等腰直角三角形 ∴AB=BC，DB=BE，∠ABC=∠DBE=90° ∴∠ABD=∠CBE 在△与△中， ∴△≌△（SAS） （2）解：∵， ∴∠DFB=∠BGE=90° ∴∠GBE+∠GEB=90° 又∵∠GBE+∠DBF=90° ∴∠GEB=∠DBF 在△与△中， ∴△≌△（AAS） ∴BF=EG，DF=BG=CF ∴BC=BF+CF=EG+DF （3）解：∵△≌△ ∴ ===2 要使最大，只要使最小即可. 当BD⊥AC时，最小. 此时DE⊥BC，BD=AD=，BM=1，=1 ∴当BM=1时， 最大，最大为1. 【思路点拨】（1）根据等腰直角三角形的性质得到：，进而利用"SAS"即可证明△≌△； （2）根据垂直的定义和角的等量代换得到：，然后利用"AAS"证明△≌△，即可得到：BF=EG，DF=BG=CF进而即可求解； （3）根据全等的性质和割补法求面积得到：===2，则要使最大，只要使最小即可，即当BD⊥AC时，最小，进而即可求解. 13．（2024八下·冷水滩开学考）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． （1）【积累经验】 如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是　 　； （2）【类比迁移】 如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 【答案】（1） （2）解：仍然成立，理由如下， ∵， ， ， ∵， ∴， ∴， ； （3）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴与的面积之和为4． 【规范解答】解：（1），理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【思路点拨】（1）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案. （2）根据角之间关系可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案. （3）根据全等三角形判定定理可得，则，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，结合三角形面积即可求出答案. 培优题真题练 一、选择题 1．（2024八上·嘉兴期末）如图，的面积为平分于点P，连结，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：如图： 延长AP交BC于点D. ∵BP⊥AP， ∴∠BPD=∠BPA=90° ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBD=∠PBA， 又∵BP=BP， ∴△BPD≌△BPA（ASA）， ∴PD=PA. ∴S△BPD=S△BPA，S△CPD=S△CPA， ∴S△BPC=S△BPD+S△CPD=S△BPA+S△CPA. ∴（cm2）. 故答案为：B. 【思路点拨】根据BP平分∠ABC，BP⊥AP考虑延长AP构造全等三角形解决问题，由全等得到AP=DP， 于是根据等底同高可得S△BPD=S△BPA，S△CPD=S△CPA，进而得到S△BPC的面积是△ABC面积的一半，问题得到解决. 2．（2024八上·瑞安期末）如图，在平行四边形中，延长到，使，连接交于点，交于点．下列结论①；②；③；④；⑤，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【规范解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴即， ∴， 又∵， ∴， 在中 ∵ ∴ ∴ ∴可得③⑤正确，对于①②④三个结论，则不一定正确. 故答案为：B. 【思路点拨】由AAS证明，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确. 3．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【规范解答】 解： ，， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：C 【思路点拨】先结合已知条件证明，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而结合题意即可求解。 4．（2023八上·德惠月考）如图，已知的面积为13，平分，且于点，则的面积是（　　） A． B． C．6 D．7 【答案】B 【规范解答】解：如图所示，延长交于D， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：B． 【思路点拨】延长交于D，根据证明得到，再根据三角形中线平分三角形面积求解即可． 二、填空题 5．（2024八上·遵义期末）如图，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在AB的延长线上，∠EDF＝120°，若BF＝9，BE＝2，则AC＝　 　． 【答案】 【规范解答】取AB的中点N，连接DN，如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC=AB，∠ACB=∠ABC=60°， ∴∠DCF=180°-60°=120°， ∵点D为AC的中点，点N为AB的中点， ∴CD=AC，DN是△ABC的中位线， ∴DN=BC，DN//BC， ∴ND=CD，∠NDC=180°-60°=120°=∠EDF，∠END=180°-60°=120°， ∴∠NDE=∠CDF，∠END=∠DCF， 在△END和△FCD中， ， ∴△END≌△FCD（ASA）， ∴DE=DF，NE=CF， ∴NE=BE+AB=CF， ∴BF=BC+CF=BC+BE， ∴BF-BE=BC， ∵BF=9，BE=2， ∴BC==AC， 故答案为：. 【思路点拨】取AB的中点N，连接DN，先利用角的运算求出∠NDE=∠CDF，∠END=∠DCF，再利用“ASA”证出△END≌△FCD可得DE=DF，NE=CF，再利用线段的和差及等量代换可得BF-BE=BC，再结合BF=9，BE=2，求出BC==AC即可. 6．（2023八上·鄂州期末）如图，等边的边长为12，点为上一点，于点，于点，连接．若．也是等边三角形，则的长　 　． 【答案】4 【规范解答】解：∵三角形ABC和三角形DEF都是等边三角形 ∴∠A=∠B=60°，DE=DF，∠EDF=60° ∵DE⊥BC，EF⊥AC ∴∠BDE=30° ∴∠ADF=90°=∠DEB ∵∠ADF=∠DEB，∠A=∠B，DE=DF ∴△ADF≌△BED（AAS） ∴BD=AF，∠AFD=30° 设AD=x，则AF=BD=12-x， ∴12-x=2x，解得x=4， ∴AD=4 故答案为：4. 【思路点拨】根据等边三角形的性质，可得∠A=∠B=60°，DE=DF，∠EDF=60°；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得BD=AF，∠AFD=30°；根据直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，列一元一次方程，即可求解. 7．（2024八上·临江期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，．若，则　 　． 【答案】6 【规范解答】解：如图，过点D作DM⊥AB，垂足为M． ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，DM⊥AB， ∴． ∵， ∴，，即． 又∵BC平分∠ABF， ∴． ∴． 在△CDE和△BDF中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵BE平分∠ABF， ∴． ∵， ∴． ∴．故答案为6． 【思路点拨】过点D作DM⊥AB，垂足为M，先利用“AAS”证出，可得，再利用线段的和差求出AC的长，利用角平分线的定义及等量代换可得，最后利用等角对等边的性质可得，从而得解. 8．（2024八上·铁西期末）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为　 　． 【答案】 【规范解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【思路点拨】先利用“ASA”证明，可得，，再利用线段的和差求出，最后求出即可。 三、解答题 9．（2023八上·禄劝期中）朵朵站在河边的A点处，观察河对面（正北方向）点B处的一颗大树，她想知道自己距离大树有多远，可身边没有测量工具，于是她运用本学期学到的知识设计了如下方案：她以相同的步子向正西方向走了50岁到达一电线杆点C处，接着继续向正西方向走了50步到达点D处，然后再向正南方向行走，当看到电线杆C，大树B与自己现在所处的位置E在同一直线上时停止，朵朵一共走了140步． （1）根据题意，画出朵朵测量方案的示意图； （2）如果朵朵一步大约，请计算朵朵A在点处时与点B处的这颗大树的距离，并说明理由． 【答案】（1）解：测量方案的示意图如图所示： （2）解：朵朵在点A处时与点B处的这颗大树的距离为，理由如下： 根据题意，得， ∵，∴， 在和中，， ∴，∴． 【思路点拨】（1）根据题意画出图形即可求出答案. （2）根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案. 10．（2023八上·武汉月考）如图是由小正方形组成的 6×6 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C 三点都是格点， 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． （1）在图 1 中，画出△ABC 的中线 AM 和高线 BN； （2）在图 2 中，点 D 是 AC 上的一个格点，在边 AB 上取一点 E，使得线段 DE 平分△ABC 的面积； （3）在图 3 中，点 P 是线段 AB 上的任意一点，在线段 AC 上取一点 Q，使得 AQ＝AP． 【答案】（1）解：如图，利用格点特点可得 △ABC 的中线 AM 和高线 BN. （2）解：如图，在边 AB 上取交格点为点E，连接DB，DE即可， 由格点可知 ， 线段DE 平分△ABC 的面积 . （3）解：在线段AB上任取一点P，连接DP， 在线段 AC 上取一点 Q， 连接BQ，如图， 由题意可得：OA垂直平分BD，AD=AB， OB=OD， OA=AO， DQ=BP， AD=AB， AQ=AP， 此时，点Q即为所求. 【思路点拨】（1）利用格点特点可得 △ABC 的中线 AM 和高线 BN，从而求解； （2）在边 AB 上取交格点为点E，连接DB，DE，利用网格特点得到，即可求解； （3）在线段AB上任取一点P，连接DP， 在线段 AC 上取一点 Q， 连接BQ，证明即可得出结论. 11．（2024八上·遵义期末）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ACB≌△BED； （2）求两堵木墙之间的距离． 【答案】（1）证明：由题意得：AB＝BD，∠ABD＝90°，AC⊥CE，DE⊥CE， ∴∠BED＝∠ACB＝90°， ∴∠BDE+∠DBE＝90°，∠DBE+∠ABC＝90°， ∴∠BDE＝∠ABC， 在△ACB和△BED中， ， ∴△ACB≌△BED（AAS）； （2）解：由题意得：AC＝5×3＝15（cm），DE＝7×5＝35（cm）， ∵△ACB≌△BED， ∴DE＝BC＝35cm，BE＝AC＝15cm， ∴DE＝DC+CE＝50（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为50cm． 【思路点拨】（1）先利用角的运算求出∠BDE＝∠ABC，再利用“AAS”证出△ACB≌△BED即可； （2）利用全等三角形的性质可得DE＝BC＝35cm，BE＝AC＝15cm，再利用线段的和差求出DE的长即可. 12．（2024八上·广水期末）在平面直角坐标系中，等腰中，，，，． （1）如图，若，求的面积； （2）如图，与轴交于点，与轴交于点，连接，，求证：； （3）如图，在的条件下，若以为直角顶点，为腰作等腰，连接，求证：． 【答案】（1）解：， ，， 解得，，， ，， ，， 的面积； （2）证明：作平分交于点， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， （3）证明：作平分交于点， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， 【思路点拨】（1）由非负性求出a、b值，即得A、B坐标，从而得出OA、OB的长，再利用三角形的面积公式计算即可； （2）作平分交于点，先用ASA证≌，得CE=AF，再用SAS证≌，利用全等三角形的对应角相等即得结论； （3）作平分交于点，先用ASA证≌，得CE=AF，再用SAS证≌，利用全等三角形的对应角相等即得结论. 13．（2024八上·寻乌期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，． （1）求证：； （2）求证：； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）证明：如图：在四边形中， ， ， ， ， ， ， 又， ． （2）证明：如图2，过点A作于点，作的延长线于点E， ，，， ，， ， 又， ， 又，， ，， ， ， ． （3）解：如图2：作轴于点. ，，， . ，. 【思路点拨】（1）从已知条件入手， ，四边形内角和是360°，故另两个内角和是180°， 可知其中一个角是90°则另一个内角也是90°，根据同角的余角相等可证； （2）求证线段相等，通常考虑证线段所在的三角形全等，观察图发现，x轴是的角平分线，根据角平分线的性质，想到过点A作AFBC于点F，作AECD的延长线于点E，得到一组等边同时制造出了三角形，角与等角（第一问的结论）的差，故相等，整理已知条件可发现两三角形符合ASA定理是全等三角形，整理思路即可； （3）用割补法求四边形面积，可分成和两个三角形，的底和高可由点坐标直接读取，面积可求；的底已知须求高，故作轴于点，都是直角三角形，在（1）和（2）的基础上，两三角形还有一组对应边相等、一组对应角相等，故直接由ASA判断全等，可得的高就是OA的长，至此四边形面积可求。 14．（2024八上·常德期末） （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为点．证明：． （2）组员小刘想，如果当直线绕点旋转到图2的位置时，具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 【答案】（1）证明：如图1中， ， ， ， ，， ， 在和中，， ． ， ， ． （2）解： （3）证明：如图3， 过作于的延长线于． 由（1）和（2）的结论可知， 在和中，， ， ， 是的中点． 【思路点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段的和差运算． （1）先利用角的运算可证明，，又知，利用可证明，再利用线段的和差运算可证明结论； （2）根据（1）的结论：可推出，再利用线段的和差运算可得出结论； （3）过作于的延长线于，据此可知．结合由（1）和（2）的结论可知，利用可证明，从推出，进而证明问题的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$