（预习篇）第八讲 用“HL（斜边、直角边）”判定三角形全等（知识梳理+五大考点讲练+中等拔高分层真题练）-2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接知识讲练精编培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第八讲 用“HL（斜边、直角边）”判定三角形全等 教学目标： 1.经历探索直角三角形全等的判定方法的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观. 2.应用恰当的方法判定两直角三角形全等. 学习重点：会用“HL”判定直角三角形全等. 学习难点：探索直角三角形全等的判定方法. 新知预习 1 知识总结 6 高频易错点拨 7 考点讲练1：用HL证明三角形全等 8 考点讲练2：全等的性质和HL的综合 9 考点讲练3：添加条件是三角形全等（三角形全等判定综合） 11 考点讲练4：灵活选用判定方法证明三角形全等 13 考点讲练5：结合尺规作图的全等问题 15 中档题真题练 17 培优题真题练 24 新知预习 【复习回顾】 【新课导入】 【思考】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ 【推进新课】 如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？ 知识点1：直角三角形全等的判定 “HL” 【探究】 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°. 再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB .把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 【画法】 （1） 画∠MC′N =90°； （2）在射线C′M上取B′C′=BC； （3） 以B′为圆心，AB为半径画弧， 交射线C′N于点A′； （4） 连接A′B′． 现象：两个直角三角形能重合． 说明：这两个直角三角形全等． 【归纳】直角三角形全等“斜边、直角边” 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （ASA） 【拓展】直角三角形中三边满足a²+b²=c²，也就是说，已知直角三角形两边，便能求第三边. 思考：HL的实质是什么？ SSS 直角三角形任意两边相等都能证全等. 典例精讲 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC =BD．求证 BC =AD． 证明：∵　AC⊥BC，BD⊥AD， ∴　∠C 和∠D 都是直角． 在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB = BA，AC = BD， ∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL） ∴BC =AD （全等三角形对应边相等） 变式训练 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由． （1） （ ）； （2） （ ）； （3） （ ）； （4） （ ）． 典例精讲 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：由题可知∠D=∠F=90° AD=AF，AC=AE ∴在Rt△ADC和Rt△AFE中， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）∴DC=FE. 又在Rt△ADB和Rt△AFB中， ∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL）， ∴DB=FB. BC=BD-DC，BE=BF-FE， ∴BC=BE. 【方法总结】 证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件. 【归纳】两个三角形全等判定思路 【课堂小结】 知识总结 知识点01：定义与理解: 定义：在直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等。这一判定条件简称为“边斜边”或HL（Hypotenuse-Leg）。 理解： HL全等条件是直角三角形特有的，它不适用于非直角三角形。 在应用HL全等条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别对应相等。 知识点02：性质与定理 性质： 全等直角三角形的对应边相等、对应角相等。 全等直角三角形的周长相等、面积相等。 HL全等条件是判定两个直角三角形全等的一种有效且简洁的方法。 定理：斜边、直角边公理（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 知识点03：应用与实例 应用：在证明两个直角三角形全等时，如果已知条件包括斜边和一条直角边分别对应相等，则可以直接应用HL全等条件进行判定。 在求解直角三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则可以利用HL全等条件得出两个直角三角形全等的结论，进而简化求解过程。 实例：假设有两个直角三角形△ABC和△DEF，其中∠C=∠F=90°，已知AC=DF（斜边对应相等）且BC=EF（一条直角边对应相等）。根据HL全等条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，并且它们的周长和面积也分别相等。 高频易错点拨 知识点01：对HL条件理解不透彻 易错点：学生可能仅从字面意思上理解HL条件，即认为只要两个直角三角形的斜边和任意一条直角边对应相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“直角边”必须是指与斜边相对应的、在直角三角形中的那一条直角边。 解析：在应用HL条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和对应的直角边分别相等。这里的“对应”二字至关重要，不能随意选择直角边进行匹配。 知识点02：忽视直角三角形的性质 易错点：在解题过程中，学生可能会忽视题目中给出的直角三角形的性质，如直角符号（∠90°）或直角边的描述，从而无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，首先要确认两个三角形都是直角三角形。这通常可以通过题目中的直角符号或直角边的描述来判断。如果忽视了这一性质，就可能导致错误的结论。 知识点03：混淆不同的判定条件 易错点：学生可能会混淆HL条件与其他三角形全等的判定条件，如“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）或“边边边”（SSS）等。 解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。HL条件仅适用于直角三角形，并且要求斜边和一条直角边对应相等。因此，在解题过程中要仔细审题，选择合适的判定条件进行应用。 知识点04：算错误或疏忽 易错点：在求解直角三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况，导致无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，通常需要求解或比较直角三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致无法得出正确的结论。因此，在解题过程中要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。 知识点05：忽视隐含条件 易错点：在有些题目中，可能会隐含地给出两个直角三角形的其他条件（如公共边、公共角等），这些条件对于判断三角形全等也是至关重要的。然而，学生可能会忽视这些隐含条件，导致无法正确应用HL条件。 解析：在解题过程中要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。如果忽视了隐含条件，就可能导致错误的结论。因此，在应用HL条件之前，要确保已经充分考虑了题目中的所有条件。 考点讲练1：用HL证明三角形全等 【典例精讲】（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【举一反三1】（21-22八年级上·河北邢台·期末）如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（　　）    A． B． C． D． 【举一反三2】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，、是的高，且，求证：    【举一反三3】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．    (1)第一种情形（如图） 在和中，，，，则根据______，得出，并写出推理过程； (2)第二种情形（如图） 在和中，（和均为钝角），，，求证：．（提示：分别过点A、点D添加一条辅助线，构造全等） 考点讲练2：全等的性质和HL的综合 【典例精讲】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作． (1)求证：； (2)求证：． 【举一反三2】（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，， (1)点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且， ①求证：： ②求的值； (2)点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且，求的值． 【举一反三3】（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点． (1)求证： (2)若，，求的长． 考点讲练3：添加条件是三角形全等（三角形全等判定综合） 【典例精讲】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【举一反三1】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）在与中，已知，，分别补充下列条件中的一个条件：；；；，其中能判定的有（     ）    A． B． C． D． 【举一反三2】（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号） 【举一反三3】（23-24八年级上·湖南郴州·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．    (1)用含的代数式表示的长度． (2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 考点讲练4：灵活选用判定方法证明三角形全等 【典例精讲】（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【举一反三1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． (2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 【举一反三2】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，设，且，以为腰作等腰三角形，．    (1)①当时，点Q的坐标为______； ②当时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）； (2)当且时，过点Q作交y轴于点F，过P作交于点D，连接．则当点P在运动过程中时，线段会有怎样的数量关系？请说明理由． 【举一反三3】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据． 已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为．    (1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图面这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（在图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 考点讲练5：结合尺规作图的全等问题 【典例精讲】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【举一反三1】（23-24八年级上·北京·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【举一反三2】（22-23七年级下·福建三明·期中）如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 【举一反三3】（21-22八年级下·河南信阳·期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF=BC； ②在线段EF的上方画∠F=∠C； ③画DE=AB； ④顺次连接相应顶点得所求三角形． (2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等； (3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______． 中档题真题练 1．（2024八上·德阳期末）如图，根据下列条件，不能说明的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（2024八上·随县期末）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（　　） A． B．6 C．9 D．12 3．（2024八上·鄞州期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（　　） A． B． C． D． 4．（2024八下·黎川期中）如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，且点E在△ABC内部，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE，②CE⊥DE，③BD=AF，④ ，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024八上·瑞安期末）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结AD，CD．则△ABC≌△ADC的依据是　 　． 6．（2023八上·朔州月考）如图，把一长一短两根细木棍的一端用绳子绑在一起，使长木棍的另一端与射线的端点B重合，固定住长木棍，把短木棍摆动，端点落在射线上的C、D两点位置时，形成的和中有，，，则与　 　（填“全等”或“不全等”）． 7．（2023八上·东安期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时旋转90°得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠BAA′的度数为　 　． 8．（2024八下·天元月考）如图，，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点在AB上，，，则　 　. 9．（2024八上·宁南期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为　 　． 10．（2024八上·开化期末）在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1），将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2），继续折叠纸片，使得点与点重合，折痕是，得到多边形（如图3）．将若干个全等的多边形交叉重叠便可得到棒棒糖的糖果部分（如图4）． （1）图1中的长为　 　． （2）图3中的长为　 　． 11．（2023八上·师宗期中）如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且AD=A'D'．求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 12．（2023八上·黄陂期中）在平面直角坐标系中，分别是轴、轴正半轴上的点，是线段上一点，连接． （1）如图1，轴于点是上一点，且； ①求证：； ②若，求证：； （2） 如图2，是的中点，连接是轴负半轴上一点，，当点在轴正半轴上运动时，点的坐标是否会发生变化，若不变，求点的坐标，若改变，求出其变化的范围． 13．（2024八上·叙州期末） （1）问题发现：如图①，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是　 　，与线段AD相等的线段是　 　． （2）拓展探究：如图②，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．求证：△ADB≌△DEC． （3）能力提升：如图③，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE=4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB=30°时，请求出CD的长度． 14．（2023八上·南昌期中） 综合与实践 问题提出 如图1，在中，AD平分，交BC于点D，且，则AB，CD，AC之间存在怎样的数量关系？并说明理由. （1）方法运用 我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题.如图2，延长AC至点E，使得，连接DE，……，请判断AB，CD，AC之间的数量关系并补充完整解题过程. （2）以上方法叫做“补短法”.我们还可以采用“截长法”，即通过在AB上截取线段构造全等三角形来解题.如图3，在线段AB上截取AF，使得① ，连接② .请补全空格，并在图3中画出辅助线. （3）延伸探究 小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题.如图4，在五边形ABCDE中，，，，若，求的度数. 培优题真题练 15．（2024八上·海曙期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 16．（2024八上·杭州期末）用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的的两边上，分别截取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分．这样画图的主要依据是（　　） A． B． C． D． 17．（2024八上·洪江期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（2024八上·从江月考）如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论： ①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE. 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2024七下·吉州月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等． 20．（2024八上·安乡县期末）如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为　 　. 21．（2024八上·合江期末）如图，在Rt△ABC中，AB = CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE，EF，下列结论：①AB：BD=2：1；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤上述结论中正确的是　 　（只填序号）． 22．（2024八上·朝阳期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）网格中△ABC的形状是 　 　． （2）在图①、图②、图③中分别确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等，图①、图②、图③中点D的位置不同，且不与点A重合． 23．（2024八上·万州期末）已知：在线段的同侧分别过A、B作，，分别在射线，上取点C、D.若，，点P是线段上的一个动点. （1）如图1，连接、，当且时，求的长； （2）如图2，点P在线段上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点Q在射线上以x个单位每秒的速度从A点开始运动，当点P到达A点时停止运动. ①连接，当时，求x的值； ②是否存在实数x的值，使得某时刻与全等？若存在，请你求出x的值；若不存在，请说明理由. 24．（2024八上·四会期末）已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证： （1）； （2）； （3）． 25．（2024八上·朝阳期末）如图，尺规作图痕迹与△ABC的边BC、AB分别交于点D、E，过点D分别作DF⊥AB于点F，DG⊥AC于点G，在边AC上取一点H，连结DE、DH，使DH＝DE． （1）求证：△DEF≌△DHG． （2）若△ADH的面积为25，△AED的面积为19，则△DEF的面积为 　 　． 26．（2024八上·宁江期末）如图，在中，，，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作，DE交线段AC于点E． （1）当时，　 　° （2）线段DC的长度为何值时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出的度数；若不可以，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年人教版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第八讲 用“HL（斜边、直角边）”判定三角形全等 教学目标： 1.经历探索直角三角形全等的判定方法的过程,感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观. 2.应用恰当的方法判定两直角三角形全等. 学习重点：会用“HL”判定直角三角形全等. 学习难点：探索直角三角形全等的判定方法. 新知预习 1 知识总结 6 高频易错点拨 7 考点讲练1：用HL证明三角形全等 8 考点讲练2：全等的性质和HL的综合 11 考点讲练3：添加条件是三角形全等（三角形全等判定综合） 16 考点讲练4：灵活选用判定方法证明三角形全等 21 考点讲练5：结合尺规作图的全等问题 28 中档题真题练 34 培优题真题练 49 新知预习 【复习回顾】 【新课导入】 【思考】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ 【推进新课】 如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？ 知识点1：直角三角形全等的判定 “HL” 【探究】 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°. 再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB .把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 【画法】 （1） 画∠MC′N =90°； （2）在射线C′M上取B′C′=BC； （3） 以B′为圆心，AB为半径画弧， 交射线C′N于点A′； （4） 连接A′B′． 现象：两个直角三角形能重合． 说明：这两个直角三角形全等． 【归纳】直角三角形全等“斜边、直角边” 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL” ） 几何语言：在△ABC 与 △ A′B′C′中， ∴△ABC ≌△A′B′C′ （ASA） 【拓展】直角三角形中三边满足a²+b²=c²，也就是说，已知直角三角形两边，便能求第三边. 思考：HL的实质是什么？ SSS 直角三角形任意两边相等都能证全等. 典例精讲 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC =BD．求证 BC =AD． 证明：∵　AC⊥BC，BD⊥AD， ∴　∠C 和∠D 都是直角． 在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB = BA，AC = BD， ∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL） ∴BC =AD （全等三角形对应边相等） 变式训练 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由． （1） AD = BC （ HL ）； （2） AC = BD （ HL ）； （3） ∠DAB = ∠CBA （ AAS ）； （4） ∠DBA = ∠CAB （ AAS ）． 典例精讲 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：由题可知∠D=∠F=90° AD=AF，AC=AE ∴在Rt△ADC和Rt△AFE中， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）∴DC=FE. 又在Rt△ADB和Rt△AFB中， ∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL）， ∴DB=FB. BC=BD-DC，BE=BF-FE， ∴BC=BE. 【方法总结】 证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件. 【归纳】两个三角形全等判定思路 【课堂小结】 知识总结 知识点01：定义与理解: 定义：在直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等。这一判定条件简称为“边斜边”或HL（Hypotenuse-Leg）。 理解： HL全等条件是直角三角形特有的，它不适用于非直角三角形。 在应用HL全等条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和一条直角边分别对应相等。 知识点02：性质与定理 性质： 全等直角三角形的对应边相等、对应角相等。 全等直角三角形的周长相等、面积相等。 HL全等条件是判定两个直角三角形全等的一种有效且简洁的方法。 定理：斜边、直角边公理（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 知识点03：应用与实例 应用：在证明两个直角三角形全等时，如果已知条件包括斜边和一条直角边分别对应相等，则可以直接应用HL全等条件进行判定。 在求解直角三角形相关问题（如边长、角度、面积等）时，如果可以通过其他方式得到两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则可以利用HL全等条件得出两个直角三角形全等的结论，进而简化求解过程。 实例：假设有两个直角三角形△ABC和△DEF，其中∠C=∠F=90°，已知AC=DF（斜边对应相等）且BC=EF（一条直角边对应相等）。根据HL全等条件，我们可以直接判定△ABC≌△DEF。因此，它们的对应角也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，并且它们的周长和面积也分别相等。 高频易错点拨 知识点01：对HL条件理解不透彻 易错点：学生可能仅从字面意思上理解HL条件，即认为只要两个直角三角形的斜边和任意一条直角边对应相等，这两个三角形就一定全等。但实际上，这里的“直角边”必须是指与斜边相对应的、在直角三角形中的那一条直角边。 解析：在应用HL条件时，必须明确两个三角形都是直角三角形，并且斜边和对应的直角边分别相等。这里的“对应”二字至关重要，不能随意选择直角边进行匹配。 知识点02：忽视直角三角形的性质 易错点：在解题过程中，学生可能会忽视题目中给出的直角三角形的性质，如直角符号（∠90°）或直角边的描述，从而无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，首先要确认两个三角形都是直角三角形。这通常可以通过题目中的直角符号或直角边的描述来判断。如果忽视了这一性质，就可能导致错误的结论。 知识点03：混淆不同的判定条件 易错点：学生可能会混淆HL条件与其他三角形全等的判定条件，如“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）或“边边边”（SSS）等。 解析：虽然这些判定条件都用于判断三角形是否全等，但它们各自的要求和适用范围是不同的。HL条件仅适用于直角三角形，并且要求斜边和一条直角边对应相等。因此，在解题过程中要仔细审题，选择合适的判定条件进行应用。 知识点04：算错误或疏忽 易错点：在求解直角三角形边长或进行边长比较时，学生可能会出现计算错误或疏忽的情况，导致无法正确应用HL条件。 解析：在应用HL条件之前，通常需要求解或比较直角三角形的边长。如果在这个过程中出现计算错误或疏忽（如笔误、计算步骤遗漏等），就可能导致无法得出正确的结论。因此，在解题过程中要仔细进行每一步的计算和比较，确保结果的准确性。 知识点05：忽视隐含条件 易错点：在有些题目中，可能会隐含地给出两个直角三角形的其他条件（如公共边、公共角等），这些条件对于判断三角形全等也是至关重要的。然而，学生可能会忽视这些隐含条件，导致无法正确应用HL条件。 解析：在解题过程中要仔细审题，找出所有可能的条件，并综合考虑它们之间的关系。如果忽视了隐含条件，就可能导致错误的结论。因此，在应用HL条件之前，要确保已经充分考虑了题目中的所有条件。 考点讲练1：用HL证明三角形全等 【典例精讲】（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题． 先根据，判断出． 【规范解答】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在和中， ， ， 故选：D 【举一反三1】（21-22八年级上·河北邢台·期末）如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】由图示可知为公共边，若想用判定证明和全等，必须添加． 【规范解答】解：∵，， ∴， .，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意； .，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； .，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； .，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【举一反三2】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，、是的高，且，求证：    【答案】见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的定理，由题意可知和是直角三角形，结合及公共边利用证明三角形全等是解决问题的关键． 【规范解答】证明：∵、是的高， ∴， 在和中，， ∴． 【举一反三3】（23-24八年级上·河南驻马店·期中）学习了全等三角形的判定方法后，我们知道“已知两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等”，但下列两种情形还是成立的．    (1)第一种情形（如图） 在和中，，，，则根据______，得出，并写出推理过程； (2)第二种情形（如图） 在和中，（和均为钝角），，，求证：．（提示：分别过点A、点D添加一条辅助线，构造全等） 【答案】(1)（斜边直角边），理由见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定． （1）“”定理只能用来证明两个直角三角形全等； （2）通过证明可得到中的一组直角边相等，再证明，推出，可得结论． 【规范解答】（1）解：（斜边直角边），推理过程如下： ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）证明：如图，过A作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，   ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ． 考点讲练2：全等的性质和HL的综合 【典例精讲】（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【规范解答】∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三1】（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路点拨】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）证明，即可得到结论； （2）先证明，再证明即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三2】（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，， (1)点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且， ①求证：： ②求的值； (2)点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． （1）①过点P作轴于E，作轴于F，根据点P的坐标可得，然后利用“HL”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再根据垂直的定义证明； ②根据全等三角形对应边相等可得，再表示出、，然后列出方程整理即可得解； （2）根据全等三角形对应边相等可得，再表示出、，然后列出方程整理即可得解． 【规范解答】（1）①证明：如图，过点P作轴于E，作轴于F， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点P作轴于E，作轴于F， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三3】（22-23八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键． （1）先证明，即有，结合，即可得； （2）由（1），，进而可得，根据，可得，即可得，则可求． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴和是直角三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为1． 考点讲练3：添加条件是三角形全等（三角形全等判定综合） 【典例精讲】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可． 【规范解答】解：A、∵， ∴， 又∵， ∴，故A选项不符合题意； B、 ∵，，，不能根据判定两三角形全等，故B选项符合题意； C、∵，， 又， ∴，故C选项不符合题意；     D、 ∵， ∴， 又∵，， ∴，故D选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】（23-24八年级上·河南洛阳·期末）在与中，已知，，分别补充下列条件中的一个条件：；；；，其中能判定的有（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，是解题的关键． 【规范解答】添加，根据能推出，符合题意； 添加，根据能推出，符合题意； 添加，根据能推出，符合题意； 添加，根据，，不能推出，不符合题意； 综上，能判定的有， 故选：． 【举一反三2】（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查全等图形的判断，三角形全等的判定，根据两个完全重合的图形叫全等图形，结合三角形全等直接逐个判断即可得到答案 【规范解答】解：连接， ∵，，， ∴， ∴，， 当时， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴形四边形， ∴①符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴②符合题意， 当时，不能得到， 故③不符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴④符合题意， 故答案为：①②④． 【举一反三3】（23-24八年级上·湖南郴州·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．    (1)用含的代数式表示的长度． (2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)当时，能够使与全等 【思路点拨】此题主要考查了动点问题和全等三角形的判定， （1）直接根据时间和速度表示的长； （2）根据证明即可； （3）因为点的运动速度不相等，所以，那么只能与相等，则，得，解出即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 则； （2）解：，理由如下： 当时，由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴； （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， 当与全等，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，能够使与全等． 考点讲练4：灵活选用判定方法证明三角形全等 【典例精讲】（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【答案】见解析 【思路点拨】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； ①根据垂线的知识可得，在结合证明，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接，根据直角三角形的，证明，即可得出结论；③连接，证明，可得，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接，证明，得，，在利用证明，得出结论． 【规范解答】小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又，， ， ， ．    方法4：连接，    ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 【举一反三1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）在中，是的中点． (1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． (2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）运用证明即可解题； （2）如图，过点作交延长线于点，连接．推导，即可得到结论． 【规范解答】（1）是的中点， ． ， ， ， ． （2）如图，过点作交延长线于点，连接． 由（1）知． ． ， ， ． 在中，， ． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的不等关系，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【举一反三2】（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，设，且，以为腰作等腰三角形，．    (1)①当时，点Q的坐标为______； ②当时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）； (2)当且时，过点Q作交y轴于点F，过P作交于点D，连接．则当点P在运动过程中时，线段会有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①  ② (2)，理由见解析 【思路点拨】（1）①根据，点Q在第二象限，写出点Q的坐标；②过点作于点，则有，求出点Q的坐标； （2）在上截取，连接，则有，即可得到，，然后证明，可以得到结论． 【规范解答】（1）①当时，点在原点处，如图， ， 又∵点Q在第二象限， ∴点Q的坐标为， 故答案为：；    ②过点作于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为；    （2），理由为：    在上截取，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【举一反三3】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据． 已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为．    (1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图面这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（在图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 【答案】(1)见解析 (2)可以，见解析 (3)4个，见解析 【思路点拨】（1）根据题意画图，让内角的两边为1cm和2cm； （2）根据题意画图，让内角的一边为1cm，对边为2cm； （3）根据题意画图，让内角的两边分别为3cm，4cm；让内角的一边分别为3cm，对边为4cm；让内角的一边分别为4cm，对边为3cm，为锐角三角形；让内角的一边分别为4cm，对边为3cm，为钝角三角形； 【规范解答】（1）解：如图①，    （2）解：如图②，    （3）解：彼此不全等的三角形共有4个，      【考点评析】本题考查全等三角形，理解全等三角形四种判定方法中的边角组和方式是解题的关键． 考点讲练5：结合尺规作图的全等问题 【典例精讲】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【思路点拨】（）根据网格线的特点及轴对称的性质作图； （）根据网格线的特点及旋转的性质作图； （）根据网格线的特点及平移的性质作图； 此题考查了作图的应用，掌握网格线的特点及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】（1）如图： ∴即为所求； （2）如图： ∴即为所求； （3）如图： ∴即为所求． 【举一反三1】（23-24八年级上·北京·期中）已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为．    (1)请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【思路点拨】（1）在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形； （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，也得符合条件的三角形； （3）分情况考虑即可：角可以是已知两边的夹角，也可以是其中一边的对角． 【规范解答】（1）作一个角等于已知角，然后在角的两边上分别以顶点为圆心截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形， 如图1所示；    （2）能，可在角的一边上以顶点为圆心截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件， 如图2所示；    （3）角是边长为3cm与4cm两边的夹角， 如图3所示的；    角是4cm边的对角，如图4所示的两个三角形：及；角是3cm边的对角，如图5中的，故共有4个这样的三角形满足条件． 故答案为：4． 【考点评析】本题是一道开放性的探索题，也考查了尺规作图，在已知两边与一角的情况下，所作的三角形不唯一，注意不同的情况所作的三角形个数不同． 【举一反三2】（22-23七年级下·福建三明·期中）如图，中，，，，，．    (1)①说明； ②小明在观察图形中感觉似乎与垂直，为了验证自己的猜想，他延长与交于点，用量角器度量了，测得它几乎就是，显然测量是会出现误差的，请聪明的你用所学的几何知识说明小明的猜想是正确的． (2)用尺规作图在原图外部取点，使，并请说明：点，，这三个点在同一直线上． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)图见解析，见解析 【思路点拨】（1）由，，可得，即得，即可证明；延长，交于点，由，，可得，故，由知，可得，因，即可证明； （2）根据作一个角等于已知角的步骤即可，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知点，，这三个点在同一直线上． 【规范解答】（1）解：①∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ②理由：分别延长，交于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． （2）解：①以E为圆心，任意长为半径画弧交于M，交于N，②以B为圆心，的长为半径画弧交于K，③以K为圆心，的长为半径画弧，交前弧于G，④作射线，则即为所求；    ∵， ∴， 由（1）②知，， ∴过B的直线都与平行， ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，这三个点在同一直线上． 【考点评析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质, 平行线的判定与性质，尺规作图等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 【举一反三3】（21-22八年级下·河南信阳·期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）． (1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）： ①画EF=BC； ②在线段EF的上方画∠F=∠C； ③画DE=AB； ④顺次连接相应顶点得所求三角形． (2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等； (3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______． 【答案】(1)见解析 (2)2，； (3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等 【思路点拨】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）根据所画图形填空即可； （3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论． 【规范解答】（1）解：如图所示： （2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形（填三角形的名称）与△ABC明显不全等， 故答案为：2，； （3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等， 故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等． 【考点评析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键． 中档题真题练 1．（2024八上·德阳期末）如图，根据下列条件，不能说明的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 2．（2024八上·随县期末）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（　　） A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 3．（2024八上·鄞州期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 4．（2024八下·黎川期中）如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，且点E在△ABC内部，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE，②CE⊥DE，③BD=AF，④ ，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【规范解答】解：∵AD为 ABC的高线， ∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°， ∵Rt ABE是等腰直角三角形， ∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE， ∴∠CBE+∠BAD=45°， ∴∠DAE=∠CBE， 在 DAE和 CBE中， ∴ ADE≌ BCE（SAS）； 故①正确； ②∵ ADE≌ BCE， ∴∠EDA=∠ECB， ∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠ECB=90°， ∴∠DEC=90°， ∴CE⊥DE； 故②正确； ③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD， ∴∠BDE=∠AFE， ∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°， ∴∠BED=∠AEF， 在 AEF和 BED中， ∴ AEF≌ BED（AAS）， ∴BD=AF； 故③正确； ④∵AD=BC，BD=AF， ∴CD=DF， ∵AD⊥BC， ∴ FDC是等腰直角三角形， ∵DE⊥CE， ∴EF=CE， ∴S△AEF=S△ACE， ∵ AEF≌ BED， ∴S△AEF=S△BED， ∴S△BDE=S△ACE. 故④正确； 综上①②③④都正确， 故答案为：D. 【思路点拨】 ①由题意易证∠CBE＝∠DAE，用边角边即可证△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC＝∠DEB，即可求得∠AED＝∠BEG，即可求解；③证明△AEF≌△BED即可求解；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE＝EF，S△AEF＝S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE＝S△ACE，所以S△BDE＝S△ACE． 5．（2024八上·瑞安期末）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结AD，CD．则△ABC≌△ADC的依据是　 　． 【答案】SSS 【规范解答】解：由作图可知：AB=AD，CD=CB， ∵在△ABC和△ADC中 ∴△ABC≌△ADC（SSS）， 故答案为：SSS． 【思路点拨】根据作图过程得出AB=AD，CD=CB，又AC=AC，从而利用SSS判断出△ABC≌△ADC 。 6．（2023八上·朔州月考）如图，把一长一短两根细木棍的一端用绳子绑在一起，使长木棍的另一端与射线的端点B重合，固定住长木棍，把短木棍摆动，端点落在射线上的C、D两点位置时，形成的和中有，，，则与　 　（填“全等”或“不全等”）． 【答案】不全等 【规范解答】 在与 中有OB=OB，OC=OD，∠OBD=∠DBO，不能得到与 全等， 故答案为：不全等. 【思路点拨】根据两边及一边的对角不能判定两个三角形一定全等，即可求解. 7．（2023八上·东安期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时旋转90°得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠BAA′的度数为　 　． 【答案】70° 【规范解答】解：由题意得，CA=CA'，∠ACA'=90°，三角形ACA'为等腰直角三角形，∠CAA'=∠CA'A=45°，∵∠1=20°，∴∠B'A'C=25°，由旋转可知，∴∠B'A'C=∠BAC=25°，∴∠BAA'=∠BAC+∠CAA'=25°+45°=70°。 故答案为：70°. 【思路点拨】利用旋转条件和特点，得到三角形ACA'为等腰直角三角形，，可求出∠CAA'=∠CA'A=45°，∠B'A'C=∠BAC，继而求出∠BAA'的度数。 8．（2024八下·天元月考）如图，，点A，D，B，C分别在直线MN与PQ上，点在AB上，，，则　 　. 【答案】7 【规范解答】解：∵MN//PQ，AB⊥PQ， ∴∠DAE＝∠EBC=90°， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）， ∴AE＝BC， ∵AD＋BC＝7， ∴AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7. 故答案为：7. 【思路点拨】先利用HL证出Rt△ADE≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得AE＝BC，进而根据线段的和差及等量代换即可求出AB的值. 9．（2024八上·宁南期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为　 　． 【答案】 10．（2024八上·开化期末）在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1），将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2），继续折叠纸片，使得点与点重合，折痕是，得到多边形（如图3）．将若干个全等的多边形交叉重叠便可得到棒棒糖的糖果部分（如图4）． （1）图1中的长为　 　． （2）图3中的长为　 　． 【答案】（1）3 （2） 【规范解答】解：（1）∵在直角三角形纸片中，， ∴AB=， 如图1，设CD=x，则C´D=x，BD=BC-CD=8-x， 由折叠的性质可得：AC´=AC=6，BC´=AB-AC´=10-6=4， 在Rt△C´BD中，C´D2+C´B2=BD2，即：x2+42=(8-x)2， 解得：x=3， ∴CD=x=3. 故答案为：3. （2）由折叠可得：∠CAD=∠C´AD，∠AFE=∠DFE， ∴FA=FD，EA=ED， 在图2中，设AD、EF相交于点O，由折叠得：AD⊥EF， ∴∠AOF=∠AOE， ∵OA=OA， ∴△OAE≌△OAF， ∴AF=AE， ∴ED=AE=AF， 设AE=y，则DE=AF=y， 在Rt△CDE中，CE2+CD2=ED2，即：(6-y)2+32=y2， 解得：y==AF， 在图3中，∵∠BFD=180°-2∠AFE=∠BAC， ∴FD∥AC， ∴FD⊥BC， 在Rt△BFD中，GD=GB， ∴∠GDB=∠B， ∴∠BFD=90°-∠B，∠FDG=90°-∠GDB， ∴∠BFD=∠FDG， ∴GD=GF=GB=BF， ∵AF=， ∴FG=FB=（AB-BF）=（10-）=. 故答案为：. 【思路点拨】（1）由题意，先用勾股定理求出AB的值，设CD=x，则C´D=x，BD=BC-CD=8-x，在Rt△C´BD中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解； （2）设AD、EF相交于点O，由折叠得：AD⊥EF，由题意易证△OAE≌△OAF，则AF=AE，设AE=y，则DE=AF=y，在Rt△CDE中，用勾股定理可得关于y的方程，解方程求出y=AF的值，结合已知易证GD=GF=GB=BF，并结合线段的构成FG=FB=（AB-BF）可求解. 11．（2023八上·师宗期中）如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C'，AD与A'D'分别为BC，B'C'边上的中线，且AD=A'D'．求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 【答案】证明：证明：在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中，， ∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'（HL）， ∴CD＝C'D'， ∵AD与A'D'分别为 Rt△ABC和Rt△A'B'C' 的BC，B'C'边上的中线， ∴BC=2AD，B'C'=2 A'D' ， ∴CB＝C'B'， 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（SAS）． 【思路点拨】先利用HL证明 Rt△ACD≌Rt△A'C'D'得到CD＝C'D'， 再利用直角三角形斜边中线性质定理得到 CB＝C'B'， 从而利用SAS证明 Rt△ABC≌Rt△A'B'C'． 12．（2023八上·黄陂期中）在平面直角坐标系中，分别是轴、轴正半轴上的点，是线段上一点，连接． （1）如图1，轴于点是上一点，且； ①求证：； ②若，求证：； （2）如图2，是的中点，连接是轴负半轴上一点，，当点在轴正半轴上运动时，点的坐标是否会发生变化，若不变，求点的坐标，若改变，求出其变化的范围． 【答案】（1）解：①证明：由题可得：， ， ， 又， ； ②延长交轴于点，过点作，交的延长线于点， 由①得， ， ， ， ， ， ， ∴， 在和中， ∴ ； （2）解：不变，点的坐标为． 理由：延长到点，使，连接，过点作轴于点， ∵G是的中点， 在和中， ， ， ， ， 和， ， ， ， ， ，即． 【思路点拨】（1）①根据等量代换原则，可得∠DBO=∠CBA； ②根据等腰三角形的判定和性质，可得BD=BE；根据等量代原则，可得BD+BC=CE，∠PBO=∠ECF，EF=OP；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得PB=CE； （2）根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得PH=AB，∠BAG=∠PHG；根据矩形的判定和性质，可得HN=PO根据三角形全等的判定（HL）和性质，可得OM=NA； 根据等量关系列代数式，即可求出点M的坐标.​​​​​​​ 13．（2024八上·叙州期末） （1）问题发现：如图①，把一块三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D=∠E=90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是　 　，与线段AD相等的线段是　 　． （2）拓展探究：如图②，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．求证：△ADB≌△DEC． （3）能力提升：如图③，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE=4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB=30°时，请求出CD的长度． 【答案】（1）； （2）证明：，， ， 在和中， （3）解：如图，过B作BMI EF交DF于点M， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【规范解答】解：（1）， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：；； 【思路点拨】（1）先根据题意进行角的运算得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解； （2）先进行角的运算得到，进而根据三角形全等的判定即可求解； （3）过B作BMI EF交DF于点M，根据等边三角形的性质得到，进而结合平行线的性质进行角的运算得到，再证明即可得到，从而进行线段的运算即可求解。 14．（2023八上·南昌期中） 综合与实践 问题提出 如图1，在中，AD平分，交BC于点D，且，则AB，CD，AC之间存在怎样的数量关系？并说明理由. （1）方法运用 我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题.如图2，延长AC至点E，使得，连接DE，……，请判断AB，CD，AC之间的数量关系并补充完整解题过程. （2）以上方法叫做“补短法”.我们还可以采用“截长法”，即通过在AB上截取线段构造全等三角形来解题.如图3，在线段AB上截取AF，使得① ▲ ，连接② ▲ .请补全空格，并在图3中画出辅助线. （3）延伸探究 小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题.如图4，在五边形ABCDE中，，，，若，求的度数. 【答案】（1）解： 理由：∵AD平分，∴. 又∵，， ∴，∴ ∵，∴. 又∵， ∴，∴. ∵，∴. （2）解：①AC ②DF. 辅助线如图1所示： （3）解：如图2，延长BA至点G，使，连接BE，GE. ∵，， ∴. ∵，，， ∴， ∴，. ∵， ∴. 又∵，， ∴， ∴ 又∵， ∴. 【思路点拨】（1）根据已知证明 ，得到∠E=∠B，再由 ，即可得出CD=CE，即可得解。 （2）由题意即可轻松判断。 （3） 延长BA至点G，使 ，可证 ，进而可求BG=BC，再证明 ，最后通过转换即可求出∠BCE的度数。 培优题真题练 15．（2024八上·海曙期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交点O，作射线AO，交BC于点E.已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【规范解答】解：过点E作ED⊥AB于点D， 由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线， ∵EC⊥AC，ED⊥AB， ∴EC=ED=3， 在Rt△ACE和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL）， ∴AC=AD， ∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5， ∴BD=4， 设AC=x，则AB=4+x， 故在Rt△ACB中， AC2+BC2=AB2， 即x2+82=（x+4）2， 解得：x=6， 即AC的长为：6. 故答案为：C. 【思路点拨】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，由角平分线的性质可得EC=ED=3，利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ADE，得到AC=AD，由勾股定理可得BD=4，设AC=x，则AB=4+x， 然后在Rt△ACB中，利用勾股定理计算即可. 16．（2024八上·杭州期末）用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的的两边上，分别截取，再分别过点、作、的垂线，交点为，画射线，则平分．这样画图的主要依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：∵OM=ON，OP=OP ∴( ) ∴∠AOP=∠BOP 故答案为：D. 【思路点拨】根据直角三角形的斜边和直角边对应相等的两个三角形全等判断 17．（2024八上·洪江期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 18．（2024八上·从江月考）如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论： ①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠EDF；④AB+AC=2AE. 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【规范解答】AD平分∠BAC，DE⊥AB ， DF⊥AC ， DE=DF， 故①正确，符合题意； ∠BAC=60°， AD平分∠BAC， DE⊥AB ， DF⊥AC ， ， 故 ② 正确，符合题意； 由题意可得 设DM平分∠EDF，则可得∠ADM=30°，∠EDM=60°， ∠E=∠BMD=90°， ∠EBM=120°， ∠ABC=60°， 由于不知道∠ABC是否为60°， 不能判定DM平分∠EDF，故③ 错误，不符合题意； 连接BD、DC，如图， DM垂直平分BC， BD=CB， DE=FD， BE=FC， AB+AC=AE-BE+AF+FC， 又AE=AF，BE=FC， AB+AC=2AE， 故④ 正确，符合题意； 故答案为：C. 【思路点拨】利用角平分线的性质可判断①正确，符合题意；由题意结合已知条件可得从而得到，可判断② 正确，符合题意；设DM平分∠EDF，则可得∠ADM=30°，∠EDM=60°，可得∠ABC=60°，但由于条件不足可判断③ 错误，不符合题意；利用HL证明可得BE=FC，从而判断④ 正确，符合题意； 19．（2024七下·吉州月考）如图，在 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点．如果点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等． 【答案】4或6 【规范解答】解：当BD＝CP时，△BPD≌△CQP， ∵D为AB的中点， ∴BD＝ AB＝12cm， ∵BD＝CP， ∴BP＝BC－CP＝16－12＝4cm， ∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动， ∴运动时间为1s， ∵△BPD≌△CQP， ∴BP＝CQ＝4cm， ∴点 的运动速度为x＝4÷1＝4（cm/s）； 当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP， ∵BD＝ AB＝12cm，PB＝PC， ∴CQ＝BD＝12cm， ∵BC＝16cm， ∴BP＝8cm， ∵点 在线段 上以4厘米/秒的速度由 点向 点运动， ∴运动时间为8÷4＝2（s）， ∴点 的运动速度为x＝12÷2＝6（cm/s）． 故答案为：4或6． 【思路点拨】由于∠B=∠C=60°，若△BPD与△CQP全等，分两种情况：①当BD＝CP时，△BPD≌△CQP，②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，据此分别求出BP的长，然后根据速度=路程÷时间解答即可. 20．（2024八上·安乡县期末）如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为　 　. 【答案】1 【规范解答】解：过点P作PF∥BC交AC于点F ∵△ABC是等边三角形 ∴△APF也是等边三角形 ∴PA=PF ∵PA=CQ ∴PF=CQ ∵PE⊥AC ∴EF=AF ∵PF∥BC ∴∠PFD=∠DCQ 在△PFD和△QCD中 ∠PFD=∠DCQ，∠PDF=∠CDF，PF=CQ ∴△PFD≌△QCD ∴FD=DC=FC ∴DE=EF+FD=AF+FC=AC=1 故答案为：1 【思路点拨】先过点P作PF∥BC交AC于点F，可得△APF是等边三角形，根据等腰三角形三线合一可得EF=AF，根据PF∥BC可证△PFD≌△QCD，由此可得FD=FC，进而可得DE=AC，最后计算即可. 21．（2024八上·合江期末）如图，在Rt△ABC中，AB = CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE，EF，下列结论：①AB：BD=2：1；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤上述结论中正确的是　 　（只填序号）． 【答案】②④⑤ 【规范解答】解：，，， ，， 把折叠，使落在上，点与上的点重合， ， ，，， ， ， ， ，故①错误， 在和中， ， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 图中共有4对全等三角形，故②正确； ， ， ， ， 将沿折叠，则点一定落在上，故③错误； ，， ， ，故④正确； 连接， ， ， ， ， ， ， ，故⑤正确. 故答案为：②④⑤. 【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质可得AO=CO=BO，∠ABO=∠BAO=∠C=∠CBO=45°，由折叠的性质可得∠ABD=∠AED，BD=DE，AB=AE，进而得到DE=EC，CD=BD，然后根据AB=BC=BD+CD可判断①；根据全等三角形的判定定理可判断②；由全等三角形的性质可得∠FBD=∠FED=45°，易得∠AEF=∠DEF，据此判断③；根据等角的余角相等可得∠ADB=∠AFO=∠BFD，则BF=BD，据此判断④；连接CF，根据三角形的面积公式可得S△AFO=S△CFO，S△EFO=S△EFC，推出S四边形OEDF=S△CFO，据此判断⑤. 22．（2024八上·朝阳期末）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）网格中△ABC的形状是 　 　． （2）在图①、图②、图③中分别确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等，图①、图②、图③中点D的位置不同，且不与点A重合． 【答案】（1）直角三角形 （2）解：如图所示： 【规范解答】解：（1）∵AB2=5，AC2=20，BC2=25， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角三角形. 【思路点拨】（1）利用勾股定理的逆定理分析求解即可； （2）利用全等三角形的判定方法及作图方法分析求解即可. 23．（2024八上·万州期末）已知：在线段的同侧分别过A、B作，，分别在射线，上取点C、D.若，，点P是线段上的一个动点. （1）如图1，连接、，当且时，求的长； （2）如图2，点P在线段上以2个单位每秒的速度从点B向点A运动，同时点Q在射线上以x个单位每秒的速度从A点开始运动，当点P到达A点时停止运动. ①连接，当时，求x的值； ②是否存在实数x的值，使得某时刻与全等？若存在，请你求出x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ， ∴； ②∵， ∴或， 若， 则， ， ； 若， 则，， ∴； 综上：存在实数或，使得与全等. 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质. （1）先利用角的运算可求出，结合已知条件可证明，由全等三角形的性质可求出 ，由勾股定理可得：，代入数据可求出答案； （2）①由等腰直角三角形性质可求出，据此可求出； ②分两种情况：若；若，由全等三角形的性质可求出对应的边的长度，据此可求出答案. 24．（2024八上·四会期末）已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）解：为的角平分线， ， 在与中， ， （2）解：， ， ，， ， ，， 和为等腰三角形， ， ， ， （3）解：如图，过点作交的延长线于点， 平分，，， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 【思路点拨】(1)根据角平分线的定义可得，然后由全等三角形的判定可得答案； （2）由（1）得，可得，进而可得和为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得； （2）过点作交的延长线于点，根据全等三角形的判定可得，，从而得到，，由，等量代换可得结论. 25．（2024八上·朝阳期末）如图，尺规作图痕迹与△ABC的边BC、AB分别交于点D、E，过点D分别作DF⊥AB于点F，DG⊥AC于点G，在边AC上取一点H，连结DE、DH，使DH＝DE． （1）求证：△DEF≌△DHG． （2）若△ADH的面积为25，△AED的面积为19，则△DEF的面积为 　 　． 【答案】（1）证明：由作图痕迹可知，AD平分∠BAC， ∵DF⊥AB，DG⊥AC， ∴DF＝DG，∠DFE＝∠DGH＝90°， ∵DE＝DH， ∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL）． （2）3 【规范解答】解：（2）根据（1）可得：DF=DG，∠DFA=∠DGA=90°， ∵AD=AD， ∴Rt△ADF≌Rt△ADG（HL）， ∴S△ADF=S△ADG， ∵Rt△DEF≌Rt△DHG， ∴S△DEF=S△DHG， ∵S△ADH=25， ∴S△ADG+S△DHG=S△ADF+S△DEF=S△ADE+2S△DEF=25， ∵S△AED=19， ∴2S△DEF=6， ∴S△DEF=3， 故答案为：3. 【思路点拨】（1）利用角平分线的性质可得DF＝DG，再结合DE=DH，利用“HL”证出Rt△DEF≌Rt△DHG即可； （2）先利用全等三角形的性质可得S△DEF=S△DHG，S△ADF=S△ADG，再结合S△ADH=25，可得S△ADG+S△DHG=S△ADF+S△DEF=S△ADE+2S△DEF=25，再结合S△AED=19，求出S△DEF=3即可. 26．（2024八上·宁江期末）如图，在中，，，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作，DE交线段AC于点E． （1）当时，　 　° （2）线段DC的长度为何值时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）25 （2）解：当时，，理由如下： ∵，，∴． ∵，∴， ∴． ∵，∴， ∴， ∴． （3）解：的形状可以是等腰三角形． 当时，， ∴； 当时，， ∴， 此时，点D与点B重合，不合题意； 当时，， ∴． 综上，当的度数为：110°或80°时，的形状是等腰三角形． 【规范解答】解：（1）∵， ∵， 故答案为：25； 【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理结合题意进行计算即可求解； （2）先根据等腰三角形的性质得到，进而结合题意证明，从而运用三角形全等的判定即可求解； （3）根据等腰三角形分类讨论：当时，，当时，，当时，，进而即可求解。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$