1.1 集合的概念（七个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）

1.1 集合的概念 题型一 集合的概念 题型五 根据元素与集合的关系求参数 题型二 判断是否为同一集合 题型六 常用数集的应用 题型三 集合的元素特征 题型七 用列举法、描述法表示集合 题型四 判断元素与集合的关系 题型八 集合中的新定义问题 知识点1元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 题型一 集合的概念 【例1】下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 【例2】判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【变式1-1】下列集合中有限集的个数是（    ） ①不超过π的正整数构成的集合； ②平方后等于自身的数构成的集合； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合； ④所有小于2的整数构成的集合． A．1 B．3 C．2 D．4 【变式1-2】下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的偶数 B．π的近似值 C．方程的实数根 D．最小的正整数 【变式1-3】下列各组对象能组成一个有限集的有 ．（填序号） （1）小于100的自然数； （2）等腰直角三角形的全体； （3）平面内到坐标原点距离为1的所有点； （4）方程的实数根； （5）高一（1）班喜欢数学的全体同学． 题型二 判断是否为同一集合 【例3】判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 【例4】下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-1】下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【变式2-3】（多选）下列各组中M、P表示不同集合的是（    ） A．， B． C．， D．， 题型三 集合的元素特征 【例5】由1，2，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 【例6】已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-1】英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【变式3-2】将表示成小数，则构成这个小数的所有数字的集合用列举法表示为 ． 【变式3-3】由，，可组成含个元素的集合，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 知识点2元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 题型四 判断元素与集合的关系 【例7】已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【例8】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】，在空格处填入适当的符号： ， ． 【变式4-2】集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 【变式4-3】已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 题型五 根据元素与集合的关系求参数 【例9】若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【例10】若集合，且中只有一个元素，则 ； 【 变式5-1】已知集合，若，求实数的值． 【变式5-2】已知集合A中含有三个元素1，0，x，若，求实数x的值． 【变式5-3】集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ． 知识点3集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的； （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 3.常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 题型六 常用数集的应用 【例11】下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【例12】设集合，则集合 ． 【变式6-1】下列关系中，正确的个数为（    ） ①R；②Q；③N；④Z A． B． C． D． 【变式6-2】用符号“”或“”填空． （1）0 N；                 （2） R； （3） Q；             （4） Z． 【变式6-3】使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言： （1）“255是正整数”即( )； （2）“不是有理数”即( )； （3）“3.1416是正有理数”即( )； （4）“是整数”即( )； （5）“是负实数”即( )． 题型七 用列举法、描述法表示集合 【例13】用列举法表示集合可以是 ． 【例14】用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【变式7-1】用列举法表示集合的结果为 . 【变式7-2】用描述法表示下列集合： (1)被7除余1的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【变式7-3】用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合； (4)不等式的解集组成的集合． 题型八 集合中的新定义问题 【例15】已知集合，定义集合，则中元素的个数为（    ） A．77 B．49 C．45 D．30 【例16】设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【变式8-1】对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【变式8-2】定义集合上的二元运算“”见右表所示，如果有一个元素，对于任意的，都有，则称为A关于运算的零元．判断A关于运算的零元是 ． a    b    c a a    b    c b b    b    b c c    b    a d d    b    d 【变式8-3】已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 一、单选题 1．下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 2．下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．以下选项中，不是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 4．定义集合．已知集合，，则的元素的个数为（    ） A． B． C． D． 5．集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．或4 B．2 C．-2 D．4 7．已知集合.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知集合，若，且，则实数a的取值范围为 . 11．有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2022的正约数的全体组成的集合；③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合；④给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合；⑤末位是7的全体自然数组成的集合.其中是有限集的序号为 ，是无限集的序号为 . 12．已知集合，，则集合中的元素个数为 ． 四、解答题 13．用适当的方法表示下列集合： (1)奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)； (4)不等式的解集． 14．已知集合，，且，求集合． 15．已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念 题型一 集合的概念 题型五 根据元素与集合的关系求参数 题型二 判断是否为同一集合 题型六 常用数集的应用 题型三 集合的元素特征 题型七 用列举法、描述法表示集合 题型四 判断元素与集合的关系 题型八 集合中的新定义问题 知识点1元素与集合的概念 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”． 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物． 题型一 集合的概念 【例1】下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 【答案】C 【详解】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误； B：满足不等式的所有整数解为有限集，错误； C：所有大于的偶数组成的集合为，为无限集，正确； D：所有到轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误. 故选：C 【例2】判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)能组成集合，为无限集 (3)能组成集合，为 (4)不能组成集合，理由见解析 【详解】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集. （2）所给对象确定，能组成集合，为无限集. （3）所给对象确定，能组成集合，为空集. （4）所给对象不确定，不能组成集合. 【变式1-1】下列集合中有限集的个数是（    ） ①不超过π的正整数构成的集合； ②平方后等于自身的数构成的集合； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合； ④所有小于2的整数构成的集合． A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【详解】①不超过π的正整数构成的集合为{1，2，3}为有限集； ②平方后等于自身的数构成的集合为{0，1}为有限集； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合为有限集． ④所有小于2的整数构成的集合为无限集， 故选：B． 【变式1-2】下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的偶数 B．π的近似值 C．方程的实数根 D．最小的正整数 【答案】B 【详解】对A，不超过20的偶数是确定的，可以组成集合； 对B，π的近似值无法确切取到，不能组成集合； 对C，方程的实数根是确定的，就是1，可以组成集合； 对D，最小的正整数是确定的，是1，可以组成集合， 故选：B 【变式1-3】下列各组对象能组成一个有限集的有 ．（填序号） （1）小于100的自然数； （2）等腰直角三角形的全体； （3）平面内到坐标原点距离为1的所有点； （4）方程的实数根； （5）高一（1）班喜欢数学的全体同学． 【答案】（1）（4） 【详解】对于（1），小于100的自然数，可以一一列举，0，1，2，3，...，99，故（1）为有限集； 对于（2），等腰直角三角形有无限多个，故（2）不是有限集； 对于（3），在平面直角坐标系内，单位圆上的所有点到原点的距离都为1，所以到坐标原点距离为1的点有无穷多个，故（3）不是有限集； 对于（4），的实数根为或，共两个，故（4）为有限集； 对于（5），到底有多喜欢算喜欢，无法定论，故元素不确定，故（5）不是集合； 故答案为：（1）（4）. 题型二 判断是否为同一集合 【例3】判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 【答案】 正确 错误 错误 错误 【详解】（1）集合元素具有无序性，集合与集合元素相同，故表示同一集合，正确； （2）两集合为点集，和表示的点不同，所以集合与集合表示两个不同的集合，错误； （3）集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合，错误； （4）集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误； 故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误. 【例4】下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 【变式2-1】下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误； 对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误； 对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误； 对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 【变式2-3】（多选）下列各组中M、P表示不同集合的是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】BD 【详解】选项A中，根据集合的无序性可知； 选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P； 选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，=，故M=P； 选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故． 故选：BD． 题型三 集合的元素特征 【例5】由1，2，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不正确. 因为集合中的元素是互异的，所以集合中只有4个不同元素1，3，0，5 . 【例6】已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【详解】因为三角形的三边长为一个集合的3个元素，根据集合元素的互异性，三角形的三条边长互不相等，所以一定不可能是等腰三角形. 故选：D. 【变式3-1】英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【答案】A 【详解】interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素． 故选：A 【变式3-2】将表示成小数，则构成这个小数的所有数字的集合用列举法表示为 ． 【答案】 【详解】因为，构成这个小数的所有数字为， 所以由集合元素的性质可知，集合用列举法表示为， 故答案为：. 【变式3-3】由，，可组成含个元素的集合，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由元素的互异性可得，解得且且. 故选：C. 知识点2元素与集合的关系 （1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作． （2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作． 温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． （2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 题型四 判断元素与集合的关系 【例7】已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 【例8】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】且，则；且，则，所以. 故选：A 【变式4-1】，在空格处填入适当的符号： ， ． 【答案】 【详解】， 所以，. 故答案为：； 【变式4-2】集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 【变式4-3】已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当、均为正数时，代数式； 当、为一正一负时，代数式或； 当、均为负数时，代数式， 故集合， 故选：B. 题型五 根据元素与集合的关系求参数 【例9】若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为. 故选：C. 【例10】若集合，且中只有一个元素，则 ； 【答案】或 【详解】因为，表示关于的方程的解集， 当时，由，解得，所以，符合题意； 当时，要使中只有一个元素，则，解得， 此时方程，解得，所以，符合题意； 综上可得或. 故答案为：或 【变式5-1】已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【详解】解：①当，即时，而，， 不满足集合中元素的互异性，舍去； ②当，即时，而，，符合题意； ③当时，，而，，不满足集合中元素的互异性，舍去． 综上可知，实数的值为． 【变式5-2】已知集合A中含有三个元素1，0，x，若，求实数x的值． 【答案】 【详解】依题意，且，于是，并且， 由，得，解得， 所以实数x的值为. 【变式5-3】集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】当时，，解得，故A中元素只有1个，符合要求； 当时，对，需，即； 故答案为：或. 知识点3集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的； （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等． （2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． （3）不能出现未被说明的字母． 3.常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 题型六 常用数集的应用 【例11】下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】“自然数集”记作，“整数集”记作， “有理数集”记作， “实数集”记作. 故选：D 【例12】设集合，则集合 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 解得，又， 则.即 故答案为：. 【变式6-1】下列关系中，正确的个数为（    ） ①R；②Q；③N；④Z A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于①，④，R与Z是正确的，故①正确，④正确； 对于②，是无理数，故②错误； 对于③，N，故③错误； 故选：B． 【变式6-2】用符号“”或“”填空． （1）0 N；                 （2） R； （3） Q；             （4） Z． 【答案】 【详解】（1）因为0时自然数，所以；                 （2）因为是无理数，所以R； （3）因为是无理数，所以Q；             （4）因为是整数，所以Z； 故答案为：，，， 【变式6-3】使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言： （1）“255是正整数”即( )； （2）“不是有理数”即( )； （3）“3.1416是正有理数”即( )； （4）“是整数”即( )； （5）“是负实数”即( )． 【答案】 【详解】（1）由“255是正整数”，可表示为； （2）由“不是有理数”，可表示为； （3）由“3.1416是正有理数”，可表示为； （4）由“是整数”，可表示为； （5）由“是负实数”，可表示为. 题型七 用列举法、描述法表示集合 【例13】用列举法表示集合可以是 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 【例14】用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 【变式7-1】用列举法表示集合的结果为 . 【答案】 【详解】由可知为的约数，所以， 因为，所以，此时， 集合为. 故答案为：. 【变式7-2】用描述法表示下列集合： (1)被7除余1的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）被7除余1的正整数组成的集合是； （2）平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是 【变式7-3】用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合； (4)不等式的解集组成的集合． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）用描述法：且. （4）用描述法：. 题型八 集合中的新定义问题 【例15】已知集合，定义集合，则中元素的个数为（    ） A．77 B．49 C．45 D．30 【答案】C 【详解】， 则集合中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示， 集合中有25个元素（即25个点）， 即下图中正方形内部及正方形边上的整点， 所以或或或或或或，共7个值； 所以或或或或或或，共7个值， 所以集合中的元素可看作下图中正方形内部及正方形边上除去四个顶点外的整点，共（个）． 故选：C. 【例16】设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【详解】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 故答案为：8． 【变式8-1】对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个. 故答案为：17. 【变式8-2】定义集合上的二元运算“”见右表所示，如果有一个元素，对于任意的，都有，则称为A关于运算的零元．判断A关于运算的零元是 ． a    b    c a a    b    c b b    b    b c c    b    a d d    b    d 【答案】 【详解】根据题目中零元的定义结合图表，若时，满足题目要求，因此答案为． 故答案为： 【变式8-3】已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 【答案】21 【详解】因为，所以中的元素有： ，，，，（舍去），，（舍去），， 所以， 所以中的所有元素数字之和为21． 一、单选题 1．下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合； 对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合； 对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合， 故选：C 2．下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】表示正整数集，而-3是负整数，A不正确； 表示自然数集，0是自然数，B正确； 表示整数集，是分数，C不正确； 表示有理数集，是无理数，D不正确. 故选：B 3．以下选项中，不是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A,当时，，故不是的元素， 对于B，当时，，故是的元素， 对于C，当时，，故是的元素， 对于D，当时，，故是的元素， 故选：A 4．定义集合．已知集合，，则的元素的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以，故的元素的个数为， 故选：C． 5．集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故有个元素， 故选：D． 6．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A．或4 B．2 C．-2 D．4 【答案】C 【解析】由集合元素的特性和2属于集合A，直接计算判断求解即可得出答案. 【详解】由集合，可得，则得，，又因为可得，解得，即C选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了集合元素特性的利用，考查了由元素属于集合求参数的问题，属于一般难度的题. 7．已知集合.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：集合至多有一个元素， 分类讨论： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，要至多有一个元素， 则必须方程：有两个相等的实数根或没有实数根， ，得：，， 综上所述：或． 故选：． 【点睛】本小题主要元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论、化归与转化思想．属于基础题． 二、多选题 8．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】点在函数图像上，有，A选项正确； 集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误； 函数的值域为，则，，C选项正确； 集合B为点集，，D选项错误. 故选：AC. 9．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】当均为负数时，； 当两负一正时，； 当两正一负时，； 当均为正数时，； ∴，A、B错误，C、D正确. 故选：CD 三、填空题 10．已知集合，若，且，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，， 则有，解得， 故答案为： 11．有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2022的正约数的全体组成的集合；③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合；④给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合；⑤末位是7的全体自然数组成的集合.其中是有限集的序号为 ，是无限集的序号为 . 【答案】 ②③； ①④⑤. 【详解】①由于负整数集是无限集，所欲5的负整数倍的全体组成的集合是无限集， ②由于，所以2022的正约数的全体组成的集合是有限集， ③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合，显然是有限集， ④由于圆的直径有无数条，所以给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合是无限集， ⑤末位是7的全体自然数组成的集合，显然是无有限集. 故答案为：②③；①④⑤. 12．已知集合，，则集合中的元素个数为 ． 【答案】 【详解】由题意得：， 中元素个数为. 故答案为：. 四、解答题 13．用适当的方法表示下列集合： (1)奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)； (4)不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【详解】（1）奇数的集合用描述法表示为： （2）正偶数的集合用描述法表示为： （3）． （4）由解得，所以不等式的解集为． 14．已知集合，，且，求集合． 【答案】 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 15．已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)0或 (3)且 【详解】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$