2.5.2向量数量积的坐标表示（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第二章《平面向量及其应用》 2.5.2向量的数量积的坐标表示（教学设计） 【教学目标】 1．了解向量的数量积的坐标表示的推导过程，掌握向量的数量积的坐标表示；（数学抽象） 2．掌握两点间的距离公式、两个向量的夹角公式的坐标表示（数学运算） 【教学重点】 平面向量的数量积的坐标表示 【教学难点】 向量的数量积的坐标表示的应用 【教学过程】 一、实例分析，提出问题 平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线也可以用坐标表示，学习了平面向量的数量积之后，数量积是否也能坐标表示出来呢？平面向量的模和夹角是否也可以用坐标表示出来呢？ 问题1：平面向量的数量积能否用坐标表示出来？ 问题2：已知非零向量，，怎么用，的坐标表示出呢？ 如图，在平面直角坐标系中，设，分别是x轴和y轴方向上的单位向量，则=(x1 +y1 )·(x2 +y2 )= x1 x2 · + x1 y2 ·+x2 y1 ·+ y1 y2 ·. 因为· =·=1， ·=·=0，所以= x1 x2 + y1 y2 你能用文字语言描述出上面公式的特征吗？ 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 问题3：你能够推导出两点间的距离公式和夹角公式？ (1)设= (x，y) ，则||2=x2+y2，或||=. 如果表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么 = (x2-x1， y2 - y1) ,||=||= (2)设=(x1，y1)，与=(x2，y2)， 与的夹角为θ，则=||||cosθ = x1 x2 + y1 y2 cosθ = (||||≠0) 问题4：如何用向量的坐标表示出向量垂直的位置关系呢？ 二、抽象概括，得出概念 1.向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，则= x1 x2 + y1 y2 2.向量的模的坐标公式 (1)设= (x，y) ，则||2=x2+y2，或||=. 3.两点间的距离公式的坐标表示 如果表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么 = (x2-x1， y2 - y1) ,||=||= 4.向量夹角的坐标表示 设=(x1，y1)，与=(x2，y2)， 与的夹角为θ，则=||||cosθ = x1 x2 + y1 y2 cosθ = (||||≠0) 5.向量垂直的坐标表示 已知非零向量，，则 【概念辨析】 一、判断题 1．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”． (1)向量的模等于向量坐标的平方和．( ) (2)若向量，则.( ) (3)若两个非零向量的夹角满足，则两向量的夹角一定是锐角．( ) 【详解】（1）向量的模等于向量坐标的平方和的开方，故（1）错误； （2）若向量，则，故（2）错误； （3）若两个非零向量的夹角，满足时，，故（3）错误； 故答案为：错误，错误，错误 三、典例剖析，理解概念 课本P110例3 例3 已知，求向量与的夹角的余弦值. 解：设向量与的夹角为，则. 利用向量求点到直线的距离 课本P110例4 (1)已知定点和向量，点是直线外一点，请写出点到直线的 距离的向量表示. 解：如图，设⊥，作向量，则表示向量在向量上的投影数量，是点到直线的距离. 这也是向量法求点到直线的距离公式. (2)已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，求点到直线l的距离. 解：如图，设，即作向量， 设，由于直线的方向向量=(2,1), 又，则， 即，令，得，， 由于，于是， 由(1)知，点到直线的距离. 【当堂训练】 课本P111练习第1、2题 四、迁移应用，掌握概念 1．在△ABC中，已知，，，，点N是AC的中点，AM，BN相交于点P. (1)求线段BN的长； (2)求； (3)求的余弦值． 【详解】（1）解法一：由N为的中点得：． ，且， ； 解法二：（坐标法）：以A为原点建如图所示直角坐标系， 则，，,，，故，， . （2）解法一：由知：， ， ； 解法二：. （3）解法一：由（2）知： ， 又，， ，即； 解法二：， . 五、当堂检测，巩固达标 1．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，则（    ） A．0 B． C． D． 3．在菱形OABC中、O为坐标原点、、则的值为 ． 【参考答案】 1．B【详解】由知，故.故选：B. 2．B【详解】由题意，故选：B． 3．10【详解】如图，在菱形中，，，所以，，则，故.故答案为：. 六、课堂小结，升华素养 七、布置作业，即时检测 课本P111练习第3、4题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$