2.5一元二次方程的应用（8大题型提分练）数学湘教版九年级上册

2.5 一元二次方程的应用 题型一 分裂（传播）问题 1、流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 2、学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 3、近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 题型二 碰面（循环）问题 4、初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ． 5、某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 6、全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（      ） A． B． C． D． 题型三 增长率问题 7、红树林是一种宝贵的湿地资源．全国红树林的面积在2023年达到2.9万公顷，预计到2025年全国红树林面积将达到3.6万公顷，设平均每年的增长率为，可列方程得（    ） A． B． C． D． 8、去年月，我国公共充电桩数量由万台增长至万台，设公共充电桩的月平均增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 9、某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率． 题型四 营销问题 10、某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 11、某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 12、某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额销售单价销售数） (1)求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率． (2)经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格． 题型五 工程问题 13、某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 14、“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 15、城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 题型六 行程问题 16、甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 17、为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 题型七 数字问题 18、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 19、一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 20、一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数． 题型八 与图形有有关的问题 21、如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 22、李师傅从市场上买了一块长、宽的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为的无盖工具箱，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 23、如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24、如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 25、“五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）． 26、某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 27．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 一元二次方程的应用 题型一 分裂（传播）问题 1、流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传播问题），先设每轮传染中平均一人传染了x人，再根据“经过两轮传染后共有100人患病”，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病， ∴， 故选：A． 2、学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，x个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：， 故选C． 3、近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 题型二 碰面（循环）问题 4、初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设全班有人．根据互赠卡片一张，则人共赠卡片张，列方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 5、某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任何两个人都要拥抱一下．有好事者统计了一下，全班同学共拥抱了780下，你知道九年级（1）班有多少同学吗？如果设九年级（1）有x名同学，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人拥抱应该只算一次并据此列出方程是解题的关键． 因为每位同学都要与除自己之外的名同学拥抱一次，所以共拥抱次，由于每次拥抱都是两人，应该算一次，所以共拥抱次，即可列方程． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 6、全国和美乡村篮球大赛——某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有支，根据题意，找到等量关系，列出方程即可，根据题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参加比赛的球队有支， 由题意可得，， 故选：． 题型三 增长率问题 7、红树林是一种宝贵的湿地资源．全国红树林的面积在2023年达到2.9万公顷，预计到2025年全国红树林面积将达到3.6万公顷，设平均每年的增长率为，可列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每年的增长率为，根据全国红树林的面积在2023年达到2.9万公顷，预计到2025年全国红树林面积将达到3.6万公顷，列出方程即可． 【详解】解：设平均每年的增长率为，根据题意得： ， 故选：A． 8、去年月，我国公共充电桩数量由万台增长至万台，设公共充电桩的月平均增长率为，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，理解题意是解题关键． 根据题意直接列出一元二次方程即可． 【详解】解：设公共充电桩的月平均增长率为，依题意得： ． 故选：A． 9、某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为，利用该单位4月份纸的用纸量该单位2月份纸的用纸量从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为， 根据题意得：， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该单位纸的用纸量月平均降低率为． 题型四 营销问题 10、某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每件男士短袖降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，根据每件的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 11、某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【提示】根据“总利润=每瓶利润日均销售量”列方程求解可得． 【详解】解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的， ， 解得x1=11， x2=13， 当x1=11时， ，当x2=13时， ，且， 尽快减少库存， 每瓶该饮料售价为11元． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程． 12、某商场4月份以每个50元的价格销售某种品牌的玩具，4月份一共销售了40个．商场在5月份和6月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若6月份的玩具销售额为2880元．（销售额销售单价销售数） (1)求从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率． (2)经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加5元，月销售量减少1个，且6月份每个玩具的价格小于100元．求6月份每个玩具的销售价格． 【答案】(1)从月份到月份，玩具销售额的月平均增长率为 (2)月份每个玩具的销售价格是元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． （1）先计算出4月份的玩具销售额，设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可． （2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个，根据销售额销售单价销售数列出关于x的一元二次方程求解，解出x再加上原销售价即可． 【详解】（1）解：4月份的玩具销售额为元 设从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（舍去） 答：从4月份到6月份，玩具销售额的月平均增长率为 （2）设6月份每个玩具的销售价格增加x元，则6月份的销售量减少个 解得，（舍） 答：6月份每个玩具的销售价格是90元 题型五 工程问题 13、某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【提示】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 14、“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400 【提示】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键． 15、城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 题型六 行程问题 16、甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 17、为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)480米 (2)70分钟 【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米， 由题意得：， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑480米． （2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 题型七 数字问题 18、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：D． 19、一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数． 【答案】257 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的百位数字是，则十位数字是，个位数字是．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程． 【详解】解：设该三位数的百位数字是为正整数），则十位数字是，个位数字是．则： ， 整理，得：， 所以． 所以或， 解得，或（舍去）， 则，， 则该三位数是257． 答：这个数是257． 20、一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为26． 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，根据“原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：原来的两位数为26． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型八 与图形有有关的问题 21、如图，在长为，宽为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设道路宽为，分别表示出除去道路之后矩形的长和宽，然后根据试验田总面积为，列方程即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是看清图形，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：C． 22、李师傅从市场上买了一块长、宽的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为的无盖工具箱，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键． 根据题意可知：裁剪后的底面的长为，宽为，从而根据底面积可以列出相应的方程即可． 【详解】根据题意得，裁剪后的底面的长为，宽为， ∴． 故选：D． 23、如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)当时，四边形的面积等于． 【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，再解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值； （2）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值； （3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得，． 故答案为：，； （2）解：在中，由勾股定理，得， 解得：，； （3）解：由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 四边形的面积． 答：当时，四边形的面积等于． 24、如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是． 【答案】2或3 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为t 秒，则，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴2或3秒时，的面积是． 故答案为：2或3． 25、“五一国际劳动节”是世界上多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于年月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为，求这个最小的数（请用方程知识解答）． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设这个最小的数为x，则最大的数为．依题意得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设这个最小的数为x，则最大的数为． 依题意得． 解得，（不合题意，舍去）． ∴这个最小的数为8． 26、某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 27．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$