1.1 空间向量及其运算 讲义-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1 空间向量及其运算 知识点一 空间向量的概念辨析 【易错点】 1.两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等． 2.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 3.零向量模长为0，方向任意 【例1-1】（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【例1-2】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【变式】 1．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 2．（23-24高二下·云南保山·开学考试）（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 3．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在正方体中：    (1)向量，，与向量相等吗？ (2)向量，，与向量是相反向量吗？ 知识点二 空间向量的线性运算 【解题思路】 1.空间向量加法、减法运算 (1)巧用相反向量 (2)巧用运算法则：巧用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算和相等向量或相反向量进行转化 2.数乘运算 数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 【例2-1】（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【变式】 1．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 3．（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 知识点三 共线向量 【解题思路】 1.空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量，(≠0)，∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ 2.共线向量的应用 （1）向量的共线证明了线线平行 （2）判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法 【例3-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2024湖北）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【变式】 1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 5．（2023高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 知识点四 共面向量 【解题思路】 1.若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 2.证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 【例4-1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【例4-2】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 【例4-3】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式】 1．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 2 ．（2024高二·全国·专题练习）已知非零向量，不共线，如果，，，那么下列结论正确的是（    ） A．A，B，C，D四点共线 B．A，B，C，D四点共面 C．A，B，C，D四点不共面 D．无法确定 3．（2024山西）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 知识点五 数量积的运算 【解题思路】 数量积运算的思路 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 【例5】（22-23高二·全国·随堂练习）如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式】 79．（22-23高二上·全国·课后作业）已知四面体的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱的中点，求下列向量的数量积： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 2．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示长方体中，是的中点，，，求： (1)； (2) 3．（22-23高二下·全国·课后作业）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1) (2) (3) 知识点六 利用数量积求夹角或模长 【解题思路】 1.求两个向量的夹角：利用公式cos〈，〉＝求coscos〈，〉，进而确定〈，〉． 2.求线段长度(距离) ①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量； ③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)． 【例6】（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【变式】 1．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 知识点七 利用数量积证垂直 【解题思路】 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可． 【例7】（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【变式】 1．（2023高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 2．（2024北京）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【题组一 空间向量的概念辨析】 1．（23-24高二上·四川·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 2．（2023高二·全国·专题练习）（多选）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 3．（2024陕西）（多选）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 4 ．（23-24高二上·吉林长春·期末）给出下列四个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，满足且，同向，则； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任意向量，必有. 其中真命题的序号为 . 5．（23-24高二上·上海·课后作业）在长方体中，，，，写出： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量． 6．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：        (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以上向量的和表示． 【题组二 空间向量的线性运算】 1．（24-25 全国·假期作业）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，，设，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【题组三 共线向量】 1（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 2．（22-23高二上·安徽·期中）（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 3．（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 4．（23-24高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 5．（2024·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 6．（2024河北）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点. (1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面EFG∥平面AB1C． 【题组四 共面向量】 1．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江温州·期中）（多选）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·课后作业）（多选）下列命题中是假命题的为（    ） A．若向量，则与，共面 B．若与，共面，则 C．若，则四点共面 D．若四点共面，则 4．（22-23高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 7．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·贵州·期中）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10（2024湖北）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【题组五 数量积的运算】 1．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 2．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题组六 利用数量积求夹角或模长】 1．（22-23高二上·河北衡水·阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点. (1)用，，表示，并求出； (2)求. 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, . (1)求; (2)求和夹角的余弦值. 4．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知平行六面体，，. (1)求的长度； (2)求异面直线与BC所成角的余弦值. 5．（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.侧棱的长为4，且.    (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值. 6．（23-24高二上·重庆万州·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，.    (1)用，，表示； (2)求，所成角的余弦值. 【题组七 利用数量积证垂直】 1．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    2．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，棱长为a的正方体中，E，F分别为棱AB和BC的中点，为棱的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 空间向量及其运算 知识点一 空间向量的概念辨析 【易错点】 1.两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等． 2.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反． 3.零向量模长为0，方向任意 【例1-1】（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 【例1-2】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 【变式】 1．（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【解析】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 2．（23-24高二下·云南保山·开学考试）（多选）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【解析】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 3．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在正方体中：    (1)向量，，与向量相等吗？ (2)向量，，与向量是相反向量吗？ 【答案】(1)相等 (2)是 【解析】（1）由于，，均与的方向相同、长度相等，因而它们均与相等． （2）由于，，的长度均与的长度相等，但方向相反，因而它们均是的相反向量． 知识点二 空间向量的线性运算 【解题思路】 1.空间向量加法、减法运算 (1)巧用相反向量 (2)巧用运算法则：巧用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算和相等向量或相反向量进行转化 2.数乘运算 数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 【例2-1】（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【解析】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    【变式】 1．（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以 . 故选：C 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·假期作业）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；作图见解析 (2)；作图见解析 (3)；作图见解析 【解析】（1）； （2）； （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示， 知识点三 共线向量 【解题思路】 1.空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量，(≠0)，∥的充要条件是存在实数λ，使＝λ 2.共线向量的应用 （1）向量的共线证明了线线平行 （2）判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法 【例3-1】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 【例3-2】（2024湖北）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【解析】连接，，∵， ，∴，∴， 又，∴，，三点共线．    【变式】 1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 2．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 3．（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【答案】证明见解析 【解析】设的中点为，连接GB，GD，，，    ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 5．（2023高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】，，， ， ， 因为、无公共点，故. 知识点四 共面向量 【解题思路】 1.若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 2.证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 【例4-1】（23-24高二上·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【解析】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 【例4-2】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 【答案】A 【解析】, 则， 所以，则， 故四点共面.故选：A 【例4-3】（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 【变式】 1．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 2 ．（2024高二·全国·专题练习）已知非零向量，不共线，如果，，，那么下列结论正确的是（    ） A．A，B，C，D四点共线 B．A，B，C，D四点共面 C．A，B，C，D四点不共面 D．无法确定 【答案】B 【解析】由， 则共面. 从而A，B，C，D四点共面. 故选：B. 3．（2024山西）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为为空间任意一点，，所以， 所以，因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，所以，解得． 故选：C． 4．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【解析】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 知识点五 数量积的运算 【解题思路】 数量积运算的思路 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 【例5】（22-23高二·全国·随堂练习）如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1） （2） （3）因为点，分别是，的中点，所以， 所以 （4）因为点，分别是，的中点，所以， 所以 【变式】 79．（22-23高二上·全国·课后作业）已知四面体的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱的中点，求下列向量的数量积： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【答案】(1)(2)(3)4)(5)(6) 【解析】（1）   由题意可知，每两条棱的夹角为，又点E，F，G分别是棱的中点， 则； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） . 2．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示长方体中，是的中点，，，求： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为是长方体，且，所以 ，， 因此. （2）由题意，，， 所以 因为，，所以， 所以 3．（22-23高二下·全国·课后作业）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)1 【解析】（1） （2）； （3）取的中点，连接，，则，， 在中，，， 由余弦定理知，， 所以． 知识点六 利用数量积求夹角或模长 【解题思路】 1.求两个向量的夹角：利用公式cos〈，〉＝求coscos〈，〉，进而确定〈，〉． 2.求线段长度(距离) ①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量； ③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)． 【例6】（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 【变式】 1．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意得， 所以 ； （2） 所以 ， ，, ， 故， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 3．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 知识点七 利用数量积证垂直 【解题思路】 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可． 【例7】（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【解析】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 【变式】 1．（2023高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】如图，取AB中点O，连接OC交BM于E， ∵为等边三角形， ∴， 又∵平面平面，平面，平面平面， 故平面， 而平面，∴， 又∵，， ∴． ∴， 又∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴． 2．（2024北京）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2) (3)垂直 【解析】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 【题组一 空间向量的概念辨析】 1．（23-24高二上·四川·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】BD 【解析】对于A：零向量的方向是任意的，A错误； 对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确； 对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确. 故选：BD. 2．（2023高二·全国·专题练习）（多选）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 【答案】CD 【解析】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误； 模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误； 由相等向量的传递性，知若，则，C正确； 在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确， 故选：CD 3．（2024陕西）（多选）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【答案】ACD 【解析】由单位向量的定义即得，故A正确； 共线不一定同向，故B错误； 因为为非零向量，且，所以，故C正确； 在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确． 故选：ACD 4 ．（23-24高二上·吉林长春·期末）给出下列四个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，满足且，同向，则； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任意向量，必有. 其中真命题的序号为 . 【答案】④ 【解析】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误； 对于②，向量是不能比较大小的，故错误； 对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错误； 对于④，若不共线时，设，以为邻边作一个平行四边形， 如图所示： 由平面向量的加法法则可知，根据三角形中三边关系可得； 若共线且同向时满足成立； 综上所述：对任意向量，，，正确. 故答案为：④ 5．（23-24高二上·上海·课后作业）在长方体中，，，，写出： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量． 【答案】答案见解析 【解析】1）与模相等的向量有； （2）与相等的向量有； （3）与垂直的向量有， ， 6．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：        (1)的相等向量，的相反向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以上向量的和表示． 【答案】(1)、、；， (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解析】（1）根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有、、， 的相反向量有：、． （2）用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有， ，，．（答案不唯一） （3）用“首尾规则”求解，则，． （答案不唯一） 【题组二 空间向量的线性运算】 1．（24-25 全国·假期作业）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误.    故选：D. 2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：， 故选：B. 3．（23-24高二上·安徽·期末）如图，三棱柱中，，，，点为四边形的中心点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，， 又，所以，    故选：A. 4．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为E是AC的中点，，所以故选：B． 5．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，如下图所示， 因为，， 所以，所以． 故选：A. 【题组三 共线向量】 1（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【解析】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 2．（22-23高二上·安徽·期中）（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【解析】当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 3．（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【解析】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 4．（23-24高二下·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【答案】. 【解析】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 5．（2024·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 6．（2024河北）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点. (1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面EFG∥平面AB1C． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】证明把{}作为空间的一个基底. (1)因为,所以=2. 所以EG∥AC. (2)由(1)知EG∥AC,又AC⊂平面AB1C,EG⊄平面AB1C,所以EG∥平面AB1C. 因为,所以=2.所以FG∥AB1. 又AB1⊂平面AB1C,FG⊄平面AB1C, 所以FG∥平面AB1C. 又EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面AB1C. 【题组四 共面向量】 1．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A：，如下图，，    由的关系不定，则不一定在面上，满足； B：，如下图，此时满足上式，      此时，M与A，B，C不共面，满足； C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足. D：，如下图，      此时，M与A，B，C不共面，满足； 故选：ABD 2．（23-24高二上·浙江温州·期中）（多选）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为三点不共线，若四点共面， 不妨设，则， 即， 显然有， 反之若， 则有， 即共面，所以共面， 对于A，，有， 故共面，A正确； 对于B，，有， 故共面，B正确； 对于C，，有， 故不共面，C错误； 对于D，，有， 故共面，D正确； 故选：ABD 3．（23-24高二·全国·课后作业）（多选）下列命题中是假命题的为（    ） A．若向量，则与，共面 B．若与，共面，则 C．若，则四点共面 D．若四点共面，则 【答案】BD 【解析】对于A：由平面向量基本定理得与，共面，A是真命题； 对于B：若，共线，不共线时，不能用，表示出来，B是假命题； 对于C：若，则三个向量共面， 又点为三个向量的公共起点，所以四点共面，C是真命题； 对于D：若共线，点不在此直线上， 则不成立，D是假命题. 故选：BD. 4．（22-23高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，若，则点共面． 对于A，，由于，故A错误； 对于B，，由于，故B错误； 对于C, ，由于，故C错误； 对于D，，由于，得共面，故D正确. 故选：D. 5．（23-24高二上·湖北黄冈·期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】】A选项：，故A错； B选项：，故B正确； C选项：，故C错； D选项：，故D错. 故选：B. 6．（22-23高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【答案】D 【解析】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误； 对于B，，，， 又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确. 故选：D. 7．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 8．（23-24高二上·安徽六安·期中）已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点在平面内，可知， 又， 所以，三项相加可得. 故选：B. 9．（23-24高二上·贵州·期中）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点为所在平面内一点，设，其中、， 即， 所以，， 所以，，所以，. 故选：B. 10（2024湖北）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 【答案】(1)，，共面 (2)点M在平面ABC内 【解析】（1）由题知， 则， 即， 所以，，共面． （2）由（1）知，，共面且基线过同一点M， 所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内． 【题组五 数量积的运算】 1．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 【答案】(1)1 (2)2 (3)0 【解析】（1）在正四面体ABCD中， （2） （3） 在正四面体ABCD中，， 故 2．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）因为， 由题意，可知，所以， 所以. （2）. （3）由题意，可知， . （4） . 【题组六 利用数量积求夹角或模长】 1．（22-23高二上·河北衡水·阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点. (1)用，，表示，并求出； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）因为点M是线段的中点，点G是的重心， 所以， 因为， 所以 ， ∴. （2） . 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）解：由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, . (1)求; (2)求和夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）由已知可得， 所以； （2）由， 所以和夹角的余弦值为. 4．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知平行六面体，，. (1)求的长度； (2)求异面直线与BC所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由题意易知， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 即； （2）由（1）可知， 所以异面直线与BC所成角的余弦值为. 5．（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.侧棱的长为4，且.    (1)求的长； (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由图，可得. 则 （2）注意到， 则 ，，. . 则与所成角的余弦值为. 6．（23-24高二上·重庆万州·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，.    (1)用，，表示； (2)求，所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）   ∵为平行六面体，为的中点， ∴，， ∴. （2）由题意得，， ， ， ， ∴， 所以，所成角的余弦值为. 【题组七 利用数量积证垂直】 1．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【答案】证明见解析 【解析】证明：由题意可知，，且向量，，两两的夹角均为，连接AN，则， ∴ ， ∴，即．    2．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，棱长为a的正方体中，E，F分别为棱AB和BC的中点，为棱的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）正方体中，四边形ABCD是正方形，所以. 又平面，平面ABCD，所以，. 又因为，，平面，所以，平面. 中，E，F分别为AB，BC中点， 所以，，所以，平面. （2）正方体中，四边形是正方形， 又F、M分别为、中点， 所以，，， 所以， ， 即.① 正方体中，平面，平面，所以.② 由①②及，且，平面，所以，平面， 又平面，所以，平面平面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$