1.2 空间向量基本定理 讲义-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量的基本定理 知识点一 空间的基底 【解题思路】 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【例1-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）（多选）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例1-2】（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【变式】 1．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2 ．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）（多选）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 知识点二 空间向量基本定理 【解题思路】 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量 (3)下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有基底的向量，不能含有其他形式的向量． 【例2-1】（23-24高二下·上海闵行·期末）如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（    ）    A． B． C． D．1 【变式】 1．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上，满足，，则（　　） A．- B． C． D． 4．（23-24高二上·北京·期中）平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点三 证明平行、共面问题 【解题思路】 证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 【例3】（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 【变式】 1．（2024江西南昌·期中）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，. (1)求证：四点共面； (2)平面平面. 2．（2024广东云浮）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点. (1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面EFG∥平面AB1C． 知识点四 夹角、证明垂直 【解题思路】 求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况． 【例4-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 【例4-2】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【变式】 1．（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 2．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 3．（2024山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 知识点五 距离(长度)问题 【解题思路】 求距离(长度)问题的思路 选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题． 【例5】（23-24 吉林延边·阶段练习）平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（    ） A． B． C． D． 2 ．（23-24高二上·吉林·阶段练习）在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东清远·期中）如图，平行六面体的各棱长均为，则（    ） A． B． C． D． 【题组一 空间的基底】 1．（23-24高二下·四川成都·开学考试）（多选）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）设，且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）（多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·江苏·阶段练习）（多选）空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（　　） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 5．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【题组二 空间向量基本定理】 1．（23-24 重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建龙岩·期末）在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 5（23-24 天津·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 7．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【题组三 证明平行、共面】 1．（2023·全国·高二课时练习）已知O、A、B、C为空间四点，且对空间中任意一个向量，若存在唯一的一组实数、、，使得不成立，则（       ） A．、、共线 B．、共线 C．、共线 D．O、A、B、C四点共面 2.（2024·江苏·高二课时练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证： （1）、、、四点共面，、、、四点共面； （2）． 3．（2024广东）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，. (1)证明：平面； (2)若为中点，求的长. 【题组四 夹角、证明垂直】 1．（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 3．（23-24高二上·四川凉山·期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．    (1)求线段的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 4．（2024湖北）已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 5．（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 6．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，为的中点．    (1)用以为空间的一组基底表示向量． (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【题组五 距离(长度)问题】 1．（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 2．（2023高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（    ） A．a B．a C．a D．a 3 ．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，两个正方形，的边长都是2，且，则的长为 . 4．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，，，则 ．    5．（2024四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，，，点M为棱的中点，则线段AM的长为 .    6．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 7．（22-23高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：． 8．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．求线段的长．            1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 空间向量的基本定理 知识点一 空间的基底 【解题思路】 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 【例1-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）（多选）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【解析】对于A选项，，所以、、共面，这组向量不能做基底； 对于B选项，假设，，共面， 则存在、使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 对于C选项，假设，，共面， 则存在、，使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，所以假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 选项D，因为，则，，共面，这组向量不能做基底. 故选：BC. 【例1-2】（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得. 故选：B 【变式】 1．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】由于构成空间的一个基底，故不共面， 对于A，与共面，不共面，故，，不共面， 否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误； 对于B，假设，，共面，则存在实数，使得， 即，则，方程组无解， 假设不成立，故，，不共面，B错误； 对于C，，与共面，由于不共面， 故，与不共面，C错误； 对于D，，故，，共面， 故选：D 2 ．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）（多选）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，， ∴，，共面，不能构成基底，A错误； 对于B，， ∴，，共面，不能构成基底，B错误； 对于C，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，C正确； 对于D，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，D正确. 故选：CD 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于选项A：因为， 所以三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于选项B：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故B正确； 对于选项C：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故C正确； 对于选项D：因为， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故D正确； 故选：BCD. 知识点二 空间向量基本定理 【解题思路】 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量 (3)下结论：利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有基底的向量，不能含有其他形式的向量． 【例2-1】（23-24高二下·上海闵行·期末）如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为与的交点， 则 故选：C. 【例2-2】（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】， ， ， ， 即，，， 所以. 故选：B 【变式】 1．（22-23高二上·广东东莞·阶段练习）如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意， . 故选：D 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 所以，， 所以， 所以，. 故选：A 3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上，满足，，则（　　） A．- B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在线段上满足， 由向量的运算法则，可得， 因为，所以， 所以. 故选：A. 4．（23-24高二上·北京·期中）平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】依题意 ， 又，所以，. 故选：C 知识点三 证明平行、共面问题 【解题思路】 证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． 【例3】（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 【答案】共线 【解析】由空间向量的线性运算法则，可得 ，即， 又由向量的共线定理，可得与共线． 【变式】 1．（2024江西南昌·期中）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，. (1)求证：四点共面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴， ∵， ∴、、、四点共面； （2）∵，∴ 又因为平面,平面,所以平面 又∵，∴， 平面,平面,平面， 又，平面 所以，平面平面. 2．（2024广东云浮）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点. (1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面EFG∥平面AB1C． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】证明把{}作为空间的一个基底. (1)因为,所以=2. 所以EG∥AC. (2)由(1)知EG∥AC,又AC⊂平面AB1C,EG⊄平面AB1C,所以EG∥平面AB1C. 因为,所以=2.所以FG∥AB1. 又AB1⊂平面AB1C,FG⊄平面AB1C, 所以FG∥平面AB1C. 又EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面AB1C. 知识点四 夹角、证明垂直 【解题思路】 求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况． 【例4-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解析】（1）由点是线段的中点，得， 由点是的重心，得， 所以， 因为正四面体中，，， 故， 所以， 即； （2）由（1）可知，，， 所以 ， 所以. 【例4-2】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 【变式】 1．（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，． (1)求的长； (2)求异面直线和夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意得， 又，，，，， 故 ， 故； （2） ， 设异面直线和夹角为， 则. 2．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，． (2)证明见解析 【解析】（1）已知，，， 得：，， ． （2）证明：设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 3．（2024山东青岛·期末）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，时，. 【解析】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得，所以当时，. 知识点五 距离(长度)问题 【解题思路】 求距离(长度)问题的思路 选择已知长度和夹角的三个向量作为基向量，利用基底表示向量，将距离(长度)问题转化为向量的模的问题． 【例5】（23-24 吉林延边·阶段练习）平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 故 ， 故.故选：A 【变式】 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题作图如下: 由，则，由为的中点，则， 则 ， 在正四面体中，易知， . 故选：D. 2 ．（23-24高二上·吉林·阶段练习）在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，延长交于点， 的重心为， 为在边上的中线，即为的中点， 三棱台中，， ,, ， 三棱台中，面面，且面分别交面，面于，， ， ，则， 得， 所以. 故选：D. 3．（23-24高二上·广东清远·期中）如图，平行六面体的各棱长均为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，，两边平方得， ， 所以.故选：B. 【题组一 空间的基底】 1．（23-24高二下·四川成都·开学考试）（多选）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，故A不符合题意； 对于B，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故B符合题意； 对于C，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故C符合题意； 对于D，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故D符合题意. 故选：BCD 2．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）设，且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】如图所示，    令，则，， A：由四点共面，则向量也共面，故A不符合题意； B：由四点不共面，则向量也不共面，故B符合题意； C：由四点不共面，则向量也不共面，故C符合题意； D：由四点不共面，则向量也不共面，故D符合题意. 故选：BCD. 3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）（多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 假设是共面向量， 则有显然无实数解，假设不成立，因此不是共面向量，因此可以成为一组基底； B：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 因为，所以是共面向量，因此不能成为一组基底； C：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 假设是共面向量， 则有显然无实数解，假设不成立，因此不是共面向量，因此可以成为一组基底； D：因为构成空间的一个基底， 所以可以得两两都不是共线向量， 因为，所以是共面向量，因此不能成为一组基底， 故选：AC 4．（22-23高二下·江苏·阶段练习）（多选）空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（　　） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 【答案】ACD 【解析】因为为空间的一个基底，所以O，A，B，C四点中任意三点不共线，且四点不共面， 若O，A，B，C四点共面，则为共面向量，不可能构成空间基底， 所以选项B错误，ACD正确. 故选：ACD 5．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【答案】ABC 【解析】对于A，三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面，A正确； 对于B，任取非零向量，非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则，，则，，因此共线，B正确； 对于C，假定共面，则存在实数，使得， 即，而不共面，于是，显然此方程组无解， 即假定是错的，因此不共面，是空间的一个基底，C正确； 对于D，由，得共面， 不能作为空间的一个基底，D错误. 故选：ABC 【题组二 空间向量基本定理】 1．（23-24 重庆·期末）如图，在三棱锥中，为的中点，设，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在三棱锥中，点N为棱的中点，点M在棱PC上，且满足， 设， 故， 所以， 点N为棱的中点， 所以， 故. 故选：B． 2．（23-24高二下·福建龙岩·期末）在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，. 故选：C 3．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，即， 所以， 因此. 故选：A. 4．（2024安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得 . 故选：C 5（23-24 天津·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点， 所以 ， 故选：D 6．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连，，    可得 . 故选：A. 7．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又，所以， 所以. 故选：B 【题组三 证明平行、共面】 1．（2023·全国·高二课时练习）已知O、A、B、C为空间四点，且对空间中任意一个向量，若存在唯一的一组实数、、，使得不成立，则（       ） A．、、共线 B．、共线 C．、共线 D．O、A、B、C四点共面 【答案】D 【解析】由空间向量基本定理，对空间中任意一个向量，若存在唯一的一组实数、、，使得不成立，则是共面向量，因此四点四点共面，故选：D． 2.（2024·江苏·高二课时练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证： （1）、、、四点共面，、、、四点共面； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为，所以，、、为共面向量， 因为、、有公共点，故、、、四点共面， 因为，则、、为共面向量， 因为、、有公共点，故、、、四点共面； （2），，， ，， 因为、无公共点，故. 3．（2024广东）如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，. (1)证明：平面； (2)若为中点，求的长. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】(1) 过点作，交于点，连接， 由题意得， 故，，而平面，平面， 平面，同理得平面， 而，平面平面， 平面 (2)由题意得， 故， ， 故 【题组四 夹角、证明垂直】 1．（22-23高二上·陕西榆林·阶段练习）如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 【答案】证明见解析 【解析】因为⊥，⊥，⊥， 所以， 因为分别是的中点， 所以． 因为分别是的中点， 所以 ， 故 所以⊥，得证． 2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， 因为， 所以， 则 ， 所以的长为； （2）， 因为，所以， 即，即，解得. 3．（23-24高二上·四川凉山·期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，．    (1)求线段的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）设，，，则，，， 又，则. （2）由，则， 则. ， 故异面直线与所成角的余弦值为． 4．（2024湖北）已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 【答案】证明见详解 【解析】设， 由题意得，，， 因为，所以， 又， 所以， 所以. 5．（23-24高二上·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明详见解析 【解析】（1）连接，则 （2）， 所以 ， 所以.    6．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，为的中点．    (1)用以为空间的一组基底表示向量． (2)线段上是否存在一点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【解析】（1）由已知得，． （2）设线段上存在一点，使得，且， 则 ． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以，此时点与点重合，． 【题组五 距离(长度)问题】 1．（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意得 ， 而， ， ， 则 . 故选：A. 2．（2023高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（    ） A．a B．a C．a D．a 【答案】A 【解析】设，，，则构成空间的一个正交基底. ， 故，所以MN＝a. 故选：A 3 ．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，两个正方形，的边长都是2，且，则的长为 . 【答案】4 【解析】由题意得⊥，又，故⊥， 故，， ， 故 ， 故. 故答案为：4 4．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，，，则 ．    【答案】2 【解析】在平行六面体中,， 所以， 因为，所以， 又， 所以，， 所以 所以. 故答案为：2. 5．（2024四川成都·期中）如图，在平行六面体中，，，，，，点M为棱的中点，则线段AM的长为 .    【答案】 【解析】， 则 ， 故，即线段的长为. 故答案为： 6．（23-24高二上·上海·期末）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长． 【答案】，BN的长为 【解析】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形， 所以 ， 由题意，可得|，，， 因此 所以，即的长为. 7．（22-23高二·全国·随堂练习）已知在空间四边形中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】如图所示：    不妨选空间的一组基底向量为， 由题意，， 所以有，即， 同理有，即， 因此， 从而，即. 8．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．求线段的长．            【答案】 【解析】设，，， 则，，， ， ∵， ∴ ． ∴线段的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$